Modèle mathématique.

T ES 1
Devoir surveillé n°4 : vendredi 18 décembre 2009
Exercice 1 (4 points)
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation x² – 4 x – 5 = 0
2. En déduire la résolution, dans l'ensemble des nombres réels, des équations suivantes :
a) (ln x)² – 4 ln x – 5 = 0
b) ln(x-3) + ln(x- 1) = 3 ln 2
3. Etudier le signe de l’expression définie sur ]0 ;+[ par : A(x) = (x2 – 4x – 5) ln x.
Exercice 2 (5 points)
Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule réponse est correcte.
Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Sans justification.
Chaque bonne réponse rapporte 1 point, chaque réponse incorrecte retire 0,25 point, une question sans réponse n’apporte ni ne
retire aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l’exercice est 0.
On donne le tableau de variations d’une fonction f définie et dérivable sur [−10 ; 14].
1. On a :
A) f positive sur [5 ; 14]
B) f positive sur [−10 ; −3]
C) f négative sur [−10 ; 5]
2. On considère l’équation f (x) = 0. Sur l’intervalle [−10 ; 14]
A) elle n’admet aucune solution
B) elle admet une unique solution
C) on ne peut pas répondre
3. La courbe représentative de la fonction f admet au point d’abscisse −3
A) une tangente horizontale
B) une tangente dont le coefficient
directeur est négatif
C) une tangente dont le coefficient
directeur est positif
4. Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse −10 est :
A) y = −10x +2
B) y = x +2
C) y = x +12
5. Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 5 est :
A) y = −4
B) x = −4
C) y = 0
Exercice 3 (5 points)
Soit f la fonction définie sur I = ]– 2 ; + [ par : f(x) = x2 + 2 ln(x + 2) .
Cf est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (O ; 𝑖 , 𝑗 )
(unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées ).
1. Calculer la fonction dérivée f ’ de f sur I.
2. Etudier le signe de f’(x) et dresser le tableau de variation de f.
3. Déterminer une équation de la tangente à Cf au point A d’abscisse  1 et une équation de la tangente à Cf au point B
d’abscisse 0.
Placer A et B , et tracer les deux droites ainsi définies dans le repère (O ; 𝑖 , 𝑗 ).
4. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique dans l’intervalle [– 1,9 ; – 1,8] .
Exercice 4 (6 points)
Les résultats seront arrondis à 10 – 3 .
Le tableau suivant donne l’évolution de la production annuelle de turbots dans une ferme aquacole.
Année
1997
1998
1999
2000
2001
2002
rang de l’année xi
1
2
3
4
5
6
production yi
650
760
1 190
1 620
2 600
5 050
1. Construire le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi) dans un repère orthogonal R :
 sur l’axe des abscisses, on placera 0 à l’origine et on choisira 2 cm pour une année.
 sur l’axe des ordonnées, on placera 600 à l’origine et on choisira 1 cm pour 200 turbots.
2. En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d’ajustement
affine de y en x.
3. On pose zi = ln (yi).
Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant :
Année
1997
1998
1999
2000
2001
2002
rang de l’année xi
1
2
3
4
5
6
zi
3. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points associé à la série (xi ; zi).
4. En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d’ajustement
affine de z en x.
5. En utilisant la question précédente, répondre aux deux questions suivantes :
a) Quelle production peut-on prévoir en 2005 ?
b) À partir de quelle année peut-on prévoir que la production annuelle dépassera 30 000 turbots ?
Annexe exercice 3
Annexe exercice 4
T ES 1
Devoir surveillé n°4 : vendredi 18 décembre 2009
CORRIGE
Exercice 1 (4 points)
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation x² – 4 x – 5 = 0
∆= 36 = 6² donc cette équation a deux solutions −1 et 5 donc S={-1 ; 5}
2. En déduire la résolution, dans l'ensemble des nombres réels, des équations suivantes :
a)
(ln x)² – 4 ln x – 5 = 0 On pose 𝑋 = 𝑙𝑛𝑥,
le changement de variable donne une nouvelle équation 𝑋² − 4𝑋 − 5 = 0 qui a pour solutions −1 et 5.
Il reste à résoudre les deux équations ln 𝑥 = − 1 et 𝑙𝑛𝑥 = 5 qui ont pour solution 𝑒 5 et 𝑒 −1 donc S={𝑒 5 ; 𝑒 −1 }
b) ln(x-3) + ln(x- 1) = 3 ln 2
cette équation est définie sur ]3; +∞[ et 𝑙𝑛(𝑥 − 3) + 𝑙𝑛(𝑥 − 1) = 3𝑙𝑛2  (𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 8  𝑥² − 4𝑥 − 5 = 0
cette équation a deux solutions dans ℝ mais n’en a qu’une dans ]3; +∞[ donc S={5}
3. Etudier le signe de l’expression définie sur ]0 ;+[ par : A(x) = (x2 – 4x – 5) ln x.
Cette expression est définie sur ]0 ; +∞[.
𝑙𝑛 𝑥 est positif sur [1 ; +∞[, négatif sinon ; x2 – 4x – 5 est un trinôme du 2nd degré dont les racines sont −1 et 5.
On obtient le tableau de signe
0
1
5
𝑥
Exercice 2 (5 points)
𝑙𝑛𝑥
𝑥² − 4𝑥 − 5
(𝑥² − 4𝑥 − 5)𝑙𝑛𝑥


+
0
+
0


0
0
+∞
+
+
+
Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule réponse est correcte.
Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Sans justification.
Chaque bonne réponse rapporte 1 point, chaque réponse incorrecte retire 0,25 point, une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point. Si le total des
points est négatif la note attribuée à l’exercice est 0.
On donne le tableau de variations d’une fonction f définie et dérivable sur [−10 ; 14].
1. On a :
A) f positive sur [5 ; 14]
B) f positive sur [−10 ; −3]
C) f négative sur [−10 ; 5]
2. On considère l’équation f (x) = 0. Sur l’intervalle [−10 ; 14]
A) elle n’admet aucune solution
B) elle admet une unique solution
C) on ne peut pas répondre
3. La courbe représentative de la fonction f admet au point d’abscisse −3
A) une tangente horizontale
B) une tangente dont le coefficient
directeur est négatif
C) une tangente dont le coefficient
directeur est positif
4. Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse −10 est :
A) y = −10x +2
B) y = x +2
C) y = x +12
5. Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 5 est :
A) y = −4
B) x = −4
C) y = 0
Exercice 3 (5 points)
Soit f la fonction définie sur I = ]– 2 ; + [ par : f(x) = x2 + 2 ln(x + 2) .
Cf est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ; 𝑖 , 𝑗) (unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées )
1. Calculer la fonction dérivée f ’ de f sur I.
2
𝑓 est définie et dérivable sur ]-2 ; +∞[ et 𝑓’ 𝑥 = 2𝑥 + 𝑥+2
2. Etudier le signe de f’(x) et dresser le tableau de variation de f.
2
𝑓’ 𝑥 = 2𝑥 + 𝑥+2 =
2𝑥²+4𝑥+2
𝑥+2
=
2(𝑥+1)²
𝑥+2
donc 𝑓’ 𝑥 est toujours positif sur ]-2 ; +∞[ donc f est croissante sur ]-2 ; +∞[
3. Déterminer une équation de la tangente à Cf au point A d’abscisse  1 et une équation de la tangente à Cf au point B d’abscisse 0. Placer A et B , et
tracer les deux droites ainsi définies dans le repère (O ; 𝑖 , 𝑗 ).
𝑓(−1) = 1 et 𝑓’(−1) = 0
𝑓(0) = 2 ln 2 et 𝑓’(0) = 1
donc la tangente à Cf au point A d’abscisse  1 a pour équation 𝑦 = 1
donc la tangente à Cf au point B d’abscisse 0 a pour équation 𝑦 = 𝑥 + 2 ln 2
4. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique dans l’intervalle [– 1,9 ; – 1,8] .
𝑓 −1,9 ≈ −0,9952 et 𝑓(−1,8) ≈ 0,02112. La fonction f est continue sur [-1,9 ; -1,8]
De plus, 𝑓 −1,9 < 0 et 𝑓 −1,8 > 0 donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0 admet
une solution unique dans l’intervalle [– 1,9 ; – 1,8]
Exercice 4 (6 points)
Les résultats seront arrondis à 10 – 3 .
Le tableau suivant donne l’évolution de la production annuelle de turbots dans une ferme aquacole.
Année
rang de l’année xi
production yi
1997
1
650
1998
2
760
1999
3
1 190
2000
4
1 620
2001
5
2 600
2002
6
5 050
1. Construire le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi) dans un repère orthogonal R :
 sur l’axe des abscisses, on placera 0 à l’origine et on choisira 2 cm pour une année.
 sur l’axe des ordonnées, on placera 600 à l’origine et on choisira 1 cm pour 200 turbots.
2. En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d’ajustement affine de y en x.
la droite d’ajustement affine de y en x a pour équation 𝑦 = 798,571𝑥 − 816,667
3. On pose zi = ln (yi).
Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant :
Année
rang de l’année xi
zi
1997
1
1998
2
1999
3
2000
4
2001
5
2002
6
3. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points associé à la série (xi ; zi).
On a 𝑥 = 3,5 et 𝑦 ≈ 7,329 donc G(3,5 ; 7,329)
4. En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d’ajustement affine de z en x.
La droite d’ajustement affine de z en x est 𝑧 = 0,407𝑥 + 5,90
5. En utilisant la question précédente, répondre aux deux questions suivantes :
a) Quelle production peut-on prévoir en 2005 ?
en 2009, 𝑥 = 9 donc 𝑧 = 9,563 et 𝑦 = 𝑒 9,563 ≈ 14228
b) À partir de quelle année peut-on prévoir que la production annuelle dépassera 30 000 turbots ?
on veut que 𝑦 > 30000 soit 𝑙𝑛𝑦 > 10,31
il faut résoudre 0,407𝑥 + 5,90 > 10,31
on obtient x>10,83. On en conclut qu’il faudra attendre la 11ième année soit en 2007.