Cours sur les variables aléatoires continues.

[Lois continues \
Table des matières
I Généralités sur les lois continues 1
1 Notion de variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Notion de densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 Probabilité d’un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 Espérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Loi uniforme 3
III Les lois exponentielles 4
IV Lois normales 6
1 Loi normale standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
a) Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
b) Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Loi continue
I Généralités sur les lois continues
1 Notion de variable aléatoire continue
Prenons un exemple qui nous servira de support concret :
On a relevé la durée de fonctionnement d’un lot de 5000 ampoules électriques.
Lorsqu’une expérience conduit à la mesure d’une grandeur variant de façon «continue» et que le résultat
ne peut être prévu, on donne à cette grandeur le nom de variable aléatoire continue.
On peut formaliser cette notion de la façon suivante :
On appelle variable aléatoire continue une variable aléatoire pouvant prendre toutes les valeurs
d’un intervalle.
Définition
Dans notre exemple, on appelle X la variable aléatoire qui donne la durée de fonctionnement d’une
ampoule, c’est une variable aléatoire continue.
On a représenté sous forme d’un histogramme les résultats de cette expérience :
0,01
0,02
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
¨
X : temps de fonctionnement en jours
Le graphique précédent permet de déterminer la fréquence des événements £t16X6t2¤où t1et t2sont
des temps de fonctionnement fixés.
Ces fréquences permettent de modélisent la probabilité P(t16X6t2)
2 Notion de densité de probabilité
Dans une variable aléatoire continue il n’est pas intéressant de connaitre la probabilité d’une valeur
particulière, il vaut mieux connaitre la probabilité d’un intervalle.
Retour à l’exemple :
Pour calculer la fréquence de £40 6X660¤on a jouté les fréquences des classes £40 ; 50¤et £50 ; 60¤. Or
dans un histogramme, les fréquences sont proportionnelles aux l’aires des rectangles.
Pour calculer la probabilité d’un intervalle, on va donc calculer une aire :
P(a<X6b)=Zb
a
f(t) dt
fest appelée fonction densité de probabilité.
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Loi continue
Pour qu’une fonction fsoit une densité de probabilité sur un intervalle I il faut et il suffit que :
–fsoit continue et positive sur I ;
–Z
I
f(x) dx(la somme des probabilités vaut 1).
Définition
Retour à l’exemple :
On donne la fonction f(x)=0,02e−0,02x.
Vérifier que fest bien une densité de probabilité sur £0 ; +∞£:
–fest ............................. et .............................
– On donne la définition Z+∞
0
f(x) dx=lim
A→+∞ ZA
0
f(x) dx
Calculer ZA
0
f(x) dx=.............................................................................................
donc lim
A→+∞ ZA
0
f(x) dx=.........................................................................................
3 Probabilité d’un intervalle
Comme nous venons de le voir :
Si fest une densité de probabilité pour la variable aléatoire X, alors
P(a<X6b)=Zb
a
f(t) dt
Définition
Remarque :
La probabilité d’une valeur particulière est toujours nulle en effet
P(X =b)=Zb
b
f(x) dx=0
Retour à l’exemple :
Quelle est la probabilité que l’ampoule ait une durée de fonctionnement comprise entre 100 et 200 jours ?
4 Espérence
L’espérance d’une variale aléatoire X de densité fsur un intervalle I est le nombre réel, lorsqu’il
existe :
E(X) =Z
I
x f (x) dx
Définition
Retour à l’exemple :
Calculer l’espérance de la durée de fonctionnement d’une ampoule et en déduire la durée moyenne de
fonctionnement.
Une primitive de x7→ 0,02xe−0,02xest x7→ (ax +b)e−0,02xoù aet bsont deux réels à déterminer.
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Loi continue
II Loi uniforme
La loi uniforme est la loi de probabilité qui généralise la loi d’équiprobablité dans le cas discret(toutes
les issues ont la même probabilité de se réaliser).
La loi uniforme sur l’intervalle £a;b¤, avec a<b, est la loi de probabilité dont la densité est une
fonction constante sur £a;b¤.
Définition
La densité de probabilité de la loi uniforme sur £a;b¤est la fonction fdéfinie sur £a;b¤par
f(x)=1
b−a
Propriété
Démonstration :
fest une fonction constante sur £a;b¤, donc définie par f(x)=k k ∈R
Pour que fdéfinisse une loi de probabilité sur £a;b¤, on doit avoir
Zb
a
f(t) dt=1⇐⇒ k(b−a)=1⇐⇒ k=1
b−a
Dans la loi uniforme sur £a;b¤, si cet dsont deux réels tels que a6c6d6balors
P(c6X6d)=d−c
b−a
Propriété
La démonstration est immediate.
L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur £a;b¤est
E(X) =a+b
2
Propriété
Démonstration :
L’espérance vaut
E(X) =Zb
a
kt dt=·1
2kt2¸b
a=k
2¡b2−a2¢=1 2(b−a)(b−a)(a+b)=a+b 2
Exercice 1
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle I =£−2 ; 2¤.
1. Déterminer la fonction de densité de probabilité de X.
2. Calculer P(X <1) et P(X >1,5).
3. Calculer P(X>0)(X <1).
4. Donner l’espérance de X.
Exercice 2
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Loi continue
1. Résoudre dans Rl’inéquation 2x2−3x−5>0.
2. On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle £0 ; 5¤.
a. Quelle est la probabilité que ce nombre soit solution de l’inéquation 2x2−3x−5>0 ?
b. Quelle est la probabilité que ce nombre soit solution de l’équation 2x2−3x−5=0 ?
Exercice 5
1. Quel est le rôle de l’algorithme suivant ?
Initialisation
S prend la valeur 0
iprend la valeur 0
Traitement
Tant que i<1000
xprend une valeur aléeatoire dans£0 ; 1£
S prend la valeur S +x
iprend la valeur i+1
Fin Tant que
Sortie
Afficher S/1000
2. Quel résultat, approximativement, s’affichera en sortie de cet algorithme ?
III Les lois exponentielles
Soit λun réel strictement positif.
La loi exponentielle de paramètre λest la loi qui a pour fonction de densité la fonction fdéfinie
sur £0 ; +∞[ par f(x)=λe−λx.
Définition
Exercice 5
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ=0,1.
1. Déterminer la probabilité P(0 6X610).
2. Déterminer la probabilité P(X >10).
3. Déterminer le réel ttel que P(X 6t)=P(X >t).
4. a. Déterminer deux réels aet btels que la fonction F définie par F(x)=(ax +b)e−0,1xsoit une primi-
tive de x7→ 0,1xe−0,1x.
b. En déduire l’espérance de X.
L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ>0 sur £0 ; +∞¤
est
E(X) =1
λ
Propriété
Démonstration : Exigible
E(X) =Z+∞
0
λte−λtdt=lim
x→+∞ Zx
0
λte−λtdt
Pour calculer cette intégrale cherchons une primitive de t7→ λte−λtsous la forme G : t7→(at +b)e−λtoù
aet bsont deux constantes :
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