VRAI ou FAUX ? 1. La fonction f définie par f(x)=6x(1 − x) lorsque x

VRAI ou FAUX ?
1. La fonction fdéfinie par f(x)=6x(1 −x)lorsque x∈[0; 1] et f(x)=0
si x /∈[0; 1] est une densité de probabilité sur R.
VRAI
Il s’agit de vérifier que Z1
0
f(x)dx = 1
Z1
0
6x−6x2dx = [3x2−2x3]1
0= 1
2. On choisit au hasard un nombre réel xdans l’intervalle [1; 10[.Alors :
(a) La probabilité que xsoit compris entre 2 et 5 est égale à 1
3.
Il s’agit d’une loi uniforme sur un intervalle de longueur 9
VRAI
L’intervalle entre 2 et 5 a pour longueur 3, la probabilité est bien 3
9
(b) La probabilité que la partie entière de xsoit égale à 3 est égale à 0,1.
FAUX
Il n’y a que 9 parties entières possibles (de 1 à 9) et, selon la loi
uniforme, la probabilité d’obtenir l’une d’entre elles est 1
9.
(c) Les événements "x=π" et "xest un entier" ont même probabilité.
VRAI
En cas de loi uniforme, l’obtention d’un nombre particulier, qu’il soit
πou un nombre entier, a pour probabilité 0.
3. La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ= 1. Alors :
(a) Pour t∈R+,P(X≤t) = Zt
0
exdx
FAUX
P(X≤t) = Zt
0
1×e−1×xdx
(b) P(X≥1) = 1
e.
VRAI
P(X≥1) = Z+∞
1
e−xdx = [−e−x]+∞
1=e−1=1
e
car lim
x→+∞
−e−x= 0.
1G.Gremillot

(c) P(X≥2) ×P(X≥5) = P(X≥10)
FAUX
De même que dans la question précédente,
P(X≥2) = e−2et P(X≥5) = e−5donnent
P(X≥2) ×P(X≥5) = e−7alors que P(X≥10) = e−10
4. La variable aléatoire Y modélise le temps d’attente, en minutes, à la caisse
d’un supermarché ; elle suit la loi exponentielle de paramètre 0,1. Alors :
(a) La densité de probabilité de Y est la fonction définie sur [0; +∞[par
f(t) = e−0,1t.
FAUX
f(t) = 0,1e−0,1t.
(b) La probabilité d’attendre moins de trois minutes à cette caisse est, à
0,01 près, égale à 0,26.
VRAI
P(Y≤3) = Z3
0
0,1e−0,1tdt = [−e−0,1t]3
0= 1 −e−0,3≈0,26.
(c) Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit
supérieure à 7 minutes.
FAUX
P(X≥7) = Z+∞
7
0,1e−0,1tdt =e−0,7≈0,497
2G.Gremillot