Notes du cours de Mathématiques

IUT de Dijon-Auxerre
DUT GEA 1ière année
Année universitaire 2016-2017
Notes du cours de Mathématiques
M 12 05 : Mathématiques pour la gestion et statistiques, semestre 1
M 22 06 : Probabilités, semestre 2
M 22 07 : Mathématiques financières, semestre 2
Arnaud Rousselle
[e-mail]

Table des matières
1 Statistiques descriptives univariées 1
1.1 Vocabulairestatistique............................... 1
1.2 Casqualitatif.................................... 2
1.3 Cas quantitatif discret sans regroupement en classes . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Tableaustatistique............................. 4
1.3.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Paramètres statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Cas quantitatif continu ou discret avec regroupement en classes . . . . . . . . 10
1.4.1 Tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Paramètres statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Complément : d’autres moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Statistiques bivariées 19
2.1 Présentation et traitement des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Étude et mesure des liens entre les variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Indépendance................................ 22
2.2.2 Coefficient de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Coefficient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Régression...................................... 27
3 Séries chronologiques 31
3.1 Premières définitions, exemples et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Motivations et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Analyse d’une série chronologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Décomposition d’une série chronologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 Modèleadditif ............................... 34
3.2.3 Modèle multiplicatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Estimation des composantes d’une série chronologique . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1 Estimation de la tendance générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2 Estimation de la composante saisonnière . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Désaisonnalisation ................................. 41
3.4.1 Cas du modèle additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.2 Cas du modèle multiplicatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Prédiction...................................... 44
i

TABLE DES MATIÈRES
4 Algèbre matricielle et systèmes linéaires 47
4.1 Premièresdéfinitions................................ 47
4.2 Calculmatriciel................................... 48
4.2.1 Sommeetdifférence ............................ 48
4.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.3 Multiplication................................ 50
4.2.4 Transposition................................ 53
4.2.5 Déterminant ................................ 54
4.3 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.1 Écriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.2 Résolution.................................. 58
4.3.3 Application à l’inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Prolongement : introduction à la programmation linéaire . . . . . . . . . . . . 67
4.4.1 Méthodegraphique............................. 70
4.4.2 Forme standard d’un problème d’optimisation linéaire . . . . . . . . . 71
4.4.3 Introduction à la méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Analyse à une variable réelle 87
5.1 Premièresdéfinitions................................ 87
5.2 Fonctionsusuelles.................................. 88
5.2.1 Fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.2 Fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.3 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.4 Fonctioninverse .............................. 91
5.2.5 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.6 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.7 Fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.8 Fonctions puissances et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.9 Fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.10 Fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Limites ....................................... 98
5.3.1 Définitions formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.2 Limitesusuelles............................... 103
5.3.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.4 Comparaison de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.5 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4 Continuité...................................... 107
5.5 Dérivabilité ..................................... 108
5.5.1 Définitions ................................. 108
5.5.2 Dérivéesusuelles .............................. 109
5.5.3 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.5.4 Tangente à une courbe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.5.5 Applications à l’étude des variations et à la recherche d’extrema . . . 110
5.6 Applications en économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.6.1 Coûtmarginal ............................... 113
5.6.2 Revenumarginal .............................. 113
5.6.3 Élasticité .................................. 113
ii

TABLE DES MATIÈRES
5.7 Complément : autour du lien entre variations d’une fonction et signe de sa dérivée114
6 Suites numériques 117
6.1 Premièresdéfinitions................................ 117
6.2 Convergence et limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3 Suitesparticulières................................. 120
6.3.1 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.3.4 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4 Complément : la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7 Mathématiques financières 133
7.1 Intérêts, capitalisation et actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.1.1 Intérêtssimples............................... 133
7.1.2 Intérêtscomposés.............................. 135
7.1.3 Taux nominaux, périodiques et effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1.4 Capitalisation................................ 138
7.1.5 Actualisation ................................ 138
7.2 Versements périodiques : les annuités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2.1 Annuités de début de période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2.2 Annuités de fin de période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.3 Cas des annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3 Emprunts indivis .................................. 144
7.3.1 Emprunts in fine .............................. 147
7.3.2 Emprunts à annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3.3 Emprunts à amortissements constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.4 Taux annuel effectif global (TAEG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.4 Rentabilité d’un investissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.4.1 Valeur actuelle nette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.4.2 Taux de rentabilité interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8 Indices simples et synthétiques 153
8.1 Indices simples et taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.1.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.1.2 Propriétés.................................. 155
8.1.3 Produits et rapports de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2 Indicessynthétiques ................................ 157
8.2.1 Indiceglobal ................................ 158
8.2.2 Coefficients budgétaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.2.3 Indices de Laspeyres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.2.4 IndicesdePaasche............................. 160
8.2.5 IndicesdeFisher.............................. 161
8.2.6 Conversion monnaie constante/monnaie courante . . . . . . . . . . . . 162
iii

TABLE DES MATIÈRES
9 Ensembles et dénombrement 163
9.1 Éléments de la théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.1.1 Ensembles, sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.2 Combinatoire.................................... 169
9.2.1 p-listes.................................... 169
9.2.2 Permutations................................ 170
9.2.3 Arrangements................................ 171
9.2.4 Combinaisons................................ 171
10 Calcul élémentaire des probabilités 175
10.1 Vocabulaire probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.2Équiprobabilité................................... 177
10.3Indépendance.................................... 179
10.4 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11 Variables aléatoires 185
11.1 Premières définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.2.1 Loi d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.2.2 Moments d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.2.3 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.3 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.3.1 Loi d’une variable aléatoire continue et densité . . . . . . . . . . . . . 193
11.3.2 Moments d’une variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . 194
11.3.3 Lois à densités usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
11.4 Complément : quelques mots sur les théorèmes limite en probabilité . . . . . 201
11.4.1 Loi forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.4.2 Théorème Central Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.4.3 Applications en statistique inférentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite 207
A.1 Lecturedanslatable................................ 207
A.1.1 Lecturedirecte ............................... 207
A.1.2 Cas des valeurs non indiquées dans la table . . . . . . . . . . . . . . . 207
iv