Rang d`une forme quadratique

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016
Enoncés
1
Rang d’une forme quadratique
Exercice 1 [ 00026 ] [Correction]
Soient f1 , f2 ∈ E ∗ indépendantes et q la forme quadratique définie par
q(x) = f1 (x) f2 (x)
Déterminer le rang de la forme quadratique q.
Exercice 2 [ 00027 ] [Correction]
Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, c’est à dire de rang n, sur un
K-espace vectoriel E de dimension n.
Pour F sous-espace vectoriel de E, on note
F ⊥ = {x ∈ E | ∀y ∈ F, ϕ(x, y) = 0}
(a) Montrer que F ⊥ est un sous-espace vectoriel de E de dimension n − dim F.
(b) Justifier F ⊥⊥ = F.
(c) Montrer que F ⊕ F ⊥ = E si, et seulement si, la restriction de ϕ à F est non dégénérée.
Exercice 3 [ 02762 ] [Correction]
Soit sur Rn la forme quadratique
Q(x1 , . . . , xn ) =
X
xi x j
1≤i, j≤n,i, j
Trouver son rang.
Exercice 4
[ 02758 ]
[Correction]
(a) Soit E un R-espace vectoriel, ϕ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E
et f dans L(E) telle que
∀x, y ∈ E, ϕ( f (x), y) = −ϕ(x, f (y))
Montrer que f est de rang pair.
(b) Si A ∈ Mn (R), montrer que le commutant de A dans Mn (R) est de codimension
paire.
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Corrections
Corrections
de déterminant
Exercice 1 : [énoncé]
La forme polaire de la forme quadratique q est donnée par
Si n = 1, rg Q = 0. Sinon rg Q = n.
ϕ(x, y) =
1
( f1 (x) f2 (y) + f1 (y) f2 (x))
2
On a
x ∈ ker ϕ ⇐⇒ ∀y ∈ E, f1 (x) f2 (y) + f1 (y) f2 (x) = 0
Les formes linéaires f1 et f2 étant indépendantes, les hyperplans ker f1 et ker f2 sont
distincts.
Pour y ∈ ker f1 \ ker f2 , on obtient f1 (x) = 0. De même on montre f2 (x) = 0 et ainsi
ker ϕ ⊂ ker f1 ∩ ker f2 .
L’inclusion réciproque étant immédiate, il en résulte
rg ϕ = codim ker ϕ = 2
Exercice 2 : [énoncé]
2
(n − 1)(−1)n−1
2n
Exercice 4 : [énoncé]
(a) Introduisons une base de E et M et A les matrices de ϕ et f dans cette base.
La matrice M est symétrique et inversible car ϕ non dégénérée.
L’hypothèse ∀x, y ∈ E, ϕ( f (x), y) = −ϕ(x, f (y)) donnet (AX)MY = −t XMAY pour
toutes colonnes X, Y et donc t AM = −MA soit encore t (MA) = −MA. La matrice MA
est antisymétrique donc de rang pair (culture. . . ) et puisque M est inversible A est de
rang pair.
(b) Soit f ∈ L(Mn (R)) défini par f (M) = AM − MA.
Le commutant de A est le noyau de f et sa codimension est le rang de f .
Considérons ϕ : (M, N) → tr(MN). ϕ est une forme bilinéaire symétrique, non
dégénérée car ϕ(M, N) = 0 pour tout N entraîne M = 0.
Pour tout M, N ∈ Mn (R), on vérifie aisément ϕ( f (M), N) = −ϕ(M, f (N)) et on
conclut.
(a) Soit (e1 , . . . , e p ) une base de F.
F ⊥ est un sous-espace vectoriel de E car intersection des noyaux des formes
linéaires fi : x 7→ ϕ(x, ei ).
Ces formes linéaires étant indépendantes (car ϕ non dégénérée) donc dim F ⊥ = n − p.
(b) On a F ⊂ F ⊥⊥ et égalité des dimensions donc égalité des espaces.
(c) Supposons F ⊕ F ⊥ = E. La matrice de ϕ dans une base adaptée est une matrice par
blocs de la forme
!
A O
avec A ∈ M p (K) et B ∈ Mn−p (K).
O B
Or cette matrice est de rang n donc rg A = p et donc ϕ|F n’est pas dégénérée.
Supposons ϕ|F non dégénérée. Soit x ∈ F ∩ F ⊥ . On a pour tout y ∈ F, ϕ(x, y) = 0, or
ϕ est non dégénérée donc x = 0 puis F ⊕ F ⊥ = E.
Exercice 3 : [énoncé]
Dans la base canonique, la matrice de Q est

 0
1 
..

.
2 
(1)

(1)



0
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