L`essentiel du cours 2013/2014 Terminale S Spécialité Maths, Lycée

L’essentiel du cours 2013/2014
Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence
Sommaire
1. Arithmétique 2
1.1. Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. PGCD, Bézout, Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Équations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5. Chiffrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6. Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Matrices 6
2.1. Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Puissances de matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4. Suites et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5. Marches aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Logique et raisonnement 9
3.1. Démontrer qu’une proposition est fausse . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3. Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4. Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.5. Double inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.6. Disjonction de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.7. Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.8. Par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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3. 7. Raisonnement par récurrence
Il est utilisé pour démontrer des propriétés vérifiées par tout entier naturel n.
Il faut raisonner en trois étapes (Initialisation, Hérédité, Conclusion).
Exemple : Si A=P DP −1avec Ddiagonale alors An=P DnP−1,∀n∈N.
⋆Initialisation : Il s’agit ici de démontrer une égalité. Attention à la présen-
tation !
Pour n= 0, on a A0=Iet P D0P−1=P IP −1=Idonc A0=P D0P−1
(On calcule séparément les deux membres).
⋆Hérédité : Il peut être utile d’écrire la proposition à démontrer :
P(n) : An=P DnP−1.
On suppose que P(k)est vraie pour un entier ket on montre qu’alors
P(k+ 1) est vraie.
Ak+1 =A×Ak=P DP −1×P DkP−1=P DDkP−1=P Dk+1P−1(Bien
noter où l’hypothèse de récurrence intervient).
⋆Conclusion : D’après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour
tout entier naturel n.
BAttention à ne pas utiliser à outrance le raisonnement par récurrence et envi-
sager parfois un raisonnement direct.
3. 8. Par l’absurde
Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que la propriété à démontrer
est fausse et à aboutir à une absurdité.
Voir par exemple la démonstration de l’infinitude des nombres premiers.
Exemple : Démontrer que √2est irrationnel.
On suppose que √2 = p
qavec p qirréductible c’est-à-dire pet qpremiers entre eux.
Si √2 = p
qalors 2 = p2 q2et 2q2=p2.p2est donc pair et donc paussi (car le carré
d’un impair est impair (2k+ 1)2=. . . ).
Il existe donc a∈Ntel que p= 2a. On a alors : 2q2=p2= 4a2soit q2= 2a2.
Ceci prouve que q2est aussi pair donc qaussi. On a donc montré que pet q
sont pairs. C’est absurde puisqu’on a supposé pet qpremiers entre eux. Notre
hypothèse de départ était donc fausse ce qui prouve que √2est irrationnel.
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1. Arithmétique
1. 1. Division euclidienne
Soit aun entier relatif et bun entier naturel non nul.
Il existe un unique couple d’entiers (q, r)tels que
a=bq +ravec 06r < b
Théorème 1.
C’est le théorème central de l’arithmétique. À connaître par cœur.
1. 2. Congruences
À retenir :
⋆ a ≡b[n]lorsque aet bont le même reste dans la division euclidienne par n.
⋆ a ≡b[n]si et seulement si a−best divisible par n.
⋆ a ≡b[n]si et seulement si il existe un entier ktel que a=b+kn.
Les congruences sont stables par addition, soustraction et multiplication.
En d’autres termes,
Si a≡b[n]et a′≡b′[n], alors :
a+a′≡b+b′[n]; a−a′≡b−b′[n]; aa′≡bb′[n]et, pour tout k∈N,
ak≡bk[n]
BPar contre, pas de division !
⋆Par exemple, si 2n≡2[4], on ne peut pas écrire que n≡1[4]. Il suffit de
prendre n= 3 pour s’en convaincre...
⋆Mais, lorsque an ≡k[b]et aet bsont premiers entre eux, le théorème de
Bézout nous assure l’existence de uet vtels que au +bv = 1 et on a donc
au ≡1[b]. On dit que aet usont inverses modulo b.
On peut donc écrire an ≡k[b]⇔uan ≡uk[b]⇔n≡uk[b].
Par exemple, 2n≡2[5] ⇔6n≡6[5] ⇔n≡1[5].
Ce principe est utilisé, entre autres, pour le décodage d’un chiffrement affine.
Il peut se généraliser aux systèmes de congruences (cf chiffrement de Hill).
Quelques applications des congruences :
⋆Montrer que aest divisible par brevient à montrer que a≡0[b].
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⋆Déterminer le chiffre des unités d’un nombre nrevient à déterminer le reste
de nmodulo 10. (chiffre des unités de 72013 ?)
⋆Démontrer des critères de divisibilité en écrivant des entiers en base 10.
(abc =a×102+b×101+c×100).
⋆Étudier par exemple les restes de 2nmodulo 7pour tout n, à l’aide d’un
tableau.
⋆Une relation de congruence permet de partitionner l’ensemble des entiers
relatifs, ce qui est utile pour raisonner par disjonction de cas. Par exemple,
la relation de congruence modulo 2partage les entiers en deux familles
disjointes : les pairs et les impairs.
1. 3. PGCD, Bézout, Gauss
Le PGCD de deux entiers peut se déterminer à l’aide de l’algorithme d’Eu-
clide. C’est le dernier reste non nul de la suite des divisions successives.
À retenir :
⋆Si D=P GCD(a;b)alors il existe uet vtels que au +bv =D(égalité de
Bézout).
⋆ a et bsont premiers entre eux si et seulement si il existe uet vtels que
au +bv = 1 (théorème de Bézout).
☞On peut déterminer un tel couple en remontant l’algorithme d’Euclide.
Exemple 1. Déterminer un couple d’entiers (u, v)tel que 21u+ 26v= 1
Algorithme d’Euclide :
26 = 21 ×1 + 5
21 = 5 ×4 + 1
5 = 1 ×5 + 0
D’où : 1 = 21 −5×4 = 21 −(26 −21 ×1) ×4 = 21 ×5 + 26 ×(−4). On a donc
(u, v) = (5,−4)
☞On peut aussi utiliser l’algorithme d’Euclide étendu que nous avons pro-
grammé sur la calculatrice.
1. 4. Équations diophantiennes
Ce sont des équations dans Z. Il faut connaître la méthode de résolution d’une
équation diophantienne du type ax +by =c. Celle-ci ne peut avoir de solution
que si P GCD(a;b)|c.
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Dans certains cas, on peut aussi raisonner par équivalence. C’est ce que l’on
fait en général lorsqu’on résout des équations. (3x+ 2 = 0 ⇐⇒ x=−2
3).
Lorsque l’on résout des équations avec des congruences, c’est plus délicat :
Exemple : Résoudre dans Z,2x≡0[3] :
Si 2x≡0[3], alors il existe k∈Ztel que 2x= 3k. On a donc 2|3ket, d’après le
théorème de Gauss, 2|k. Donc, il existe m∈Ztel que k= 2m. D’où 2x= 6m
et x= 3m.
On a raisonné par implication et montré que si 2x≡0[3] alors x≡0[3].
Réciproquement, si x≡0[3] alors 2x≡0[3].
On peut donc écrire 2x≡0[3] ⇐⇒ x≡0[3].
D’une manière générale, il est conseillé d’utiliser le symbole ⇐⇒ à bon escient,
c’est-à-dire de s’assurer que l’on peut bien "aller dans les deux sens" à chaque
fois qu’on l’écrit.
3. 4. Unicité
Pour démontrer l’unicité d’un objet vérifiant certaines conditions, la méthode
générale consiste à supposer qu’il existe un autre objet satisfaisant les mêmes
conditions. On parvient à montrer que ce dernier objet est égal au précédent.
Exemple : Démontrons que l’inverse d’une matrice Ainversible est unique.
Supposons qu’il existe Btelle que AB =I. En multipliant les deux membres par
A−1, on a : A−1AB =A−1Isoit B=A−1.
3. 5. Double inclusion
Pour démontrer que deux ensembles Eet Fsont égaux, on peut raisonner par
double inclusion c’est-à-dire monter que E⊂Fpuis F⊂E.
Pour démontrer que E⊂F, on prend un élément quelconque de Eet on montre
qu’il est dans F.
3. 6. Disjonction de cas
On utilise le raisonnement par disjonction de cas lorsqu’on dispose d’une parti-
tion d’un ensemble qui permet de balayer tous les cas possibles. Ce raisonnement
est souvent utilisé avec les congruences.
Par exemple, si ndésigne un entier naturel, démontrer que n(n+ 2)(n+ 4) est
divisible par 3.
On considère les trois cas : n≡0[3],n≡1[3],n≡2[3].
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BL’existence d’un état stable n’entraîne pas nécessairement la convergence de
la marche aléatoire. Cela peut dépendre de l’état initial P0. Cependant, pour une
marche aléatoire à deux états, il y a toujours convergence et cela indépendam-
ment de l’état initial.
BDans la plupart des exercices, la matrice Pnest une matrice colonne. Cepen-
dant, on peut aussi la définir comme une matrice ligne. Dans ce cas, la matrice de
transition est la matrice M= (mij )dont le coefficient mij est la probabilité de
transition du sommet ivers le sommet j. ("départ en ligne, arrivée en colonne")
et l’on a Pn+1 =PnM.
3. Logique et raisonnement
Voici un récapitulatif des différents types de raisonnement que nous avons
rencontrés cette année :
3. 1. Démontrer qu’une proposition est fausse
On trouve un contre-exemple.
Exemple : Toute suite strictement croissante tend vers +∞.
C’est faux car la suite (1 −1
n)tend vers 1.
3. 2. Implication
A=⇒Bveut dire "Aimplique B" ou encore "si Aalors B". On dit aussi que
Best une condition nécessaire pour A: pour que Asoit réalisée, il faut que
Ble soit aussi.
Par exemple, une condition nécessaire pour qu’il pleuve est qu’il y ait des nuages
(Il pleut =⇒il y a des nuages). Mais cette condition n’est pas suffisante (Il peut
y avoir des nuages sans qu’il ne pleuve).
Pour démontrer que Aimplique Bon peut aussi raisonner par contraposée
c’est-à-dire démontrer que nonBimplique nonA.
Par exemple, pour démontrer que si le produit de deux entiers naturels est impair
alors ces deux entiers sont impairs, on peut démontrer que si l’un des deux entiers
est pair alors leur produit est pair.
3. 3. Équivalence
A⇐⇒ Bveut dire "Aest équivalent à B" ou encore "Asi et seulement si
B". On dit aussi que Best une condition nécessaire et suffisante pour A:
pour que Asoit réalisée, il faut et il suffit que Ble soit.
Pour démontrer une équivalence, on peut démontrer deux implications. Par exemple,
pour démontrer A⇐⇒ B, on doit démontrer A=⇒Bet B=⇒A.
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Résolution de l’équation (E) : ax +by =doù d=P GCD(a;b).
1Recherche d’une solution particulière : On détermine une relation de Bézout.
On trouve donc deux entiers x0et y0tels que ax0+by0=d.
2On écrit : ax +by =d
ax0+by0=d
Si (x, y)solution de (E)alors a(x−x0) + b(y−y0) = 0 (*) soit a|b(y−y0).
3On utilise le théorème de Gauss : Puisque aet bsont premiers entre eux,
alors a|y−y0donc ys’écrit y=y0+ka avec k∈Z.
4On injecte cette valeur dans (*) et on trouve a(x−x0) + bka = 0 ⇔x=
x0−kb.
5On vérifie que de tels couples (x;y)sont solutions de (E)
6On écrit S={(x0−kb;y0+ka); k∈Z}.
1. 5. Chiffrements
⋆Chiffrement de César : f:x7−→ x+b
1On code la lettre par un entier 06x625 suivant le principe : A→
0; B→1; ...;Z→25.
2On calcule f(x) = x+bmodulo 26 (on ajoute la clef bàxpuis on
prend le reste modulo 26).
3On associe une lettre à f(x)
Faiblesse : Ce chiffrement peut être décodé facilement à l’aide d’une analyse
de fréquence : on repère la lettre qui apparaît le plus dans le message codé,
elle correspond au E. Cela permet de trouver la clef bpuis on décode en
appliquant la fonction g(x) = x−b≡x+ (26 −b)[26]. Le chiffrement de
Vigenère rend l’analyse de fréquences bien plus difficile.
⋆Chiffrement affine : f:x7−→ ax +bavec P GCD(a; 26) = 1
1On code la lettre par un entier 06x625 suivant le principe : A→
0; B→1; ...;Z→25.
2On calcule f(x)modulo 26.
3On associe une lettre à f(x)
Pour décoder, (c’est-à-dire trouver la fonction de décodage connaissant la
fonction de codage)on détermine l’inverse de amodulo 26 grâce au théorème
de Bézout (voir plus haut).
On peut aussi résoudre un système de deux équations avec congruences
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en écrivant les relations de congruences obtenues en codant deux lettres
distinctes.
⋆Chiffrement de Hill :
On code les lettres par blocs de 2(ou plus). Le bloc x
ysera codé en x′
y′
selon le principe suivant :
ax +by≡x′[26]
cx +dy≡y′[26]
Ce système peut aussi s’écrire sous forme matricielle a b
c dx
y≡x′
y′[26].
Le cas favorable est lorsque la matrice A=a b
c da une inverse dans Z,
c’est-à-dire lorsqu’elle est de déterminant ±1.
On obtient alors x
y≡A−1x′
y′[26] ce qui permet de décoder. En ef-
fet, multiplier par une matrice à coefficients dans Zest stable avec les
congruences puisqu’on n’effectue que des multiplications et des additions.
1. 6. Nombres premiers
À retenir :
⋆Un nombre est premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1et lui-
même.
⋆Tout entier non premier nadmet un diviseur premier ptel que p6√n.
⋆Si ppremier divise un produit de facteurs, alors il divise l’un de ces facteurs.
⋆Si ppremier divise un produit de facteurs premiers, alors pest l’un de ces
facteurs premiers.
⋆Tout entier se décompose de manière unique en produit de facteurs pre-
miers.
BNe pas confondre "premiers entre eux" et premier. Deux nombres premiers
distincts sont premiers entre eux, alors que la réciproque est évidemment fausse
(4et 9).
La décomposition en produit de facteurs premiers d’un entier permet de connaître
les diviseurs de ce nombre et donc le nombre de diviseurs de ce nombre.
Par exemple, 300 = 22×3×52. Les diviseurs de 300 sont donc de la forme
2i×3j×5kavec i= 0; 1; 2,j= 0; 1 et k= 0; 1; 2. Il y en a donc 3×2×3.300
a18 diviseurs.
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U_0 reçoit ...(initialisation)
Pour i allant de 1 à 10:
U reçoit AU_0+B
U_0 reçoit U
FinPour
Afficher U
⋆Pour étudier la convergence, on introduit une suite auxiliaire (comme pour
les suites arithmético-géométriques réelles). Pour cela, on détermine une
matrice Ltelle que L=AL +B(seul candidat pour la limite) puis on
pose Vn=Un−L. Ces calculs sont guidés dans les exercices !
On montre alors que Vn+1 =AVnce qui permet de "remonter" à Un.
2. 5. Marches aléatoires
L’étude des marches aléatoires fait intervenir des graphes, des probabilités, des
suites, des matrices.
☞Exemple d’une marche aléatoire à deux états :
A B
1−p
p
q
1−q
⋆On définit la matrice de transition par : M=1−p q
p1−q.
C’est la matrice carrée M= (mij)dont le coefficient mij est la probabilité
de transition du sommet jvers le sommet i. ("départ en colonne, arrivée en
ligne").
Tous les coefficients appartiennent à [0; 1] et, pour chaque colonne, la somme
des coefficients est 1.
⋆Pour n∈N, on note anet bnles probabilités que le système soit respecti-
vement dans l’état Aet dans l’état Baprès npas. On a alors an+bn= 1.
La matrice colonne Pn=an
bnest appelée état de la marche aléatoire
après npas.
P0est appelé état initial.
⋆Pour n∈N, Pn+1 =MPnet Pn=MnP0.
⋆On dit que la marche aléatoire converge si la suite (Pn)est convergente.
⋆Dans ce cas, elle converge nécessairement vers un état stable Pvérifiant
P=MP .
⋆On peut déterminer l’état stable en résolvant le système P=M P d’incon-
nues an, bnavec la condition an+bn= 1.
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