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ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 1/19 Leçon n°8 : Théorème de Gauss 1. Fractions de l' espace Pour évaluer une fraction de l'espace à deux dimensions, la notion d'angle a été introduite. Figure 1: Fraction de l'espace Plus précisément, on mesure en radians la longueur du périmètre prélevée sur un cercle de rayon 1. Figure 2: Angle en radians Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 2/19 La portion de l'espace prélevée est nommé angle. Celui­ci évolue donc, pour un espace plat à deux dimensions entre les valeurs 0 et 2 p radians. Une idée similaire va être utilisée pour évaluer une fraction de l'espace à trois dimensions. En considérant une sphère de rayon unitaire, l'aire de la surface interceptée nous servira à mesurer la portion d'espace prélevée. Figure 3: Angle solide en stéradians L'aire totale d'une sphère de rayon R vaut 4 p R 2 . En nommant stéradians la portion d'espace prélevée, sa mesure évoluera entre 0 et 4 p stéradians. Il est à remarquer que pour une même valeur w de l'angle solide, la forme de l'espace prélevée peut être différente. Figure 4: Les formes de l'angle solide Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 3/19 Nous désignerons par la suite cette notion de fraction de l'espace w sous le nom d'angle solide "spatial". Ses valeurs sont positives et rigoureusement bornées: w Î éëê 0 ; 4 p ùûú en stéradians La valeur de l'angle solide n'émet pas d'hypothèse sur la forme de la fraction d'espace prélevée. Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 4/19 2. Le flux d' un champ de vecteurs en physique Reprenons avec plus de détails cette notion abordée lors de l'introduction du flux électrique au paragraphe 5 de la leçon 2. D'une façon générale, un flux est une intégrale de surface qui sera définie avec champ de vecteurs réguliers et une surface orientée. Une surface orientée admet deux faces distinctes, c'est à dire que l'on ne peut pas passer d'une face à l'autre, sans s'approcher des bords, par un déplacement continu. Le ruban de Möbius est un contre­exemple, il sera impossible de calculer un flux à travers celui­ci. Figure 5: Ruban de Möbius En effet, une "fourmi" parcourant le ruban en son milieu sans s'approcher des bords, au bout d'un "tour" aura la tête en bas, et reviendra dans la position initiale au bout de deux "tours". Cette surface ne présente pas deux faces distinctes, elle n'est donc pas orientable; un flux à travers cette surface n'est pas calculable. Avec une surface orientable, sur une des faces choisie comme positive, il est possible en un r point de construire un vecteur normal unitaire n . Figure 6: Surface orientable Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 5/19 Autour de ce point il existe un élément d'aire infiniment petit dS. Localement, on désigne par uuuur uur élément de surface dS le produit de l'élément d'aire dS par le vecteur normal n : uuuuur uur dS = n dS Le traitement complet d'une intégrale de surface nécessite de pouvoir définir la surface S avec deux paramètres indépendant u et v, de façon à se ramener à une intégrale double ordinaire sur la carte s associée. Figure 7: Carte d'une surface Par exemple la surface terrestre (sphère) est paramétrée avec la longitude et la latitude. uuuuuu r r Un champ de vecteurs réguliers W ( r ) est défini dans une région de l'espace, en particulier sur la surface orientable S choisie. Figure 8: Flux d'un champ de vecteurs Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 6/19 uuuuuu r r Sur la surface, il est possible en chaque point de faire le produit scalaire du vecteur W ( r ) par la normale locale: uuuuuu rr uuuur ur W r ·n r ( ) ( ) Le nombre obtenu sera multiplié par l'élément d'aire locale dS , pour obtenir l'élément de flux uuuuuu r r d F , du champ de vecteur W ( r ) à travers la surface S : uuuuuu rr uuuurur uur uur d F = W r · n r dS = W · dS ( ) ( ) uuuuuu r r Le flux F du champ de vecteur W ( r ) à travers S est la somme du flux élémentaire dF sur l'ensemble de la surface: uuur uuuur F = òò W · dS S uur = r òò ( W · n ) d S S Pour le détail de calcul, après avoir paramétrer la surface S , le flux est une intégrale double sur sa carte s , son signe dépend du choix arbitraire qui a été effectué sur le sens de la normale: uur r r F = òò W ( r ) g d S = ± S r r æ uur ¶ r ¶ r ö òò çè W , ¶ u , ¶ v ÷ø d u d v s r r æ uur ¶ r ¶ r ö Le terme ç W , , ÷ représente le produit mixte des 3 vecteurs. ¶u ¶v ø è Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 7/19 3. Flux du champ newtonien et angle solide A un facteur constant près, il existe un champ que l'on rencontre à la fois en mécanique et en ur électrostatique, c'est le champ newtonien A : ur A = uuuur OM uuuur 3 OM Avec les coordonnées sphériques: z' z H K I M q k j O i J r y y' j x P x' Figure 9: Coordonnées sphériques ì r Î [ 0, ¥ [ ï M Î R 3 repéré par : r , q , j , avec : íq Î [ 0, p] ï îj Î [ 0, 2 p [ r Pour le repère local, le vecteur déplacement élémentaire d r se déduit tel que: ìï accroissement des variables Þ vecteur déplacement de M r r r r í ïî dr , dq , dj Þ dr = dr I + r dq J + r sin q dj K r de même le vecteur rotation élémentaire d e s'obtient par: ìïaccroissement des variables Þ rotation du trièdre local r r r í dr , dq , dj Þ d e = dj k + dq K ïî Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 8/19 r ce vecteur rotation élémentaire d e permet, dans le cas des cordonnées curvilignes orthogonales, la détermination des variations des vecteurs locaux par: r r r dI = de Ù I il vient alors: ; r r r dJ = de Ù J ; ur r ur dK = de Ù K r r r ìdI = dq J + sin q dj K r r ï r ídJ = - dq I + cos q dj K r r ï r dK = sin q d j I cos q d j J î Le vecteur position s'écrit par ailleurs: r r r r = r I = r(r, q, j) Ici le trièdre mobile ne dépend pas de la variable r: r r r r r r I = I( q, j) ; J = J(q, j) ; K = K(q, j) Les coordonnées étant orthogonales, à partir des composante du vecteur déplacement élémentaire, l’élément de volume s’exprime sous la forme: r r r dV = dr I ; r dq J ; r sin q dj K = r 2 sin q dr dq dj ( ) Les variables cartésiennes s’obtiennent par la transformation ponctuelle : ì x = r sin q cos j ï í y = r sin q sin j ï z = r cos q î Pour la transformation inverse, on établit facilement que : ì ï r = x 2 + y 2 + z 2 ï ï æ ö z ï ç ÷ q = Arc cos í 2 2 2 ÷ ç x + y + z ï è ø ï ïj = Arc tan æ y ö ç ÷ ïî èxø Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 9/19 ur Avec les coordonnées sphériques, le champ newtonien A admet un module qui s'exprime aisément avec la variable sphérique r : ur A = uuuur OM uuuur OM 3 1 uuuur OM = = 2 1 r 2 r Avec le vecteur radial I du trièdre local associé aux coordonnées sphériques, le champ ur newtonien lui même s'écrit en coordonnées sphériques: A = r I r 2 r r , et le vecteur position: r = r I . Avec une surface orientable S , déterminons le flux W du champ de vecteur newtonien ur A = uuuur OM uuuur 3 OM : Figure 10: Surface orientée Les paramètres de représentation de la surface S seront les angles sphériques q et j . Le flux W s'écrit pour la carte associée s ( q ; j ) : W= uuur uur òò A g dS = ± S W=± òò sæçè q ; j ö÷ø æ uuur çA, ç è ur òò sæèç q ; j öø÷ ur æ uuur çA, ç è ¶ r , ¶ r ö÷ d q d j = ± ¶ q ¶j ÷ø ur ur ¶ r , ¶ r ö÷ d q d j ¶ q ¶j ÷ø òò sæçè q ; j ö÷ø æ uuur çAÙ ç è ur ur ¶ r ö÷ · ¶ r d q d j ¶q ÷ø ¶j Travaillons préalablement sur l'intégrande: r=r I Þ Þ uuur ur ur ur ur ur ¶r ¶q ur = ¶ r ur ¶ I I + r ¶q ¶q ur ur ur ur ; ur ¶r ¶j = ur ¶ r ur ¶ I I + r ¶j ¶j ur ur ur ur æ ö A Ù ¶ r = I2 Ù ¶ r = I2 Ù çç ¶ r I + r ¶ I ÷÷ = I2 Ù r ¶ I = I Ù ¶ I ¶q r ¶q r ¶ q ø r ¶ q r ¶ q è ¶q Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme æ uur Þ çç A Ù è ur ¶r ¶q ur ur ö ¶r æ I · = ç ÷ ÷ ¶j ç r ø è æ uur ur ur ¶j èr ur ur ur ur ur ur ö æ ö æ ö æ ö Ù ¶ I ÷÷ · ¶ r = çç I Ù ¶ I ÷÷ · çç ¶ r I + r ¶ I ÷÷ = çç I Ù ¶ I ÷÷ · r ¶ I ¶q ø ur Þ çç A Ù è ur 10/19 ¶r ¶q ö ÷· ÷ ø ur ¶q ø ur ur ur ¶jø è r ur ¶q ø ¶j ¶ r æ ur ¶ I ö ¶ I æ ur ¶ I ¶ I ö =çIÙ ÷· = çI , , ÷ ¶ j çè ¶ q ÷ø ¶ j çè ¶ q ¶ j ÷ø Le report dans l'intégrale donne: W=± è¶j òò sæçè q ; j ö÷ø æ uur ç I, ç è uur uur ¶ I , ¶ I ö÷ d q d j ¶q ¶ j ÷ø Il est à noter que la valeur de W ne dépend pas de la distance à l'origine r . æ uur En choisissant une normale telle que: ç n , ç è uur uur ¶ r , ¶ r ö÷ ¶q ¶j ÷ø > 0 (normale "sortante"), le flux s'exprime sans indétermination de signe: W= òò s æçè q ; j ö÷ø æ uur ç I, ç è uur uur ¶ I , ¶ I ö÷ d q d j ¶q ¶ j ÷ø r r Pour le calcul du produit mixte, rappelons que la variation du vecteur I = I(q, j) est par définition: ur ur ur ¶ I ¶ I dI = dq + dj ¶q ¶j Or avec les coordonnées sphériques qui sont orthogonales, on peut écrire: ur ur ur dI = de Ù I La rotation élémentaire en coordonnées sphériques étant: r r r d e = dj k + dq K r la variation de I donne: r ur uur ur uur ur ur ur ur d I = d e Ù I = dj k + dq K Ù I = k Ù I dj + J dq ) ( ( ) L'identification par rapport aux accroissements: dq et dj , fournit les expressions: ur ¶ I ur =J ¶q et ur ¶ I uur ur = kÙ I ¶j Il vient alors pour le produit mixte apparaissant dans W : ur ur uur ur ur ur uur ur ur ur æ ur ¶ I ¶ I ö çI, , ÷ = I,J ,k Ù I = IÙJ · kÙ I ç ¶ q ¶ j ÷ø è ( ) ( ) ( ) Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme ur ur uur ur ur ur r uur ur uur æ ur ¶ I ¶ I ö çI, , ÷ = K· kÙ I = k· IÙ K =- k·J ç ¶ q ¶ j ÷ø è ur ur æ ur ¶ I ¶ I ö æp ö çI, , ÷ = cos ç - q ÷ = sin q ç ÷ è 2 ø ¶q ¶j ø è r I W du champ de vecteur newtonien 2 à travers une surface, s'écrit alors: r ( Le flux 11/19 W= ) ( ) sin q d q d j òò s æçè q ; j ö÷ø Ce flux est à comparer à l'aire interceptée sur uns sphère de rayon unité, que nous allons évaluer maintenant. Avec l'origine centrée, l'aire d'une portion de sphère s'écrit en coordonnées sphériques: S = òò dS = s æçè q ; j ö÷ø r 2 sin q d q d j òò s æçè q ; j ö÷ø Dans le cas d'une sphère de rayon unitaire: r = R = 1 : S = sin q d q d j òò s æçè q ; j ö÷ø c'est encore la valeur de l'angle solide spatial: S = w Si de l'origine, tous les points de la surface S sont "directement visibles" (pas de replis), alors le flux du champ newtonien s'identifie à l'angle solide spatial: w = W = òò sin q d q d j s æçè q ; j ö÷ø Dans le cas d'une surface quelconque: W £ w . Traitons à titre d'exercices, trois cas dont les résultats seront utilisés dans les applications. Considérons une surface fermée régulière, c'est à dire sans angle ni pointe. Un observateur, à l'intérieur de la surface regarde tous les points de la surface. L'angle solide vaut alors: w = W = 4 p stéradians. Si l'oeil de l'observateur est situé juste sur cette surface régulière, la moitié de l'espace est seulement "prélevée" et w = W = 2 p stéradians. Par contre si l'observateur est à l'extérieur de la surface fermée, il existe un replis et le flux rentrant est compensé exactement par le flux sortant: w ¹ W = 0 . Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 12/19 4. Théorème de Gauss (1839) Nous possédons maintenant les outils pour démonter le théorème de Gauss, utilisé dans la leçon 2. Pour cela, considérons un ensemble de charges ponctuelles et une surface fermée S . Figure 11: Distribution de charges La normale étant orientée vers l'extérieur de la surface, le flux électrique sortant de S , créé par les charges, s'écrit par définition: ur uur ur r F E = òò E · d S = òò ( E · n ) d S S S Le champ électrique associé aux charges, s'exprime en un point sous la forme: uur N E= å i =1 uuur N å i = 1 Ei = q i uuur u i 2 4 p e 0 ri d'où: N uuur uuuur N F E = òò å E i · dS = òò S i =1 å S i = 1 N q i uuur uuuur qi u · dS = å i 2 4 p e 0 ri i = 1 4 p e 0 òòS uur uur u i · d S r i 2 On reconnaît l'intégrale de l'angle solide associé à la charge q i : uuur uuuur W i = òò S u i · dS ri 2 d'où: Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme N F E = å i =1 qi 4 p e0 òòS uur uur u i · dS 2 r i N =å i = 1 13/19 q i 4 p e 0 W i Parmi les charges ponctuelles on distingue trois types de populations: · Les charges situées à l'intérieur de S pour lesquelles W i = 4 p · Les charges situées à l'extérieur de S pour lesquelles W x = 0 · Les charges positionnées juste sur S pour lesquelles W s = 2 p Le flux électrique s'écrit alors: int ext sur q i q x q s W i + å Wx + å W s 4 p e0 4 p e0 s 4 p e 0 x F E = å i Þ int ext sur q i q x q s 4p +å 2 p + å 0 4 p e0 4 p e0 s 4 p e 0 x F E = å i int En désignant par Q int = å q i la somme des charges situées à l'intérieur de S et par i sur Q sur = å q s les charges de surface, l'expression du flux électrique total devient alors: s F E = Q int Q sur + e0 2 e 0 En fait dans les applications, lorsqu'il existent des charges intérieures, les charges de surface ont une importance négligeable (ensemble de mesure nulle). On énonce alors le théorème de Gauss: "Le flux électrique à travers une surface fermée est égale à la somme des charges intérieures divisée par la permittivité du vide": F E = Qint e 0 Signalons le cas des charges sur un corps conducteur, dans ce cas elles se repoussent et sont toutes positionnées sur la surface extérieure du corps conducteur. Ils n'existent pas de charges situées à l'intérieur de la surface; le flux électrique à travers la surface externe du conducteur devient alors: F E = Q sur 2 e 0 Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 14/19 Dans le cas d'une distribution continue, les charges étant réparties dans le domaine D, avec r une charge volumique: r ( r ) = d q , dV nous considérerons une surface S fermée limitant le domaine D . Figure 12: Distribution continue de charges L'intersection des 2 domaines D I D contient les charges "efficaces" pour le calcul du flux. Les charges situées à l'intérieur de la surface S sont: Q int = uur òòò r ( r ) d V D ÇD L'application du théorème fournit l'expression du flux électrique à travers S : F E = òò S uur uuuur E · dS = ur òòò D ÇD ( ) d V r r e 0 Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 15/19 5. L' opérateur divergence en physique ur Avec un champ vectoriel régulier A , un point entouré d'une surface fermée dS très petite: Figure 13: Divergence le flux sortant sera: uuur uur DF = òò A · dS dS En réduisant l'aire de la surface fermée dS et en la faisant tendre vers 0: S ( dS ) ® 0 Þ DV ( dS ) ® 0 et DF ® 0 mais le flux volumique tend vers une constante: S ( dS ) ® 0 Þ DF ® cst D V ur Cette constante qui ne dépend que des propriétés locales du champ régulier A est nommée ur divergence de A , on la symbolise par: uuur æ ö divA = d F = lim çç DF ÷÷ S ( dS ) ® 0 è DV ø d V La divergence d'un champ de vecteur régulier est le flux sortant, à travers une surface infiniment petite fermée, rapportée au volume élémentaire également infiniment petit: uuur d F = divA d V Plus sommairement, la divergence d'un champ vectoriel, est son flux volumique local. Cette dernière formule permettra de retrouver les expressions de la divergence pour les différentes coordonnées curvilignes orthogonales. Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 16/19 r r ur Les vecteurs du trièdre associé à des coordonnées orthogonales seront notés: I ; J ; K . ( ) Le champ de vecteur régulier s'écrira en coordonnées cartésiennes: ur r r ur A = A x ( x , y, z ) I + A y ( x , y, z ) J + A z ( x , y, z ) K pour celles­ci: r r I =i ; r r J = j ; ur r K =k L'opérateur introduit à la leçon 2: ur ¶ r ¶ r ¶ r Ñ= i + j+ k ; ¶x ¶y ¶z lire "Nabla " permet de re trouver aisément l'expression de la divergence: ur ur ur ¶ A x ¶Ay ¶ A z div A = Ñ g A = + + ¶x ¶ y ¶z ur Pour les autres coordonnées on peut montrer qu'à partir de, d F = div A d V , on obtient: en coordonnées polaires: ur r r A = A r ( r , j ) I + A j ( r , j ) J ur ur ur ¶ A r A r 1 ¶ A j div A = Ñ g A = + + ¶r r r ¶ j en coordonnées cylindriques: ur r r ur A = A r ( r , j , z ) I + A j ( r , j , z ) J + A z ( r , j , z ) K ur ur ur ¶ A r A r 1 ¶ A j ¶ A z div A = Ñ g A = + + + ¶r r r ¶ j ¶ z en coordonnées sphériques: ur r r ur A = A r ( r , q , j ) I + A q ( r , q , j ) J + A j ( r , q , j ) K ur ur ur ¶ A r 2 A q 2 A r 1 ¶ A q 1 ¶ A j div A = Ñ g A = + + + + ¶r r r ¶ q r tan q r s in q ¶ j En prenant la divergence d'un champ de gradient, on définit l'opérateur laplacien: def uuuuuuuur D f = div æç grad ( f ) ö÷ è ø Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 17/19 ur par ailleurs, on montre que pour un champ B régulier: æuuuuur uuur ö div çç rot æç B ö÷ ÷÷ = 0 è è øø En faisant la somme de l'équation: uur d F = div A d V sur un domaine D limité par la surface fermée S , on obtient l'expression du très important théorème de Green­Ostrogradsky: uuuur òò S uuur A · dS = uuuur òòò divA dV D Encore appelée formule de Gauss cette expression permet de démontrer plusieurs théorèmes pour les applications physiques, en particulier: théorème du gradient, théorème du rotationnel et quelques autres... Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 18/19 6. Equation de Poisson (1813) En considérant une distribution de charges continue dans un domaine D, et une surface fermée S contenue à l'intérieur de ce domaine D ; la charge volumique étant: r = d q . dV Figure 14: Equation locale En appliquant le théorème de Gauss sur le flux du champ électrique créé par les charges, à travers la surface S , il vient: F E = ur uur uuur òò E · dS = òòò D S ( ) d V r r e 0 En suivant le théorème de Green­Ostrogradski sur l'intégrale de flux: F E = uur uuur òò uuur E · dS = òòò divE d V D S On obtient l'identité des membres de droite: uuur òòò div E ur dV = D ( ) d V r r òòò D e 0 Þ òòò D æ uuur ç divE ç ç è uur r ( r ) ö÷ dV = 0 e 0 ÷÷ ø Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME – Equations de l’électr omagnétisme 19/19 Cette intégrale est nulle pour n'importe quelle domaine D situé à l'intérieur de D, la condition nécessaire et suffisante est que l'intégrande soit nulle, doù: uuur divE = r e 0 Le flux du champ local admet comme sources les charges électriques. Cette équation est formellement identique à une des quatre équations de Maxwell, cependant ici, remarquons que seuls les champs électrostatiques ont été pris en compte. On la nomme souvent pour cette raison équation de Maxwell­Gauss. Le champ électrostatique étant lié au potentiel par: uuuuuuuur uuur E = - grad V Et le potentiel scalaire étant la divergence du gradient: uuuuuuuur def D f = div æç grad f è ( ) ö÷ø La divergence du champ électrique est égale au Laplacien scalaire du potentiel: uuur div E = D V Le report dans l'équation de Maxwell­Gauss donne l'équation de Poisson: DV + r = 0 e 0 Dans une zone où il n'existent pas de charges, cette relation est nommée équation de Laplace: D V = 0 L'équation de Laplace consiste à annuler le laplacien scalaire. Leçon n°8: Théorème de Gauss ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN
