VRAI ou FAUX ? 1. La fonction f définie par f(x)=6x(1 − x) lorsque x

VRAI ou FAUX ?
1. La fonction f définie par f (x) = 6x(1 − x) lorsque x ∈ [0; 1] et f (x) = 0
si x ∈
/ [0; 1] est une densité de probabilité sur R.
VRAI
Z
1
f (x) dx = 1
Il s’agit de vérifier que
0
Z
1
6x − 6x2 dx = [3x2 − 2x3 ]10 = 1
0
2. On choisit au hasard un nombre réel x dans l’intervalle [1; 10[.Alors :
1
.
3
Il s’agit d’une loi uniforme sur un intervalle de longueur 9
(a) La probabilité que x soit compris entre 2 et 5 est égale à
VRAI
3
9
(b) La probabilité que la partie entière de x soit égale à 3 est égale à 0,1.
L’intervalle entre 2 et 5 a pour longueur 3, la probabilité est bien
FAUX
Il n’y a que 9 parties entières possibles (de 1 à 9) et, selon la loi
1
uniforme, la probabilité d’obtenir l’une d’entre elles est .
9
(c) Les événements "x = π" et "x est un entier" ont même probabilité.
VRAI
En cas de loi uniforme, l’obtention d’un nombre particulier, qu’il soit
π ou un nombre entier, a pour probabilité 0.
3. La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ = 1. Alors :
Z t
(a) Pour t ∈ R+ , P (X ≤ t) =
ex dx
0
FAUX
t
Z
1 × e−1×x dx
P (X ≤ t) =
0
(b) P (X ≥ 1) =
1
.
e
VRAI
Z
P (X ≥ 1) =
+∞
e−x dx = [−e−x ]+∞
= e−1 =
1
1
1
e
car lim −e−x = 0.
x→+∞
1
G.Gremillot
(c) P (X ≥ 2) × P (X ≥ 5) = P (X ≥ 10)
FAUX
De même que dans la question précédente,
P (X ≥ 2) = e−2 et P (X ≥ 5) = e−5 donnent
P (X ≥ 2) × P (X ≥ 5) = e−7 alors que P (X ≥ 10) = e−10
4. La variable aléatoire Y modélise le temps d’attente, en minutes, à la caisse
d’un supermarché ; elle suit la loi exponentielle de paramètre 0,1. Alors :
(a) La densité de probabilité de Y est la fonction définie sur [0; +∞[ par
f (t) = e−0,1t .
FAUX
f (t) = 0, 1e−0,1t .
(b) La probabilité d’attendre moins de trois minutes à cette caisse est, à
0,01 près, égale à 0,26.
VRAI
3
Z
0, 1e−0,1t dt = [−e−0,1t ]30 = 1 − e−0,3 ≈ 0, 26.
P (Y ≤ 3) =
0
(c) Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit
supérieure à 7 minutes.
FAUX
Z
P (X ≥ 7) =
+∞
0, 1e−0,1t dt = e−0,7 ≈ 0, 497
7
2
G.Gremillot