Logique

Logique
Commentaires : Les tables de vérité sont au programme mais ne sont pas exigibles en
évaluation.
Exercice 1. Ecrire la négation des phrases suivantes :
1- Adrian va à la plage ou au tennis.
2- Paul a un pantalon rouge et un chapeau bleu.
3- S’il neige, alors je fais du ski.
4- John est heureux si et seulement s’il fait de la logique.
Exercice 2. Soit f et g deux fonctions de  dans . Traduire en termes de quantificateurs les
expressions suivantes :
1) f est majorée.
2) f ne s’annule jamais.
3) f n’est pas la fonction
nulle.
4) f est paire.
5) f est inférieure à g.
6) f n’est pas inférieure à g.
Exercice 3. Traduire en langage mathématique, en utilisant les quantificateurs existentiel et
universel, les phrases suivantes :
(i)
Tout nombre réel positif inférieur à 1 vérifie x2  x.
(ii)
Pour tout x réel, il existe n entier naturel strictement supérieur à x.
(iii) Entre deux nombres réels distincts, on peut trouver un nombre rationnel.
(iv)
Tout entier divisible par 3 est impair
(v)
Le nombre 2 n’est le sinus d’aucun nombre.
Exercice 4. Soit x  f(x) une fonction de la variable réelle x. On dit que f est une fonction
croissante sur Df si pour tout x et x’ appartenant à Df, si x > x’ alors f(x)  f(x’).
Écrire mathématiquement que f est une fonction croissante. Nier cette proposition.
Exercice
123-
5. Traduire en langage courant les propositions suivantes :
x  , y  , x  y
x  , y  , z   xy=z
x  +, y  +, z  , xy>z
4-  n ∈   x ∈  |x|  n.
Ces propositions sont-elles vraies ?
Nier chacune de ces propositions à l’aide des quantificateurs.
Exercice
123-
6. Soit f une fonction de  dans . Ecrire les négations des propositions suivantes :
Pour tout x>2, f(x)<1.
Il existe x réel positif tel que f(x)<0.
Si x est élément de [3, 4], alors f(x)<4x².
Exercice 7. Dire si les affirmations suivantes sont vraies puis écrire leurs négations.
a- x , y  , x+y>0
b- x  , y  , x+y>0
c- x  , y  , x+y>0
d- x , y  , x+y>0