Devoir en Temps Libre n°12.

Devoir en Temps Libre n°12.
Pour le 05-02-2013
Exercice (E3A MP 2010 extrait).
Pour : n ≥ 1, on note : E = 
n
[X].
Pour : (P,Q) ∈ E
2
, on note : ϕ(P,Q) =
∫
+
−
1
1
dt).t(Q).t(P , et : f(P) = ((X
2
– 1).P’)’.
1. Démontrer que ϕ définit un produit scalaire sur E.
Dans la suite du problème, l’espace E est muni de ce produit scalaire qui en fait un espace euclidien et sa
norme associée sera notée . .
On dira par ailleurs qu’un endomorphisme u de E est symétrique (ou autoadjoint) si et seulement si :
∀ (P,Q) ∈ E
3
, ϕ(P,u(Q)) = ϕ(u(P),Q).
2. Démontrer que f est un endomorphisme de E.
3. Démontrer que f est un endomorphisme symétrique de E.
4. Déterminer ker(f) et en déduire le rang de f.
5. On suppose dans cette question seulement que : n = 2, et on pose : P
0
= 1 + X.
a. Déterminer le projeté orthogonal de P
0
sur Im(f).
b. Déterminer : m = )P(fPinf
0
]X[RP
2
−
∈.
Que vient-on ainsi de déterminer ?
c. Montrer que l’équation : )P(fP
0
− = m, d’inconnue : P ∈ 
2
[X], admet une unique solution que l’on
déterminera.
6. On définit une suite (L
k
) de polynômes en posant :
• L
0
= 1, et :
• ∀ k ∈ *, L
k
= ((X
2
– 1)
k
)
(k)
, c’est à dire la dérivée k
ième
de (X
2
– 1)
k
.
a. Calculer les polynômes L
1
, L
2
, L
3
.
b. Déterminer pour tout entier k, deg(L
k
).
c. En utilisant la formule de Leibniz, exprimer les polynômes :
• A
k
= ((X
2
– 1).(X
2
– 1)
k
)
(k+2)
,
• B
k
= (X.(X
2
– 1)
k
)
(k+1)
.
à l’aide des polynômes L
k
, L
k
’, L
k
’’.
d. Démontrer que pour tout entier k, on a : (X
2
– 1).L
k
’’ + 2.X.L
k
’ – k.(k + 1).L
k
= 0.
e. A l’aide de la relation précédente, montrer que L
k
est vecteur propre de f en précisant la valeur propre
associée.
f. Démontrer que (L
0
, …, L
n
) est une base orthogonale de E.
g. (hors concours E3A) Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de f.
Problème (CCP PC 2004).
On notera, pour un entier naturel n non nul, S
n
() l’ensemble des matrices symétriques réelles et on admettra
que toute matrice de cet ensemble est diagonalisable par l’intermédiaire d’une matrice orthogonale P, c'est-à-
dire vérifiant :
t
P.P = I
n
.
Pour : A ∈ M
n,p
(), on notera ker(A) le noyau de A, à savoir : ker(A) = {X ∈ M
p,1
(), A.X = 0}, et Im(A)
l’image de A, c'est-à-dire : Im(A) = {Y ∈ M
n,1
(), ∃ X ∈ M
p,1
(), Y = A.X}.
On munit 
n
de son produit scalaire canonique, noté <.,.> et la norme associée sera notée . .
Selon l’usage, on identifiera 
n
et M
n,1
().
Partie 1.
1. Soit M la matrice de M
4
() donnée par : M =
−
2000
0111
2000
2111
.
a. Déterminer une base de ker(M) et ker(
t
M).
Existe-t-il une relation d’inclusion entre ces ensembles ?
b. Déterminer une base de Im(M) et Im(
t
M).
Existe-t-il une relation d’inclusion entre ces ensembles ?

2. Soit : A ∈ M
n,p
().
a. Montrer que : ker(
t
A.A) = ker(A), et : ker(A.
t
A) = ker(
t
A).
b. Montrer que : rg(
t
A.A) = rg(A.
t
A) = rg(A).
c. Montrer que : Im(
t
A.A) = Im(
t
A), et : Im(A.
t
A) = Im(A).
3. Soit : q ∈ *, et : S = (x
1
, …, x
q
) un système de q vecteurs de 
n
.
On note F le sous-espace vectoriel engendré par S, r = dim(F), et : G = (g
i,j
), la matrice de M
q
() définie
par : ∀ 1 ≤ i,j ≤ q, g
i,j
= <x
i
,x
j
>.
Le déterminant de G est appelé déterminant de Gram du système S et sera noté γ(x
1
, …, x
q
).
Etant donnée une base orthonormale (e
1
, …, e
r
) de F, on note pour : 1 ≤ j ≤ q, x
j
=
∑
=
r
1i ij,i e.b
.
Enfin, on note B la matrice de M
r,q
() de terme général b
i,j
.
a. Montrer que : G =
t
B.B, et en déduire que : rg(G) = rg(S).
b. Montrer que G est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes positives.
c. En déduire que : γ(x
1
, …, x
q
) ≥ 0, et que : γ(x
1
, …, x
q
) = 0, si et seulement si (x
1
, …, x
q
) est liée.
d. Montrer que l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec sa condition nécessaire et suffisante d’égalité est un
cas particulier du résultat précédent.
4. Montrer que γ(x
1
, …, x
q
) est invariant si l’on ajoute à l’un des vecteurs une combinaison linéaire des autres.
5. Dans cette question, on suppose : q ≥ 2.
a. On note L le sous-espace vectoriel engendré par (x
2
, …, x
q
) et p
L
(x
1
) la projection orthogonale de x
1
sur
L, puis on pose : h
1
= x
1
– p
L
(x
1
). Montrer que : γ(x
1
, …, x
q
) = .h
2
1
γ(x
2
, …, x
q
).
b. En déduire successivement que :
• γ(x
1
, …, x
q
) ≤ γ(x
1
).γ(x
2
, …, x
q
), avec égalité si et seulement si x
1
est orthogonal à L,
• γ(x
1
, …, x
q
) ≤ γ(x
1
).γ(x
2
)…γ(x
q
), avec égalité si et seulement si les vecteurs x
1
, …, x
q
sont deux à
deux orthogonaux.
6. Soit : A = (a
i,j
) ∈ Gl
n
(), et c
1
, …, c
n
ses vecteurs colonnes.
a. Montrer que : |det(A)| ≤
∏
=
n
1k k
c
avec égalité si et seulement si c
1
,…, c
n
sont deux à deux orthogonaux.
b. On suppose de plus que : ∀ 1 ≤ i,j ≤ n, |a
i,j
| ≤ 1.
Montrer que : |det(A)| ≤
n
n , avec égalité si et seulement si A est une matrice à coefficients dans
{-1,+1} et dont les vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux.
Partie 2.
On note :
• H
n
l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans {-1,+1} et dont les vecteurs sont deux à
deux orthogonaux.
• D
n
l’ensemble des matrices diagonales d’ordre n à coefficients diagonaux dans {-1,+1}.
• E l’ensemble des entiers naturels pour lesquels H
n
est non vide.
1. Déterminer explicitement tous les éléments de H
2
.
2. a. Montrer que toute matrice A de H
n
vérifie :
t
A.A = n.I
n
.
b. Réciproquement, toute matrice A vérifiant :
t
A.A = n.I
n
, est-elle dans H
n
?
c. Montrer que si A vérifie :
t
A.A = n.I
n
, et est à coefficients dans {-1,+1}, alors A est dans H
n
.
3. On appelle permutation de 
n
une bijection de 
n
dans lui-même, et matrice de permutation P
(σ)
associée à
la permutation σ, la matrice dont les éléments sont : ∀ 1 ≤ i,j ≤ n, P
(σ)i,j
= δ
i,σ(j)
, où δ
k,l
désigne le symbole de
Kronecker défini par : (δ
k,l
= 1, si : k = l), et (δ
k,l
= 0, si : k ≠ l).
Soit σ une permutation de 
n
, et : A ∈ M
n
().
a. Donner le terme général de la matrice
t
P
(σ)
.A et expliquer comment l’obtient à partir de A.
b. Donner le terme général de la matrice A.P
(σ)
et expliquer comment l’obtient à partir de A.
c. Montrer que si A appartient à H
n
, il en est de même pour
t
A,
t
P
(σ)
.A et A.P
(σ)
, pour toute permutation σ,
ainsi que pour A.∆ et ∆.A, pour toute matrice ∆ de D
n
.
4. Pour : A ∈ M
2
(), et : B ∈ M
n
(), on définit : A ⊗ B =
B.aBa
B.aB.a
2221
1211
∈ M
2n
().
a. Montrer que si : A ∈ H
2
, et : B ∈ H
n
, alors : A⊗B ∈ H
2n
.
b. En déduire que E contient toutes les puissances de 2.
c. Montrer que l’ensemble {A⊗B, (A,B) ∈ H
2
× H
2
} est strictement inclus dans H
4
.
5. Soit : n ∈ E, n > 2.
a. Montrer qu’il existe un élément de H
n
dont tous les coefficients de la première colonne valent 1.

Déduire de l’orthogonalité des colonnes 1 et 2 d’une telle matrice que n est pair (on posera : n = 2.m).
b. Montrer qu’il existe un élément de H
n
dont tous les coefficients de la première colonne valent 1 et dont la
deuxième colonne est constituée de m coefficients égaux à 1 suivis de m coefficients égaux à -1.
Déduire de l’orthogonalité de la troisième colonne avec les colonnes 1 et 2 que n est un multiple de 4.
Partie 3.
Une matrice S de S
n
() est dite positive si et seulement si : ∀ X ∈ M
n,1
(),
t
X.S.X ≥ 0,
et définie positive si et seulement si : ∀ X ∈ M
n,1
(), (X ≠ 0) ⇒ (
t
X.S.X > 0).
On notera S
n+
() l’ensemble des matrices symétriques réelles positives d’ordre n et S
n++
() l’ensemble des
matrices symétriques réelles définies positives d’ordre n.
1. Pour : S ∈ S
n
().
Montrer que : S ∈ S
n++
(), si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.
2. Soit : M ∈ Gl
n
().
On voudrait montrer l’existence de R orthogonale et S symétrique, définie, positive telles que : M = R.S.
a. Montrer que la matrice
t
M.M est symétrique, définie et positive.
b. En déduire qu’il existe : S ∈ S
n++
(), telle que :
t
M.M = S
2
.
c. Montrer que S est inversible puis que M.S
-1
est orthogonale.
d. Conclure.
Dans toute la suite, on admettra l’unicité d’une telle décomposition.
3. Soit : Σ ∈ S
n+
(), λ
1
, …, λ
n
ses valeurs propres, non nécessairement distinctes, D la matrice diagonale
dont les éléments diagonaux sont λ
1
, …, λ
n
, et : Q ∈ O
n
().
a. Montrer que : tr(Σ) =
∑
=λ
n
1i i
.
b. Montrer qu’il existe Q
1
orthogonale telle que : tr(Q.Σ) = tr(Q
1
.D), et en déduire que : tr(Q.Σ) ≤ tr(Σ).
c. Montrer que : )(tr)].Q(tr[sup
)R(OQ
n
Σ=Σ
∈
.
4. Pour : n ∈ E, et pour toute matrice A de H
n
, on pose : f(A) =
∑ ∑∑
= =≤≤
=
n
1i
n
ij j,i nj,i1 j,i
aa .
a. Montrer que l’application f ainsi définie de H
n
dans  admet une borne supérieure que l’on notera α
n
.
b. Soit T la matrice d’ordre n définie par : (t
i,j
= 1, si : i ≥ j) et (t
i,j
= 0, sinon).
Montrer que : f(A) = f(A.T).
c. Avec les notations de la question III.2 : T = R.S, montrer que : f(A) ≤ n .tr(S), et : α
n
≤ n .tr(S).
d. Lorsque : n = 2, évaluer α
2
, puis 2 .tr(S).