1/19 Leçon n°8 : Théorème de Gauss 1

ELECTROMAGNETISME – Equationsdel’électr omagnétisme
Leçonn°8: ThéorèmedeGauss ___________________________________________________ NajlaFOURATIetPatrickHOFFMANN
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Leçonn°8: ThéorèmedeGauss
1. Fractionsdel'espace
Pourévaluerunefractiondel'espaceàdeuxdimensions,lanotiond'angleaétéintroduite.
Figure1:Fractiondel'espace
Plus précisément, on mesure en radians la longueur du périmètre prélevée sur un cerclede
rayon1.
Figure2:Angleenradians

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Laportiondel'espaceprélevéeestnomméangle.Celuiciévoluedonc,pourunespaceplatà
deuxdimensionsentrelesvaleurs0et2 pradians.
Uneidéesimilairevaêtreutiliséepourévaluerunefractiondel'espaceàtroisdimensions.En
considérant une sphère de rayon unitaire, l'aire de la surface interceptée nous servira à
mesurerlaportiond'espaceprélevée.
Figure3:Anglesolideenstéradians
L'airetotaled'unesphèrederayonRvaut 2 4 R p .Ennommantstéradianslaportiond'espace
prélevée,samesureévolueraentre0et4 pstéradians.
Il est à remarquer que pour une même valeur wde l'angle solide, la forme de l'espace
prélevéepeutêtredifférente.
Figure4:Lesformesdel'anglesolide

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Nous désignerons par la suite cette notion de fraction de l'espace wsous le nom d'angle
solide"spatial".Sesvaleurssontpositivesetrigoureusementbornées:
0 ; 4
é ù
ê ú
ë û
Î p wenstéradians
La valeur de l'angle solide n'émet pas d'hypothèse sur la forme de la fraction d'espace
prélevée.

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2. Leflux d'unchampdevecteursenphysique
Reprenonsavecplusdedétailscettenotionabordéelorsdel'introductiondufluxélectriqueau
paragraphe5delaleçon2.D'unefaçongénérale,unfluxestuneintégraledesurfacequisera
définieavecchampdevecteursréguliersetunesurfaceorientée.
Unesurfaceorientéeadmetdeuxfacesdistinctes,c'estàdirequel'onnepeutpaspasserd'une
faceàl'autre,sanss'approcherdesbords,parundéplacementcontinu.
Lerubande Möbius est un contreexemple, il sera impossiblede calculerun flux àtravers
celuici.
Figure5:RubandeMöbius
Eneffet,une"fourmi"parcourantlerubanensonmilieusanss'approcherdesbords,aubout
d'un"tour"auralatêteenbas,etreviendradanslapositioninitialeauboutdedeux"tours".
Cette surfacene présente pasdeux faces distinctes,elle n'est doncpas orientable;un fluxà
traverscettesurfacen'estpascalculable.
Avecunesurfaceorientable,surunedesfaceschoisiecommepositive,ilestpossibleenun
pointdeconstruireunvecteurnormalunitaire n
r.
Figure6:Surfaceorientable

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Autourdecepointilexisteunélémentd'aireinfinimentpetitdS.Localement,ondésignepar
élémentdesurface dS
uuuurleproduitdel'élémentd'aire dS parlevecteurnormal n
uur:
dS n dS =
uuuuur uur
Le traitement complet d'une intégrale de surface nécessite de pouvoir définir la surface S
avec deux paramètres indépendant u et v, de façon à se ramener à une intégrale double
ordinairesurlacarte sassociée.
Figure7:Carted'unesurface
Parexemplelasurfaceterrestre(sphère)estparamétréeaveclalongitudeetlalatitude.
Unchampdevecteursréguliers
( )
W r
uuuuuur
restdéfinidansunerégiondel'espace,enparticuliersur
lasurfaceorientable Schoisie.
Figure8:Fluxd'unchampdevecteurs