L`essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée

L’essentiel du cours 2014/2015
Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence
Sommaire
1. Arithmétique 2
1.1. Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. PGCD, Bézout, Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Équations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5. Chiffrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6. Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Matrices 6
2.1. Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Puissances de matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4. Suites et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5. Marches aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Logique et raisonnement 9
3.1. Démontrer qu’une proposition est fausse . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3. Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4. Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.5. Double inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.6. Disjonction de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.7. Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.8. Par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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1. Arithmétique
1. 1. Division euclidienne
Soit aun entier relatif et bun entier naturel non nul.
Il existe un unique couple d’entiers (q, r)tels que
a=bq +ravec 06r < b
Théorème 1.
C’est le théorème central de l’arithmétique. À connaître par cœur.
1. 2. Congruences
À retenir :
⋆ a ≡b[n]lorsque aet bont le même reste dans la
division euclidienne par n.
⋆ a ≡b[n]si et seulement si a−best divisible par n.
⋆ a ≡b[n]si et seulement si il existe un entier ktel que a=b+kn.
Les congruences sont stables par addition, soustraction et multiplication.
En d’autres termes,
Si a≡b[n]et a′≡b′[n], alors :
a+a′≡b+b′[n]; a−a′≡b−b′[n]; aa′≡bb′[n]et, pour tout k∈N,
ak≡bk[n]
BPar contre, pas de division !
⋆Par exemple, si 2n≡2[4], on ne peut pas écrire que n≡1[4]. Il suffit de
prendre n= 3 pour s’en convaincre...
⋆Mais, lorsque an ≡k[b]et aet bsont premiers entre eux, le théorème de
Bézout nous assure l’existence de uet vtels que au +bv = 1 et on a donc
au ≡1[b]. On dit que aet usont inverses modulo b.
On peut donc écrire an ≡k[b]⇔uan ≡uk[b]⇔n≡uk[b].
Par exemple, 2n≡2[5] ⇔6n≡6[5] ⇔n≡1[5].
Ce principe est utilisé, entre autres, pour le décodage d’un chiffrement af-
fine. Il peut se généraliser aux systèmes de congruences (cf chiffrement de
Hill).
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Quelques applications des congruences :
⋆Montrer que aest divisible par brevient à montrer que a≡0[b].
⋆Déterminer le chiffre des unités d’un nombre nrevient à déterminer le reste
de nmodulo 10. (chiffre des unités de 72013 ?)
⋆Démontrer des critères de divisibilité en écrivant des entiers en base 10.
(abc =a×102+b×101+c×100).
⋆Étudier par exemple les restes de 2nmodulo 7pour tout n, à l’aide d’un
tableau.
⋆Une relation de congruence permet de partitionner l’ensemble des entiers
relatifs, ce qui est utile pour raisonner par disjonction de cas. Par exemple,
la relation de congruence modulo 2partage les entiers en deux familles
disjointes : les pairs et les impairs.
1. 3. PGCD, Bézout, Gauss
Le PGCD de deux entiers peut se déterminer à l’aide de l’algorithme d’Eu-
clide. C’est le dernier reste non nul de la suite des divisions successives.
À retenir :
⋆Si D=P GCD(a;b)alors il existe uet vtels que au +bv =D(égalité
de Bézout).
⋆ a et bsont premiers entre eux si et seulement si il existe uet vtels
que au +bv = 1 (théorème de Bézout).
☞On peut déterminer un tel couple en remontant l’algorithme d’Euclide.
Exemple 1. Déterminer un couple d’entiers (u, v)tel que 21u+ 26v= 1
Algorithme d’Euclide :
26 = 21 ×1 + 5
21 = 5 ×4 + 1
5 = 1 ×5 + 0
D’où : 1 = 21 −5×4 = 21 −(26 −21 ×1) ×4 = 21 ×5 + 26 ×(−4). On a donc
(u, v) = (5,−4)
☞On peut aussi utiliser l’algorithme d’Euclide étendu que nous avons pro-
grammé sur la calculatrice.
1. 4. Équations diophantiennes
Ce sont des équations dans Z. Il faut connaître la méthode de résolution d’une
équation diophantienne du type ax +by =c. Celle-ci ne peut avoir de solution
que si P GCD(a;b)|c.
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Résolution de l’équation (E) : ax +by =doù d=P GCD(a;b).
1Recherche d’une solution particulière : On détermine une relation de Bé-
zout. On trouve donc deux entiers x0et y0tels que ax0+by0=d.
2On écrit : ax +by =d
ax0+by0=d
Si (x, y)solution de (E)alors a(x−x0) + b(y−y0) = 0 (*) soit a|b(y−y0).
3On utilise le théorème de Gauss : Puisque aet bsont premiers entre eux,
alors a|y−y0donc ys’écrit y=y0+ka avec k∈Z.
4On injecte cette valeur dans (*) et on trouve a(x−x0) + bka = 0 ⇔x=
x0−kb.
5On vérifie que de tels couples (x;y)sont solutions de (E)
6On écrit S={(x0−kb;y0+ka); k∈Z}.
1. 5. Chiffrements
⋆Chiffrement de César : f:x7−→ x+b
1On code la lettre par un entier 06x625 suivant le principe : A→
0; B→1; ...;Z→25.
2On calcule f(x) = x+bmodulo 26 (on ajoute la clef bàxpuis on prend
le reste modulo 26).
3On associe une lettre à f(x)
Faiblesse : Ce chiffrement peut être décodé facilement à l’aide d’une analyse
de fréquence : on repère la lettre qui apparaît le plus dans le message codé,
elle correspond au E. Cela permet de trouver la clef bpuis on décode en
appliquant la fonction g(x) = x−b≡x+ (26 −b)[26]. Le chiffrement de
Vigenère rend l’analyse de fréquences bien plus difficile.
⋆Chiffrement affine : f:x7−→ ax +bavec P GCD(a; 26) = 1
1On code la lettre par un entier 06x625 suivant le principe : A→
0; B→1; ...;Z→25.
2On calcule f(x)modulo 26.
3On associe une lettre à f(x)
Pour décoder, (c’est-à-dire trouver la fonction de décodage connaissant la
fonction de codage)on détermine l’inverse de amodulo 26 grâce au théorème
de Bézout (voir plus haut).
On peut aussi résoudre un système de deux équations avec congruences
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en écrivant les relations de congruences obtenues en codant deux lettres
distinctes.
⋆Chiffrement de Hill :
On code les lettres par blocs de 2(ou plus). Le bloc x
ysera codé en x′
y′
selon le principe suivant :
ax +by≡x′[26]
cx +dy≡y′[26]
Ce système peut aussi s’écrire sous forme matricielle a b
c dx y≡x′
y′[26].
Le cas favorable est lorsque la matrice A=a b
c da une inverse dans Z,
c’est-à-dire lorsqu’elle est de déterminant ±1.
On obtient alors x
y≡A−1x′
y′[26] ce qui permet de décoder. En ef-
fet, multiplier par une matrice à coefficients dans Zest stable avec les
congruences puisqu’on n’effectue que des multiplications et des additions.
1. 6. Nombres premiers
À retenir :
⋆Un nombre est premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1et lui-
même.
⋆Tout entier non premier nadmet un diviseur premier ptel que p6√n.
⋆Si ppremier divise un produit de facteurs, alors il divise l’un de ces
facteurs.
⋆Si ppremier divise un produit de facteurs premiers, alors pest l’un de
ces facteurs premiers.
⋆Tout entier se décompose de manière unique en produit de facteurs pre-
miers.
BNe pas confondre "premiers entre eux" et premier. Deux nombres premiers
distincts sont premiers entre eux, alors que la réciproque est évidemment fausse
(4et 9).
La décomposition en produit de facteurs premiers d’un entier permet de connaître
les diviseurs de ce nombre et donc le nombre de diviseurs de ce nombre.
Par exemple, 300 = 22×3×52. Les diviseurs de 300 sont donc de la forme
2i×3j×5kavec i= 0; 1; 2,j= 0; 1 et k= 0; 1; 2. Il y en a donc 3×2×3.300
a18 diviseurs.
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