Cours sur les variables aléatoires continues.

[ Lois continues \
Table des matières
I
Généralités sur les lois continues
1
Notion de variable aléatoire continue
2
Notion de densité de probabilité . . .
3
Probabilité d’un intervalle . . . . . . .
4
Espérence . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
2
2
II Loi uniforme
3
III Les lois exponentielles
4
IV Lois normales
1
Loi normale standard . . . . . . . . . . . .
2
Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Définition et premières propriétés
b)
Intervalle de fluctuation . . . . . .
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6
6
8
8
9
Loi continue
I Généralités sur les lois continues
1 Notion de variable aléatoire continue
Prenons un exemple qui nous servira de support concret :
On a relevé la durée de fonctionnement d’un lot de 5000 ampoules électriques.
Lorsqu’une expérience conduit à la mesure d’une grandeur variant de façon «continue» et que le résultat
ne peut être prévu, on donne à cette grandeur le nom de variable aléatoire continue.
On peut formaliser cette notion de la façon suivante :
Définition
On appelle variable aléatoire continue une variable aléatoire pouvant prendre toutes les valeurs
d’un intervalle.
Dans notre exemple, on appelle X la variable aléatoire qui donne la durée de fonctionnement d’une
ampoule, c’est une variable aléatoire continue.
On a représenté sous forme d’un histogramme les résultats de cette expérience :
0,02
0,01
¨
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
X : temps de fonctionnement en jours
¤
£
Le graphique précédent permet de déterminer la fréquence des événements t 1 6 X 6 t 2 où t 1 et t 2 sont
des temps de fonctionnement fixés.
Ces fréquences permettent de modélisent la probabilité P(t 1 6 X 6 t 2 )
2 Notion de densité de probabilité
Dans une variable aléatoire continue il n’est pas intéressant de connaitre la probabilité d’une valeur
particulière, il vaut mieux connaitre la probabilité d’un intervalle.
Retour à l’exemple :
¤
£
¤ £
¤
£
Pour calculer la fréquence de 40 6 X 6 60 on a jouté les fréquences des classes 40 ; 50 et 50 ; 60 . Or
dans un histogramme, les fréquences sont proportionnelles aux l’aires des rectangles.
Pour calculer la probabilité d’un intervalle, on va donc calculer une aire :
P(a < X 6 b) =
Zb
f (t ) dt
a
f est appelée fonction densité de probabilité.
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Loi continue
Définition
Pour qu’une fonction f soit une densité de probabilité sur un intervalle I il faut et il suffit que :
– Z
f soit continue et positive sur I ;
f (x) dx (la somme des probabilités vaut 1).
–
I
Retour à l’exemple :
On donne la fonction f (x) = 0, 02 e−0,02x .
£
£
Vérifier que f est bien une densité de probabilité sur 0 ; +∞ :
– f est ............................. et .............................
Z+∞
ZA
– On donne la définition
f (x) dx = lim
f (x) dx
0
Calculer
ZA
0
donc lim
A→+∞ 0
f (x) dx =.............................................................................................
ZA
A→+∞ 0
f (x) dx =.........................................................................................
3 Probabilité d’un intervalle
Comme nous venons de le voir :
Définition
Si f est une densité de probabilité pour la variable aléatoire X, alors
P(a < X 6 b) =
Zb
f (t ) dt
a
Remarque :
La probabilité d’une valeur particulière est toujours nulle en effet
P(X = b) =
Zb
b
f (x) dx = 0
Retour à l’exemple :
Quelle est la probabilité que l’ampoule ait une durée de fonctionnement comprise entre 100 et 200 jours ?
4 Espérence
Définition
L’espérance d’une variale aléatoire X de densité f sur un intervalle I est le nombre réel, lorsqu’il
existe :
Z
E(X) = x f (x) dx
I
Retour à l’exemple :
Calculer l’espérance de la durée de fonctionnement d’une ampoule et en déduire la durée moyenne de
fonctionnement.
Une primitive de x 7→ 0, 02x e−0,02x est x 7→ (ax + b) e−0,02x où a et b sont deux réels à déterminer.
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Loi continue
II Loi uniforme
La loi uniforme est la loi de probabilité qui généralise la loi d’équiprobablité dans le cas discret(toutes
les issues ont la même probabilité de se réaliser).
Définition
£
¤
La loi uniforme sur l’intervalle a ; b , avec a < b, est la loi de probabilité dont la densité est une
£
¤
fonction constante sur a ; b .
Propriété
£
¤
£
¤
La densité de probabilité de la loi uniforme sur a ; b est la fonction f définie sur a ; b par
1
f (x) =
b−a
Démonstration :
£
¤
f est une fonction constante sur a ; b , donc définie par f (x) = k k ∈ R
£
¤
Pour que f définisse une loi de probabilité sur a ; b , on doit avoir
Zb
a
f (t ) dt = 1 ⇐⇒ k(b − a) = 1 ⇐⇒ k =
1
b−a
Propriété
£
¤
Dans la loi uniforme sur a ; b , si c et d sont deux réels tels que a 6 c 6 d 6 b alors
P (c 6 X 6 d ) =
d −c
b−a
La démonstration est immediate.
Propriété
£
¤
L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur a ; b est
E(X) =
a +b
2
Démonstration :
L’espérance vaut
E(X) =
Zb
a
·
1
kt dt = kt 2
2
¸b
a
=
¢
k¡ 2
a +b
1
b − a2 =
(b − a) (a + b) =
2
2(b − a)
2
Exercice 1
£
¤
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle I = − 2 ; 2 .
1. Déterminer la fonction de densité de probabilité de X.
2. Calculer P(X < 1) et P(X > 1, 5).
3. Calculer P(X>0) (X < 1).
4. Donner l’espérance de X.
Exercice 2
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Loi continue
1. Résoudre dans R l’inéquation 2x 2 − 3x − 5 > 0.
£
¤
2. On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle 0 ; 5 .
a. Quelle est la probabilité que ce nombre soit solution de l’inéquation 2x 2 − 3x − 5 > 0 ?
b. Quelle est la probabilité que ce nombre soit solution de l’équation 2x 2 − 3x − 5 = 0 ?
Exercice 5
1. Quel est le rôle de l’algorithme suivant ?
Initialisation
S prend la valeur 0
i prend la valeur 0
Traitement
Tant que i < 1000
£
£
x prend une valeur aléeatoire dans 0 ; 1
S prend la valeur S + x
i prend la valeur i + 1
Fin Tant que
Sortie
Afficher S/1000
2. Quel résultat, approximativement, s’affichera en sortie de cet algorithme ?
III Les lois exponentielles
Définition
Soit λ un réel strictement positif.
La loi exponentielle de paramètre λ est la loi qui a pour fonction de densité la fonction f définie
£
sur 0 ; +∞[ par f (x) = λ e−λx .
Exercice 5
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ = 0, 1.
1. Déterminer la probabilité P(0 6 X 6 10).
2. Déterminer la probabilité P(X > 10).
3. Déterminer le réel t tel que P(X 6 t ) = P(X > t ).
4. a. Déterminer deux réels a et b tels que la fonction F définie par F(x) = (ax + b) e −0,1x soit une primitive de x 7→ 0, 1x e−0,1x .
b. En déduire l’espérance de X.
Propriété
£
¤
L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0 sur 0 ; +∞
est
1
E(X) =
λ
Démonstration :
Exigible
E(X) =
Z+∞
0
λt e−λt dt = lim
Zx
x→+∞ 0
λt e−λt dt
Pour calculer cette intégrale cherchons une primitive de t 7→ λt e −λt sous la forme G : t 7→ (at +b) e−λt où
a et b sont deux constantes :
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Loi continue
Pour tout réel t positif, on doit avoir :
G′ (t ) = λt e−λt
a e−λt −λ(at + b) e−λt = λt e−λt
¡
¢
− λat + (a − λb e−λt = λt e−λt
−λat + (a − λb = λt
Pour cela, il suffit d’avoir

 a = −1
−λa = λ
1
⇐⇒
b = −
a − λb = 0
λ
µ
¶
1 −λt
La fonction G définie par G(x) = −t −
e
est donc une primitive de t 7→ λt e−λt . On en déduit :
λ
·µ
¸
¶
Zx
1 −λt x
−λt
λt e
dt = −t −
e
λ
0
0
¶
µ
1 −λx 1
e
+
= −x −
λ
λ
½
=
−λx e−λx − e−λx +1
λ
Or lim −λx e−λx = lim X eX = 0 et lim e−λx = lim eX = 0 donc
x→+∞
X→−∞
x→+∞
X→−∞
E(X) = lim
Zx
x→+∞ 0
λt e−λt dt =
1
λ
Propriété
Si X une variable aléatoire qui suit une loi de probabilité exponentielle de paramètre λ > 0 alors la
loi X est sans vieillissement (ou sans mémoire)
Démonstration :
Prouvons que pour tous réels positif t et h,
PX>t (X > t + h) = P(X > h)
¡
¢
P (X > t + h) et (X > t )
P(X > t + h)
=
Par définition
PX>t (X > t + h) =
P(X > t )
P(X > t )
Za
³
´
£
¤a
Or P(X > a) = 1 − P(X 6 a) = 1 −
λ e−λx dx = 1 − − e−λx 0 = 1 − − e−λa +1 = e−λa
0
donc P(X > t + h) = e−λ(t +h) ,
P(X > t ) = e−λt
et
P(X > t + h) e−λ(t +h)
= e−λh = P(X > h).
=
P(X > t )
e−λt
Exercice 6
La durée de vie de certaines ampoules peut-être modélisée par une loi exponentielle.
Ces ampoules ont une durée de vie de 800 heures.
1. Déterminer le paramètre de cette loi et donner la densité de probabilité associée.
2. Calculer la probabilité qu’une ampoule choisie au hasard ait une duréee de vie supérieure à 1000
heures.
3. Sachant que l’ampoule de mon bureau fonctionne depuis déjà 1000 heures, quelle est la probabilité
qu’elle fonctionne encore au moins 100 heures ?
4. Une ampoule provenant du même stock brille depuis déjà 10 000 heures. Quelle est la probabilité
qu’elle continue de briller pendant encore 100 heures de plus ?
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Loi continue
IV
Lois normales
1 Loi normale standard
Définition
La loi normale standard est la loi de probabilité dont la densité est la fonction f définie sur R par
x2
1
f (x) = p e− 2
2π
Propriété
f est continue et paire : sa courbe représentative appelée courbe de GAUSS est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées.
0,4
0,2
-3
-2
-1
1
2
3
Les valeurs des probabilités ne sont pas calculables à la main contrairement aux autres lois déjà rencontrées. On utilisera une calculatrice, un tableur, un logiciel pour les obtenir :
Sur TI82 stat ou TI 83 ou
TI 84
On appuie sur DIST ( 2nd VARS Pour calculer P(a 6 X 6 b) on choisit
normalFRép (a,b,0,1)
Pour déterminer le réel t tel que P(X 6 t ) = a lorsque a est fixé et X suit la loi normale N (0 ; 1), on utilise
invNorm(a,0,1).
Sur Casio Graph 35 ou plus
Sélectionner le menu STAT
Choisir le menu DIST (F5) puis NORM (F5)
Pour calculer P(a 6 X 6 b) on choisit
Ncd (F2) (Normal cumulative distribution)
Puis on complète avec la borne inférieure, la borne supérieure, l’écart type((σ) (1 ici) et l’espérance(µ)(0
ici)
Pour déterminer le réel t tel que P(X 6 t ) = a lorsque a est fixé et X suit la loi normale N (0 ; 1), on choisit
InvN (F3) (Inverse Normal) puis on donne la valeur de a :Area, l’écart type :σ (1 ici) et l’espérance :µ (0
ici).
Les CASIO permettent aussi de déterminer t tel que P(X > t ) = a en utilisant Rightou P(−t 6 X 6 t ) = a
en utilisant Center.
Sur TI89
On va dans l’éditeur de statistiques
On appuie sur la touche F5 (Distr)
Pour calculer P(a 6 X 6 b) on choisit
4:normal FdR
Puis on donne la borne inférieure, la borne supérieure, l’espérance (0 ici) et l’écart type (1 ici)
Pour déterminer le réel t tel que P(X 6 t ) = a lorsque a est fixé et X suit la loi normale N (0 ; 1), on choisit
2:Inverse puis 1:Inverse Normal
Puis on donne la valeur de a, l’espérance (0 ici) et l’écart type (1 ici)
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Loi continue
Propriété
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale standard , on a donc,
P(X 6 0) = P(X > 0) = 0, 5
Théorème
– L’espérance d’une variable aléatoire X suivant la loi normale standard est : E(X) = 0 :
– Sa variance est : V(X) = 1 et donc son l’écart-type est : σ(X) = 1.
C’est pour cela que la loi normale standard est appelé la loi normale centrée réduite et se note
N (0 ; 1) car une variable aléatoire X est dite
– centrée lorsque son espérance est nulle : E(X) = 0.
– réduite lorsque son écart-type est 1 : σ(X) = 1.
Exercice 1
Soit X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).
Calculer, à l’aide de la calculatrice, les probabilités :
a) P(X 6 0, 34) b)P(X 6 1, 53) c) P(0, 34 6 X 6 1, 53)
d) P(X 6 −0, 85) e) P(−1, 3 6 X 6 2, 68) f ) P(−1, 3 6 X 6 1, 3)
g) P(−1 6 X 6 1) h)P(−1, 96 6 X 6 1, 96) i) P(0 6 X 6 1, 96)
Exercice 2
Soit α = 0, 05 et X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).
Déterminer le nombre v α telle que : P(X 6 v α ) = 1 − α.
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1), alors, pour tout
nombre réel 0 < α < 1, il existe un unique nombre réel u α > 0 tel que P(−u α 6 X 6 u α ) = 1 − α.
Démonstration :
Exigible
Par symétrie de la densitée de probabilitée f de la loi normale centrée réduite, on a
Zu
f (x) dx = 2F(u),
P(−u 6 X 6 u) = 2P(0 6 X 6 u) = 2
0
où F est la primitive de f sur R qui s’annule en 0.
£
£
F est continue car dérivable et croissante sur 0 ; +∞ car F′ = f et f > 0.
1
De plus, lim F(u) = : il s’agit de l’aire sous la courbe de f qui est symétrique par rapport à l’axe des
u→+∞
2
ordonnées et dont l’aire totale vaut 1.
On a donc le tableau de variation de la fonction 2F :
u
0
+∞
1
2F(u)
0
¤
£
¤
£
Comme pour tout nombre α ∈ 0 ; 1 , le nombre 1 − α ∈ 0 ; 1 , d’après le théorème des valeurs intermé£
£
diaires, il existe un unique u α ∈ 0 ; +∞ tel que 2F(u α ) = 1 − α, c’est-à-dire tel que u α 6 X 6 u α ) = 1 − α.
Exercice 3
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Loi continue
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).
Déterminer, à l’aide de la calculatrice, les valeurs de u et v telles que :
b) P(−v 6 X 6 v) = 0, 99
a) P(−u 6 X 6 u) = 0, 95
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1), alors,
• u 0,05 ≈ 1, 96 c’est à dire P(−1, 96 6 X 6 1, 96) ≈ 1 − 0, 05 = 0, 95 = 95%
• u 0,01 ≈ 2, 56 c’est à dire P(−2, 58 6 X 6 2, 58) ≈ 1 − 0, 01 = 0, 99 = 99%
Ces valeurs sont à connaître.
Remarque
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n ; p) alors son espérance vaut µ = E(x) = np et
p
son écart-type vaut σ = np(1 − p).
Théorème
Théorème Moivre-Laplace
Soit n un entier naturel et X n une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n ; p)
X−µ
X − np
est une variable aléatoire centrée réduite.
Alors, Z n =
=p
σ
np(1 − p)
Lorsque n tend vers +∞,
P(a 6 Z n 6 b) tend vers P(a 6 Z 6 b),
où Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1)
En pratique, on approche les probabilités de la loi binomiale par celles de la loi normale lorsque n > 30
et np > 5 et n(1 − p) > 5.
Exercice 4
On lance 3600 fois un dé équilibré. On souhaite évaluer la probabilité que le nombre d’apparition du 6
soit compris strictement entre 575 et 650.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions du 6 lors de ces 3600 lancers.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier.
2. Appliquer, en justifiant son utilisation, le théorème de Moivre-Laplace à la variable aléatoire X.
3. En déduire une valeur approchée de la probabilité recherchée.
2 Lois normales
a) Définition et premières propriétés
Définition
Une variale aléatoire X suit la loi normale N (µ ; σ2 ) si et seulement si la variable aléatoire Z =
suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1) .
Propriété
Si X suit une loi normale N (m ; σ2 ) alors
E(X) = m
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V(X) = σ2
σ(X) = σ
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X−µ
σ
Loi continue
b) Intervalle de fluctuation
Propriété
Intervalles de fluctuations d’une loi N (µ; σ2 )
Si X suit une loi normale N (µ ; σ2 ) , sa dispersion autour de µ dépend de σ de la façon suivante (à
10−3 près) :
¡
£
¢
• P X ∈ m − σ ; m + σ] ≈ 0, 683 ;
¡
£
¢
• P X ∈ m − 2σ ; m + 2σ] ≈ 0, 954 ;
¡
£
¢
• P X ∈ m − 3σ ; m + 3σ] ≈ 0, 997.
µ − 3σ
µ − 2σ
µ−σ
µ
µ + 2σ
µ+σ
µ + 3σ
Démonstration
X−µ
suit la loi N (0 ; 1).
σ
Pour calculer n’importe quelle probabilité relative à X, on se ramène à Z en deux étapes :
1 en centrant, c’est-à-dire en retranchant µ à X : on obtient X − µ
2 , puis en réduisant, c’est-à-dire en divisant par σ : on obtient Z.
Ainsi :
Par définition, si X suit une loi N (µ ; σ2 ), la variable Z =
¡
£
¢
P X ∈ m − σ ; m + σ] = P(µ − σ 6 X 6 µ + σ)
= P(−σ 6 X − µ 6 σ)
¶
µ
X−µ
61
= P −1 6
σ
= P(−1 6 Z 6 1)
(on centre)
(on réduit)
(par définition de Z)
On utilise à présent une calculatrice ou un logiciel pour évaluer cette dernière probabilité lorsque Z suit
¡
£
¢
la loi N (0 ; 1). On obtient P(−1 6 Z 6 1) ≈ 0, 683 à 10−3 près. Donc P X ∈ m − σ ; m + σ] ≈ 0, 683 à 10−3
près.
On démontre les deux autres approximations en utilisant la même démarche que précédemment.
Remarque
Cela signifie que :
£
• environ 68% des valeurs sont dans m − σ ; m + σ]
£
• environ 95% des valeurs sont dans m − 2σ ; m + 2σ]
£
• environ 99,7% des valeurs sont dans m − 3σ ; m + 3σ]
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