=−1 . z z = z – z = z× z = z z` = zz ` = z` ) = zn −b+ √Δ 2 a −b−√Δ 2

Les nombres complexes (forme algébrique)
I L'ensemble des nombres complexes
Définitions
L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ , cet ensemble de nombres contient l'ensemble des nombres réels.
Un nombre complexe s'écrit sous la forme z=a+bi, i étant le nombre complexe tel que i 2=−1 .
a est la partie réelle, b est la partie imaginaire du nombre complexe z = a + ib.
On note :
Re(z) = a
et
Im(z)=b.
Tout nombre complexe z = ib est appelé imaginaire pur (a=0, la partie réelle est nulle) .
Tout nombre complexe z = a est un réel (b=0, la partie imaginaire est nulle).
Propriété
Deux nombres complexes z et z' sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Propriété : L'addition et la multiplication des nombres réels s'étendent aux nombres complexes.
Exemples :
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------II Conjugué d'un nombre complexe
Définition
Soit z un nombre complexe tel que z = a +ib.
Le nombre complexe z est appelé le conjugué du nombre complexe z, on a z =a−ib .
Opération sur les nombres conjugués
Soit z un nombre complexe :
z z =
z – z =
z ×z =
Soit z et z' deux nombres complexes :
z z ' =
zz ' =
pour z' non nul :
( zz' )
=
zn =
Démonstration pour :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------III Équation du second degré à coefficients réels dans ℂ
Propriété
Soit az²+bz+c = 0 une équation du second degré à coefficients a, b et c réels ( a≠0 ).
On pose Δ=b² −4 a c .
Si Δ > 0 ,  Δ existe dans ℝ , l'équation az² bz c=0
a deux solutions qui sont les nombres réels
−b+ √ Δ
et
2a
−b−√ Δ
.
2a
b
.
2a
2
Si Δ < 0 ,  Δ n'existe pas dans ℝ , on pose Δ=i² ×(−Δ)=( i √ (−Δ) ) , l'équation az² bz c=0 a deux
−b+ i √−Δ
−b−i √−Δ
solutions qui sont les nombres complexes conjugués
et
.
2a
2a
Si Δ = 0 l'équation az² bz c=0 a une solution réelle
−
Propriété
Soit z 1 et z 2 les solutions de l'équation az²+bz+c = 0 on a az² bzc=a  z −z 1  z−z 2
Exemples :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------IV Représentation géométrique de l'ensemble des nombres complexes
Rappel :
L'ensemble des nombres réels est l'ensemble des abscisses des points d'une droite repérée.
Affixe d'un point, point image d'un nombre complexe
Définitions
u , ⃗
v ).
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗
A tout nombre complexe z=a+bi on fait correspondre un point M de coordonnées (a , b) appelé le point image du
nombre complexe z.
z=a+bi est appelé l'affixe du point M.
L'ensemble des nombres complexes ℂ est l'ensemble des affixes des points d'un plan muni d'un repère orthonormé.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Affixe d'un vecteur
Définition
u , ⃗v ).
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗
Soit M un point d'affixe z=a+bi, le vecteur ⃗
OM a également pour affixe z=a+bi.
On peut noté z⃗
l'affixe du vecteur ⃗
OM .
OM
–------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Propriétés
n deux vecteurs d'affixes respectives z m⃗ et z ⃗n .
Soit m
⃗ et ⃗
m
⃗ =⃗n est équivalent à z m⃗ =z ⃗n
m
⃗ + ⃗n a pour affixe z m⃗ + z ⃗n
km
⃗ a pour affixe k z m⃗
I milieu de [AB] a pour affixe
zI=
z A+ z B
2
Propriété
Soit z A et z B les affixes respectives des points A et B dans le plan complexe.
= z B−z A .
Le vecteur ⃗
AB a pour affixe z ⃗
AB
Démonstration :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Module d’un nombre complexe et norme d’un vecteur
Le module du nombre complexe z est égale à la norme du vecteur ∥
OM ∥ .
Notation : le module du nombre complexe z est noté ∣z∣ on a donc ∣z∣ = ∥
OM ∥ .
2
2
Calcul de ∣z∣ : ∣z∣= a b
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Propriété
La norme du vecteur

AB est le module de
z B− z A , ∥
AB∥=∣z B−z A∣
Propriétés du module d’un nombre complexe
Propriétés
Pour tout nombre complexe z non nul ∣z∣=∣z∣ .
Pour tous nombres complexes z 1 et z 2 le module du produit
∣z 1 z 2∣=∣z 1∣×∣z 2∣
z 1 ∣z 1∣
z1
=
Soit z 1 et z 2 deux nombres complexes, z 2 non nul, le module du quotient
est
.
z 2 ∣z 2∣
z2
1
1 1
=
Soit z un nombre complexe non nul le module de
est
.
z
z ∣z∣
Soit n un nombre entier naturel et z un nombre complexe non nul, le module de z n est ∣z n∣=∣z∣n .
z 1 z 2 est
∣∣
∣∣
Démonstrations :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------