Polynômes

Polynômes
Dans ce chapitre, K désigne R ou C.
1
1.1
Généralités
Objet polynôme et notation X
Introduction : vous avez déjà croisé dans le secondaire des polynômes, ou plutôt des fonctions polynômiales, c’est-à-dire des fonctions du type : x 7→ a0 + a1 x + a2 x2 + .... + an xn la variable x étant réelle
(ou complexe). Dorénavant, nous aurons parfois besoin de remplacer la variable x par autre chose que des
réels ou complexes : des fonctions, des matrices ... C’est pourquoi on introduit à la place de la variable x une
variable X appelée l’indéterminée du polynôme.
Définition
On dit que P est un polynôme à coefficients dans K si il s’écrit sous la forme
n
P
ak X k = a0 + a1 X + · · · an X n , avec n ∈ N, et (ak )k∈[[0,n]] des éléments de K.
P (X) =
k=0
Les nombres (ak ) sont appelés les coefficients du polynôme.
La fonction polynôme (encore appelée polynôme par abus de langage) est la fonction définie sur K par
x 7→ P (x) = a0 + a1 x + ... + an xn .
Notation :
On note K[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.
Comme R ⊂ C, on a R[X] ⊂ C[X].
Définition
n
P
ak X k un polynôme de K[X].
Soit P (X) =
k=0
Si an 6= 0, le polynôme P est dit de degré n et on note deg P = n ; an est alors appelé le coefficient dominant.
Si an = 1, le polynôme est dit unitaire.
Si tous les coefficients sont nuls, P est appelé polynôme nul : il est noté P (X) = 0K[X] ou par abus P (X) = 0.
Par convention on pose deg(P ) = −∞.
Exemple : déterminer le degré et le coefficient dominant du polynôme P (X) = X 3 − X(X − 2 + i)2 .
Notation :
On note Kn [X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K de degré inférieur ou égal à n.
Propriété fondamentale : unicité de l’écriture d’un polynôme
Deux polynômes P (X) = an X n + ... + a1 X + a0 (où an 6= 0) et Q(X) = bm X m + ... + b1 X + b0 (avec bm 6= 0)
sont égaux et on écrit P (X) = Q(X),
ssi ils ont même degré (n = m) et mêmes coefficients (∀k ∈ [[0, n]] ak = bk ).
1.2
Opérations algébriques
On peut définir 3 opérations dans K[X] : une addition, un produit externe ainsi qu’une multiplication.
Si P et Q sont deux polynômes et si λ ∈ K, on peut ainsi définir 3 autres polynômes :
– le polynôme P + Q par : (P + Q)(X) = P (X) + Q(X)
– le polynôme λP par : (λP )(X) = λP (X)
– le polynôme P Q par : (P Q)(X) = P (X) × Q(X).
Exemples : P (X) = X 2 + 3 et Q(X) = 4X 3 − 3X 2 + 2, et λ = 2
puis P (X) = X 4 + 1 et Q(X) = −X 4 + 3X 3 .
Remarque
:Les règles de calcul sont les mêmes que pour les fonctions, et les nombres !
1
1.3
Propriétés du degré
Soit P et Q deux polynômes non-nuls.
1. Le degré d’un polynôme constant non-nul est 0.
2. deg(P + Q) 6 max(deg P, deg Q), et si deg(P ) 6= deg(Q) alors deg(P + Q) = max(deg P, deg Q)
3. deg(P Q) = deg P + deg Q
−→ Reprendre les exemples précédents, pour comprendre ces formules (on prendra conscience des formules utilisées sur les puissances).
On en déduit la conséquence importante suivante :
Propriété d’intégrité :
Si P et Q sont deux polynômes non-nuls, alors le polynôme produit P Q est un polynôme non-nul.
Par contraposée : si le produit de 2 polynômes est nul, nécessairement au moins l’un des polynômes
est le polynôme nul. Autrement dit : P (X)Q(X) = 0 ⇒ P (X) = 0K[X] ou Q(X) = 0K[X] .
2
Divisibilité dans K[X]
2.1
Division euclidienne
Théorème admis
Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K avec B un polynôme non nul.
Il existe un unique couple de polynômes (Q,R) de K[X] tel que A = BQ + R avec R = 0K[X] ou deg R < deg B.
Le polynôme Q s’appelle le quotient de la division euclidienne de A par B et R le reste de la division euclidienne de A par B.
Exemple :
Déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne de 2X 3 + X 2 − 5X + 5 par X 2 − 2 :
Méthode 1 : On pose la bonne vieille division ET on commence par éliminer le terme 2X 3 .
2X 3
−2X 3
+X 2
−5X +5 X 2 − 2
−(−4X)
2X
2
X
−X +5
puis on élimine le terme de degré 2 en multipliant le dividende par 1 ce qui nous donne
2X 3
−2X 3
+X 2
X2
−X 2
−5X
4X
−X
+5
X2 − 2
2X + 1
+5
+2
−X +7
Le reste de notre division est un polynôme de degré 1 donc de degré strictement inférieur au degré du diviseur
ce qui signifie que notre division est achevée et on a la relation
2X 3 + X 2 − 5X + 5 = (2X + 1)(X 2 − 2) − X + 7
Méthode 2 :
Le théorème précédent assure l’existence de Q et R dans R[X] tels que :
2X 3 + X 2 − 5X + 5 = Q(X)(X 2 − 2) + R(X).
De plus deg(R) < deg(X 2 − 2) = 2, donc R peut s’écrire R(X) = cX + d.
Et 3 = deg(2X 3 + X 2 − 5X + 5) = deg(Q) + deg(B) donc deg(Q) = 1 et Q peut s’écrire Q(X) = aX + b.
Le problème revient donc à déterminer (a, b, c, d) ∈ R4 tels que 2X 3 +X 2 −5X +5 = (aX +b)(X 2 −2)−cX +d.
Par unicité de l’écriture, il suffit de développer le membre de droite et d’identifier coefficient par coefficient.
En fait, la division euclidienne est un outil avant tout théorique, même si il peut être également pratique.
2
Exercices classiques :
1. Soit n ∈ N∗ . Quel est le reste de la division euclidienne de X n par (X − 1) ?
2. Plus généralement, soit a ∈ K et P ∈ K[X]. Quel est le reste de la division euclidienne de P par
(X − a) ?
3. Soit n ∈ N. Quel est le reste de la division euclidienne de X n par (X 2 − 6X + 5) ?
2.2
Divisibilité dans K[X]
Définition
Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K avec B un polynôme non nul.
On dit que B divise A, s’il existe un polynôme C ∈ K[X] tel que A = BC.
Autrement dit, si le reste de la division euclidienne de A par B dans K[X] est nul.
Exercice :
Trouver les diviseurs de (X 2 − 4) dans R[X] et dans C[X], puis trouver les diviseurs de (X 2 + 1) dans R[X]
et dans C[X].
Soit n ∈ N∗ . Montrer que X − 1 divise X n − 1 dans R[X]. (On précisera le quotient).
Propriétés
1. Si B divise A non-nul (dans K[X]) alors deg B ≤ deg A.
2. Un polynôme constant non nul divise n’importe quel polynôme.
3. Si C divise B et si B divise A, alors C divise A (dans K[X]).
Démonstration
1. Si B divise A non-nul, il existe C ∈ K[X] non-nul tel que A = BC. Alors les propriétés sur le degré
donnent : deg(A) = deg(B) + deg(C) ≥ deg(B) puisque deg(C) ≥ 0 (C non-nul).
2. Soit P un polynôme, et Q(X) = c un polynôme constant non-nul.
Alors P (X) = c × [ 1c P (X)] donc c divise P .
3. Par hypothèse, il existe Q1 et Q2 polynômes tels que : B = Q1 C et A = Q2 B d’où A = Q2 B = Q2 Q1 C
et C divise A.
3
Racines
3.1
Dérivées d’un polynôme
Définition
n
P
Soit P (X) =
ak X k ∈ K[X].
k=0
On appelle polynôme dérivé de P et on le note P 0 le polynôme défini dans K[X] par
n
P
P 0 (X) =
kak X k−1 (= nan X n−1 + (n − 1)an−1 X n−2 + ... + 2a2 X + a1 ).
k=1
Remarque
– Lorsque deg(P ) = n, avec n ∈ N∗ , on a deg(P 0 ) = n − 1.
– Le polynôme dérivé d’un polynôme constant est nul.
Dérivées successives
Définition
1. Le polynôme dérivé d’ordre 0 de P , est le polynôme P : P (0) = P .
2. Le polynôme dérivé d’ordre 1 de P est le polynôme dérivé de P : P (1) = P 0
3. Le polynôme dérivé d’ordre 2, noté P 00 ou P (2) , est défini par P (2) = (P 0 )0 .
4. Plus généralement, le polynôme dérivé d’ordre j, noté P (j) , est défini par la relation de récurrence :
P (j) = (P (j−1) )0
3
Exemple : Calculer les dérivées successives de P (X) = X 4 + 2X 2 − 1.
Remarque
Lorsque deg P = n, ∀k > n, P (k) = 0K[X]
Exercice : calculer toutes les dérivées du polynôme X n , pour n ∈ N fixé.
3.2
Racines
Définition
Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. On dit que α est une racine de P si P (α) = 0.
Théorème de D’Alembert-Gauss : admis
Tout polynôme à coefficients complexes et de degré supérieur ou égal à 1 admet au moins une racine complexe.
Attention : le résultat devient faux dans R.
Par exemple P (X) = X 2 + 1 n’admet pas de racines dans R.
Exemple : Soit P (X) = 2X 3 − 2X 2 + X. Montrer que α = 1+i
2 est racine de P .
En déduire sans calcul (en prenant le conjugué) que 1−i
est
racine
de P .
2
Plus généralement on obtient le résultat :
Soit P ∈ R[X] et α ∈ C. Alors α est racine de P ssi ᾱ est racine de P .
Théorème
Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. Alors α est une racine de P ssi (X − α) divise P .
Autrement dit, ssi il existe un polynôme Q non nul tel que P (X) = (X − α)Q(X).
Démonstration
⇐= Si (X − α) divise P , il existe un polynôme Q tel que P (X) = (X − a)Q(X) alors en prenant X = a :
P (a) = (a − a)Q(a) = 0 d’où a racine de P .
=⇒ Supposons a racine de P . La division euclidienne de P par (X − α) donne : il existe un unique couple
de polynômes (Q, R) tel que P (X) = Q(X)(X − a) + R(X) (*) avec R = 0 ou deg(R) < deg(X − a) = 1.
Donc R est un polynôme constant et s’écrit R(X) = c. But : montrer que c = 0.
En X = a, (*) donne P (a) = 0 + c donc c = 0, et on a bien P (X) = Q(X)(X − a) : (X − a) divise P .
Généralisation :
Théorème
Soit p ∈ N∗ et α1 , ..., αp p éléments de K 2 à 2 distincts. Alors
α1 , ..., αp sont p racines de P ssi (X − α1 )(X − α2 )...(X − αp ) divise P .
Démonstration
Se montre par récurrence, le sens ⇐ étant immédiat.
Idée de la preuve ⇒ dans le cas p = 2 : supposons que α1 et α2 sont deux racines distinctes de P . D’après le
théorème précédent, P peut s’écrire P (X) = (X − α1 )Q(X). En X = α2 on obtient :
0 = P (α2 ) = (α2 − α1 )Q(α2 ). Comme α2 − α1 6= 0, on en déduit Q(α2 ) = 0 et α2 racine de Q.
On réapplique le théorème précédent à Q et α2 : Q peut s’écrire Q(X) = (X − α2 )Q̃(X) d’où finalement
P (X) = (X − α1 )Q(X) = (X − α1 )(X − α2 )Q̃(X).
Exemple : Soit P (X) = 2X 2 − 6X + 4.
Montrer que 1 et 2 sont racines. Retrouver la factorisation de P .
Corollaire
Soit P un polynôme de degré n. Alors P possède au plus n racines distinctes.
Par contraposée : un polynôme de degré inférieur ou égal à n admettant n + 1 racines est le polynôme nul.
En particulier, un polynôme qui admet une infinité de racines est le polynôme nul.
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Exercice : Soient P et Q deux polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et tels que
P (0) = Q(0) ; P (1) = Q(1) et P (2) = Q(2). Montrer que P = Q.
3.3
Racines multiples
Définition
Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. On dit que α est une racine d’ordre (de multiplicité) k de P si il existe Q ∈ K[X]
tel que P (X) = (X − α)k Q(X) avec Q(α) 6= 0.
Autrement dit si (X − α)k divise P , mais (X − α)k+1 ne divise plus P .
Cas particuliers :
si k = 1 on dit que α est racine simple de P , et si k = 2, on dit que α est racine double de P .
Remarque
l’ordre de multiplicité d’une racine est inférieure au degré du polynôme.
Bilan : le trinôme à coefficients réels
Racines du polynôme P (X) = aX 2 + bX + c avec a, b, c ∈ R et a 6= 0.
– si ∆ = b2 − 4ac > 0, P admet deux racines réelles simples distinctes r1 et r2 ; et P se factorise dans R
en P (X) = a(X − r1 )(X − r2 ).
– si ∆ = 0, P admet une racine réelle double r ; et P se factorise en P (X) = a(X − r)2 .
– si ∆ < 0, P n’admet aucune racine réelle et P ne se factorise pas dans R. Par contre dans C, P admet
deux racines complexes conjuguées r et r̄ et P se factorise en P (X) = a(X − r)(X − r̄)
Théorème
Soit P ∈ K[X] et α ∈ K.
Alors α est racine d’ordre k de P ssi P (α) = P 0 (α) = ... = P (k−1) (α) = 0 et P (k) (α) 6= 0.
En particulier α est racine simple de P si P (α) = 0 et P 0 (α) 6= 0 et
α est racine double de P si P (α) = 0, P 0 (α) = 0 et P 00 (α) 6= 0 et au moins double si P (α) = 0, P 0 (α) = 0.
−→ la preuve sera vue ultérieurement car elle nécessite la formule de Taylor.
Exemple : Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine 1 pour P (X) = X 2n + nX 2n−1 − (2n + 1)X n + n,
où n ∈ N, n ≥ 2.
4
Exemples de factorisation
Exemple 1 Soit P (X) = X 4 − 3X 3 + X 2 + 3X − 2.
Le polynôme est de degré 4 : afin de se ramener à des polynômes de degré plus petit, on recherche des
racines évidentes (c’est-à-dire 0,1,-1,2,-2 etc).
1. On constate que 1 est racine évidente de P. Calculons les dérivées successives de P évaluées en 1.
P (1) = 0
P 0 (X) = 4X 3 − 9X 2 + 2X + 3
P 00 (X) = 12X 3 − 18X + 2
donc
donc
P 0 (1) = 0
P 00 (1) 6= 0
D’après le théorème 1 est racine d’ordre 2 de P donc il existe un polynôme Q tel que
P (X) = (X − 1)2 Q(X) avec Q(1) 6= 0.
2. Comme deg(P ) = deg((X − 1)2 ) + deg(Q) on obtient deg(Q) = 2 donc Q est de la forme
Q(X) = aX 2 + bX + c.
Puis (X − 1)2 (aX 2 + bX + c) = (X 2 − 2X + 1)(aX 2 + bX + c)
= aX 4 + (b − 2a)X 3 + (c − 2b + a)X 2 + (b − 2c)X + c.
Alors par unicité de l’écriture d’un polynôme,
X 4 − 3X 3 + X 2 + 3X − 2 = aX 4 + (b − 2a)X 3 + (c − 2b + a)X 2 + (b − 2c)X + c
5

a=1





 a=1
 b − 2a = −3
b = −1
c − 2b + a = 1 ⇔
⇔



c = −2
b
−
2c
=
3



c = −2
Finalement, P (X) = (X − 1)2 (X 2 − X − 2).
3. Dernière étape : factorisation du polynôme Q(X) = X 2 − X − 2 (qui est de degré 2 donc on sait faire !)
∆ = 1 + 8 = 9 donc deux racines distinctes −1 et 2 d’où Q(X) = (X − (−1))(X − 2) = (X + 1)(X − 2).
Conclusion : P (X) = (X − 1)2 (X + 1)(X − 2) forme factorisée finale.
Autre méthode : une fois que la racine évidente 1 a été trouvée.
2. On remarque que −1 est une autre racine évidente de P. Les calculs précédents montre que P (−1) = 0
et P 0 (−1) = −12 6= 0 donc −1 est racine simple.
Il existe donc un polynôme Q(X) tel que P (X) = (X − 1)2 (X + 1)Q(X)
3. deg P = deg(X − 1)2 + deg(X + 1) + deg Q donc deg Q = 1 ce qui implique que Q est de la forme
R(X) = aX + b. En développant (de tête !) l’expression P (X) = (X − 1)2 (X + 1)(aX + b), et en
regardant le coefficient de plus haut degré et le terme constant, on a a = 1 et b = −2.
Ainsi P (X) = (X − 1)2 (X + 1)(X − 2).
Exemple 2 : un exemple avec une factorisation ”incomplète” dans R, et complète dans C :
P (X) = X 4 + X 3 − X 2 + X − 2.
Dans R[X], on trouve P (X) = (X − 1)(X + 2)(X 2 + 1) et dans C[X], P (X) = (X − 1)(X + 2)(X − i)(X + i).
Compléments :
Théorème
Un polynôme réel de degré n ∈ N∗ a au plus n racines réelles (comptées avec leur multiplicité).
Un polynôme complexe de degré n ∈ N∗ a exactement n racines complexes comptées avec leur multiplicité.
Définition Un polynôme P est dit irréductible lorsqu’il est non constant et lorsque ses seuls diviseurs sont
les λP , avec λ ∈ K∗ ou les polynômes constants non nuls.
Autrement dit, lorsque ses seuls diviseurs sont de degré 0 ou du degré de P .
Le théorème de D’Alembert Gauss permet d’en déduire que les seuls polynômes irréductibles de C[X] sont
les polynômes de la forme λ(X − α), avec λ ∈ C∗ et α ∈ C.
Donc (par divisions successives), on obtient que tout polynôme de C[X] se décompose (ou se factorise) sous
k
Q
la forme P (X) = λ (X − αi )ri .
i=1
En revanche, dans R[X], les polynômes irréductibles sont de deux formes :
– λ(X − α), avec λ ∈ R∗ et α ∈ R
– λ(X 2 + bX + c) avec λ ∈ R∗ , (b, c) ∈ R2 et ∆ < 0.
Donc tout polynôme de R[X] peut se décomposer sous la forme P (X) = λ
k
Q
(X − αi )ri
i=1
6
l
Q
(X 2 + bj X + cj )sj .
j=1