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ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 1/16 Leçon n°2 : Champs et potentiels dans le vide 1. Champ électrique En considérant l'action d'une distribution de charges sur une charge ponctuelle d'épreuve q' , qu'elle soit continue ou discrète, on remarque qu'il est possible de dissocier dans l'expression de la force résultante, ce qui subit l'action de ce qui la provoque. Dans le cas d'une distribution de charges continues agissant sur une charge d'épreuve ponctuelle q' : Figure 1: Résultante des forces élémentaires d'une distribution continue r F=
r
r
1
u
1
u q 'dq = q ' ò
dq 2
2 ò
D 4 p e0 r
D 4 p e 0 r
La charge d'épreuve est q' . Le terme qui contient l'effet de la distribution continue est une fonction de l'espace et ne dépend donc pas de la valeur de la charge d'épreuve q', on le désigne sous le nom de champ électrique local:
uuur
E= 1
4 p e 0 uur
r ur u dq = uuu
E ( r ) ò r 2 D
Sa valeur à l'endroit où se trouve la charge d'épreuve ne dépend que de la distribution de charge de l'environnement. La résultante agissant sur q' peut donc s'écrire sous la forme: r
ur
F = q' E
Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 2/16 Dans le cas d'une distribution de charges ponctuelles discrètes agissant sur une charge d'épreuve ponctuelle q' , le même raisonnement s'applique: Figure 2: Résultante des forces élémentaires d'une distribution discrète r
F=
N
å
i =1
1 q ' q i uur
u i = q'
4 p e 0 r i 2
N å
i = 1 q i 4 p e 0 r i 2 uur u i ur Là encore on sépare ce qui subit l'effet q' , de ce qui le crée: le champ électrique E également fonction locale de l'espace.
uuur
E=
N q uuuur
uuur ur i u = E ( r ) å
2 i 4
p
e
r
i = 1 0 i de la même façon, la résultante agissant sur q' s'écrit alors sous la forme: r
ur F = q' E
Le champ électrique s'exprime en Newton par Coulomb, nous verrons plus loin que l'unité équivalente la plus courante est le Volt par mètre: ur E
s 'exp rime en
N/C = V/m
Le concept de champ électrique, n'est possible que grâce à l'existence du théorème de superposition. On verra plus loin que cette dépendance impliquera que les équations gouvernant localement le champ électrique seront des équations linéaires. Le champ électrique, comme le champ de force électrostatique n'est fonction que de la seule position dans l'espace, c'est un vrai vecteur; il sera donc invariant par tout changement d'axes, y compris ceux qui changent le signe du trièdre de référence. Cette propriété est fondamentale pour ce qui va suivre.
Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 3/16 2. Théorème de Helmholtz Au dix­neuvième siècle, la physique classique s'est développée de concert avec l'analyse vectorielle. En fait aussi bien la mécanique que l'électromagnétisme utilisent des vecteurs pour exprimer les lois et les théorèmes, bien qu'en toute rigueur les êtres mathématiques manipulés n'en sont pas tous. En effet la principale propriété d'un vecteur est d'être invariant par changement de repères. Si la vitesse ou le champ électrique sont des vecteurs à part entière, le moment d'une force et le champ magnétique changent de signe par inversion du trièdre de référence. On distingue ces deux classes sous des vocables différents: les vrais vecteurs (ou "vecteurs polaires") et pseudo­vecteurs ou ("vecteurs axiaux"). Du point de vue mathématique, si les vecteurs polaires appartiennent bien à un espace vectoriel, les vecteurs axiaux sont en fait des tenseurs du second ordre anti­symétriques. Dans un espace à trois dimensions, ce dernier objet admet comme un vecteur, trois composantes différentes. En s'obligeant à travailler toujours avec des trièdres directs (droits ou positifs), en en définissant pour la circonstance le produit vectoriel, le physicien utilise indifféremment les deux sortes de vecteurs pour exprimer les lois de la physique classique. Signalons que le produit vectoriel de deux vecteurs polaires est un vecteur axial. Les champs de vecteurs rencontrés en physique sont réguliers, c'est à dire que des dérivées premières et secondes sont des fonctions continues dans toutes les directions de l'espace. Les vrais champs de uur uuuuur
r r vecteurs W = W r sont toujours la variation locale d'un champ scalaire f = f r :
ur uuuuuuuuur
w = grad ( f ) ( ) ( ) L'opérateur vecto­différentiel gradient étend la notion de dérivée première à une fonction de plusieurs variable:
r f = f r = f ( x , y , z ) ()
On dit que le vrai vecteur dérive d'un potentiel. uuuu
r r
Quant au pseudo­vecteur il dérive d'un vecteur polaire P r à travers l'opérateur vecto­différentiel ( ) rotationnel que l'on rencontrera par la suite:
ur uuuuuuu
urr B = rot P
( ) En analyse vectorielle (du physicien), on énonce le théorème de Helmholtz: "Tout les champs de vecteurs réguliers rencontrés en physique sont le résultat de la superposition d'un champ de gradient et d'un champ de rotationnel":
uuuuuuuuuuur
uuuuuuu
uur
r r uuuuuuuuuuuur
w r = grad f + rot æç P ö÷
è ø
()
( ) En particulier les vecteurs polaires (ou vrais vecteurs) sont des champs de gradients, et les vecteurs axiaux (ou pseudo­vecteurs) sont de champs de rotationnels. ur r Le champ électrique E ( r ) n'est évidemment pas affecté par le choix des coordonnées utilisées pour l'exprimer. Totalement invariant par changement de repères, c'est un champ de vecteurs polaires. Il dérive donc d'un gradient.
Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 4/16 3. L' opérateur gradient en physique Pour le physicien, il est important de cerner le sens géométrique du gradient. Avant cela il faut définir ce que l'on entend par champs. On nomme champ une fonction de points de l'espace. r On distingue les champs scalaires: f = f r = f ( x , y , z ) , comme par exemple la valeur de la r température en un point de l'espace: q = q r , qui est un champ scalaire régulier; et les champs de ur ur r vecteurs: w = w r comme par exemple le champ électrique ou le champ de vitesses d'un fluide, tous ()
( ) ( ) des champs réguliers (car les dérivées premières et secondes, dans toutes les directions de l'espace, sont des fonctions continues). r Soit un champ scalaire f ( r ) régulier au point M de l'espace, en effectuant un déplacement r r
r infinitésimal d r , la nouvelle valeur du champ est f ( r + d r) . Notre Objectif est de pouvoir déterminer la valeur de l'accroissement du champ: r r
r
r df = f(r + dr) - f(r)
à partir du déplacement d r . Figure 3: Vecteur gradient Pour cela considérons toutes les directions possibles autour du point M. Parmi celles­ci, il en existe une correspondant à la variation la plus rapide du champ f. Dans cette direction la variation du champ f df
rapportée à la distance parcourue l (dérivée ), donne la valeur du module d’un vecteur que l’on d l nomme gradient de f. uuuuuur On le symbolise par grad f .
Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 5/16 Pour récapituler le gradient d’un champ scalaire f au point M est un vecteur dont:
· la direction est celle de la variation la plus rapide du champ f
· le sens correspond à la croissance du champ f
df
· le module est la dérivée par rapport au déplacement : d l uuuuuur r La projection dans la direction de grad f du vecteur déplacement d r , permet d’obtenir la variation de df par la formule: uuuuuuuuuur
uur df = grad f · d r
Cette expression permet de montrer, qu'à partir de deux dimensions, pour une fonction de points f, le gradient est la généralisation du concept de dérivée spatiale. On note également le gradient sous la forme: uuuuuur ur grad f = Ñ f
ur Remarquons qu’en coordonnées cartésiennes on peut considérer le symbole Ñ comme un opérateur agissant sur un champ scalaire ou un champ vectoriel défini par: ur
¶ r
¶ r
¶ r Ñ=
i +
j+
k ;
¶x
¶y
¶z
lire " Nabla " Il permet alors, non seulement d’obtenir les composantes cartésiennes du gradient: uuuuuur ur
¶ f r ¶ f r ¶ f r grad f = Ñ f =
i +
j+
k ¶x
¶y
¶z
mais aussi celles d’autres opérateurs, par exemple celles du rotationnel, de la divergence ou du laplacien scalaire: uuuuu
urr ur ur rot A = Ñ Ù A
ur ur ur div A = Ñ · A
ur ur lap f = D f = Ñ · Ñ f
A partir de la relation fondamentale: uuuuuuuuuur
uur df = grad f · d r
on démontre sans difficulté, pour l 1 et l 2 constants, la propriété de linéarité: uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru
uuuuuuur
uuuuuuur
grad ( l1 f1 + l 2 f 2 ) = l1 grad f1 + l 2 grad f 2 Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 6/16 On déduit également, sans difficulté, la propriété fondamentale sur l'intégration d'un champ de gradient sur une courbe orientée C 1 (circulation) : la valeur de la somme d'un champ de gradient, le long de la courbe, ne dépend que des extrémités et pas du chemin suivi entre ces 2 points. Figure 4: Chemin ouvert ò
B
A C uuuuuur
r grad f · dr = f (B) - f (A)
Conséquence évidente de cette relation. La circulation d'un gradient sur une courbe fermée est nulle: Figure 5: Chemin fermé Ñò
uuuuuur r
grad f · dr = 0
C Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 7/16 4. Le potentiel électrique Figure 6: Champ coulombien Pour une charge ponctuelle q , le champ créé s'écrit: ur
E=
1
q r u 4 p e 0 r 2 Il est régulier en dehors de la position occupée par la charge q . C'est par ailleurs un vrai champ de r vecteurs, il dérive donc d'un champ scalaire régulier V = V r à travers l'opérateur gradient:
uuuuuuuuuuur
uur ( ) E = - grad ( V ) Le signe moins est introduit par commodité afin de raisonner par la suite, sur des grandeurs énergétiques positives. L'intégration de cette dernière relation conduit à l'expression du potentiel: V=
1 q cst + 4 p e 0 r Le potentiel est toujours défini à une constante additive près. Ceci est une conséquence du fait qu'il est introduit à partir du gradient qui est une dérivation. Il est remarquer que les applications feront intervenir la différence de potentiel et qu'alors la constante additive disparaîtra. L'unité du potentiel électrique est le Volt dans le système international. La définition du potentiel à partir du champ électrique montre que le champ électrique peut s'exprimer à l'aide des deux unités du système: ur E
»
N/C = V/m
r La régularité du champ scalaire V = V r
( ) engendre l'existence dans l'espace, de surfaces équipotentielles.
Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 8/16 Les propriétés du gradient impliquent que les vecteurs champs sont orthogonaux aux surfaces équipotentielles. Les courbes normales aux surfaces équipotentielles sont qualifiées de lignes de champs. Les conclusions des raisonnements effectués sur les deux types de distributions continue ou discrète sont similaires. Dorénavant les résultats déduits ne le seront qu'à partir d'une seule des deux distributions. Pour une distribution discrète de charges, Figure 7: Champ d'une distribution discrète le champ électrique produit localement s'écrit: N uur
ur
E = å Ei =
N å
i =1
i = 1 1 q i uur u i 4 p e 0 r i 2 Pour chaque charge ponctuelle, le potentiel créé s'obtient par:
uuuuuuuuuuuur
uuur E i = - grad ( Vi ) il vient:
ur
E=
N
å
uur E i =
i =1
i i = 1 L'opérateur gradient étant linéaire:
N
uuuuuuuuuuuuur
N å ( - grad ( V ) ) uuuuuuuuuuuuur å ( grad ( V ) ) i i =1
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuruu
æ N ö
= grad ç å Vi ÷
è i = 1 ø
En représentant la somme locale des potentiels par V: N V=
å V
i i = 1 Ce potentiel est associé au champ électrique résultant:
uuuuuuuuuuur
uur E = - grad ( V ) La relation champ/potentiel est identique quelques soient les champs électriques considérés.
Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 9/16 Si l'envisage de déplacer "doucement" une charge q' dans la zone d'influence d'une distribution de charges électriques, il faut dépenser de l'énergie: c'est le travail des forces électrostatiques. Figure 8: Travail des forces électrostatiques Pour évaluer l'énergie nécessaire au déplacement d'une particule d'épreuve q' , sur une courbe C entre les points A et B, reprenons la définition du travail d'une force qui déplace son point d'application: B
uur
uuuur
B W A B = ò F · d l =
C
òA A
Le champ électrique dérivant d'un potentiel:
uur uuuur
uur
q' E · dl
C uuuuuuuuuuur
E = - grad ( V ) il vient: W A B = - q'
B uuuuuuuuuur
òA uuuur
grad V · d l
C uuuur
Le vecteur élémentaire d l appartenant à l'ensemble des vecteurs déplacements élémentaires:
uuuur
uuur
d l Î d r
{ } on reconnaît alors la formule de définition du gradient vue plus haut: uuuuur
W A B = - q '
B
òA
uuuuuuuuuur
r
d V = grad V · d r
Þ uuuur
B uuuuuuuuuur
grad V · d l = - q '
C
òA
C
uuur
grad V · d r = - q ' ò
C
B A d V Þ W AB = q'æç V A - V B ö÷
è
ø
L'énergie nécessaire pour déplacer la charge de A à B est égale à la charge multipliée par différence de potentiel entre A et B. Il est à remarquer que cette énergie W A B de dépend pas du chemin C suivi pour aller de A à B; seules la valeur du potentiel des extrémités ont une importance sur le résultat.
Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 10/16 5. Le flux électrique De façon générale, un flux est une intégrale de surface qui sera définie avec champ de vecteurs réguliers et une surface orientée. Une surface orientée admet deux faces distinctes, c'est à dire que l'on ne peut pas passer d'une face à l'autre par un déplacement continu. Le ruban de Möbius en est un contre­exemple, il sera impossible de calculer un flux à travers celui­ci. La surface considérée étant orientable, sur une des faces choisie comme positive, il est possible en un r point de construire un vecteur normal unitaire n . Autour de ce point il existe un élément d'aire infiniment petit dS. uuuur Localement, on désigne par élément de surface dS le produit de l'élément d'aire dS par le vecteur uur normal n : uuuuur uur dS = n dS
Figure 9: Surface orientable Le traitement complet d'une intégrale de surface nécessite de paramétrer la surface avec deux variables u et v, afin de se ramener à une intégrale double ordinaire sur la carte associée. Par exemple la surface terrestre (sphère) est paramétrée avec la longitude et la latitude. Nos applications dans ce cours n'auront pas besoin de développer ces techniques mathématiques. Les exemples proposés se simplifieront toujours au cours de la déduction de leurs solutions. Néanmoins, pour cela il est impératif d'avoir assimilé les aspects géométriques des concepts mathématiques rencontrés.
Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 11/16 uuuuuu
r r
Un champ de vecteurs réguliers W r est défini dans une région de l'espace, en particulier sur une ( ) surface orientable. Figure 10: Flux d'un champ de vecteurs uuuuuu
r r
Sur la surface, il est possible en chaque point de faire le produit scalaire du vecteur W r par la ( ) normale locale:
uuuuuu
rr uuuur ur
W r ·n r
( ) ( ) Le nombre obtenu sera multiplié par l'élément d'aire locale dS , pour obtenir l'élément de flux d F , du uuuuuu
r r
champ de vecteur W r à travers la surface S :
uuuuuu
rr uuuurur
uur uur d F = W r · n r dS = W · dS
( ) ( ) ( ) uuuuuu
r r
Le flux F du champ de vecteur W r ( ) l'ensemble de la surface:
à travers S est la somme du flux élémentaire dF sur uuur
uuuur
F = òò W · dS
uur
=
S
r òò ( W · n ) d S S
Le flux qui est intégrale de surface sera aisément calculable lorsque les symétries du problème permettront de calculer sur toute le surface la même valeur du produit scalaire:
uuuuuu
rr uuuur ur
p=W r ·n r
( ) ( ) Dans ce cas la valeur du flux sera: F = p S
Dans beaucoup de nos applications, les symétries du problèmes permettront de calculer le flux de cette façon.
Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 12/16 Si le champ de vecteurs est le champ électrique, on définit le flux électrique F E par:
uur
uuuur
F E = òò E · dS
S
ur
=
r òò ( E · n ) d S S
Figure 11: Flux électrique Le flux électrique qui est un champ électrique multiplié par une surface s'exprime en Newton mètre carré par coulomb, soit: 2 F E » N m = V m C
Parmi les flux important pour les applications, signalons le flux W d'un champ Newtonien à travers une surface: r
u uur W = òò 2 · d S r
S
Nous montrerons plus tard que cette grandeur entretient un rapport très étroit avec l'angle solide spatial. En particulier si la surface est fermée, W peut prendre seulement trois valeurs:
· · · W = 0 si l'origine des coordonnées est en dehors du domaine limité par la surface
W = 4 p si l'origine des coordonnées est à l'intérieur du domaine limité par la surface
W = 2 p si l'origine des coordonnées est juste positionnée sur la surface Nous utiliserons ce résultat dans ce qui va suivre.
Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 13/16 6. Théorème de Gauss Ce théorème fort important va être introduit par une présentation édulcorée, afin de l'utiliser de suite dans les applications. Sa démonstration complète sera reportée au chapitre traitant des équations générales du champ électromagnétique. Considérons une distribution de charges quelconque et une surface fermée S . Cherchons à déterminer le flux F E du champ électrique à travers S . Figure 12: Théorème de Gauss Le champ est toujours créé par une collection de charges ponctuelles: N uur
N ur
uur q i E = å Ei = å
u i 2 i =1
i = 1 4 p e 0 r i Le flux à travers S s'écrit alors: uur
uuuur
N
uuur
uuuur
N F E = òò E · dS = òò å E i · dS = òò
S i =1
S
N F E = òò å
S i = 1 å
S i = 1 q i uuur uuuur
u · dS 4 p e 0 ri 2 i N q i uuur uuuur
qi
u
·
dS =
å
i 2 4 p e 0 ri i = 1 4 p e 0 òòS
uur uur
u i · d S r i 2 Les intégrales du dernier terme sont des flux newtoniens: W i =
òòS
uur uur
u i · d S r i 2
Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 14/16 d'où: qi
N
F E = å
i =1
4 p e0
uur uur u i · dS
òòS
q i N =å
2 r i i = 1 4 p e 0 W i Parmi les charges ponctuelles on distingue trois populations:
· Les charges à l'intérieur de S pour lesquelles W i = 4 p
· Les charges à l'extérieur de S pour lesquelles W x = 0
· Les charges positionnées sur S pour lesquelles W s = 2 p Le flux s'écrit alors: int
F E = å
i
qi
4 p e0
ext
Wi +
qx
å
4 p e0
x
sur Wx +
å
s q s W s 4 p e 0 Þ int
F E = å
i
qi
4 p e0
ext
4p +
å
x
qx
4 p e0
sur 2p +
q s å 4 p e
s 0 0 int En désignant par Q int =
q i å i sur les charges à l'intérieur de S et par Q sur =
q s å s les charges de surface, l'expression du flux électrique total devient: F E =
Q int Q sur +
e0
2 e 0 En fait dans les applications, lorsqu'il existent des charges intérieures, les charges de surface ont une importance négligeable (ensemble de mesure nulle). On énonce alors le théorème de Gauss: "Le flux électrique à travers une surface fermée est égale à la somme des charges intérieures divisée par la permittivité du vide": F E =
Qint e 0 Signalons le cas des charges sur un corps conducteur, dans ce cas elles se repoussent et sont toutes positionnées sur la surface extérieure du corps conducteur. Le flux électrique à travers la surface externe du conducteur devient alors: F E =
Q sur 2 e 0 Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 15/16 7. Théorème de Coulomb. Pr ession électrostatique. En considérant le cas d'un conducteur chargé avec une charge surfacique: s = d q dS
appliquons le théorème de Gauss sur la petite surface S : Figure 13: Théorème de Coulomb Le champ électrique sur la surface S est orthogonal, parallèle ou nul. Il vient, d'après le théorème de Gauss: uur uuuur
d F E = d òò E · dS =
S
dq e 0 Pour dS très petit: d F E = E dS =
dq e 0 En introduisant la charge surfacique s , on obtient l'expression E= s
e 0 du théorème de Coulomb: "Le module du champ électrique, au voisinage d'un conducteur est égale à la charge surfacique divisée par la permittivité du vide". Par contre, toujours d'après le théorème de Gauss, si la surface S pour sa partie externe est confondue avec le conducteur, le champ qui agit sur les charges électrique est donné par la relation: E =
s
2 e 0 Leçon n°2: Champs et potentiels dans le vide _________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 16/16 En rapportant à la surface, les forces électrostatiques qui agissent sur les charges: on obtient la pression électrostatique: dF
E dq
s d q s
= P E =
=
=
s
dS
dS
2 e 0 d S 2 e 0 Þ P E =
s 2 2 e 0 Par exemple, en chargeant électriquement une bulle de savon, la pression électrostatique aura pour conséquence la dilatation de celle­ci.
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