Les probabilités

1 sur 11 – Cosette Ancel
Probabilités
Des définitions
L’événement contraire de l’événement A est
l’événement noté
A
.
L’événement
A∩B
(noté aussi « A et B ») est
l’événement formé des éléments appartenant à
A et à B.
L’événement
A∪B
(noté aussi « A ou B ») est
l’événement formé des éléments appartenant à
A ou B.
Deux événement A et B sont dits
incompatibles lorsque
A∩B=∅
.
Propriétés
P(A)=1−P(A) ; P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Dans le cas particulier où A et B sont
incompatibles :
P(A∪B)=P(A)+P(B)
.
Dans le cas particulier où A et B sont
indépendants :
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)
.
Dans le cas de l’équiprobabilité,
P(A)=nb de cas favorables
nb de cas possibles
.
Exemple
Tirage au hasard d’une carte dans un jeu de 32 cartes
avec les événements :
Soit les événements R : « la carte est la roi » et C : « la
carte est un cœur ».
P(R)=4
32 =1 8
;
P(C)=8
32 =1 4
;
P(R∩C)=1
32
;
P(R∪C)=P(R)+P(C)−P(R∩C)=1
8+1 4−1 32 =11 32
Définir la loi de probabilité de X, c’est donner (sous
forme d’un tableau) la probabilité de chacun des
événements X = k.
Espérance mathématique de X :
E(X)=p1x1+p2x2+.... +pnxn
Variance de X :
V(x)=p1x1
2+p2x2 2+.... +pnxn 2
( )
−E(X)
( )
2
Ecart type :
σ (X)=V(X)
Dans le cas particulier de la loi binomiale :
E(X)=np
et
V(X)=np(1 −p)
Exemple variance et écart type
On lance un dé. Le joueur perd 3 euros s’il obtient
un multiple de 3 et il gagne 6 euros dans le cas
contraire.
X est la variable aléatoire égale au gain du joueur.
X ne peut prendre que les valeurs –3 et 6.
Loi de probabilité de X :
On a
P(X=−3) =2
6=1 3
et
P(X=−3) =4
6=2 3
k
-3
6
P(X=k)
1
3
2
3
E(X)=−3×1
3+6×2 3=3
;
V(X)=9×1
3+36 ×2 3−9=18 et
σ (X)=3 2
Définition : probabilité conditionnelle
Soit A un événement de Ω tel que
( )
P A 0≠
.
Pour tout événement B de Ω, on appelle
probabilité conditionnelle de B sachant A, le réel
noté
( )
A
P B
définie par :
( ) ( )
( )
A
P A B
P B
P A
∩
=
.
Propriété
Soit A et B deux événements tels que P(A) ≠ 0 et P(B) ≠0.
P(A∩B)=P
A(B)×P(A)=P B(A)×P(B)
et
P
AB
( )
=1−P
A(B)
Définition : partition de l’univers
On dit que p événements
A1, A2, ..., A p
forment une partition de l’univers
Ω
lorsque les trois conditions
suivantes sont vérifiées :
(i) Pour tout i appartenant à
{ }
1; 2 ; ... ; p
,
Ai≠ ∅
.
(ii)
1 2
A A ... A p ∪ ∪ ∪ =Ω
.
(iii) Pour tous entiers i et j tels que
1≤i≤p , 1 ≤j≤p et i≠j
,
A A
i j
∩=∅
.
En particulier, pour tout événement A distinct de
Ω
et
∅
: les événements A et
A
constituent une
partition de
Ω

2 sur 11 – Cosette Ancel
Un sac contient 50 boules, dont 20 boules rouges et 30 boules noires,
où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu"
Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné.
Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné.
On tire au hasard une boule dans le sac.
Soit R l'événement "On tire une boule rouge".
Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné"
L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré
(ou arbre de probabilité)
Théorème : formule des probabilités totales
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et
1 2
A , A , ..., An
n événements de probabilités non nulles, formant une
partition de l’univers
Ω
.
P(B) =P A1∩B
( )
+P A2∩B
( )
+...+P An∩B
( )
=PA1 B
( )
×P A1
( )
+PA2 B
( )
×P A2
( )
+...+PAn B
( )
×P An
( )
En particulier, si A est un événement de
Ω
tel que
( )
P A 0≠
et
( )
P A 1≠
, alors
pour tout événement B de
Ω
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
AA
P B P A B P A B P B P A P B P A=∩+∩=×+×
.
Règle 1 :
La somme des probabilités des branches issues
d'un même nœud est égale à 1.
Par exemple :
- A partir du nœud "On tire une boule", on a :
P(R)+P(R)=0,4 +0,6 =1
- A partir du nœud "Boule rouge", on a :
P
R(G)=1−P R(G)=1−0,75 =0,25
.
Règle 2
La probabilité d'une "feuille" (extrémité d'un
chemin) est égale au produit des probabilités du
chemin aboutissant à cette feuille.
Par exemple : On considère la feuille
R∩G
. On a
P(R∩G)=P(R)×P
R(G)=0,4 ×0,75 =0,3
Règle 3 (Formule des probabilités totales)
La probabilité d'un événement associé à plusieurs
"feuilles" est égale à la somme des probabilités de
chacune des ces "feuilles".
Par exemple, l'événement "On tire une boule marquée
Gagné" est associé aux feuilles
R∩G
et
R∩G
.
R et
R
forment une partition de l’univers, d’après la
formule des probabilités totales, on a :
Donc
P(G)=P(R∩G)+P(R∩G)=0,3 +0,18 =0,48
.
Un arbre de probabilité : un exemple
avec les règles à suivre !!!

3 sur 11 – Cosette Ancel
Définition indépendance de 2 événements
On dit que deux événements A et B de
Ω
sont
indépendants pour la probabilité P lorsque
P A ∩B
( )
=P A
( )
×P B
( )
.
Evénements ou non indépendants : exemple.
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32
cartes.
Soit R l'événement "On tire un roi".
Soit T l'événement "On tire un trèfle".
Alors
R∩T
est l'événement "On tire le roi de
trèfle".
On a :
P(R)=4
32
=1
8
,
P(T)=8
32
=1
4
et
P(R∩T)=1
32
.
P(R)×P(T)=1
8
×1
4
=1
32
=P(R∩T)
.
Les événements R et T sont donc indépendants.
Ainsi, par exemple,
P
T(R)=P(R)
. Ce qui se
traduit par la probabilité de tirer un roi parmi
les trèfles et égale à la probabilité de tirer un roi
parmi toutes les cartes.
Contre-exemple :
On reprend l'expérience précédente en ajoutant
deux jokers au jeu de cartes.
Ainsi :
P(R)=4
34
=2
17
,
P(T)=8
34
=4
17
et
P(R∩T)=1
34
.
Donc
P(R)×P(T)=2
17
×4
17
=8
289
≠P(R∩T)
.
Les événements R et T ne sont donc pas
indépendants.
Une application classique !
On lance n fois un dé équilibré, quel est le nombre
minimal de lancer que l’on doit effectuer pour que la
probabilité d’obtenir au moins une fois un nombre 6 soit
supérieure à 0,99 ?
L’événement contraire de l’événement « obtenir au moins
une fois un nombre 6 » est « obtenir aucun nombre 6 »
Les lancers étant indépendant la probabilité d’obtenir n
fois aucun six est
5
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
n
La probabilité d’obtenir au moins une fois nombre 6 est
1−5
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
n
On cherche donc le plus petit entier naturel n tel que :
1−5
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
n
≥0,99 ⇔5
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
n
≤0,01
⇔ln 5
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
n
≤ln(0,01) car la fonction ln x est décroissante
⇔nln 5
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟≤ln(0,01) ⇔n≥ln(0, 01)
ln 5
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
car ln 5
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟≤0
A partir de 26 lancers la probabilité d’obtenir au moins
une fois un 6 est supérieure à 0,99
Encore un exemple
Lors d'un week-end prolongé, Bison futé annonce qu'il
y a 42% de risque de tomber dans un bouchon sur
l'autoroute A6 et 63% sur l'autoroute A7.
Soit A l'événement "On tombe dans un bouchon sur
l'autoroute A6."
Soit B l'événement "On tombe dans un bouchon sur
l'autoroute A7."
On suppose que les événements A et B sont
indépendants.
Alors les événements
A
et B sont également
indépendants et on a :
P(A∩B)=P(A)×P(B)=0,58 ×0,63 =0,3654
On peut interpréter ce résultat :
La probabilité de tomber dans un bouchon sur
l'autoroute A7 mais pas sur l'autoroute A6 est égale à
0,3654
Propriétés
Soit A et B deux événements de probabilités non
nulles.
• A et B sont indépendants si, et seulement si,
PAB
( )
=P B
( )
.
• A et B sont indépendants si, et seulement si,
PBA
( )
=P A
( )
.
Si A et B sont deux événements indépendants,
alors A et
B
,
A
et B,
A
et
B
sont indépendants.

4 sur 11 – Cosette Ancel
Définition : épreuve et loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une
expérience aléatoire E ayant deux issues, l’une
appelée « succès » et l’autre « échec », ces deux
issues ayant pour probabilités respectives p et q
telles que p + q = 1.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X
prenant la valeur 1 si l’issue est « succès » et la
valeur 0 si l’issue « échec » est appelée la loi de
Bernoulli de paramètre p.
On dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de
paramètre p.
k
0
1
P(X=k)
q = 1-p
p
Espérance et variance d’une loi de Bernoulli
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de
Bernoulli de paramètre p. Alors :
E(X) = p et V(X) = p(1–p) = p q.
Définition : loi binomiale
L’expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois
une même épreuve de Bernoulli de paramètre p de
façon indépendante est appelée un schéma de
Bernoulli.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X
égale au nombre de succès obtenus au cours des n
épreuves d’un schéma de Bernoulli est appelée la
loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).
On dit aussi que X suit la loi binomiale de
paramètres n et p.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi
binomiale B(n,p).
(1) X est à valeurs dans {0 ; 1 ; … ; n}.
(2)Pour tout entier k tel que
0≤k≤n
,
P X =k
( )
=n
k
!
"
#
$
%
&pk1−p
( )
n−k
.
(3)
E(X)=np
et
V(X)=np(1−p)
.
Petits rappels sur les coefficients binomiaux
Pour tout entier naturel n :
n
0
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=1
;
n
n
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=1
;
n
1
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=n
Propriété de symétrie : Pour tout entier naturel k tel
que
0≤k≤n
:
n
n−k
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=n
k
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
Propriété du triangle de Pascal : Pour tout entier
naturel k tel que
0≤k<n
:
n
k
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟+n
k+1
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=n+1
k+1
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
Exemple loi binomiale apprendre la rédaction !!!
On lance un dé non pipé 10 fois de suite et on
s’intéresse au nombre X de fois où l’on a obtenu le
chiffre 5.
On répète 10 fois de suite la même expérience (le
lancer d’un dé) de manière identique et
indépendante.
A chaque expérience il n’y a que deux issues
possibles :
- On obtient 6 de probabilité
1
6
.
- On n’obtient pas 6 de probabilité
5
6
.
Chaque expérience est donc une épreuve de
Bernoulli de paramètre
1
6
. Donc la variable
aléatoire X égale au nombre de 6 obtenu lors des 10
lancers suit la loi binomiale de paramètres
n=10 et p=1
6
.
La probabilité d’obtenir exactement 8 fois le chiffre
6 est donc :
P(X=8) =10
8
!
"
#
$
%
&
1
6
!
"
#$
%
&
85
6
!
"
#$
%
&
2
La probabilité d’obtenir au moins deux fois 6 est :
P(X≥2) =1−(P(X=0) +P(X=1))
=1−10
0
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟1
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
05
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
10
−10
1
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟1
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
15
6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
9
L’espérance de X (nombre moyen de fois où on
obtient le chiffre 6) est :
E(X)=10 ×1
6=5 3
.

5 sur 11 – Cosette Ancel
Dès le plus jeune âge on apprend et cela tout le reste de la vie,
alors mesure le chemin qu’il te reste à parcourir sans te plaindre !!!
Soit f une fonction définie sur
. La fonction f est une densité
de probabilité si elle vérifie les trois conditions suivantes :
1. f est continue sur
, sauf éventuellement en quelques valeurs.
2.
∀x∈ , f(x)≥0
3.
f(x)dx =1
−∞
+∞
∫
.
La fonction de répartition de X est
la fonction F définie sur IR par :
∀x∈ F(x)=P(X≤x)
.
et F’ (x) = f (x) (où f est continue)
Attention, on ne sait pas intégrer avec des bornes infinies, donc on utilise
une limite :
f(t)dt
−∞
a
∫=lim
x→∞ f(t)dt
x
a
∫
Comme la probabilité est définie par une intégrale, la probabilité
P(X = a) = 0, logique quoi ! C’est le cours des intégrales.
Pour les autres probabilités, on réfléchit il s’agit d’aire sous la courbe de f qui je le rappelle est
positive, pour les bornes il suffit d’observer ce que l’on nous demande : La somme des probabilités
étant égale à 1, on a :
P(X>b)=1−P(X≤b)=1−f(t)dt =1−F(b)
−∞
b
∫
P(a<X<b)=F(b)−F(a)=f(t)dt
a
b
∫
Sans oublier que si l’on met < ou
≤
peu importe,
cela ne change rien au résultat, contrairement à la
loi binomiale, alors ne pas confondre.
Dernière petite chose :
L’espérance mathématique de X est le réel
E(X)=tf (t)dt
−∞
+∞
∫
.
Exemple de densité de probabilité
Une entreprise produit des dalles en plâtre suivant une variable aléatoire
continue X, en tonnes, qui prend ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 20] avec une
densité de probabilité f définie par :
a) Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20].
b) Calculer la probabilité de l'événement E "La production quotidienne est
supérieure ou égale à 12 tonnes". Puis calculer l’espérance mathématique de X
a) - f est continue sur l'intervalle [0 ; 20] comme fonction trinôme.
-
f(0) =f(20) =0
donc, d'après la règle des signes d'un trinôme,
f(x)≥0
sur [0 ; 20].
-
f(t)dt =
0
20
∫0,0075t2−0,00025t3
#
$% &0
20 =0,0075 ×202−0,00025 ×203−0=1
b)
P(E)=P(12 ≤X≤20)
=f(t)dt
12
20
∫=0,0075t2−0,00025t3
⎡
⎣⎤ ⎦12
20
=0,0075 ×202−0,00025 ×203−0,0075 ×122+0,00025 ×123
=1−0,648 =0,352
E(X)=t f (t)dt
0
20
∫=0,015t2−0,00075t3dt
0
20
∫
E(X)=0,005t3−0,0001875t4
⎡
⎣⎤ ⎦0
20 =0,005 ×203−0,0001875 ×204−0=10