=−1 . z z = z – z = z× z = z z` = zz ` = z` ) = zn −b+ √Δ 2 a −b−√Δ 2

Les nombres complexes (forme algébrique)
I L'ensemble des nombres complexes
Définitions
L'ensemble des nombres complexes est noté
ℂ
, cet ensemble de nombres contient l'ensemble des nombres réels.
Un nombre complexe s'écrit sous la forme z=a+bi, i étant le nombre complexe tel que
i2=−1
.
a est la partie réelle, b est la partie imaginaire du nombre complexe z = a + ib.
On note : Re(z) = a et Im(z)=b.
Tout nombre complexe z = ib est appelé imaginaire pur (a=0, la partie réelle est nulle) .
Tout nombre complexe z = a est un réel (b=0, la partie imaginaire est nulle).
Propriété
Deux nombres complexes z et z' sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Propriété : L'addition et la multiplication des nombres réels s'étendent aux nombres complexes.
Exemples :
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II Conjugué d'un nombre complexe
Définition
Soit z un nombre complexe tel que z = a +ib.
Le nombre complexe
z
est appelé le conjugué du nombre complexe z, on a
z=a−ib
.
Opération sur les nombres conjugués
Soit z un nombre complexe :
z z
=
z –  z
=
z× z
=
Soit z et z' deux nombres complexes :
zz '
=
zz '
= pour z' non nul :
(
z
z'
)
=
zn
=
Démonstration pour :
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III Équation du second degré à coefficients réels dans
ℂ
Propriété
Soit az²+bz+c = 0 une équation du second degré à coefficients a, b et c réels (
a≠0
).
On pose
Δ=b² −4a c
.
Si Δ > 0 ,
Δ
existe dans
ℝ
, l'équation
az² bzc=0
a deux solutions qui sont les nombres réels
−b+
√
Δ
2a
et
−b−
√
Δ
2a
.
Si Δ = 0 l'équation
az² bzc=0
a une solution réelle
−b
2a
.
Si Δ < 0 ,
Δ
n'existe pas dans
ℝ
, on pose
Δ=i² ×(−Δ)=
(
i
√
(−Δ)
)
2
, l'équation
az² bzc=0
a deux
solutions qui sont les nombres complexes conjugués
−b+i
√
−Δ
2a
et
−b−i
√
−Δ
2a
.
Propriété
Soit
z1
et
z2
les solutions de l'équation az²+bz+c = 0 on a
az² bzc=az−z1 z−z2
Exemples :
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IV Représentation géométrique de l'ensemble des nombres complexes
Rappel :
L'ensemble des nombres réels est l'ensemble des abscisses des points d'une droite repérée.
Affixe d'un point, point image d'un nombre complexe
Définitions
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,
⃗
u
,
⃗
v
).
A tout nombre complexe z=a+bi on fait correspondre un point M de coordonnées (a , b) appelé le point image du
nombre complexe z.
z=a+bi est appelé l'affixe du point M.
L'ensemble des nombres complexes
ℂ
est l'ensemble des affixes des points d'un plan muni d'un repère orthonormé.
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Affixe d'un vecteur
Définition
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,
⃗
u
,
⃗
v
).
Soit M un point d'affixe z=a+bi, le vecteur
⃗
OM
a également pour affixe z=a+bi.
On peut noté
z
⃗
OM
l'affixe du vecteur
⃗
OM
.
–-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Propriétés
Soit
⃗
m
et
⃗
n
deux vecteurs d'affixes respectives
z⃗m
et
z⃗n
.
⃗
m=⃗ n
est équivalent à
z⃗m=z⃗n
⃗
m+⃗ n
a pour affixe
z⃗m+z⃗n
k⃗ m
a pour affixe
k z⃗m
I milieu de [AB] a pour affixe
zI=zA+zB
2
Propriété
Soit
zA
et
zB
les affixes respectives des points A et B dans le plan complexe.
Le vecteur
⃗
AB
a pour affixe
z
⃗
AB=zB−zA
.
Démonstration :
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Module d’un nombre complexe et norme d’un vecteur
Le module du nombre complexe z est égale à la norme du vecteur
∥ OM ∥
.
Notation : le module du nombre complexe z est noté
∣z∣
on a donc
∣z∣
=
∥ OM ∥
.
Calcul de
∣z∣
:
∣z∣= a2b2
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Propriété
La norme du vecteur
AB
est le module de
zB−zA
,
∥ AB∥=∣zB−zA∣
Propriétés du module d’un nombre complexe
Propriétés
Pour tout nombre complexe z non nul
∣ z∣=∣z∣
.
Pour tous nombres complexes
z1
et
z2
le module du produit
z1z2
est
∣z1z2∣=∣z1∣×∣z2∣
Soit
z1
et
z2
deux nombres complexes,
z2
non nul, le module du quotient
z1
z2
est
∣
z1
z2
∣
=∣z1∣
∣z2∣
.
Soit z un nombre complexe non nul le module de
1
z
est
∣
1
z
∣
=1
∣z∣
.
Soit n un nombre entier naturel et z un nombre complexe non nul, le module de
zn
est
∣zn ∣=∣z∣n
.
Démonstrations :
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