Corrigé

Anneaux et corps Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 16 mars 2016
Quiz 3
Question 1.
Est-ce que les anneaux Zet Qsont isomorphes ?
Solution.
Non. Par exemple, on a montr´e (S´erie 2, Ex.3.1.) qu’il existe un seul homo-
morphisme de Zdans Q, c’est-`a-dire φ:n7→ n. On a clairement que φn’est pas
surjectif. 
Question 2.
Soit Kun corps. Quelles sont les unit´es de l’anneau K[X] ?
Solution.
Les unit´es de K[X] sont les polynˆomes constants diff´erents de z´ero. En effet, si
P∈K[X] inversible, alors il existe Q∈K[X] tel que P·Q= 1. On a donc que
deg P·Q= deg P+ deg Q= 0, car Kest un corps. Ainsi deg P= 0. Clairement
un polynˆome constant est inversible si et seulement si il est diff´erent de z´ero. 

Anneaux et corps Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 16 mars 2016
S´erie 3
Exercice 1.
Montrer qu’un anneau commutatif Aest un corps si et seulement si les seuls
id´eaux de Asont {0}et A.
Solution.
Soient Aun corps et Iun id´eal de A. Si I6={0}, soit a∈I,a6= 0. On a
1 = a−1.a ∈Iet donc b=b.1∈Ipour tout b∈A. Donc I=A.
Vice versa, soit a∈A− {0}et soit I:= (a) = {b.a |b∈A}l’id´eal engendr´e par
a. On a a∈I, de mani`ere que I6={0}. Alors I=Aet donc 1 ∈I. Ainsi, il existe
b∈Atel que b.a = 1. Par cons´equent, tout ´el´ement de A− {0}est inversible et
Aest donc un corps. 
Exercice 2. (les r´esultats de cet exercice sont `a retenir).
Soient Kun corps et A, B ∈K[X] deux polynˆomes `a coefficients dans K. On
suppose B6= 0. Montrer l’existence et l’unicit´e d’un couple (Q, R)∈K[X]×K[X]
tel que A=QB +Ret tel que l’on ait soit deg(R)<deg(B) soit R= 0.
Les polynˆomes Qet Rsont appel´es respectivement le quotient et le
reste de la division euclidienne de Apar B.
Solution. On proc`ede comme pour la preuve de la division euclidienne dans Z
(voir l’exercice 4. de la S´erie 1 – Th´eorie de groupes), en rempla¸cant la valeur
absolue par le degr´e.
Nous cherchons `a approximer au plus pr`es Apar un multiple de B. Consid´erons
l’ensemble S:= {A−QB :Q∈K[X]}. Comme le degr´e est un entier positif
ou nul, il existe un ´el´ement Rde Sde degr´e minimal. Par d´efinition, il existe
Q∈K[X] tel que R=A−QB. Montrons que (Q, R) est le couple cherch´e. En
effet, supposons que R6= 0 et deg(R)≥deg(B). Ecrivons
B=bnXn+bn−1Xn−1+··· +b0(bi∈K, bn6= 0),
R=an+kXn+k+an+k−1Xn+k−1+··· +a0(ai∈K, an+k6= 0)
pour des entiers n, k ≥0. En posant R0=R−an+k
bnXkBet Q0=Q+an+k bnXk, on
trouve que
deg(R0)<deg(R)
R0=A−Q0B∈S,

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ce qui contredit la minimalit´e de R. Ainsi, deg(R)<deg(B) si R6= 0.
Montrons maintenant qu’un tel couple est unique. Si (Q0, R0)∈K[X]×K[X]
v´erifie les mˆemes conditions, alors on a
B(Q−Q0) = R0−R.
Si Q−Q06= 0, on en d´eduit que
deg(B) + deg(Q−Q0) = deg(R−R0)<deg(B),
(car deg(R),deg(R0)<deg(B)), ce qui est une contradiction. On a donc Q=Q0,
d’o`u R=R0.
Exercice 3.
Soient Kun corps, et P∈K[X] un polynˆome.
(1) Montrer que si Pest de degr´e n, alors Pa au plus nracines dans K.
(2) On suppose Pde degr´e 2 ou 3. Montrer que Pest irr´eductible sur Ksi et
seulement si il n’a pas de racine dans K.
Solution.
(1) Si Pest de degr´e 0 alors il n’a pas de racines.
Soit n≥1. On suppose que tous les polynˆomes de degr´e n−1 ont au
plus n−1 racines dans K. Soit Pde degr´e n. On suppose que Pa des
racines dans K. Soit α∈Kune des racines de P. D’apr`es l’exercice 2.,
on a
P=Q·(X−α) + R
avec R∈K. Mais
0 = P(α) = Q(α)·(α−α) + R= 0 + R
et on a donc P=Q·(X−α). De plus, comme Kest un corps, le degr´e
de Qest n−1. Par hypoth`ese d’induction, Qa au plus n−1 racines. On
conclut en observant que, si β6=αest un racine de P, alors
0 = P(β) = Q(β)·(β−α)
et donc Q(β) = 0 (car Kn’a pas de diviseurs de zero). Ainsi, toutes les
racines de Pdifferentes de αsont racines de Q. En appliquant l’hypoth`ese
de r´ecurrence `a Q, on en d´eduit que Pa au plus n−1 + 1 = nracines.
(2) D’apr`es (1), on a que si Pa une racine, alors il est r´eductible sur K.
Soit Pr´eductible sur K. Alors P=Q·R, avec Qet Rpolynˆomes de
degr´e au moins 1. Si le degr´e de Pest 2 ou 3, forc´ement au moins un des
deux polynˆomes Qou Rest de degr´e 1. On peut supposer sans perte de
g´en´eralit´e que Qest de degr´e exactement 1. Alors P= (αX +β)·Rpour
certain α, β ∈Ket donc −β/α est une racine de P.

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Exercice 4.
Soit Aun anneau commutatif.
Un ´el´ement xde Aest dit nilpotent s’il existe un entier k≥1 tel que xk= 0.
(1) Montrer que l’ensemble des ´el´ements nilpotents de Aest un id´eal de A.
(2) Soit P=a0+a1X+. . . +anXn∈A[X]. Montrer que Pest nilpotent si
et seulement si a0, a1, . . . , ansont nilpotents.
Solution.
(1) Soit Il’ensemble des ´el´ements nilpotents de A. Cet ensemble Iest non
vide puisque 0 ∈I. De plus, Iest
— stable par passage `a l’oppos´e (en effet, si xk= 0, alors (−x)k=
(−1)k(xk) = 0) ;
— stable par l’addition : si x, y ∈I, alors il existe k, l tels que xk= 0 et
yl= 0, et on a donc
(x+y)k+l=
k+l
X
i=0 k+l
ixiyk+l−i=
=
k
X
i=0 k+l
ixiyk−iyl+
k+l
X
i=k+1 k+l
ixkxi−kyk+l−i= 0;
— stable par multiplication par un ´el´ement de A: si x∈Aet a∈A,
alors il existe k≥1 tel que xk= 0 et on a donc (ax)k= (xa)k=
xkak= 0.
(2) Soit Il’id´eal des ´el´ements nilpotents de A[X]. Si a0, a1, . . . , an∈I, alors
clairement P∈I.
Vice versa, si Pest nilpotent, soit kl’entier positif tel que Pk= 0. Claire-
ment ak
0=P(0)k= 0, c’est-`a-dire a0est nilpotent. Supposons que aisoit
nilpotent pour tout i<m, pour un certain m. On consid`ere le coefficient
bmk de Xmk dans Pk. Clairement on a bmk =ak
m+Q, avec tout term
de Qqui contient un certain aiavec i<m. Ainsi, Qest nilpotent, par
hypoth`ese. Mais bmk = 0, parce que Pk= 0. Donc ak
m=−Qest nilpotent
et finalement amest nilpotent. Par r´ecurrence, tout aiest nilpotent.
Exercice 5.
Soit Aun anneau commutatif et M:= M2(A) l’anneau de matrices 2 ×2 `a
coefficients dans A.
(1) Montrer que
R:= a b
2b a
a, b ∈A
est un sous-anneau de M. Est-ce que Rest commutatif ?

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(2) Montrer que si A=Q, alors Rest un corps.
(3) Montrer que si A=Z/3Z, alors Rest un corps de cardinal 9.
Solution.
(1) On a
—0 0
0 0∈Ret 1 0 0 1∈R,
—a b
2b a−c d 2d c=a−c b −d 2(b−d)a−c∈R
—a b
2b a·c d 2d c=ac + 2bd ad +bc 2(ad +bc)ac + 2bd∈R
de mani`ere que (R, +) est un sous-groupe de (M, +), Rest stable pour
la multiplication et l’´el´ement neutre multiplicatif de Mappartient `a R.
Donc Rest un sous-anneau de M. En plus
c d
2d c·a b 2b a=ac + 2bd ad +bc 2(ad +bc)ac + 2bd=a b 2b a·c d 2d c.
Donc Rest commutatif.
(2) On a det a b
2b a=a2−2b2et, si b6= 0, on a a2−2b2= 0 si et seulement
si ∃x∈Qtel que x2= 2, ce qui n’est pas possible, parce que ±√26∈ Q.
Si b= 0, alors a2−2b2= 0 si et seulement si a= 0. Donc tout ´el´ement
a b
2b a6=0 0 0 0est inversible avec inverse
1
a2−2b2a−b
−2b a ,
ce qui implique que Rest un corps (par (1) on a d´ej`a que Rest un anneau
commutatif).
(3) On a a2−2b26= [0]3pour tout (a, b)∈(Z/3Z)2−{[0]3,[0]3}, donc, comme
dans (2), on a que Rest un corps, parce que (Z/3Z)∗=Z/3Z− {[0]3}.
En plus, Ra cardinal 9 = #(Z/3Z)2.