Chapitre 13 Arithmétique dans Z

Z
Définition 1 (Diviseur, Multiple)
(a, b)∈Z2a b a|b k b =ka
b a
Notation.
aD(a)a
aM(a) = aZa
Propriété 1
(a, b, u, v, d)∈Z5
(i) (b|a a|b)⇔(|a|=|b|)
(ii)d|a d|b d|(au +bv)
Exercice 1.
1. |Z N
2. 2,3,4,5,9,11
Définition 2 (pgcd, ppcm sur N)
(i) (a, b)∈N2\{(0,0)}D(a)∩D(b)
a∧b a b
(ii) (a, b)∈(N?)2M(a)∩M(b)∩N?
a∨b a b
Notations.
0∧0=0 a∨0 = 0
Propriétés 2
(a, b)∈N2\{(0,0)}
(i)a∧b=b∧a
(ii)d=a∧b d|a d|b
(a, b)∈(N?)2
(i)a∨b=b∨a
(ii)m=a∨b a|m b|m
Définition 3 (Généralisation)
(a, b)∈Z2
(i)a∧b=|a|∧|b|(ii)a∨b=|a|∨|b|
Théorème 1 (Division euclidienne)
a∈Zb∈N?(q, r)
a=bq +r06r < b.
∗q a b
∗r a b

Z
Exercice 2. GZp∈NG=pZ
Théorème 2 (Numération)
b2x
p(x0, . . . , xp)∈J0, b−1Kp+1 x=
p
P
k=0
xkbkxp6= 0
xp···x0bx m
Exercice 3.
1. 364 2
2.
Théorème 3 (Algorithme d’Euclide)
(a, b)∈Z×N?r a b
D(a)∩D(b) = D(b)∩D(r).
Exercice 4. 519 ∧204
Propriétés 3
(a, b)∈Z2k∈N
(i)D(a∧b) = D(a)∩D(b)
(ii) (ka)∧(kb) = k(a∧b)
(iii)M(a∨b) = M(a)∩M(b)
(iv) (ka)∨(kb) = k(a∨b)
Corollaire 4
(a, b)∈(Z?)2(a0, b0)∈Z2k∈N
a=ka0, b =kb0a0∧b0= 1.
Corollaire 5 (Fractions)
r∈Q?(p, q)∈Z?×N?r=p
qp∧q= 1
r
Théorème 6
(a, b)∈(Z?)2d=a∧b u, v d =au +bv
{am +bn, (m, n)∈Z2}=dZ
Exercice 5. u v 519u+ 204v= 3
Définition 4 (Premiers entre eux)
(a, b)∈Z2a b a ∧b= 1
Théorème 7 (Bézout)
(a, b)∈Z2a∧b= 1 m, n ∈Z1 = ma +nb

Z
Exercice 6. n∈Nn n + 1
Théorème 8 (Gauss)
(a, b, c)∈Z3a|bc a ∧c= 1 a|b
Exercice 7. 519u+ 204v= 3
Théorème 9 (Lien pgcd et ppcm)
(a, b)∈Z2
(a∧b)·(a∨b) = |ab|.
Notations.
n2
a1, . . . , an
Propriétés 4 (Associativité)
(a, b, c)∈Z3
(i)a∧(b∧c)=(a∧b)∧c
(ii)a∨(b∨c)=(a∨b)∨c
Définition 5 (pgcd, ppcm d’une famille d’entiers)
(i)a1∧ ··· ∧ ana1, . . . , an
(ii)a1∨ ··· ∨ ana1, . . . , an
Exercice 8. 6,10,15
Propriété 5
k∈N?
(i) (ka1)∧ ··· ∧ (kan) = k(a1∧ ··· ∧ an)
(ii) (ka1)∨ ··· ∨ (kan) = k(a1∨ ··· ∨ an)
Théorème 10 (Relation de Bézout)
d a1, . . . , anu1, . . . , una1u1+···+
anun=d
Définition 6 (Entiers premiers entre eux dans leur ensemble)
a1, . . . , an1
Exercice 9. 6,10,15
Théorème 11 (Relation de Bézout)
a1, . . . , an
u1, . . . , una1u1+··· +anun= 1
Définition 7 (Nombres premiers)
p∈Z\{0,1,−1}p{−p, −1,1, p}

Z
Notation.
P P+=P∩N
Propriété 6
p∈Pa∈Zp a p a
Exercice 10. p∈P+(a, b)∈Z2
1. p|ab p|b p|a
2. k∈J1, p −1Kp k
3. k∈J1, p −1Kp|p
k
Théorème 12 (Petit théorème de Fermat)
p n np≡n[p]
Propriété 7
n a1, . . . , anp∈Pp|a1···an
k∈J1, nKp|ak
Lemme 1 2
Théorème 13 (Infinité)
Définition 8 (Valuation p-adique)
a∈Z?, p ∈P+n pna pn+1
a n p a vp(a)
Exercice 11. vp(n) = 0 p6 |n
Propriété 8
m, n p vp(mn) = vp(m) + vp(n)
Théorème 14 (Décomposition en produit de facteurs premiers)
a∈Z\{0}ε a a =εQ
p∈P+
pvp(a)
a
Propriété 9
(a, b)∈(Z?)2a|b∀p∈P+, vp(a)6vp(b)
Propriété 10 (pgcd, ppcm)
(a, b)∈(Z?)2
a∧b=Y
p∈P+
pmin{vp(a),vp(b)}, a ∨b=Y
p∈P+
pmax{vp(a),vp(b)}.