CONTRIBUTION À LA THEORIE DE LA CHUTE DES CORPS, EN

CONTRIBUTION À LA THEORIE DE LA CHUTE DES CORPS,
EN- AYANT ÉGARD À LA ROTATION DE LA TERRE
PAR ALFRED DENIZOT.
C'est Newton qui a découvert la déviation vers l'est d'un corps tombant sur la
terre. Dans la théorie du mouvement relatif on ramène ce phénomène à l'effet d'une
force fictive, à laquelle on a donné le nom de la force centrifuge composée. Le calcul
donne encore une déviation du corps vers le sud qui se présente comme l'effet de la
même force fictive, mais qui est trop petite pour être confirmée par l'expérience.
À d'autres occasions, spécialement dans une séance de la "Berliner mathe-
matische Gesellschaft*," j'ai montré qu'on a négligé dans les équations générales
quelques termes contenants le carré de la vitesse angulaire de la terre. Ces termes
sont l'expression d'une autre force fictive que j'ai nommée la force centrifuge
instantanée. Surtout j'ai appelé l'attention à ce que la force centrifuge composée ne
peut pas expliquer la rotation apparente du plan d'oscillation d'un pendule, tandis que
la force centrifuge instantanée peut servir pour donner une telle explication.
Aussi dans le problème de la chute libre d'un corps les termes, négligés totale-
ment jusqu'à présent, conduisent à des résultats remarquables. En conservant ces
termes dans les équations différentielles du mouvement, leur intégration s'effectue
d'une manière très simple.
Prenons d'abord les équations qui se rapportent au système suivant des co-
ordinées rectangulaires: L'origine 0 soit un point de la verticale du lieu sous la
latitude </>, l'axe OH perpendiculaire à l'axe de rotation de la terre, pris positif dans
la direction opposée au centre du parallèle, Taxe OZ parallèle à l'axe de la terre dans
un sens convenablement choisi. Les deux axes sont alors situés dans le plan
méridien; l'axe OH sera dirigé vers l'est, dans la direction normale à ce plan.
En signifiant par g la pesanteur et par œ la vitesse angulaire de la terre, on
reçoit par rapport au système mentionné les équations suivantes
f = — g cos <f> + &>2£ + 2cùi) \
V= œ2V-2coÇ l (1).
Ç = - g sin $ J
* Sitzungsberichte, 1906, p. 78 (aussi v. Bulletin de VAcad. d. Sciences de Cracovie, 1904, p. 449;
Annalen der Physik, 1905, p. 299; Physikalische Zeitschrift, vi. 1905, p. 342, vu. 1906, p. 507).

,
.(2).
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Les intégrales générales de ces équations différentielles donnent les expressions
% = (At + C) sin œt - (Bt + D) cos cot + -^ cos <j>
v
= (At+ C) cos œt + (Bt + D) sin œt
Ç=igt2sm(j> + Et+F
L'état du corps au commencement du mouvement détermine les constantes
A, B, C, D, E, F. Dans notre cas, au moment £ = 0, le point matériel doit coïncider
avec l'origine 0 des coordinées, c'est-à-dire £0 = rj0 = f0 = 0, et les vitesses relatives
doivent être £0 = rj0 = Ç0 = 0. Ces six conditions donnent les constantes. On trouve
9
£ = -^ cos </> (1 — cos G)£ — û>£ sin û)2)
V = ocos $ (sin «£ — œt cos a>£)
: — l
.(3).
^2sin0
Si nous posons £ — -^ cos <£ = fx, nous aurons au lieu de £
P1 = -^- cos <f> (cos û>£ + co£ sin œt),
œ2
et nous voyons que la trajectoire du point dans le plan 30H est la développante du
cercle, dont le rayon est égal à —2 cos <£.
En se servant des séries pour sin œt et cos œt, on trouve ensuite
£ = — \gt2 cos </> — \gœ2tA cos cf> '
77 = J#ft>£3 cos <£ - (4).
K = - hgt2
sin
4>
Ordinairement on rapporte les équations différentielles à un système des co-
ordonnées rectangulaires 0 (X, Y, Z), dont deux axes sont situés dans le plan
horizontal et le troisième axe coïncide avec la verticale du lieu. Nous choisissons
le système suivant : L'origine des coordonnées coïncide avec l'origine précédente, de
même l'axe OY avec l'axe OH. Les axes OX et OZ se trouvent donc dans le plan
méridien : l'axe des x est la trace du plan horizontal mené par l'origine 0 et dirigé
vers le nord, l'axe des z coïncide avec la verticale.
Les nouveaux axes sont liés aux précédents par les relations suivantes
£ = — x sin $ — z cos <j> Ì
v= y \ (5).
f = x cos (j) — z sin <f> J
A l'aide de ces relations nous transformons les équations (1) et nous obtenons
x = œ2 (x sin (f> + z cos </>) sin <p — 2œy sin <£
y = œ2y + 2œ (x sin <£ -f i cos <£) > (6).
z = g + œ2 (x sin <f> + z cos (p) cos <f> — 2œy cos cf> ,

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Si nous voulons déterminer les intégrales de ces équations, il nous faut à l'aide
de (5) transformer les valeurs (4) de £, rj, Ç en x, y, z. De cette manière nous aurons
x = — lgœ2t4 sin <f>cos(f>'
y = £ gœt* cos <j> L (7).
z = igt2-lgœ2t* cos2 (j> ,
Comme nous voyons il y a une déviation (y) vers l'est et une autre (x) vers le sud.
La valeur pour la déviation vers l'est est la même que donne la théorie adoptée
jusqu'à présent; mais cette dernière donne pour la déviation vers le sud la valeur
igœ2t4 sin <£ cos cf>, donc la valeur trouvée auparavant est plus petite de
-^gœ2t4 sin (f) cos </>.
Cette différence, il est vrai, ne joue aucun rôle quant à l'expérience, parce que
les erreurs des observations la surpassent, néanmoins elle présente quelque intérêt
quant à la question, dans quel degré les deux forces fictives contribuent au phénomène.
Supposons d'abord que le temps de l'observation soit si court que l'influence de
ces forces fictives reste insensible, nous aurons les équations du mouvement
# = 0, y = 0, z = g,
dont les intégrales seront
0 = 0, y = 0, z = \gt2 (a).
Si la chute du corps dure plus longtemps, nous aurons des influences des deux
forces fictives, mais nous voulons d'abord supposer que ce ne soit que la force centrifuge
composée qui se développe et que la force centrifuge instantanée reste encore sans
effet. En négligeant alors cette dernière, nous nous servons d'un procédé qu'on a
employé jusqu'à présent.
Donc nous aurons les équations
x = — 2œy sin <fi
y= 2œ (x sin $ + z cos <£)
z—g + 2œy cos <f>.
On reçoit par l'intégration les expressions
x = — ^gœ2tà sin </> cos </>
y— igœt3 cos </> \ (b).
z= \gt2-lgœ2Veos2($)
C'est le même résultat, auquel Gauss est parvenu le premier. Pour la déviation
vers l'est nous avons obtenu la valeur déjà indiquée sous (7); donc on peut con-
sidérer la déviation vers l'est comme l'effet produit seulement par la force centrifuge
composée.
Enfin nous voulons admettre que dans les équations générales (6) on puisse
supprimer la force centrifuge composée et ne conserver que des termes représentants
la force centrifuge instantanée. Dans ce cas on a les équations suivantes
x— œ2 (x sin (f> + z cos <£) sin <£
y= œ2y
z = g + œ2 (x sin </> + z cos </>) cos </>.

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Nous trouvons x =
^gœ2t* sin cf) cos (f> y
y = 0 y (c).
z = ±gt2 +^gœ2V cos2 <\>^
Maintenant nous avons reçu une déviation du corps vers le nord, mais aucune
vers l'est.
En faisant alors la somme des x, y, sous (a), (b), (c), nous obtenons les expres-
sions déjà indiquées sous (7), reçues par nous comme résultat de l'intégration des
équations générales (6).
En étudiant le phénomène de Newton nous sommes parvenus au résultat
suivant :
La déviation vers l'est est l'effet de la force centrifuge composée, la déviation vers
le sud est une superposition des effets de la force centrifuge composée et de la force
centrifuge instantanée.