loi de probabilité discrète - variable aléatoire

LOI DE PROBABILITÉ DISCRÈTE -
VARIABLE ALÉATOIRE
Historiquement, les calculs de probabilités ont été tout d’abord utilisés pour étudier l’argent que pouvaient espérer
gagner les princes au jeu.
De nos jours, ces calculs sont abondamment utilisés en physique, en chimie, en biologie, en économie, en démo-
graphie, etc. Malgré tout, le vocabulaire employé reste lié au jeu.
A.UN EXEMPLE POUR DÉCOUVRIR
Le PDG d’une société en faillite frauduleuse possède officiellement trois toiles de maîtres, mais il en a en fait
cinq : un Picasso, un Goya, un Malevitch, un Zurbaran et un Velasquez, valant respectivement 30, 30, 40, 80 et
60 millions d’euros.
L’huissier, piètre amateur d’art, saisit trois toiles au hasard.
On note Xla fonction qui va de l’univers Ωde l’ensemble des combinaisons de trois tableaux, dans IR, et qui à
une combinaison de trois tableaux associe sa valeur en euros.
1) Décrivez Ω, c’est à dire, donnez l’ensemble des combinaisons de trois tableaux.
2) Calculez les probabilités correspondant à chacune de ces saisies.
3) Regroupez ces résultats dans un tableau de valeurs.
4) Compte-tenu de l’aspect aléatoire de la saisie, on peut envisager de calculer la valeur moyenne des saisies.
Cela pose pourtant un problème : lequel?
5) C’est pour cela qu’on ne parle pas de moyenne, mais d’espérance mathématique qui correspond en fait à une
sorte de moyenne où les valeurs xiprises par la fonction Xque nous appellerons variable aléatoire (notez le
gros piège : Xest une fonction mais s’appelle variable : comme si on n’avait pas assez de problèmes comme
ça !) seront affectées du coefficient pi, probabilité correspondante.
Calculez alors E(X).
B.LA THÉORIE
Vous vous souvenez que l’univers probabilisable, souvent noté Ω, est constitué de toutes les « éventualités » ou
« issues » d’une expérience aléatoire.
Avant de parler de lois de probabilités, penchons nous sur le terme discrètes : il traduit le fait que l’on peut
« dénombrer » chacune des issues; on peut leur donner un numéro. Nous étudierons plus tard dans l’année des
lois de probabilité continues : on ne pourra pas donner un numéro à chacune des issues; par exemple, on ne peut
pas compter tous les nombres réels compris entre 2 et 3.
Soit Ω = {ω1,ω2,· · · ,ωn}un univers muni d’une probabilité. On appelle variable aléatoire toute fonction de Ω
dans IR.
Soit x1,· · · ,xkles différentes valeurs prises par la fonction X.
On note (X=xi)l’événement « la variable aléatoire prend la valeur xi». Il se note rigoureusement {ω∈
Ω|X(ω) = xi}, ce qui se lit « l’ensemble des ωtels que X(ω) = xi».

2LOI DE PROBABILITÉ DISCRÈTE - VARIABLE ALÉATOIRE
Soit (Ω,p)un univers muni d’une probabilité pet Xune variable aléatoire sur Ω. On appelle loi de probabilité
de Xla fonction ϕde IR dans [0,1] définie par
ϕ:x7→ p(X=x)
Remarque : si x6∈ Ω, alors (X=x) = ∅et donc p(X=x) = 0.
Définir la loi de probabilité d’une expérience aléatoire reviendra donc à :
.déterminer toutes les valeurs possibles x1,· · · ,xnprises par X;
.calculer les probabilités p1,· · · ,pndes événements correspondants;
.regrouper les résultats dans un tableau du type
Valeurs prises par X x1x2· · · xn
Probabilité correspondante p(X=xi)p1p2· · · pn
Vous n’oublierez pas de vérifier que p1+· · · +pn= 1 d’après le principe des probabilités totales.
On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire Xle nombre noté E(X)défini par
E(X) = x1×p(X=x1) + x2×p(X=x2) + ···+xn×p(X=xn) =
n
X
i=1
xi·p(X=xi)
Une mise en pratique de tout ce vocabulaire obscur s’impose...
C.UN EXERCICE POUR METTRE EN PRATIQUE
On considère deux avions : un biréacteur Bet un triréacteur T.
On suppose que tous les moteurs sont identiques, ont la même probabilité pde tomber en panne sur une période
donnée et qu’ils sont indépendants.
Soit Xla variable aléatoire qui donne le nombre de réacteurs tombant en panne sur Bet Ycelle qui donne le
nombre de réacteurs tombant en panne sur T.
1) Donnez les lois de probabilité de Xet Yen fonction de p.(Pour résoudre ce problème d’avions, on pourra
s’aider d’arbres.)
2) Calculez les espérances mathématiques correspondantes.
3) Ba besoin d’au moins un réacteur, sinon il tombe au milieu de l’océan; Ta lui besoin de deux réacteurs.
a) Calculez, en fonction de p, la probabilité PBque le biréacteur traverse l’océan sans encombre.
b) Calculez la probabilité correspondante PTpour T.
c) Dans quel avion préférez-vous monter pour traverser l’océan?
D.UN PARADOXE TOUJOURS INEXPLIQUÉ
Le problème est simple : prenons deux boîtes identiques A et B dont l’une contient deux fois plus de cacahuètes que
l’autre, mais vous ignorez laquelle : la situation est donc totalement symétrique. Pourtant un expert, qui ignore
également quelle est la boîte la mieux lotie en cacahuètes, affirme qu’il faut choisir la boîte B ! Son raisonnement
semble imparable : soit nle nombre de cacahuètes dans la boîte A, alors la boîte B en contient soit 2n, soit
n/2avec à chaque fois une probabilité de 1/2. Donc on peut calculer l’espérance mathématique du nombre de
cacahuètes dans la boîte B.
E=
Stupeur ! Il vaut mieux choisir la boîte B. Or nous aurions pu tenir exactement le même raisonnement en inversant
les rôles de A et B pour aboutir à la conclusion inverse. Nous aboutissons à un magnifique paradoxe qui divise les
mathématiciens actuellement. Y a-t-il des problèmes dans les prémisses ou dans la notion même d’espérance?