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ELECTROMAGNETISME  Electr ostatique
Leçonn°2: Champsetpotentielsdanslevide_________________________________________ NajlaFOURATIetPatrickHOFFMANN
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Leçonn°2: Champsetpotentielsdanslevide
1. Champélectrique
Enconsidérantl'actiond'unedistributiondechargessurunecharge ponctuelle d'épreuve q',qu'ellesoit
continueoudiscrète,onremarquequ'ilestpossiblededissocierdansl'expressiondelaforcerésultante,
cequisubit l'actiondecequilaprovoque.
Danslecasd'unedistributiondechargescontinuesagissantsurunecharged'épreuveponctuelle q' :
Figure 1: Résultantedesforcesélémentairesd'unedistributioncontinue
2 2
0 0
1 u 1 u
F q 'dq q ' dq
4 4
r r
D D
= =
p e p e
ò ò
r r
r
Lacharged'épreuveestq'.Letermequicontientl'effetdeladistributioncontinueestunefonctionde
l'espaceet nedépenddoncpasdelavaleur delacharged'épreuveq',on ledésignesouslenomde
champélectriquelocal:
( )
2
0
r
1 u
E dq E
4 r
D
= =
p e ò uur
uuur uuur ur
Sa valeur àl'endroit où se trouve la charge d'épreuve ne dépend que de la distributionde charge de
l'environnement.Larésultanteagissantsurq' peut donc s'écriresouslaforme:
F q ' E =
r ur

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Dans le cas d'une distribution de charges ponctuelles discrètes agissant sur une charge d'épreuve
ponctuelle q',lemêmeraisonnements'applique:
Figure2:Résultantedesforcesélémentairesd'unedistributiondiscrète
N N
i i
i i
2 2
i 1 i 1
0 i 0 i
q ' q q
1
F u q ' u
4 r 4 r
= =
= =
p e p e
å å
r uur uur
Làencoreonséparecequisubitl'effetq' ,decequilecrée:lechampélectrique E
urégalementfonction
localedel'espace.
( )
N i
i
2
i 1 0 i
r
q
E u E
4 r
=
= =
p e
å
uuur uuur
uuuur ur
delamêmefaçon,larésultanteagissantsurq' s'écrit alors souslaforme:
F q ' E =
r ur
Lechampélectriques'exprimeenNewtonparCoulomb,nousverronsplusloinquel'unitééquivalente
lapluscouranteestleVoltparmètre:
E s 'exp rime en N / C V / m =
ur
Leconceptdechampélectrique,n'estpossiblequegrâceàl'existenceduthéorèmedesuperposition.On
verra plus loin que cette dépendance impliquera que les équations gouvernant localement le champ
électriqueserontdeséquationslinéaires.
Lechampélectrique,commelechampdeforceélectrostatiquen'estfonctionquedelaseuleposition
dansl'espace,c'estunvraivecteur;ilseradoncinvariantpartoutchangementd'axes,ycomprisceux
quichangent lesignedutrièdrederéférence.Cettepropriétéestfondamentalepourcequivasuivre.

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2. ThéorèmedeHelmholtz
Audixneuvièmesiècle,laphysiqueclassiques'estdéveloppée deconcertavec l'analysevectorielle.En
faitaussibienlamécaniquequel'électromagnétismeutilisentdesvecteurspourexprimerlesloisetles
théorèmes,bien qu'entouterigueurlesêtresmathématiquesmanipulésn'ensontpastous.Eneffetla
principale propriété d'un vecteur est d'être invariant par changement de repères. Si la vitesse ou le
champ électrique sont des vecteurs à part entière, le moment d'une force et le champ magnétique
changentdesigneparinversiondutrièdrederéférence.
Ondistinguecesdeuxclassessousdesvocablesdifférents:lesvraisvecteurs(ou"vecteurspolaires")et
pseudovecteurs ou ("vecteurs axiaux"). Du point de vue mathématique, si les vecteurs polaires
appartiennentbienàunespacevectoriel,lesvecteursaxiauxsontenfaitdestenseursdusecondordre
antisymétriques. Dansun espaceà troisdimensions,cedernier objetadmetcommeun vecteur,trois
composantesdifférentes.
Ens'obligeantàtravaillertoujoursavecdestrièdresdirects(droitsoupositifs),enendéfinissantpourla
circonstanceleproduitvectoriel, lephysicienutiliseindifféremmentlesdeuxsortesdevecteurs pour
exprimerlesloisdelaphysiqueclassique.Signalonsqueleproduitvectorieldedeuxvecteurspolaires
estunvecteuraxial.
Leschampsdevecteursrencontrésenphysiquesontréguliers,c'estàdirequedesdérivéespremièreset
secondes sont des fonctions continues dans toutes les directions de l'espace. Les vrais champs de
vecteurs
( )
W W r = uuuuur
uur rsont toujourslavariationlocaled'unchampscalaire
( )
f f r = r:
( )
w grad f = uuuuuuuuur
ur
L'opérateurvectodifférentielgradientétendlanotiondedérivéepremièreàunefonctiondeplusieurs
variable:
( )
( )
f f r f x , y, z = =
r
Onditquelevraivecteurdérived'unpotentiel.
Quant au pseudovecteur il dérive d'un vecteur polaire
( )
P r
uuuur
rà travers l'opérateur vectodifférentiel
rotationnelquel'onrencontreraparlasuite:
( )
B rot P = uuuuuuur
ur ur
Enanalyse vectorielle (duphysicien),onénoncelethéorèmedeHelmholtz:
"Toutleschampsdevecteursréguliersrencontrésenphysiquesontlerésultatdelasuperpositiond'un
champdegradientetd'unchampderotationnel":
( )
( )
rw grad f rot P
æ ö
ç ÷
è ø
= + uuuuuuuuuuur
uuuuuuuuuuuur
uuuuuuur uur
r
En particulier les vecteurs polaires (ou vrais vecteurs) sont des champs de gradients, et les vecteurs
axiaux(oupseudovecteurs)sontde champsderotationnels.
Lechampélectrique
( )
rE
ur rn'estévidemmentpasaffectépar lechoixdescoordonnéesutiliséespour
l'exprimer. Totalement invariant par changement de repères, c'est un champ de vecteurs polaires. Il
dérivedoncd'ungradient.

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3. L'opérateurgradientenphysique
Pourlephysicien,ilestimportantdecernerlesensgéométriquedugradient. Avantcelailfautdéfinir
cequel'onentendparchamps. Onnomme champ unefonctiondepointsdel'espace.
On distingue les champs scalaires:
( )
( )
f f r f x , y, z = =
r, comme par exemple la valeur de la
température en un point de l'espace:
( )
r q = q r, qui est un champ scalaire régulier; et les champs de
vecteurs:
( )
w w r =
ur ur rcommeparexemplelechampélectriqueoulechampdevitessesd'unfluide,tous
deschampsréguliers(carlesdérivéespremièresetsecondes,danstouteslesdirectionsdel'espace,sont
desfonctionscontinues).
Soit un champ scalaire f ( r )
r
régulier au point M de l'espace, en effectuant un déplacement
infinitésimal d r
r
,lanouvellevaleurduchampest f ( r d r) +
r r
.
Notre Objectif estde pouvoirdéterminerlavaleurdel'accroissementduchamp:
d f f ( r d r ) f ( r ) = + -
r r r
àpartirdudéplacement d r
r
.
Figure 3: Vecteurgradient
PourcelaconsidéronstouteslesdirectionspossiblesautourdupointM.Parmicellesci,ilenexisteune
correspondant à la variation la plusrapide du champ f. Dans cette direction la variation du champ f
rapportéeàladistanceparcourue l(dérivée d f
dl),donnelavaleurdumoduled’unvecteurquel’on
nommegradientdef.
Onlesymbolisepar grad f
uuuuuur
.

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Pourrécapitulerlegradientd’unchampscalairefaupointMestunvecteurdont:
· ladirectionestcelledelavariationlaplusrapideduchampf
· lesenscorrespondàlacroissanceduchampf
· lemoduleestladérivéeparrapportaudéplacement: d f
dl
Laprojectiondansladirectionde grad f
uuuuuur
duvecteurdéplacement d r
r
,permetd’obtenirlavariation
dedf parlaformule:
df grad f d r = ·
uuuuuuuuuur uur
Cetteexpressionpermetdemontrer,qu'àpartirdedeuxdimensions,pourunefonctiondepointsf,le
gradientestlagénéralisationduconceptdedérivéespatiale.
Onnoteégalement legradient souslaforme:
grad f f = Ñ
uuuuuur ur
Remarquons qu’en coordonnées cartésiennes on peut considérerle symbole Ñ
ur
comme un opérateur
agissantsurunchampscalaireouunchampvectorieldéfinipar:
i j k ; lire " Nabla "
x y z
¶ ¶ ¶
Ñ = + +
¶ ¶ ¶
ur r r r
Ilpermet alors,nonseulementd’obtenirlescomposantescartésiennesdugradient:
f f f
grad f f i j k
x y z
¶ ¶ ¶
= Ñ = + +
¶ ¶ ¶
uuuuuur ur rrr
maisaussicellesd’autresopérateurs,parexemplecellesdurotationnel,deladivergenceoudulaplacien
scalaire:
rot A A = Ñ Ù
uuuuur
ur ur ur
div A A = Ñ·
ur ur ur
lap f f f = D = Ñ ·Ñ
ur ur
Apartirdelarelationfondamentale:
df grad f d r = ·
uuuuuuuuuur uur
ondémontresansdifficulté,pour 1 let 2 lconstants,lapropriétédelinéarité:
1 1 2 2 1 1 2 2
grad ( f f ) grad f grad f l + l = l + l
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru uuuuuuur uuuuuuur