Lois de probabilités continues

Lois de probabilité continues
Lois à densité sur un intervalle
𝐿𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑙é𝑎𝑡𝑜𝑖𝑟𝑒𝑠 é𝑡𝑢𝑑𝑖é𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖è𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑖𝑠𝑎𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑟 𝑢𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠 𝛺 = {𝜔 ; 𝜔 ; … ; 𝜔 } fini muni d’une loi de probabilité P qui attribuait à chaque issue 𝜔 sa
𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑃(𝜔 ) 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑃(𝜔 ) ≥ 0 𝑒𝑡 ∑
𝑃(𝜔 ) = 1.
Toute variable aléatoire définie sur Ω ne prenait qu’un nombre fini de valeurs.
On s’intéresse maintenant à des univers qui contiennent une infinité d’issues, par exemple toutes valeurs
dans l’intervalle [0 ; 1]. Les variables aléatoires utilisées sur ces univers prennent toutes valeurs dans un
intervalle donné.
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 1
Définition – Densité de probabilité
On appelle densité de probabilité sur un intervalle 𝐼 de ℝ,
toute fonction 𝑓 continue, positive sur 𝐼 et telle que l’aire sous la courbe 𝐶 est égale à 1 u.a.
Ainsi toute fonction 𝑓 continue, positive sur 𝐼 est une
densité de probabilité si: ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 𝑠𝑖 𝐼 = [𝑎; 𝑏]
où lim
→
f(t)dt = 1 si I = [a; +∞[
Définition – Loi à densité
Soit 𝑓 une densité de probabilité sur un intervalle 𝐼.
Dire qu’une variable aléatoire 𝑋 suit la loi de densité 𝑓 signifie qu’à tout intervalle 𝐽 inclus dans 𝐼, on
associe la probabilité 𝑃(𝑋 ∈ 𝐽) = 𝑎𝑖𝑟𝑒𝐷 où 𝐷 est le domaine de l’aire sous la courbe 𝐶 sur
l’intervalle 𝐽.
Conséquences

Pour tout nombre réel 𝑐 ∈ 𝐼, 𝑃(𝑋 = 𝑐) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 0

Si 𝐽 = [𝑐; 𝑑], 𝑃(𝑋 ∈ 𝐽) = 𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 (Aire sous la courbe délimitée par
{𝑀(𝑥; 𝑦)/ 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 et 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}).

𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) = 𝑃(𝑐 < 𝑋 ≤ 𝑑) = 𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 < 𝑑) = 𝑃(𝑐 < 𝑋 < 𝑑)
Propriétés
Les propriétés des probabilités rencontrées dans le cas discret s’étendent au cas continu. Ainsi :

𝑃(𝑋 ∉ 𝐽) = 1 − 𝑃(𝑋 ∈ 𝐽) (Complémentaire).
En particulier, si 𝐼 = [𝑎; +∞[ et si 𝑐 > 𝑎 alors 𝑃(𝑋 > 𝑐) = 1 − 𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑐) = 1 − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

Si 𝐽 et 𝐾 sont deux intervalles inclus dans 𝐼,
alors 𝑃(𝑋 ∈ 𝐽 ∪ 𝐾) = 𝑃(𝑋 ∈ 𝐽) + 𝑃(𝑋 ∈ 𝐾) − 𝑃(𝑋 ∈ 𝐽 ∩ 𝐾)

Si 𝑃(𝑋 ∈ 𝐽) ≠ 0, alors 𝑃
∈
(𝑋 ∈ 𝐾) =
( ∈ ∩ )
( ∈ )
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𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) =
𝑃(𝑋 > 𝑐) = 1 − 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑐) = 1 −
𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑓(𝑡)𝑑𝑡
Exemple
𝑓 est la fonction définie sur l’intervalle [0; 4] par la
courbe ci-contre :
1) Vérifier que l’aire, en unité d’aire du domaine coloré est égale à 1. Que peut-on en déduire pour 𝑓 ?
2) 𝑋 est une variable aléatoire continue à valeurs dans
[0; 4] dont la loi de probabilité a pour densité 𝑓.
a) Calculer 𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 2)
b) Calculer 𝑃
(1,5 ≤ 𝑋 ≤ 2,5)
Définition – Espérance mathématique
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire 𝑋 dont la densité de probabilité 𝑓 est définie sur
un intervalle fermé [𝑎; 𝑏] est 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Remarque
Cette définition prolonge au cadre continu la définition donnée de l’espérance d’une variable aléatoire discrète.
Loi uniforme sur [𝒂; 𝒃]
La loi uniforme est la loi de phénomènes continus uniformément répartis sur un intervalle.
Définition
Une variable aléatoire 𝑋 suit une loi uniforme sur l’intervalle [𝑎; 𝑏], avec 𝑎 < 𝑏, lorsque sa densité de probabilité 𝑓 est une
fonction constante sur [𝑎; 𝑏].
Propriété
La densité de probabilité de la loi uniforme sur [𝑎; 𝑏] est la
fonction définie sur [𝑎; 𝑏] par 𝑓(𝑥) =
.
Preuve
La densité de probabilité 𝑓 de la loi uniforme sur [𝑎; 𝑏] est une
fonction constante.
Posons 𝑓(𝑥) = 𝜆.
On doit avoir ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 soit ∫ 𝜆𝑑𝑥 = 1 ⟺ 𝜆𝑏 − 𝜆𝑎 = 1 ⟺ 𝜆 =
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.
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Remarques
1. Si l’on choisit au hasard un nombre dans l’intervalle 𝐼 = [𝑎; 𝑏], la probabilité que ce nombre soit
dans l’intervalle 𝐽 ⊂ 𝐼 est le quotient da la longueur 𝐽 par celle de 𝐼.
En effet, pour tout intervalle 𝐽 = [𝛼; 𝛽] ⊂ [𝑎; 𝑏] = 𝐼, 𝑃(𝑋 ∈ 𝐽) = ∫
𝑑𝑡 =
=
2. Si deux intervalles 𝐽 et 𝐾 ont la même longueur alors 𝑃(𝑋 ∈ 𝐽) = 𝑃(𝑋 ∈ 𝐾).
D’où le nom de loi uniforme.
Exemple
On choisit un nombre au hasard dans l’intervalle [0; 5].
Par définition la variable aléatoire 𝑋 qui indique le nombre choisi suit la loi uniforme sur [0; 5].
𝑃(𝑋 = 2) = 0 ; 𝑃(𝑋 > 3) =
= ; 𝑃(1 ≤ 𝑋 < 4) =
=
Propriété – Espérance mathématique
Soit 𝑋 une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [𝑎; 𝑏].
Alors son espérance est 𝐸(𝑋) =
Preuve
𝐸(𝑋) = ∫
𝑑𝑡 =
=
×
=
×
(
)(
)
=
Exemples d’utilisation de la loi uniforme
1) Jeanne a dit qu’elle passerait chez Jean entre 18h et 20h30. Quelle est la probabilité qu’elle arrive pendant qu’il mange entre 19h et 19h30 ?
On note 𝑋 la variable aléatoire égale à l’heure d’arrivée de Jeanne chez Jean. Elle prend ses valeurs
dans l’intervalle [18; 20,5]. 𝑋 suit une loi uniforme sur [18; 20,5].
19,5 − 19
𝑃(19 ≤ 𝑋 ≤ 19,5) =
= 0,2
20,5 − 18
La probabilité que Jeanne arrive pendant le repas est .
2) Un feu tricolore reste 55 secondes au vert, 5 secondes à l’orange et 60 secondes au rouge. Un piéton ne peut traverser que lorsque le feu est rouge. A 8h00, le feu passe au rouge.
On s’intéresse aux piétons qui se présentent entre 8h00 et 8h05. 𝑇 est la variable aléatoire qui donne,
en seconde, le temps écoulé de 8h00 jusqu’à l’heure d’arrivée devant le feu d’un piéton désirant traverser. On suppose que 𝑇 suit la loi uniforme [0; 300].
On veut calculer la probabilité qu’un piéton attende moins de 10 secondes puis plus de 20 secondes.
a) Faire un schéma illustrant la succession des feux.
b) Pour une attente de moins de 10 secondes, dans quels intervalles de temps doit se situer T ?
Une attente de moins de 10 secondes signifie que 𝑇 ∈ [0; 60] ou 𝑇 ∈ ]110; 180] ou 𝑇 ∈ ]230; 300].
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En déduire la probabilité que l’attente ne dépasse pas 10 secondes.
Les évènements 𝑇 ∈ [0; 60], 𝑇 ∈ ]110; 180], 𝑇 ∈ ]230; 300] sont deux à deux disjoints donc
𝑃(𝑇 ∈ [0; 60] ∪ ]110; 180] ∪ ]230; 300]) = 𝑃(𝑇 ∈ [0; 60]) + 𝑃(𝑇 ∈ ]110; 180]) + 𝑃(𝑇 ∈ ]230; 300])
𝑃(𝑇 ∈ [0; 60] ∪ ]110; 180] ∪ ]230; 300]) =
+
+
=
c) Calculer la probabilité que l’attente dure plus de 20 secondes.
Une attente de plus de 20 secondes signifie que 𝑇 ∈ ]60; 100[ ou 𝑇 ∈ ]180; 220[.
Ces évènements sont deux à deux disjoints donc
𝑃(𝑇 ∈ ]60; 100[ ∪]180; 220[) = 𝑃(𝑇 ∈ ]60; 100[) + 𝑃(𝑇 ∈ ]180; 220[) =
+
=
3) La fonction Rand ou NbrAléat sur TI ou Ran# sur Casio d’une calculatrice donne un nombre au
« hasard » dans l’intervalle [0; 1[. Ce nombre aléatoire suit la loi uniforme 𝑋 sur [0; 1[. Par exemple la
probabilité que 𝑋 ∈ 0;
est . Plus généralement, si 𝑎 et 𝑏 sont deux nombres tels que 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 < 1,
la probabilité que 𝑋 ∈ [𝑎; 𝑏] est 𝑏 − 𝑎.
a) Calculer 𝑃(0,54 ≤ 𝑋 ≤ 0,62)
𝑃(0,54 ≤ 𝑋 ≤ 0,62) = 0,62 − 0,54 = 0,08
b) Sachant que 𝑋 < 0,3, quelle est la probabilité de l’évènement 𝐴 : « son chiffre des centièmes est 1 ».
Les nombres inférieurs à 0,3 dont le chiffre des centièmes est 1 sont dans les intervalles [0,01; 0,02[ ou
[0,11; 0,12[ ou [0,21; 0,22[.
(0,02 − 0,01) + (0,12 − 0,11) + (0,22 − 0,21) 3 × 0,01
1
𝑃 , (𝐴) =
=
=
0,3 − 0
0,3
10
c) Calculer l’espérance de 𝑋.
0+1 1
𝐸(𝑋) =
=
2
2
Lois exponentielles
La plupart des phénomènes naturels sont soumis au processus de vieillissement. Par exemple, la durée de
vie des êtres humains : la probabilité de vivre 40 ans pour un enfant à la naissance est de l’ordre de 0,98. La probabilité pour une personne de 50 ans de vivre encore 40 ans est environ égale à 0,65.
Il existe des phénomènes où il n'y a pas de vieillissement ou d'usure. Dans la pratique, ils relèvent
d'événements survenant accidentellement et/ou de façon brutale.
L’absence de « mémoire » ou de vieillissement se traduit par le fait qu’un phénomène a autant de chances de se produire sur un laps de temps donné après l’instant 𝑡 qu’après l’instant ℎ. La probabilité
qu’il survienne aujourd’hui sachant qu’on l’attend depuis un siècle est la même que si on l’attendait depuis un jour.
Les lois exponentielles modélisent ces phénomènes dont la durée de vie n’est pas affectée par l’âge, par
exemple la durée de vie d’un noyau radioactif ou d’un composant électronique.
Définition
𝜆 désigne un nombre réel strictement positif.
Une variable aléatoire 𝑇 suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆 lorsque sa densité de probabilité est
la fonction 𝑓 définie sur [0; +∞[ par 𝑓(𝑡) = 𝜆𝑒 .
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Remarque
La fonction 𝑓 définie sur [0; +∞[ par
𝑓(𝑡) = 𝜆𝑒
est bien une densité de probabilité
sur [0; +∞[ :
𝑓 est continue et positive sur [0; +∞[ et si
𝑡 > 0, ∫ 𝜆𝑒
𝑑𝑥 = −𝑒
= 1−𝑒
.
Or, lorsque 𝑡 tend vers +∞, 𝜆𝑡 aussi et donc 𝑒
tend vers 0. On a donc
∞
lim
𝜆𝑒
→ ∞
𝑑𝑥 =
𝜆𝑒
𝑑𝑥 = 1
Propriétés
Pour tous nombres réels 𝑎 et 𝑏 tels que
0≤𝑎 ≤𝑏:
𝑃(𝑇 ≤ 𝑎) =
𝜆𝑒
𝑑𝑡 = −𝑒
= 1−𝑒
𝑃(𝑇 > 𝑎) = 1 − 𝑃(𝑡 ≤ 𝑎) = 𝑒
𝑃(𝑎 ≤ 𝑇 ≤ 𝑏) = 𝑒
−𝑒
Théorème (Propriété de perte de mémoire)
Pour tous nombres réels positifs 𝑡 et ℎ,
(𝑇 ≥ 𝑡 + ℎ) = 𝑃(𝑇 ≥ ℎ).
𝑃
La durée de vie 𝑇 sur un laps de temps ℎ, ne dépend pas de l’âge 𝑡 à partir duquel on considère cet
évènement.
Preuve
Pour tous nombres réels positifs 𝑡 et ℎ,
[(
(𝑇 ≥ 𝑡 + ℎ) =
𝑃
)∩(
)]
(
)
=
(
)
(
)
=
(
)
=𝑒
= 𝑃(𝑇 ≥ ℎ).
Proposition – Espérance mathématique
L’espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre 𝜆 est 𝐸(𝑇) = .
Preuve (Exigible)
Pour tout nombre réel positif 𝑡, on calcule ∫ 𝜆𝑥𝑒
La fonction 𝑔: 𝑥 ⟼ 𝜆𝑥𝑒
dérivable sur [0; +∞[.
𝜆𝑥𝑒
lim
→
𝑑𝑥 = −𝑥𝑒
𝑒
𝜆
est le produit des fonctions dérivables 𝐼𝑑: 𝑥 ⟼ 𝑥 et 𝑥 ⟼ 𝜆𝑒
−
= 0 et lim −𝑡𝑒
→
𝑑𝑥.
−𝑒
𝑑𝑥 = −𝑡𝑒
+ −
𝑒
𝜆
= −𝑡𝑒
−
𝑒
𝜆
+
. Donc 𝑔 est
1
𝜆
1
−𝜆𝑡𝑒
→
𝜆
On pose 𝑋 = −𝜆𝑡. Alors lim 𝑋 = −∞ et = lim
→
lim 𝑋𝑒 = 0 (𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟é𝑒𝑠)
→
On a donc lim
→
𝜆𝑥𝑒
𝑑𝑥 = 𝐸(𝑇) =
1
𝜆
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Remarque
On admet que les variables aléatoires qui suivent une loi exponentielle sont les seules variables
aléatoires à densité sans vieillissement.
Exemple d’utilisation de la loi exponentielle
La durée de vie d’une ampoule d’un certain modèle peut être modélisée par une variable aléatoire 𝑇
qui suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆 où 𝜆 est un réel strictement positif.
Que vaut 𝜆 sachant que 𝑃(𝑇 ≤ 1000) = 0,3 ?
𝑃(𝑋 ≤ 1000) = 1 − 𝑒
= 0,3 d’où 𝑒
= 0,7
𝑙𝑛0,7
𝑒
= 0,7 ⟺ −1000𝜆 = 𝑙𝑛0,7 ⟺ 𝜆 =
≃ 0,000356
−1000
Sachant que l’évènement (𝑇 > 1000) est réalisé, déterminer la probabilité de l’évènement (𝑇 > 3000).
On sait que pour tous nombres réels positifs 𝑡 et ℎ, 𝑃 (𝑇 ≥ 𝑡 + ℎ) = 𝑃(𝑇 ≥ ℎ).
On remarque que 3000 = 1000 + 2000, d’où en prenant 𝑡 = 1000 et ℎ = 2000
(𝑇 > 3000) = 𝑃(𝑇 > 2000) = 𝑒
𝑃
≃ 0,49
Démontrer que, pour tout réel 𝑡 ≥ 0 et ℎ ≥ 0, 𝑃 (𝑇 ≤ 𝑡 + ℎ) = 𝑃(𝑇 ≤ ℎ)
Pour tous nombres réels positifs 𝑡 et ℎ, on a :
𝑃 (𝑇 ≤ 𝑡 + ℎ) = 1 − 𝑃 (𝑇 > 𝑡 + ℎ) = 1 − 𝑃(𝑇 > ℎ) = 𝑃(𝑇 ≤ ℎ)
Sachant qu’une ampoule a fonctionné 3000 heures, quelle est la probabilité qu’elle tombe en panne avant 4500 heures ?
(𝑇 ≤ 4500) = 𝑃(𝑇 ≤ 1500) = 1 − 𝑒
𝑃
≃ 0,41
Déterminer la durée de vie moyenne d’une ampoule de ce modèle (on arrondira à l’heure près)
La durée de vie moyenne est égale à l’espérance de 𝑇, c’est-à-dire ≃
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,
soit environ 2808.
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