Chapitre 13 Arithmétique dans Z

Chapitre 13 Arithmétique dans Z
I - Divisibilité
I.1 - Diviseurs, Multiples
Définition 1 (Diviseur, Multiple).
Soient (a, b) ∈ Z2 . L'entier a est un diviseur de b, noté a|b, s'il existe un entier k tel que b = ka.
L'entier b est alors un multiple de a.
Notation.
Pour tout entier naturel a, D(a) désigne l'ensemble des diviseurs de a.
Pour tout entier naturel a, M (a) = aZ désigne l'ensemble des multiples de a.
Propriété 1.
Soit (a, b, u, v, d) ∈ Z5 .
(i). (b|a et a|b) ⇔ (|a| = |b|).
(ii). Si d|a et d|b, alors d|(au + bv).
Exercice 1.
1. La relation binaire | est-elle une relation d'ordre sur Z ? sur N ?
2. En utilisant les congruences, retrouver les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9, 11.
Définition 2 (pgcd, ppcm sur N).
(i). Soit (a, b) ∈ N2 \{(0, 0)}. L'ensemble D(a) ∩ D(b) possède un plus grand élément, noté
a ∧ b. Cet entier est le plus grand commun diviseur de a et b.
(ii). Soit (a, b) ∈ (N? )2 . L'ensemble M (a) ∩ M (b) ∩ N? possède un plus petit élément, noté
a ∨ b. Cet entier est le plus petit commun multiple de a et b.
Notations.
Par convention, on pose 0 ∧ 0 = 0 et a ∨ 0 = 0.
Propriétés 2.
Soit (a, b) ∈ N2 \{(0, 0)}.
(i). a ∧ b = b ∧ a.
(ii). Si d = a ∧ b, alors d|a et d|b.
Soit (a, b) ∈ (N? )2 .
(i). a ∨ b = b ∨ a.
(ii). Si m = a ∨ b, alors a|m et b|m.
Définition 3 (Généralisation).
Soit (a, b) ∈ Z2 .
(i). a ∧ b = |a| ∧ |b|.
(ii). a ∨ b = |a| ∨ |b|.
I.2 - Division euclidienne
Théorème 1 (Division euclidienne).
Soient a ∈ Z et b ∈ N? . Il existe un unique couple d'entiers relatifs (q, r) tels que
a = bq + r et 0 6 r < b.
∗ q est appelé le
∗ r est appelé le
Stanislas
quotient de la division euclidienne de a par b.
reste de la division euclidienne de a par b.
A. Camanes
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MPSI 1
Exercice 2. Montrer que, si G est un sous-groupe de Z, alors il existe p ∈ N tel que G = pZ.
Théorème 2 (Numération).
Soit b un entier naturel supérieur ou égal à 2. Pour tout entier naturel x non nul, il existe un
p
P
xk bk et xp =
6 0. L'écriture
unique entier naturel p et (x0 , . . . , xp ) ∈ J0, b−1Kp+1 tels que x =
xp · · · x0 b est l'écriture de l'entier x en
k=0
base m.
Exercice 3.
1. Déterminer l'écriture de 364 en base 2.
2. Décrire l'algorithme d'exponentiation rapide.
II - Algorithme d'Euclide
II.1 - Plus grand diviseur commun et Plus petit commun multiple
Théorème 3 (Algorithme d’Euclide).
Soient (a, b) ∈ Z × N? et r le reste de la division euclidienne de a par b. Alors,
D(a) ∩ D(b) = D(b) ∩ D(r).
Exercice 4. Déterminer 519 ∧ 204.
Propriétés 3.
Soient (a, b) ∈ Z2 et k ∈ N.
(i). D(a ∧ b) = D(a) ∩ D(b).
(ii). (ka) ∧ (kb) = k(a ∧ b).
(iii). M (a ∨ b) = M (a) ∩ M (b).
(iv). (ka) ∨ (kb) = k(a ∨ b).
Corollaire 4.
Soit (a, b) ∈ (Z? )2 . Il existe (a0 , b0 ) ∈ Z2 et k ∈ N tels que
a = ka0 , b = kb0 et a0 ∧ b0 = 1.
Corollaire 5 (Fractions).
Soit r ∈ Q? . Il existe un unique couple (p, q) ∈ Z? × N? tel que r =
est appelé le représentant irréductible de r.
p
q
et p ∧ q = 1. Ce couple
II.2 - Théorèmes de Bézout et Gauss
Théorème 6.
Soient (a, b) ∈ (Z? )2 et d = a ∧ b. Il existe deux entiers u, v tels que d = au + bv . De plus,
{am + bn, (m, n) ∈ Z2 } = dZ.
Exercice 5. Déterminer deux entiers u et v tels que 519u + 204v = 3.
Définition 4 (Premiers entre eux).
Soit (a, b) ∈ Z2 . Les entiers a et b sont
premiers entre eux si a ∧ b = 1.
Théorème 7 (Bézout).
Soit (a, b) ∈ Z2 . a ∧ b = 1 si et seulement s'il existe m, n ∈ Z tels que 1 = ma + nb.
Stanislas
A. Camanes
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Exercice 6. Soit n ∈ N. Montrer que n et n + 1 sont premiers entre eux.
Théorème 8 (Gauss).
Soit (a, b, c) ∈ Z3 . Si a|bc et a ∧ c = 1, alors a|b.
Exercice 7. Déterminer l'ensemble des entiers tels que 519u + 204v = 3.
Théorème 9 (Lien pgcd et ppcm).
Soit (a, b) ∈ Z2 .
(a ∧ b) · (a ∨ b) = |ab|.
II.3 - Plus grand commun diviseur de plusieurs entiers
Notations.
n désigne un entier naturel supérieur à 2.
a1 , . . . , an désignent des entiers relatifs.
Propriétés 4 (Associativité).
Soit (a, b, c) ∈ Z3 .
(i). a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c.
(ii). a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c.
Définition 5 (pgcd, ppcm d’une famille d’entiers).
plus grand commun diviseur des entiers a1 , . . . , an .
(ii). L'entier a1 ∨ · · · ∨ an est le plus petit commun multiple des entiers a1 , . . . , an .
(i). L'entier a1 ∧ · · · ∧ an est le
Exercice 8. Calculer le pgcd et le ppcm de la famille 6, 10, 15 puis le produit de ces entiers.
Propriété 5.
Soit k ∈ N? .
(i). (ka1 ) ∧ · · · ∧ (kan ) = k(a1 ∧ · · · ∧ an ).
(ii). (ka1 ) ∨ · · · ∨ (kan ) = k(a1 ∨ · · · ∨ an ).
Théorème 10 (Relation de Bézout).
Si d est le pgcd de a1 , . . . , an , alors il existe des entiers relatifs u1 , . . . , un tels que a1 u1 + · · · +
an un = d.
Définition 6 (Entiers premiers entre eux dans leur ensemble).
Si le pgcd de a1 , . . . , an vaut 1, alors ces entiers sont premiers
entre eux dans leur ensemble .
Exercice 9. Montrer que 6, 10, 15 sont premiers entre eux dans leur ensemble.
Théorème 11 (Relation de Bézout).
a1 , . . . , an sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement s'il existe des entiers
relatifs u1 , . . . , un tels que a1 u1 + · · · + an un = 1.
III - Nombres premiers
III.1 - Dénition
Définition 7 (Nombres premiers).
Soit p ∈ Z\{0, 1, −1}. L'entier p est
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premier si l'ensemble de ses diviseurs est {−p, −1, 1, p}.
A. Camanes
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Notation.
P désigne l'ensemble des nombres premiers, P+ = P ∩ N.
Propriété 6.
Soient p ∈ P et a ∈ Z. Si p ne divise pas a, alors p est premier avec a.
Exercice 10. Soient p ∈ P+ et (a, b) ∈ Z2 .
1. Montrer que, si p|ab, alors p|b ou p|a.
2. Montrer que, pour tout k ∈ J1, p − 1K, p est premier avec k .
3. En déduire que, pour tout k ∈ J1, p − 1K, p| kp .
Théorème 12 (Petit théorème de Fermat).
Soit p un nombre premier. Pour tout entier naturel n, np ≡ n[p].
Propriété 7.
Soient n un entier naturel non nul, a1 , . . . , an des entiers et p ∈ P . Si p|a1 · · · an , alors il existe
k ∈ J1, nK tel que p|ak .
III.2 - Ensemble des nombres premiers
Lemme 1.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier.
Théorème 13 (Infinité).
L'ensemble des nombres premiers est inni.
III.3 - Décomposition en produit de facteurs premiers
Définition 8 (Valuation p-adique).
Soient a ∈ Z? , p ∈ P+ . Il existe un unique entier naturel n tel que pn divise a et pn+1 ne
divise pas a. L'entier n est appelé la valuation de p dans a et est noté vp (a).
Exercice 11. Montrer que vp (n) = 0 si et seulement si p 6 |n.
Propriété 8.
Pour tous entiers m, n et tout nombre premier p, vp (mn) = vp (m) + vp (n).
Théorème 14 (Décomposition en produit de facteurs premiers).
Q vp (a)
Soit a ∈ Z\{0} et ε le signe de a. Alors, a = ε
p
. Cette décomposition est unique à
l'ordre des facteurs près. C'est la
p∈P+
décomposition en produit de facteurs premiers de a.
Propriété 9.
Soit (a, b) ∈ (Z? )2 . a|b si et seulement si ∀ p ∈ P+ , vp (a) 6 vp (b).
Propriété 10 (pgcd, ppcm).
Soit (a, b) ∈ (Z? )2 . Alors,
a∧b=
Y
p∈P+
Stanislas
pmin{vp (a),vp (b)} , a ∨ b =
Y
pmax{vp (a),vp (b)} .
p∈P+
A. Camanes