Rang d`une forme quadratique

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Rang d’une forme quadratique
Exercice 1 [ 00026 ] [Correction]
Soient f1,f2∈E∗indépendantes et qla forme quadratique définie par
q(x)=f1(x)f2(x)
Déterminer le rang de la forme quadratique q.
Exercice 2 [ 00027 ] [Correction]
Soit ϕune forme bilinéaire symétrique non dégénérée, c’est à dire de rang n, sur un
K-espace vectoriel Ede dimension n.
Pour Fsous-espace vectoriel de E, on note
F⊥={x∈E| ∀y∈F, ϕ(x,y)=0}
(a) Montrer que F⊥est un sous-espace vectoriel de Ede dimension n−dim F.
(b) Justifier F⊥⊥ =F.
(c) Montrer que F⊕F⊥=Esi, et seulement si, la restriction de ϕàFest non dégénérée.
Exercice 3 [ 02762 ] [Correction]
Soit sur Rnla forme quadratique
Q(x1,...,xn)=X
1≤i,j≤n,i,j
xixj
Trouver son rang.
Exercice 4 [ 02758 ] [Correction]
(a) Soit Eun R-espace vectoriel, ϕune forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E
et fdans L(E) telle que
∀x,y∈E, ϕ(f(x),y)=−ϕ(x,f(y))
Montrer que fest de rang pair.
(b) Si A∈ Mn(R), montrer que le commutant de Adans Mn(R) est de codimension
paire.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
La forme polaire de la forme quadratique qest donnée par
ϕ(x,y)=1
2(f1(x)f2(y)+f1(y)f2(x))
On a
x∈ker ϕ⇐⇒ ∀y∈E,f1(x)f2(y)+f1(y)f2(x)=0
Les formes linéaires f1et f2étant indépendantes, les hyperplans ker f1et ker f2sont
distincts.
Pour y∈ker f1\ker f2, on obtient f1(x)=0. De même on montre f2(x)=0 et ainsi
ker ϕ⊂ker f1∩ker f2.
L’inclusion réciproque étant immédiate, il en résulte
rg ϕ=codim ker ϕ=2
Exercice 2 : [énoncé]
(a) Soit (e1,...,ep) une base de F.
F⊥est un sous-espace vectoriel de Ecar intersection des noyaux des formes
linéaires fi:x7→ ϕ(x,ei).
Ces formes linéaires étant indépendantes (car ϕnon dégénérée) donc dim F⊥=n−p.
(b) On a F⊂F⊥⊥ et égalité des dimensions donc égalité des espaces.
(c) Supposons F⊕F⊥=E. La matrice de ϕdans une base adaptée est une matrice par
blocs de la forme
A O
O B!avec A∈ Mp(K) et B∈ Mn−p(K).
Or cette matrice est de rang ndonc rg A=pet donc ϕ|Fn’est pas dégénérée.
Supposons ϕ|Fnon dégénérée. Soit x∈F∩F⊥. On a pour tout y∈F,ϕ(x,y)=0, or
ϕest non dégénérée donc x=0 puis F⊕F⊥=E.
Exercice 3 : [énoncé]
Dans la base canonique, la matrice de Qest
1
2
0 (1)
...
(1) 0
de déterminant
(n−1)(−1)n−1
2n
Si n=1, rg Q=0. Sinon rg Q=n.
Exercice 4 : [énoncé]
(a) Introduisons une base de Eet Met Ales matrices de ϕet fdans cette base.
La matrice Mest symétrique et inversible car ϕnon dégénérée.
L’hypothèse ∀x,y∈E,ϕ(f(x),y)=−ϕ(x,f(y)) donnet(AX)MY =−tXMAY pour
toutes colonnes X,Yet donc tAM =−MA soit encore t(MA)=−MA. La matrice MA
est antisymétrique donc de rang pair (culture. . . ) et puisque Mest inversible Aest de
rang pair.
(b) Soit f∈ L(Mn(R)) défini par f(M)=AM −MA.
Le commutant de Aest le noyau de fet sa codimension est le rang de f.
Considérons ϕ: (M,N)→tr(MN). ϕest une forme bilinéaire symétrique, non
dégénérée car ϕ(M,N)=0 pour tout Nentraîne M=0.
Pour tout M,N∈ Mn(R), on vérifie aisément ϕ(f(M),N)=−ϕ(M,f(N)) et on
conclut.
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