CS Intermédiaire de mathématiques -Toussaint

Nom:...............................................Prénom:.........................................Date :.....................Classe:..........
CS Intermédiaire de mathématiques -Toussaint - C
NB: Justifie tes réponses et détaille tes calculs partout où c'est demandé.
Sois précis dans tes formulations, et utilise des phrases complètes.
Assure-toi de répondre (uniquement) aux questions posées...
Toutes les réponses doivent être fournies sur le questionnaire.
1. A quelles conditions peut-on écrire que
√
√c = c ?
√b b
C1 :
/15
C2 :
/13
C3 :
/12
C1:
/2
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2. Vrai ou faux ? Rectifie ce qui est faux
C1: /3
2
a) ∀ c∈ℝ : √ c =−c
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2
+
b) ∀ c∈ℝ : ( √ c ) =c
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c) ∀ a , b∈ℝ : √ a . √ b= √ a.b .................................................................................................
3. Vrai ou faux ? On ne considère que des angles orientés correctement
C1: /4
représentés sur le cercle trigonométrique.
Attention, une bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse coûte un demi-point et
une abstention ne rapporte ni ne coûte rien.
a) Pour tout réel x je peux trouver un angle orienté d'amplitude α tel que cos α = x.
Vrai – Faux
b) Deux angles orientés appartenant à deux quadrants différents mais voisins ne peuvent pas
avoir la même tangente. Vrai – Faux
c) Pour tout angle orienté α, il est possible de trouver un angle orienté dans un quadrant
différent mais voisin qui possède le même cosinus que α .
Vrai – Faux
d) Pour tout angle orienté d'amplitude α, il est possible de trouver un angle orienté distinct qui
possède le même cosinus. Vrai – Faux
4. Définis :
C1: /6
a) Racine cubique d'un réel :
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b) Cosinus d'un angle orienté :
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(suite au verso!)
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5. Résous (et exprime correctement la solution!) :
C2: /5
2
a) ( x−2)( x+3)=9−x
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b)
2 x −3<4+5 x
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6. Dans le repère ci-dessous, place (aussi précisément que possible) et
C2: /3
donne les coordonnées (exactes) du point C qui représente un angle d'une amplitude de 5π/4
radian dans le cercle trigonométrique.
C(..................;................)
7. On donne sin(131°) = ¾. Calcule, si possible, cos(131°) et cos(-49°)
C2: /5
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8. La grande roue du Millénaire de Londres a un diamètre de 160 mètres et
C3:
/5
parcourt en 15 secondes un angle de 100°. Quelle est la distance parcourue par les
nacelles pendant ces 15 secondes ? Aide-toi d'un schéma, et donne une réponse exacte
et une réponse approximative à 10 mètres près.
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9. Classe par ordre croissant les nombres suivants :
π
4π
2π
.
0 ; 1 ; cos 15° ; cos 60° ; cos 300° ; tan
; sin 3 ; tan –
7
3
Aide-toi d'un cercle trigonométrique pour établir ta réponse (ci-dessous)
C3:
/7
...............<................<................<................<................<................<................<................
Bonus :
Combien existe-t-il sur le cercle trigonométrique de paires d’angles orientés distincts qui soient à la
fois opposés et supplémentaires ? Justifie ta réponse, et identifie les angles (s'il en existe).
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Bon travail !
Quelques cercles trigonométriques à utiliser pour supporter vos réflexions....
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CS Intermédiaire de Toussaint - Corrigé - C
Question 1
Question 2
a) Vrai : ∀ c∈ℝ : √ c 2=∣c∣ En particulier si c <0, |c| = -c
b) Vrai
c) Faux : ∀ a , b∈ℝ+ :
√ a . √ b= √ a.b
Question 3
a) Pour tout réel x je peux trouver un angle orienté d'amplitude α tel que cos α = x.
Faux : il faut que x soit compris entre -1 et 1.
b) Deux angles orientés appartenant à deux quadrants différents mais voisins ne peuvent pas
avoir la même tangente.
Vrai: puisque dans des quadrants voisins les tangentes sont de signe contraire.
c) Pour tout angle orienté α, il est possible de trouver un angle orienté à l'intérieur d'un
quadrant différent mais voisin qui possède le même cosinus que α .
Vrai. Il y a toujours un quadrant voisin dans lequel le signe du cosinus est identique à
celui de cos α, et dans lequel on rencontre toutes les valeurs de cosinus qui ont ce
signe.
d) Pour tout angle orienté d'amplitude α, il est possible de trouver un angle orienté distinct qui
possède le même cosinus.
Faux. Il n'y a qu'un seul angle dont le cosinus vaut 1 par exemple.
Question 4
Voir cours.
Question 5
( x−2)( x+3)=9−x 2
⇔( x−2)( x+3)−(9− x 2)=0⇔( x−2)(x +3)−(3−x )( 3+x )=0
⇔( x+3) (( x−2)−(3−x ) )=0
a)
5
⇔( x+3)( 2x−5)=0⇔ x=−3 ou x =
2
5
S ={−3 ; }
2
2 x−3<4+5 x ⇔ 2 x−5 x<4+3 ⇔−3 x<7 ⇔ x >−
b)
7
3
7
S =]− ; →
3
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4
Question 6
Question 7
cos 2 131° =1−sin 2 131 ° =1−
9
7
=
16 16.
131 ° ∈ QII ⇒ cos 131 °≤0
7
cos 131° =− √
4
On remarque que 131° et – 49° sont des amplitudes d'angles anti-supplémentaires.
Donc cos(-49°) = - cos(131°).
7
cos−49 °= √
4
Question 8
x=r. θ=80 .100 .
2. π
1600
800
400
⇔x=
π=
π=
π≈ 45. 3≈135 m
360
36
18
9
Question 9
tan
π
4π
2π
< 0 < cos 60° = cos 300° < sin 3 < cos 15° < 1 < tan –
7
3
Bonus
Dans une telle paire, les points représentant les angles doivent être symétriques par rapport à l'axe Y
(puisque les angles sont supplémentaires) et par rapport à l'axe X (puisque les angles sont opposés).
C'est évidemment impossible.
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