Nombres complexes et limites

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Lycée français Théodore Monod Année scolaire 2016-2017
DEVOIR SURVEILLÉ N° 2
Suites et nombres complexes
Le 19 octobre 2016
Exercice 1 (6points)Liban, mai 2016
On considère la suite
n
z
de nombres complexes définie pour tout entier naturel npar :
0
1
015
2
n n
z
z i z
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note
Mn
le point d’affixe
n
z
.
On considère le nombre complexe
4 2
A z i
et Ale point du plan d’affixe
A
z
.
1) Soit
n
u
la suite définie pour tout entier naturel npar
A n n
u z z
.
a) Montrer que, pour tout entier naturel n,
11
2
n n
u i u
.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n:
14 2
2
n
n
u i i
.
(on pourra utiliser les résultats connus sur les suites géométriques)
2) Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A,
Mn
et
4
Mn
sont alignés.
Exercice 2 (8points)Antilles-Guyane, septembre 2014
On note Cl’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
; ,O  u v
.
On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des
questions.
On considère la fonction fqui à tout nombre complexe zassocie
22 9  z z zf
.
1) Calculer l’image de
1 3  i
par la fonction f.
2) Résoudre dans Cl’équation
5zf
. Écrire sous forme trigonométrique les solutions de
cette équation.
Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points Aet Bdont l’affixe est
solution de l’équation (Aétant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
On laissera les traits de construction apparents.
3) Soit
un nombre réel. On considère l’équation
zf
d’inconnue z.
Déterminer l’ensemble des valeurs de
pour lesquelles l’équation
zf
admet deux
solutions complexes conjuguées.
4) Soit (F) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zvérifie
8 3 zf
.
Prouver que (F) est le cercle de centre
1 ; 0 
et de rayon
3
. Tracer (F) sur le
graphique.
5). Soit zun nombre complexe, tel que
 z x iy
où xet ysont des nombres réels.
a) Montrer que la forme algébrique de
zf
est
2 2 2 9 2 2     z x y x i xy y
.

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b) On note (E) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zest telle que
zf
soit un nombre réel. Montrer que (E) est la réunion de deux droites D1et D2dont on
précisera les équations.
Compléter le graphique en traçant ces droites.
6) Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles (E) et (F).
Exercice 3 (6points)Asie, juin 2015
Le plan est muni du repère orthonormé direct
; ,O  u v
.
On donne le nombre complexe
1 3
2 2
  j i
.
Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés du nombre jet de mettre en
évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.
1) a) Résoudre dans l’ensemble Cdes nombres complexes l’équation
21 0  z z
.
b) Vérifier que le nombre complexe jest une solution de cette équation.
2) Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme
trigonométrique.
3) Démontrer les égalités suivantes :
a)
31j
;
b)
21  j j
.
4) On note P,Q,Rles images respectives des nombres complexes 1, jet
2
j
dans le plan.
Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse.