Cours de terminale S Fonctions de référence Les fonctions sinus et
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Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Cours de terminale S Fonctions de référence Les fonctions sinus et cosinus V. B. et S. B. Lycée des EK V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Définition Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde) V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Définition Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde) La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe .................. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Définition Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde) La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Définition Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde) La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M. On note : ..................... V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Définition Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde) La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M. On note : cos : x ∈ R 7−→ cos x V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Définition Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde) La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M. On note : cos : x ∈ R 7−→ cos x La fonction sinus est la fonction qui à tout réel x associe .................. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Définition Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde) La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M. On note : cos : x ∈ R 7−→ cos x La fonction sinus est la fonction qui à tout réel x associe l’ordonnée de M. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Définition Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde) La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M. On note : cos : x ∈ R 7−→ cos x La fonction sinus est la fonction qui à tout réel x associe l’ordonnée de M. On note : ..................... V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Définition Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde) La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M. On note : cos : x ∈ R 7−→ cos x La fonction sinus est la fonction qui à tout réel x associe l’ordonnée de M. On note : sin : x ∈ R 7−→ sin x V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Définition Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde) La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M. On note : cos : x ∈ R 7−→ cos x La fonction sinus est la fonction qui à tout réel x associe l’ordonnée de M. On note : sin : x ∈ R 7−→ sin x Ainsi, les fonctions cosinus et sinus sont définies sur R. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Théorème Les fonctions sinus et cosinus sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Théorème Les fonctions sinus et cosinus sont continues et dérivables sur R. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Théorème Les fonctions sinus et cosinus sont continues et dérivables sur R. Pour tout réel x : (sin x)0 = . . . . . . V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Théorème Les fonctions sinus et cosinus sont continues et dérivables sur R. Pour tout réel x : (sin x)0 = cos x V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Théorème Les fonctions sinus et cosinus sont continues et dérivables sur R. Pour tout réel x : (sin x)0 = cos x V. B. et S. B. et (cos x)0 = . . . . . . Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Théorème Les fonctions sinus et cosinus sont continues et dérivables sur R. Pour tout réel x : (sin x)0 = cos x et V. B. et S. B. (cos x)0 = − sin x Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Soit a et b deux réels : V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Soit a et b deux réels : • la fonction f définie sur R par f (x) = sin(ax + b) est dérivable sur R et pour tout réel x : f 0 (x) = . . . . . . . . . . . . . . . V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Soit a et b deux réels : • la fonction f définie sur R par f (x) = sin(ax + b) est dérivable sur R et pour tout réel x : f 0 (x) = a cos(ax + b) V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Soit a et b deux réels : • la fonction f définie sur R par f (x) = sin(ax + b) est dérivable sur R et pour tout réel x : f 0 (x) = a cos(ax + b) • la fonction f définie sur R par f (x) = cos(ax + b) est dérivable sur R et pour tout réel x : f 0 (x) = . . . . . . . . . . . . . . . V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Soit a et b deux réels : • la fonction f définie sur R par f (x) = sin(ax + b) est dérivable sur R et pour tout réel x : f 0 (x) = a cos(ax + b) • la fonction f définie sur R par f (x) = cos(ax + b) est dérivable sur R et pour tout réel x : f 0 (x) = − a sin(ax + b) V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Démonstration V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Démonstration On sait que si f (x) = g(ax + b), alors f 0 (x) = . . . . . . . . . . . . V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Démonstration On sait que si f (x) = g(ax + b), alors f 0 (x) = ag 0 (ax + b) V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Démonstration On sait que si f (x) = g(ax + b), alors f 0 (x) = ag 0 (ax + b) (voir le cours sur les dérivées). ............................................................ ........................ V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Théorème admis Calcul de dérivées Démonstration On sait que si f (x) = g(ax + b), alors f 0 (x) = ag 0 (ax + b) (voir le cours sur les dérivées). Il suffit d’appliquer cette formule en prenant pour g la fonction sinus ou la fonction cosinus. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Périodicité Pour tout réel x : sin(x + 2π) = . . . . . . V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Périodicité Pour tout réel x : sin(x + 2π) = sin x V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Périodicité Pour tout réel x : sin(x + 2π) = sin x et V. B. et S. B. cos(x + 2π) = . . . . . . Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Périodicité Pour tout réel x : sin(x + 2π) = sin x V. B. et S. B. et cos(x + 2π) = cos x Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Périodicité Pour tout réel x : sin(x + 2π) = sin x et cos(x + 2π) = cos x On dit que les fonctions sinus et cosinus sont . . . . . . . . . . . . . . . ............ V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Périodicité Pour tout réel x : sin(x + 2π) = sin x et cos(x + 2π) = cos x On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Application il suffit de connaître les valeurs prises par les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle d’amplitude 2π pour déterminer les valeurs de ces fonctions pour tout réel x. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Application il suffit de connaître les valeurs prises par les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle d’amplitude 2π pour déterminer les valeurs de ces fonctions pour tout réel x. En particulier, pour le tracé des courbes représentatives, il suffit de tracer les courbes sur l’intervalle [−π; π] par exemple puis de compléter par des translations successives de vecteur 2π~i et −2π~i. (~i étant le vecteur unitaire en abscisse). V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Parité Pour tout réel x : sin(−x) = . . . . . . V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Parité Pour tout réel x : sin(−x) = − sin x V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Parité Pour tout réel x : sin(−x) = − sin x V. B. et S. B. et cos(−x) = . . . . . . Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Parité Pour tout réel x : sin(−x) = − sin x V. B. et S. B. et cos(−x) = cos x Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Parité Pour tout réel x : sin(−x) = − sin x et cos(−x) = cos x On dit que la fonction sinus est . . . . . . . . . V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Parité Pour tout réel x : sin(−x) = − sin x et cos(−x) = cos x On dit que la fonction sinus est impaire V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Parité Pour tout réel x : sin(−x) = − sin x et cos(−x) = cos x On dit que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est . . . . . . V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Parité Pour tout réel x : sin(−x) = − sin x et cos(−x) = cos x On dit que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Conséquence : dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère et la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Conséquence : dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère et la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Application : pour le tracé des courbes représentatives dans un repère orthogonal, on peut se restreindre à l’intervalle [0; π], puis compléter sur l’intervalle [−π; π] à l’aide des symétries précisées ci-dessus et enfin utiliser les translations comme précédemment. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Propriété sin x = ... x→0 x lim V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Propriété sin x =1 x→0 x lim V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Démonstration La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Démonstration La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Démonstration La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : sin(0 + x) − sin 0 est le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Démonstration La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : sin(0 + x) − sin 0 est le taux d’accroissement x V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Démonstration La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : sin(0 + x) − sin 0 est le taux d’accroissement de la fonction x sinus en 0. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Démonstration La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : sin(0 + x) − sin 0 est le taux d’accroissement de la fonction x sinus en 0. Sa limite quand x tend vers 0 est le . . . . . . . . . . . . . . . V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Démonstration La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : sin(0 + x) − sin 0 est le taux d’accroissement de la fonction x sinus en 0. Sa limite quand x tend vers 0 est le nombre dérivé V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Démonstration La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : sin(0 + x) − sin 0 est le taux d’accroissement de la fonction x sinus en 0. Sa limite quand x tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 qui est . . . . . . . . . . . . V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Démonstration La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : sin(0 + x) − sin 0 est le taux d’accroissement de la fonction x sinus en 0. Sa limite quand x tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 qui est cos 0 = 1. V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Périodicité Parité Limites Démonstration La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé : sin(0 + x) − sin 0 est le taux d’accroissement de la fonction x sinus en 0. Sa limite quand x tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 qui est cos 0 = 1. Donc lim x→0 sin(0 + x) − sin 0 sin x = lim = 1. x x x→0 V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Grâce aux propriétés de périodicité et de parité énoncées plus haut, on peut limiter l’étude des variations à l’intervalle [0; π]. Le signe des fonctions dérivées s’obtient avec le cercle trigonométrique. Fonction cosinus x f 0 (x) 0 π = − sin x f (x) = cos x V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Grâce aux propriétés de périodicité et de parité énoncées plus haut, on peut limiter l’étude des variations à l’intervalle [0; π]. Le signe des fonctions dérivées s’obtient avec le cercle trigonométrique. Fonction cosinus x f 0 (x) 0 = − sin x 0 f (x) = cos x π − 0 Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Grâce aux propriétés de périodicité et de parité énoncées plus haut, on peut limiter l’étude des variations à l’intervalle [0; π]. Le signe des fonctions dérivées s’obtient avec le cercle trigonométrique. Fonction cosinus x f 0 (x) 0 = − sin x 0 1 f (x) = cos x π − 0 Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Grâce aux propriétés de périodicité et de parité énoncées plus haut, on peut limiter l’étude des variations à l’intervalle [0; π]. Le signe des fonctions dérivées s’obtient avec le cercle trigonométrique. Fonction cosinus x f 0 (x) 0 = − sin x 0 π − 0 1 f (x) = cos x −1 Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Grâce aux propriétés de périodicité et de parité énoncées plus haut, on peut limiter l’étude des variations à l’intervalle [0; π]. Le signe des fonctions dérivées s’obtient avec le cercle trigonométrique. Fonction cosinus x f 0 (x) 0 = − sin x 0 π − 0 1 f (x) = cos x −1 V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Fonction sinus x f 0 (x) 0 π 2 π = cos x f (x) = sin x V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Fonction sinus 0 π 2 π = cos x 1 0 −1 x f 0 (x) f (x) = sin x Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Fonction sinus x f 0 (x) = cos x 1 f (x) = sin x π 2 0 + 0 π − −1 Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Fonction sinus x f 0 (x) π 2 0 = cos x 1 f (x) = sin x 0 + 0 π − −1 Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Fonction sinus x f 0 (x) π 2 0 = cos x 1 + 0 1 f (x) = sin x 0 π − −1 Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Fonction sinus x f 0 (x) π 2 0 = cos x 1 + 0 π − −1 1 f (x) = sin x 0 0 Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Fonction sinus x f 0 (x) π 2 0 = cos x 1 + 0 π − −1 1 f (x) = sin x 0 0 Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques Fonction sinus x f 0 (x) π 2 0 = cos x 1 + 0 π − −1 1 f (x) = sin x 0 V. B. et S. B. 0 Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques F IGURE : Courbe représentative de la fonction cosinus V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques F IGURE : Courbe représentative de la fonction cosinus V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques F IGURE : Courbe représentative de la fonction sinus V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer Définitions Dérivées Propriétés Variations et représentations graphiques Variations Représentations graphiques F IGURE : Courbe représentative de la fonction sinus V. B. et S. B. Présentation en Latex avec Beamer
