CS Intermédiaire de mathématiques -Toussaint

Nom:...............................................Prénom:.........................................Date :.....................Classe:..........
CS Intermédiaire de mathématiques -Toussaint - A
NB: Justifie tes réponses et détaille tes calculs partout où c'est demandé.
Sois précis dans tes formulations, et utilise des phrases complètes.
Assure-toi de répondre (uniquement) aux questions posées...
Toutes les réponses doivent être fournies sur le questionnaire.
1. A quelles conditions peut-on écrire que
√
a .
√
c=
√
a.c
? C1: /2
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2. Vrai ou faux ? Rectifie ce qui est faux C1: /3
a)
∀b∈ℝ+: (
√
b )
2=b
.......................................................................................................
b)
∀b∈ℝ:
√
b2=b
.......................................................................................................
c)
∀b∈ℝ-:
√
b2=−b
.......................................................................................................
3. Vrai ou faux ? On ne considère que des angles orientés correctement C1: /4
représentés sur le cercle trigonométrique.
Attention, une bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse coûte un demi-point et
une abstention ne rapporte ni ne coûte rien.
a) Pour tout réel x je peux trouver un angle orienté d'amplitude α tel que sin α = x. Vrai – Faux
b) Pour tout angle orienté α différent de
π
2+kπ,
il est possible de trouver un angle orienté
distinct qui possède la même tangente. Vrai – Faux
c) Pour tout angle orienté d'amplitude α, je peux trouver un réel x tel que tan α = x.
Vrai – Faux
d) Pour tout angle orienté d'amplitude α, il est possible de trouver un angle orienté distinct qui
possède le même sinus. Vrai – Faux
4. Définis : C1: /6
a) Racine carrée d'un réel :
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b) Sinus d'un angle orienté :
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(suite au verso!)
CS Intermédiaire de mathématiques 4M5 - Toussaint – A - 15/11/11 1
C1 : /15
C2 : /13
C3 : /12

5. Résous (et exprime correctement la solution!) : C2: /5
a)
(x−2)( x+4)=4−x2
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b)
3x+5<6−2x
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6. Dans le repère ci-dessous, place (aussi précisément que possible) et C2: /3
donne les coordonnées (exactes) du point A qui représente un angle d'une amplitude de 2π/3
radian dans le cercle trigonométrique.
A(..................;................)
7. On donne sin(131°) = ¾. Calcule, si possible, cos(131°) et cos(-49°) C2: /5
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CS Intermédiaire de mathématiques 4M5 - Toussaint – A - 15/11/11 2

8. La grande roue du Millénaire de Londres a un diamètre de 160 mètres et C3: /5
en 15 secondes, les nacelles parcourent 100 mètres. Quelle est l'amplitude en degrés de
l'angle parcouru par la roue pendant ces 15 secondes ? Aide-toi d'un schéma, et donne
une réponse exacte et une réponse approximative à 10° près.
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9. Classe par ordre croissant les nombres suivants : C3: /7
0 ; 1 ; cos 10° ; cos 70° ; cos 340° ;
tan 11π
20
;
sin π
3
;
tan –2π
3.
Aide-toi d'un cercle trigonométrique pour établir ta réponse (ci-dessous)
...............<................<................<................<................<................<................<................
Bonus :
Combien existe-t-il sur le cercle trigonométrique de paires d’angles orientés distincts qui soient à la
fois opposés et anti-supplémentaires ? Justifie ta réponse, et identifie les angles (s'il en existe).
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Bon travail !
Quelques cercles trigonométriques à utiliser pour supporter vos réflexions....
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CS Intermédiaire de Toussaint - Corrigé - A
Question 1
Question 2
a) Vrai
b) Faux :
∀b∈ℝ:
√
b2=
∣
b
∣
c) Vrai :
∀b∈ℝ:
√
b2=
∣
b
∣
En particulier si b <0, |b| = -b
Question 3
a) Pour tout réel x je peux trouver un angle orienté α tel que sin α = x.
Faux : il faut que x soit compris entre -1 et 1.
b) Pour tout angle orienté d'amplitude α différent de
π
2+kπ,
il est possible de trouver un
angle orienté distinct qui possède la même tangente.
Vrai. Il y a toujours deux angles orientés dont les côtés extrémités ont la même
intersection avec l'axe des tangentes.
c) Pour tout angle orienté d'amplitude α, je peux trouver un réel x tel que tan α = x.
Faux : si α =
π
2+kπ,
il n'y a aucun réel tel que tan α = x.
d) Pour tout angle orienté d'amplitude α, il est possible de trouver un angle orienté distinct qui
possède le même sinus.
Faux. Il n'y a qu'un seul angle dont le sinus vaut 1 par exemple.
Question 4
Voir cours.
Question 5
a)
(x−2)( x+4)=4−x2
⇔(x−2)(x+4)−(4−x2)=0⇔( x−2)( x+4)−(2−x)(2+x)=0
⇔(x−2)(x+4)+( x−2)(2+x)=0⇔(x−2) ( (x+4)+( x+2) ) =0
⇔(x−2)(2x+6)=0⇔3(x−2)( x+3)=0⇔x=2ou x=−3
S={−3;2}
b)
3x−5<6+5x⇔3x−5x<6+5⇔−2x<11 ⇔x>−11
2
S=]−11
2;→
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Question 6
Question 7
cos2131°=1−sin2131 °=1−9
16 =7 16.
131 °∈QII ⇒cos131 °≤0
cos 131°=−
√
7
4
On remarque que 131° et – 49° sont des amplitudes d'angles anti-supplémentaires.
Donc cos(-49°) = - cos(131°).
cos−49 °=
√
7
4
Question 8
100=r.θ=80 .θ ⇔θ= 100
80 =5 4rad≡5 4.360 ° 2π=5. 360 ° 8π=5.45 °
π=225° π≈75 °
Question 9
tan 11π
20
< 0 < cos 70° <
sin π
3=
√
3
2
< cos 340° < cos 10° < 1 <
tan –2π
3
Bonus
Dans une telle paire, les points représentant les angles doivent être symétriques par rapport à l'origine
(puisque les angles sont antisupplémentaires) et par rapport à l'axe X (puisque les angles sont opposés).
Seuls les points réprésentant π/2 et - π/2 répondent à ces conditions. Ils représentent donc la seule paire
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