EP1 Les grandeurs sinusoïdales TELT L’énergie électrique produite par les alternateurs et distribuée en France (EDF) crée naturellement un courant de type alternatif symétrique dont la loi de variation dans le temps est sinusoïdale. C’est une tension sinusoïdale qui existe aux bornes d’une prise de courant. 1) Equation d’une grandeur sinusoïdales Un courant sinusoïdal a une équation mathématique de la forme suivante : i = I. 2 .sin ( ωt + ϕ ) La valeur efficace I de l’intensité du courant en ampères (A) Valeur instantanée du courant i La pulsation ω du courant ω = 2.π.f La phase à l’origine ϕ du courant en radians (rad) en radians par seconde (rad/s) De même pour une tension sinusoïdale : u = U. 2 .sin ( ωt + ϕ ) Ainsi pour définir complètement une grandeur sinusoïdale, trois caractéristiques sont nécessaires : ♦ La valeur efficace (en V, ou en A, selon s’il s’agit d’une tension ou d’un courant), ♦ La pulsation (en rad/s) : ω = 2.π.f, ♦ La phase à l’origine θ (en rad). 2) Le vecteur de Fresnel La projection de l’extrémité d’un vecteur en rotation (à vitesse constante ω) sur un repère orthogonal génère une sinusoïde. Nous pouvons utiliser un vecteur pour représenter une grandeur sinusoïdale, il s’agit du vecteur de Fresnel. 2.1) Exemple 1 La tension u = 160. 2 .sin (100πt - π 4 ) est représenté par un vecteur Origine trigonométrique Les directions et sens sont définis par la phase à l’origine : θ=- π 4 U ϕ rad = - 45° Le module du vecteur correspond à la valeur maximale : Umax = 160. 2 ⇒ U = 4,52 cm (échelle 1cm ⇔ 50V) U U ⇔ u = 160. Page 1/5 ω 1cm ⇔ 50V 2 .sin (100πt - π 4 ) Y.Sutra EP1 Les grandeurs sinusoïdales 2.2) Exemple 2 La tension u = 230. 2 .sin (100πt + π TELT U ) est représenté par un vecteur 3 Les directions et sens sont définis par la phase à l’origine : θ=+ π 3 1cm ⇔ 50V U rad = + 60° ω Le module du vecteur correspond à la valeur maximale : Umax = 230. ϕ (échelle 1cm ⇔ 50V) 2 ⇒ U = 6,5 cm Origine trigonométrique U ⇔ u = 230. π 2 .sin (100πt + ) 3 3) Représentation graphique d’une grandeur sinusoïdale à partir du vecteur de Fresnel V1 = V. 2 sin (ωt + ϕ) Si Vmax = 3V et si on pose ϕ = 0 et ωt = α (en rad) On a donc : Echelle : V1 = 3.sin α π 1cm ⇔ 6 1cm ⇔ 1V rad V1 (V) π/2 2π/3 π/3 3π/4 π/4 5π/6 Aπ /6 α p 0 B 0 2π/3 π/3 π/6 0 π/4 π/2 5π/6 3π/4 7π/6 π 4π/3 5π/4 5π/3 3π/2 11π /6 2π 7π/4 11π/6 7π/6 7π/4 5π/4 5π/3 4π/3 3π/2 T = 2π rad = 360° Exemple à π 6 nous avons le triangle O A B sin α = AB OA AB = OA . sin α v = Vˆ . sin α Angle en radians π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π Page 2/5 Angle en degrés 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° Angle en radians 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π Angle en degrés 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° Y.Sutra α (rad) EP1 Les grandeurs sinusoïdales TELT 4) Mesures de valeurs efficaces et valeurs moyennes 4.1) Définition Intensité moyenne : L’intensité moyenne d’un courant variable est égale à l’intensité du courant continu (donc constant) qui transporte pendant la même durée la même quantité d’électricité. Intensité efficace : L’intensité efficace d’un courant variable est l’intensité que devrait avoir un courant continu (constant) pour produire dans le même résistor, le même dégagement de chaleur pendant la même durée de passage du courant. 4.2) La valeur moyenne Elle est notée par le symbole de la grandeur (en majuscule) surmonté d’une barre U pour une tension ou I pour un courant. Prenons le courant périodique carré de la figure ci-dessous, sa valeur moyenne est : I = 1,5A i=f(t) 1A / div 1s / div i I : valeur moyenne de i i 3 A1 A t A2 0 A1 =15 T t 0 A2 =3 T I = 1,5A I = A1− A2 = 15−3 =1,5 T 8 Page 3/5 Y.Sutra EP1 Les grandeurs sinusoïdales TELT 4.2.1 Mesure de la valeur moyenne Le voltmètre, ou l’ampèremètre, quelle que soit la nature du courant, devra être : - Soit analogique de type magnéto-électrique Soit de type numérique de tout type sur la position « DC » (ou --- ) Symbole d’un appareil magnéto-électrique 4.3) La valeur efficace Elle est notée par le symbole de la grandeur (en majuscule) U ou I La valeur efficace est très importante, c’est toujours elle qui est précisée sur les récepteurs ou les générateurs électriques Prenons le courant périodique carré de la figure ci-dessous. Sa valeur efficace est I ≈ 2,45A i=f(t) i² 9 A1 1 1A / div 1s / div Ieff =I = I= 0 valeur moyenne de i² t A1 1 T=8s I = 6 ≈ 2,45A A1+ A2 = 45+3 = 6 T 8 Page 4/5 Y.Sutra EP1 Les grandeurs sinusoïdales TELT 4.3.1 Mesure de la valeur efficace Le voltmètre, ou l’ampèremètre, quelle que soit la nature du courant, devra être : - Soit analogique de type ferromagnétique Soit de type numérique de type RMS (ou TRMS) AC + DC sur a position « AC » ou « ~ ». Symbole d’un appareil ferro-magnétique Page 5/5 Y.Sutra