Corrigé

Anneaux et corps
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 4
16 mars 2016
Quiz 3
Question 1.
Est-ce que les anneaux Z et Q sont isomorphes ?
Solution.
Non. Par exemple, on a montré (Série 2, Ex.3.1.) qu’il existe un seul homomorphisme de Z dans Q, c’est-à-dire φ : n 7→ n. On a clairement que φ n’est pas
surjectif.
Question 2.
Soit K un corps. Quelles sont les unités de l’anneau K[X] ?
Solution.
Les unités de K[X] sont les polynômes constants différents de zéro. En effet, si
P ∈ K[X] inversible, alors il existe Q ∈ K[X] tel que P · Q = 1. On a donc que
deg P · Q = deg P + deg Q = 0, car K est un corps. Ainsi deg P = 0. Clairement
un polynôme constant est inversible si et seulement si il est différent de zéro. Anneaux et corps
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 4
16 mars 2016
Série 3
Exercice 1.
Montrer qu’un anneau commutatif A est un corps si et seulement si les seuls
idéaux de A sont {0} et A.
Solution.
Soient A un corps et I un idéal de A. Si I 6= {0}, soit a ∈ I, a 6= 0. On a
1 = a−1 .a ∈ I et donc b = b.1 ∈ I pour tout b ∈ A. Donc I = A.
Vice versa, soit a ∈ A − {0} et soit I := (a) = {b.a | b ∈ A} l’idéal engendré par
a. On a a ∈ I, de manière que I 6= {0}. Alors I = A et donc 1 ∈ I. Ainsi, il existe
b ∈ A tel que b.a = 1. Par conséquent, tout élément de A − {0} est inversible et
A est donc un corps.
Exercice 2. (les résultats de cet exercice sont à retenir).
Soient K un corps et A, B ∈ K[X] deux polynômes à coefficients dans K. On
suppose B 6= 0. Montrer l’existence et l’unicité d’un couple (Q, R) ∈ K[X]×K[X]
tel que A = QB + R et tel que l’on ait soit deg(R) < deg(B) soit R = 0.
Les polynômes Q et R sont appelés respectivement le quotient et le
reste de la division euclidienne de A par B.
Solution. On procède comme pour la preuve de la division euclidienne dans Z
(voir l’exercice 4. de la Série 1 – Théorie de groupes), en remplaçant la valeur
absolue par le degré.
Nous cherchons à approximer au plus près A par un multiple de B. Considérons
l’ensemble S := {A − QB : Q ∈ K[X]}. Comme le degré est un entier positif
ou nul, il existe un élément R de S de degré minimal. Par définition, il existe
Q ∈ K[X] tel que R = A − QB. Montrons que (Q, R) est le couple cherché. En
effet, supposons que R 6= 0 et deg(R) ≥ deg(B). Ecrivons
B = bn X n + bn−1 X n−1 + · · · + b0
(bi ∈ K, bn 6= 0),
R = an+k X n+k + an+k−1 X n+k−1 + · · · + a0
pour des entiers n, k ≥ 0. En posant R0 = R −
trouve que
(ai ∈ K, an+k 6= 0)
an+k
X kB
bn
deg(R0 ) < deg(R)
R0 = A − Q0 B ∈ S,
et Q0 = Q +
an+k
X k,
bn
on
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ce qui contredit la minimalité de R. Ainsi, deg(R) < deg(B) si R 6= 0.
Montrons maintenant qu’un tel couple est unique. Si (Q0 , R0 ) ∈ K[X] × K[X]
vérifie les mêmes conditions, alors on a
B(Q − Q0 ) = R0 − R.
Si Q − Q0 6= 0, on en déduit que
deg(B) + deg(Q − Q0 ) = deg(R − R0 ) < deg(B),
(car deg(R), deg(R0 ) < deg(B)), ce qui est une contradiction. On a donc Q = Q0 ,
d’où R = R0 .
Exercice 3.
Soient K un corps, et P ∈ K[X] un polynôme.
(1) Montrer que si P est de degré n, alors P a au plus n racines dans K.
(2) On suppose P de degré 2 ou 3. Montrer que P est irréductible sur K si et
seulement si il n’a pas de racine dans K.
Solution.
(1) Si P est de degré 0 alors il n’a pas de racines.
Soit n ≥ 1. On suppose que tous les polynômes de degré n − 1 ont au
plus n − 1 racines dans K. Soit P de degré n. On suppose que P a des
racines dans K. Soit α ∈ K une des racines de P . D’après l’exercice 2.,
on a
P = Q · (X − α) + R
avec R ∈ K. Mais
0 = P (α) = Q(α) · (α − α) + R = 0 + R
et on a donc P = Q · (X − α). De plus, comme K est un corps, le degré
de Q est n − 1. Par hypothèse d’induction, Q a au plus n − 1 racines. On
conclut en observant que, si β 6= α est un racine de P , alors
0 = P (β) = Q(β) · (β − α)
et donc Q(β) = 0 (car K n’a pas de diviseurs de zero). Ainsi, toutes les
racines de P differentes de α sont racines de Q. En appliquant l’hypothèse
de récurrence à Q, on en déduit que P a au plus n − 1 + 1 = n racines.
(2) D’après (1), on a que si P a une racine, alors il est réductible sur K.
Soit P réductible sur K. Alors P = Q · R, avec Q et R polynômes de
degré au moins 1. Si le degré de P est 2 ou 3, forcément au moins un des
deux polynômes Q ou R est de degré 1. On peut supposer sans perte de
généralité que Q est de degré exactement 1. Alors P = (αX + β) · R pour
certain α, β ∈ K et donc −β/α est une racine de P .
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Exercice 4.
Soit A un anneau commutatif.
Un élément x de A est dit nilpotent s’il existe un entier k ≥ 1 tel que xk = 0.
(1) Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents de A est un idéal de A.
(2) Soit P = a0 + a1 X + . . . + an X n ∈ A[X]. Montrer que P est nilpotent si
et seulement si a0 , a1 , . . . , an sont nilpotents.
Solution.
(1) Soit I l’ensemble des éléments nilpotents de A. Cet ensemble I est non
vide puisque 0 ∈ I. De plus, I est
— stable par passage à l’opposé (en effet, si xk = 0, alors (−x)k =
(−1)k (xk ) = 0) ;
— stable par l’addition : si x, y ∈ I, alors il existe k, l tels que xk = 0 et
y l = 0, et on a donc
k+l X
k+l
k+l
(x + y) =
xi y k+l−i =
i
i=0
=
k X
i=0
k+l
i
k+l X
k+l
y +
xk xi−k y k+l−i = 0;
i
i k−i l
xy
i=k+1
— stable par multiplication par un élément de A : si x ∈ A et a ∈ A,
alors il existe k ≥ 1 tel que xk = 0 et on a donc (ax)k = (xa)k =
xk ak = 0.
(2) Soit I l’idéal des éléments nilpotents de A[X]. Si a0 , a1 , . . . , an ∈ I, alors
clairement P ∈ I.
Vice versa, si P est nilpotent, soit k l’entier positif tel que P k = 0. Clairement ak0 = P (0)k = 0, c’est-à-dire a0 est nilpotent. Supposons que ai soit
nilpotent pour tout i < m, pour un certain m. On considère le coefficient
bmk de X mk dans P k . Clairement on a bmk = akm + Q, avec tout term
de Q qui contient un certain ai avec i < m. Ainsi, Q est nilpotent, par
hypothèse. Mais bmk = 0, parce que P k = 0. Donc akm = −Q est nilpotent
et finalement am est nilpotent. Par récurrence, tout ai est nilpotent.
Exercice 5.
Soit A un anneau commutatif et M := M2 (A) l’anneau de matrices 2 × 2 à
coefficients dans A.
(1) Montrer que
a b R :=
a, b ∈ A
2b a est un sous-anneau de M . Est-ce que R est commutatif ?
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(2) Montrer que si A = Q, alors R est un corps.
(3) Montrer que si A = Z/3Z, alors R est un corps de cardinal 9.
Solution.
(1) On a
0
—
0
a
—
2b
a
—
2b
1 0
∈ R et
∈ R,
0 1
b
c d
a−c b−d
−
=
∈R
a
2d c
2(b − d) a − c
b
c d
ac + 2bd ad + bc
·
=
∈R
a
2d c
2(ad + bc) ac + 2bd
0
0
de manière que (R, +) est un sous-groupe de (M, +), R est stable pour
la multiplication et l’élément neutre multiplicatif de M appartient à R.
Donc R est un sous-anneau de M . En plus
c d
a b
ac + 2bd ad + bc
a b
c d
·
=
=
·
.
2d c
2b a
2(ad + bc) ac + 2bd
2b a
2d c
Donc R est
commutatif.
a b
(2) On a det
= a2 − 2b2 et, si b 6= 0, on a a2 − 2b2 = 0 si et seulement
2b a
√
si ∃x ∈ Q tel que x2 = 2, ce qui n’est pas possible, parce que ± 2 6∈ Q.
2
Si
0, alors
− 2b2 = 0 si et seulement si a = 0. Donc tout élément
b=
a a b
0 0
6=
est inversible avec inverse
2b a
0 0
1
a −b
,
a2 − 2b2 −2b a
ce qui implique que R est un corps (par (1) on a déjà que R est un anneau
commutatif).
(3) On a a2 − 2b2 6= [0]3 pour tout (a, b) ∈ (Z/3Z)2 − {[0]3 , [0]3 }, donc, comme
dans (2), on a que R est un corps, parce que (Z/3Z)∗ = Z/3Z − {[0]3 }.
En plus, R a cardinal 9 = #(Z/3Z)2 .