grandeurs sinusoidales

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L’énergie électrique produite par les alternateurs et distribuée en France (EDF)
crée naturellement un courant de type alternatif symétrique dont la loi de
variation dans le temps est sinusoïdale.
C’est une tension sinusoïdale qui existe aux bornes d’une prise de courant.
1) Equation d’une grandeur sinusoïdales
Un courant sinusoïdal a une équation mathématique de la forme suivante :
i = I. 2 .sin ( ωt + ϕ )
De même pour une tension sinusoïdale : u = U. 2 .sin ( ωt + ϕ )
Ainsi pour définir complètement une grandeur sinusoïdale, trois caractéristiques
sont nécessaires :
♦ La valeur efficace (en V, ou en A, selon s’il s’agit d’une tension ou d’un
courant),
♦ La pulsation (en rad/s) : ω = 2.π.f,
♦ La phase à l’origine θ
θθ
θ (en rad).
2) Le vecteur de Fresnel
La projection de l’extrémité d’un vecteur en rotation (à vitesse constante ω) sur
un repère orthogonal génère une sinusoïde. Nous pouvons utiliser un vecteur pour
représenter une grandeur sinusoïdale, il s’agit du vecteur de Fresnel.
2.1) Exemple 1
La tension u = 160. 2 .sin (100πt -
4
π
) est représenté par un vecteur U
 Les directions et sens sont définis par la phase à l’origine :
θ = -
4
π
rad = - 45°
 Le module du vecteur correspond à la valeur maximale :
U
max
= 160. 2 ⇒ U = 4,52 cm (échelle 1cm ⇔ 50V)
La
valeur efficace I
de
l’intensité du courant
en ampères (A)
La
pulsation
ω
ωω
ω
du courant
ω = 2.π.f
en radians par seconde
(rad/s)
La
phase à l’origine
ϕ
ϕϕ
ϕ
du
courant en radians (rad)
Valeur instantanée
du courant i
U
ω
ϕ
1cm
⇔
50V
U ⇔ u = 160. 2 .sin (100 π t -
4
π
)
Origine trigonométrique

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2.2) Exemple 2
La tension u = 230. 2 .sin (100πt +
3
π
) est représenté par un vecteur U
 Les directions et sens sont définis par la phase à l’origine :
θ = +
3
π
rad = + 60°
 Le module du vecteur correspond à la valeur maximale :
U
max
= 230. 2 ⇒ U = 6,5 cm (échelle 1cm ⇔ 50V)
3) Représentation graphique d’une grandeur sinusoïdale à
partir du vecteur de Fresnel
V
1
= V. 2 sin (ωt + ϕ)
Si V
max
= 3V et si on pose ϕ = 0 et ωt = α (en rad)
On a donc :
Exemple
à
6
π
nous avons le triangle O A B
sin α
αα
α =
OA
AB
AB = OA . sin α
αα
α
v =
V
ˆ
. sin α
αα
α
U
ω
ϕ
1cm
⇔
50V
U ⇔ u = 230. 2 .sin (100 π t +
3
π
)
Origine trigonométrique
T = 2
π
rad
= 360°
V
1
= 3.
sin
α
Angle en
radians Angle en degrés
π/6 30°
π/4 45°
π/3 60°
π/2 90°
2π/3 120°
3π/4 135°
5π/6 150°
π 180°
Angle en
radians Angle en degrés
7π/6 210°
5π/4 225°
4π/3 240°
3π/2 270°
5π/3 300°
7π/4 315°
11π/6 330°
2π 360°
Echelle :
1cm ⇔ 6
π
rad
1cm ⇔ 1V
π
/6
α (rad)
V1 (V)
0
A
B
α
π
/4
π
/3
π /2
2π /3
3π
/4
5π /6 7π /6
5π /4
4π /3
3π /2
5π /3
7π /4
11π
/6
π
/6
π /4
π
/3
π
/2
2π /3
3π
/4
5π /6
p
7π
/6
5π /4
4π /3
3π /2
5π
/3
7π
/4
11π
/6
0
0π
2π

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4) Mesures de valeurs efficaces et valeurs moyennes
4.1) Définition
Intensité moyenne :
L’intensité moyenne d’un courant variable est égale à l’intensité du courant
continu (donc constant) qui transporte pendant la même durée la même quantité
d’électricité.
Intensité efficace :
L’intensité efficace d’un courant variable est l’intensité que devrait avoir un
courant continu (constant) pour produire dans le même résistor, le même
dégagement de chaleur pendant la même durée de passage du courant.
4.2) La valeur moyenne
Elle est notée par le symbole de la grandeur (en majuscule) surmonté d’une barre
U pour une tension ou
I
pour un courant.
Prenons le courant périodique carré de la figure ci-dessous, sa valeur moyenne
est :
I
= 1,5A
i
Tt
3
0
i
t
T
0
A
AA
A
1
11
1
A
AA
A
2
22
2
A
AA
A
I
= 1,5A
1A / div
1s / div
i = f ( t )
A
AA
A
1
1 1
1
=15
=15=15
=15
A
AA
A
2
2 2
2
=3
=3=3
=3
I
: valeur moyenne de i
I
=
==
=
T
AA 21
−
=
==
=
8
315
−
=1,5
=1,5=1,5
=1,5

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4.2.1 Mesure de la valeur moyenne
Le voltmètre, ou l’ampèremètre, quelle que soit la nature du courant, devra être :
- Soit analogique de type magnéto-électrique
- Soit de type numérique de tout type sur la position « DC » (ou --- )
4.3) La valeur efficace
Elle est notée par le symbole de la grandeur (en majuscule)
U ou I
La valeur efficace est très importante, c’est toujours elle qui est précisée sur
les récepteurs ou les générateurs électriques
Prenons le courant périodique carré de la figure ci-dessous. Sa valeur efficace
est I ≈ 2,45A
Symbole d’un appareil
magnéto-électrique
I = 6
≈
2,45A
1A / div
1s / div
i = f ( t )
9
i²
T=8s
0
t
1
1
A
AA
A
1
11
1
A
AA
A
1
11
1
Ieff =I = ²idemoyennevaleur
I =
TAA 21+
=
8345+
= 6

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4.3.1 Mesure de la valeur efficace
Le voltmètre, ou l’ampèremètre, quelle que soit la nature du courant, devra être :
- Soit analogique de type ferromagnétique
- Soit de type numérique de type RMS (ou TRMS) AC + DC sur a position
« AC » ou « ~ ».
Symbole d’un appareil
ferro-magnétique