Les probabilités

Probabilités
Des définitions
L’événement contraire de l’événement A est
l’événement noté A .
L’événement A ∩ B (noté aussi « A et B ») est
l’événement formé des éléments appartenant à
A et à B.
L’événement A ∪ B (noté aussi « A ou B ») est
l’événement formé des éléments appartenant à
A ou B.
Deux événement A et B sont dits
incompatibles lorsque A ∩ B = ∅ .
Propriétés
P(A) = 1 − P(A) ; P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Dans le cas particulier où A et B sont
incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) .
Dans le cas particulier où A et B sont
indépendants :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) .
Dans le cas de l’équiprobabilité,
nb de cas favorables
P(A) =
.
nb de cas possibles
Définir la loi de probabilité de X, c’est donner (sous
forme d’un tableau) la probabilité de chacun des
événements X = k.
Espérance mathématique de X :
E(X) = p1 x1 + p2 x2 + .... + pn xn
Variance de X :
2
V (x) = p1 x12 + p2 x22 + .... + pn xn2 − ( E(X))
(
)
Ecart type : σ (X) = V (X)
Dans le cas particulier de la loi binomiale :
E(X) = np et V (X) = np(1 − p)
Exemple
Tirage au hasard d’une carte dans un jeu de 32 cartes
avec les événements :
Soit les événements R : « la carte est la roi » et C : « la
carte est un cœur ».
4 1
8
1
1
;
P(R) =
= ; P(C) =
= ; P(R ∩ C) =
32 8
32 4
32
1 1 1 11
P(R ∪C) = P(R) + P(C) − P(R ∩C) = + − =
8 4 32 32
Exemple variance et écart type
On lance un dé. Le joueur perd 3 euros s’il obtient
un multiple de 3 et il gagne 6 euros dans le cas
contraire.
X est la variable aléatoire égale au gain du joueur.
X ne peut prendre que les valeurs –3 et 6.
Loi de probabilité de X :
2 1
4 2
On a P(X = −3) = = et P(X = −3) = =
6 3
6 3
k
-3
6
1
2
P(X = k)
3
3
1
2
+6× = 3 ;
3
3
1
2
V (X) = 9 × + 36 × − 9 = 18 et σ (X) = 3 2
3
3
E(X) = −3 ×
Définition : probabilité conditionnelle
Soit A un événement de Ω tel que P (A ) ≠ 0 .
Pour tout événement B de Ω, on appelle
probabilité conditionnelle de B sachant A, le réel
P (A ∩ B )
noté PA (B ) définie par : PA (B ) =
.
P (A )
Propriété
Soit A et B deux événements tels que P(A) ≠ 0 et P(B) ≠0.
P(A ∩ B) = PA (B) × P(A) = PB (A) × P(B) et PA B = 1 − PA (B)
( )
Définition : partition de l’univers
On dit que p événements A1 , A 2 , ..., A p forment une partition de l’univers Ω lorsque les trois conditions
suivantes sont vérifiées :
(i) Pour tout i appartenant à {1; 2 ; ... ; p}, A i ≠ ∅ .
(ii) A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A p = Ω .
(iii) Pour tous entiers i et j tels que 1 ≤ i ≤ p , 1 ≤ j ≤ p et i ≠ j , A i ∩ A j = ∅ .
En particulier, pour tout événement A distinct de Ω et ∅ : les événements A et A constituent une
partition de Ω
1 sur 11 – Cosette Ancel
Théorème : formule des probabilités totales
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et A1 , A 2 , ..., A n n événements de probabilités non nulles, formant une
partition de l’univers Ω .
P(B) = P ( A1 ∩ B) + P ( A 2 ∩ B) + ...+ P ( A n ∩ B) = PA ( B) × P ( A1 ) + PA ( B) × P ( A 2 ) + ...+ PA ( B) × P ( A n )
1
2
n
En particulier, si A est un événement de Ω tel que P (A ) ≠ 0 et P (A ) ≠ 1 , alors
(
)
()
pour tout événement B de Ω . P (B ) = P (A ∩ B ) + P A ∩ B = PA (B )× P (A ) + PA (B )× P A .
Un sac contient 50 boules, dont 20 boules rouges et 30 boules noires,
où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu"
Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné. Un arbre de probabilité : un exemple
Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné.
avec les règles à suivre !!!
On tire au hasard une boule dans le sac.
Soit R l'événement "On tire une boule rouge".
Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné"
L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré
(ou arbre de probabilité)
Règle 1 :
La somme des probabilités des branches issues
d'un même nœud est égale à 1.
Par exemple :
- A partir du nœud "On tire une boule", on a :
P(R) + P(R) = 0,4 + 0,6 = 1
- A partir du nœud "Boule rouge", on a :
PR (G) = 1 − PR (G) = 1 − 0,75 = 0,25 .
Règle 2
La probabilité d'une "feuille" (extrémité d'un
chemin) est égale au produit des probabilités du
chemin aboutissant à cette feuille.
Par exemple : On considère la feuille R ∩ G . On a
P(R ∩ G) = P(R) × PR (G) = 0,4 × 0,75 = 0,3
Règle 3 (Formule des probabilités totales)
La probabilité d'un événement associé à plusieurs
"feuilles" est égale à la somme des probabilités de
chacune des ces "feuilles".
Par exemple, l'événement "On tire une boule marquée
Gagné" est associé aux feuilles R ∩ G et R ∩ G .
R et R forment une partition de l’univers, d’après la
formule des probabilités totales, on a :
Donc
P(G) = P(R ∩ G) + P(R ∩ G) = 0,3 + 0,18 = 0,48 .
2 sur 11 – Cosette Ancel
Définition indépendance de 2 événements
On dit que deux événements A et B de Ω sont
indépendants pour la probabilité P lorsque
P A∩B = P A ×P B .
(
)
( ) ( )
Une application classique !
On lance n fois un dé équilibré, quel est le nombre
minimal de lancer que l’on doit effectuer pour que la
probabilité d’obtenir au moins une fois un nombre 6 soit
supérieure à 0,99 ?
L’événement contraire de l’événement « obtenir au moins
une fois un nombre 6 » est « obtenir aucun nombre 6 »
Les lancers étant indépendant la probabilité d’obtenir n
n
⎛ 5⎞
fois aucun six est ⎜ ⎟
⎝ 6⎠
La probabilité d’obtenir au moins une fois nombre 6 est
n
⎛ 5⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 6⎠
On cherche donc le plus petit entier naturel n tel que :
n
n
⎛ 5⎞
⎛ 5⎞
1− ⎜ ⎟ ≥ 0,99 ⇔ ⎜ ⎟ ≤ 0,01
⎝ 6⎠
⎝ 6⎠
n
⎛ 5⎞
⇔ ln ⎜ ⎟ ≤ ln(0,01) car la fonction ln x est décroissante
⎝ 6⎠
ln(0,01)
⎛ 5⎞
⎛ 5⎞
⇔ n ln ⎜ ⎟ ≤ ln(0,01) ⇔ n ≥
car ln ⎜ ⎟ ≤ 0
⎝ 6⎠
⎝ 6⎠
⎛ 5⎞
ln ⎜ ⎟
⎝ 6⎠
A partir de 26 lancers la probabilité d’obtenir au moins
une fois un 6 est supérieure à 0,99
Propriétés
Soit A et B deux événements de probabilités non
nulles.
• A et B sont indépendants si, et seulement si,
PA B = P B .
( )
( )
A et B sont indépendants si, et seulement si,
PB A = P A .
•
( )
( )
Si A et B sont deux événements indépendants,
alors A et B , A et B, A et B sont indépendants.
Evénements ou non indépendants : exemple.
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32
cartes.
Soit R l'événement "On tire un roi".
Soit T l'événement "On tire un trèfle".
Alors R ∩ T est l'événement "On tire le roi de
trèfle".
4 1
8 1
= , P(T ) =
= et
On a : P(R) =
32 8
32 4
1
P(R ∩ T ) =
.
32
1 1 1
P(R) × P(T ) = × =
= P(R ∩ T ) .
8 4 32
Les événements R et T sont donc indépendants.
Ainsi, par exemple, PT (R) = P(R) . Ce qui se
traduit par la probabilité de tirer un roi parmi
les trèfles et égale à la probabilité de tirer un roi
parmi toutes les cartes.
Contre-exemple :
On reprend l'expérience précédente en ajoutant
deux jokers au jeu de cartes.
Ainsi :
4
2
8
4
P(R) =
=
=
, P(T ) =
et
34 17
34 17
1
P(R ∩ T ) =
.
34
Donc
2
4
8
P(R) × P(T ) =
×
=
≠ P(R ∩ T ) .
17 17 289
Les événements R et T ne sont donc pas
indépendants.
Encore un exemple
Lors d'un week-end prolongé, Bison futé annonce qu'il
y a 42% de risque de tomber dans un bouchon sur
l'autoroute A6 et 63% sur l'autoroute A7.
Soit A l'événement "On tombe dans un bouchon sur
l'autoroute A6."
Soit B l'événement "On tombe dans un bouchon sur
l'autoroute A7."
On suppose que les événements A et B sont
indépendants.
Alors les événements A et B sont également
indépendants et on a :
P( A ∩ B) = P( A) × P(B) = 0,58 × 0,63 = 0,3654
On peut interpréter ce résultat :
La probabilité de tomber dans un bouchon sur
l'autoroute A7 mais pas sur l'autoroute A6 est égale à
0,3654
3 sur 11 – Cosette Ancel
Définition : épreuve et loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une
expérience aléatoire E ayant deux issues, l’une
appelée « succès » et l’autre « échec », ces deux
issues ayant pour probabilités respectives p et q
telles que p + q = 1.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X
prenant la valeur 1 si l’issue est « succès » et la
valeur 0 si l’issue « échec » est appelée la loi de
Bernoulli de paramètre p.
On dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de
paramètre p.
k
0
1
P(X=k)
Exemple loi binomiale apprendre la rédaction !!!
On lance un dé non pipé 10 fois de suite et on
q = 1-p p
s’intéresse au nombre X de fois où l’on a obtenu le
Espérance et variance d’une loi de Bernoulli
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de
Bernoulli de paramètre p. Alors :
E(X) = p et V(X) = p(1–p) = p q.
Définition : loi binomiale
L’expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois
une même épreuve de Bernoulli de paramètre p de
façon indépendante est appelée un schéma de
Bernoulli.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X
égale au nombre de succès obtenus au cours des n
épreuves d’un schéma de Bernoulli est appelée la
loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).
On dit aussi que X suit la loi binomiale de
paramètres n et p.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi
binomiale B(n,p).
(1) X est à valeurs dans {0 ; 1 ; … ; n}.
(2)Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n ,
! n$
n− k
.
P X = k = # & pk 1 − p
" k%
(
)
(3) E(X) = np
(
)
et V (X) = np(1− p) .
chiffre 5.
On répète 10 fois de suite la même expérience (le
lancer d’un dé) de manière identique et
indépendante.
A chaque expérience il n’y a que deux issues
possibles :
- On obtient 6 de probabilité
1
.
6
- On n’obtient pas 6 de probabilité
5
.
6
Chaque expérience est donc une épreuve de
Bernoulli de paramètre
1
. Donc la variable
6
aléatoire X égale au nombre de 6 obtenu lors des 10
lancers suit la loi binomiale de paramètres
n = 10 et p =
1
.
6
La probabilité d’obtenir exactement 8 fois le chiffre
8
Petits rappels sur les coefficients binomiaux
⎛ n⎞
Pour tout entier naturel n : ⎜ ⎟ = 1
⎝ 0⎠
⎛ n⎞
; ⎜ ⎟ =1
⎝ n⎠
⎛ n⎞
;⎜ ⎟ = n
⎝1 ⎠
Propriété de symétrie : Pour tout entier naturel k tel
⎛ n ⎞ ⎛ n⎞
que 0 ≤ k ≤ n : ⎜
=
⎝ n − k ⎟⎠ ⎜⎝ k ⎟⎠
Propriété du triangle de Pascal : Pour tout entier
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
naturel k tel que 0 ≤ k < n : ⎜ ⎟ + ⎜
=
⎝ k ⎠ ⎝ k + 1⎟⎠ ⎜⎝ k + 1⎟⎠
! 10 $ ! 1 $ ! 5 $
6 est donc : P(X = 8) = # & # & # &
" 8 % " 6% " 6%
2
La probabilité d’obtenir au moins deux fois 6 est :
P(X ≥ 2) = 1− (P(X = 0) + P(X = 1))
0
10
1
9
⎛ 10 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
⎛ 10 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
= 1− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠
⎝1 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
L’espérance de X (nombre moyen de fois où on
obtient le chiffre 6) est : E(X) = 10 ×
4 sur 11 – Cosette Ancel
1 5
= .
6 3
Dès le plus jeune âge on apprend et cela tout le reste de la vie,
alors mesure le chemin qu’il te reste à parcourir sans te plaindre !!!
Soit f une fonction définie sur  . La fonction f est une densité
de probabilité si elle vérifie les trois conditions suivantes :
1. f est continue sur  , sauf éventuellement en quelques valeurs.
2. ∀x ∈ , f (x) ≥ 0
3.
∫
+∞
−∞
f (x)dx = 1 .
La fonction de répartition de X est
la fonction F définie sur IR par :
∀x ∈ F(x) = P(X ≤ x) .
et F’ (x) = f (x) (où f est continue)
Attention, on ne sait pas intégrer avec des bornes infinies, donc on utilise
une limite :
∫
a
−∞
a
f (t)dt = lim ∫ f (t)dt
x→∞
x
Comme la probabilité est définie par une intégrale, la probabilité
P(X = a) = 0, logique quoi ! C’est le cours des intégrales.
Pour les autres probabilités, on réfléchit il s’agit d’aire sous la courbe de f qui je le rappelle est
positive, pour les bornes il suffit d’observer ce que l’on nous demande : La somme des probabilités
étant égale à 1, on a : P(X > b) = 1− P(X ≤ b) = 1−
∫
b
−∞
f (t)dt = 1− F(b)
b
P(a < X < b) = F(b) − F(a) = ∫ f (t) dt
a
Sans oublier que si l’on met < ou ≤ peu importe,
cela ne change rien au résultat, contrairement à la
loi binomiale, alors ne pas confondre.
Dernière petite chose :
+∞
L’espérance mathématique de X est le réel E(X) = ∫ tf (t)dt .
−∞
Exemple de densité de probabilité
Une entreprise produit des dalles en plâtre suivant une variable aléatoire
continue X, en tonnes, qui prend ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 20] avec une
densité de probabilité f définie par :
a) Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20].
b) Calculer la probabilité de l'événement E "La production quotidienne est
supérieure ou égale à 12 tonnes". Puis calculer l’espérance mathématique de X
a) - f est continue sur l'intervalle [0 ; 20] comme fonction trinôme.
- f (0) = f (20) = 0
donc, d'après la règle des signes d'un trinôme, f (x) ≥ 0 sur [0 ; 20].
-
∫
20
0
20
f (t) dt = #$0,0075t 2 − 0,00025t 3 %& = 0,0075 × 202 − 0,00025 × 203 − 0 = 1
0
b) P(E) = P(12 ≤ X ≤ 20)
=∫
20
12
f (t) dt = ⎡⎣0,0075t 2 − 0,00025t 3 ⎤⎦
20
12
2
= 0,0075 × 20 − 0,00025 × 20 − 0,0075 × 122 + 0,00025 × 123
= 1− 0,648 = 0,352
20
20
0
0
3
E( X ) = ∫ t f (t) dt = ∫ 0,015t 2 − 0,00075t 3 dt
20
E( X ) = ⎡⎣0,005t 3 − 0,0001875t 4 ⎤⎦ = 0,005 × 203 − 0,0001875 × 204 − 0 = 10
0
5 sur 11 – Cosette Ancel
Loi continue
Soit a et b deux réels tels que a < b et X une variable
aléatoire.
On dit que X suit la loi uniforme sur [a ; b], lorsque X
suit la loi à densité continue f définie par :
⎧ 1
si x ∈[ a;b ]
a+b
⎪
E(X) =
f (x) = ⎨ b − a
2
⎪⎩0 sinon
Loi exponentielle
Soit λ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de
paramètre λ , lorsque X est à valeurs dans [0 ; +∞[et
suit une loi à densité continue f définie par :
⎧λ e− λ x si x ∈[ 0;+∞[
1
, et E(X) =
f (x) = ⎨
λ
⎪⎩0 sinon
PX >t (X > t + h) = P(X > h) , c’est-à-dire si X suit la loi
sans vieillissement, en claire : la probabilité que cet
élément soit « vivant » à l’instant t + h, pour h ≥ 0
sachant qu’il est « vivant » à l’instant t, ne dépend pas
de l’instant t, mais seulement de la durée h .
Exemple de loi continue
On choisit au hasard un nombre réel dans
l’intervalle [3 ;5]
Déterminer la probabilité que ce nombre soit
compris entre 3,2 et 4,1.
Soit X la variable aléatoire représentant le
nombre choisi. X suit la loi uniforme sur
l’intervalle [3 ;5]. Donc la densité de probabilité
f, de la variable aléatoire X, est définie par :
1
⎧ 1
= si x ∈[ a;b ]
⎪
f (x) = ⎨ 5 − 3 2
⎪⎩0 sinon
La probabilité que ce nombre soit compris entre
4,1 1
3,2 et 4,1, soit P(3,2 ≤ X ≤ 4,1) = ∫
dt = 0, 45 .
3,2 2
Exemple loi exponentielle : plus que classique !
Une entreprise dispose d’un parc d’ordinateurs
tous identiques.
La durée de vie d’un ordinateur en année est une
variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle
de paramètre λ .
1) Le responsable informatique sait que 60% d’un
lot important de ce type d’ordinateur a une durée
de vie de supérieure à 5 ans. Déterminer une
valeur approchée de λ à 10 −3 près.
2) Déterminer la probabilité qu’un ordinateur de ce
parc est une durée de vie comprise entre 2 et 5 ans.
3) Sachant qu’un ordinateur a déjà fonctionné 2
ans, quelle est la probabilité, qu’il ait une durée de
vie supérieure à 8 ans ?
4) Déterminer E(X) arrondie à une année et
interpréter ce résultat.
1) L’information « 60% d’un lot important de ce type d’ordinateur a une durée de vie supérieure à 5 ans »,
se traduit, pour un ordinateur donné, par la probabilité d’avoir une durée de vie supérieure à 5 ans est égale à
0,6, soit P(X > 5) = 0, 6 .
5
5
0
0
Or, P( X > 5) = 1 − P( X ≤ 5) ; P( X ≤ 5) = ∫ λ e− λt dt = ⎡⎣ −e− λt ⎤⎦ = 1− e−5λ
ln 0,6
≈ 0,102 .
−5
2) La probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie comprise entre 2 et 5 ans est la probabilité de
On en déduit que P(X > 5) = e−5 λ , or P(X > 5) = 0, 6 . e−5λ = 0,6 ⇔ −5λ = ln 0,6 ⇔ λ =
l’événement (2 ≤ X ≤ 5 ). Soit P(2 < X < 5) =
∫
5
2
5
0,102e−0,102t dt = #$ −e−0,102t %& = e−0,204 − e−0,51 ≈ 0,215 .
2
La probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie comprise entre 2 et 5 ans est donc d’environ 0,215.
3) X suit une loi exponentielle donc on sait que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement :
PX >2 (X > 8) = P(X > 6) .
6
6
0
0
Or P( X > 6) = 1 − P( X ≤ 6) = 1 − ∫ 0,102e−0,102t dt = 1 − $% −e−0,102t &' = 1 − (1 − e−0,612 ) ≈ 0,542 .
On en déduit que la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie supérieure à 8 ans sachant qu’il a déjà
fonctionné 2 ans est environ 0,542.
1
1
≈ 9,804 . En moyenne un ordinateur de ce parc a une durée de vie de 10 ans.
4) E( X ) = =
λ 0,102
6 sur 11 – Cosette Ancel
Loi normale centrée réduite
La loi normale centrée réduite, notée N (0;1) , est
la loi ayant pour densité de probabilité la fonction
2
1 − x2
f définie sur  par : f (x) =
e .
2π
La représentation graphique de la fonction densité de la loi N (0;1)
est appelée courbe en cloche.
Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite
N (0;1) , alors E( X ) = 0 et V (X) = 1
Il n'est pas possible de déterminer une forme explicite de
primitives de la fonction densité de la loi normale centrée réduite.
Contextes d'utilisation :
Taille d'un individu, fréquence cardiaque, quotient intellectuel ...
X est une variable aléatoire qui suit la loi normale
centrée réduite N (0;1) .
Pour tout α ∈ ⎤⎦0;1⎡⎣ , il existe un unique réel positif uα
tel que P −uα ≤ X ≤ uα = 1 − α .
(
)
Cas particulier : u0,05 ≈ 1,96 et u0,01 ≈ 2,58
Pour calculer des probabilités : utiliser la calculatrice
Un variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite. A l’aide d’une calculatrice déterminer les
probabilités suivantes :
a) P(X ≤ 0,56) et P(X ≤ –0,56) ; b) P(−0,56 ≤ X ≤ 1,35) ; c) P(X ≥ 1,35) ; d) P(X ≤ −0,56 ou X ≥ 1,35)
a) P(X ≤ 0,56) ≃ 0,712. On a P(X ≤ – 0,56) = P(X ≥ 0,56) = 1 – P(X ≤ 0,56) ≃ 0,288 (ou à la calculatrice !!)
b) P(−0,56 ≤ X ≤ 1,35) ≃ 0,624 ;
c) P(X ≥ 1,35) ≃ 0,089 (on a aussi P(X ≥ 1,35) = 1 – P(X ≤ 1,35))
d) P(X ≤ −0,56 ou X ≥ 1,35) = 1 – P(−0,56 ≤ X ≤ 1,35) ≃ 0,376
Encore et toujours la calculatrice
Z est une variable qui suit la loi N(0 ; 1).
Déterminer la valeur du réel r, arrondie à 10–2 près,
telle que P(–r ≤ Z ≤ r) = 0,8
On a donc: 1 − α = 0,8 ⇔ α = 0,2 . On doit donc
avoir : Φ(r) = 1− α ÷ 2 = 0,9. A l’aide de la
calculatrice avec la fonction, on trouve : r ≃ 1,28
Définition loi normale
Soit un nombre réel µ et un nombre réel strictement
positif σ .
Dire qu'une variable aléatoire continue X suit la loi
normale d'espérance µ et d'écart-type σ , notée
X −µ
N µ;σ , signifie que la variable aléatoire
σ
N
(0;1)
suit la loi normale centrée réduite
.
La courbe représentative de la fonction densité de la loi
N µ; σ 2 est une courbe en cloche symétrique par
(
(
2
)
)
rapport à la droite d'équation x = µ .
Encore et toujours la calculatrice
Une compagnie de transport possède un parc de
200 cars. On appelle X la variable aléatoire qui a
un car choisi au hasard associe la distance
journalière parcourue.
On suppose que X suit la loi normale N 80;142
-3
(
)
Quelle est la probabilité, à 10 près, qu'un car
parcourt entre 70 et 100 km par jour ?
P 70 ≤ X ≤ 100 ≈ 0,686 (à la calculatrice)
(
)
La probabilité qu'un car parcourt entre 70 et 100
km par jour est d'environ 0,686.
7 sur 11 – Cosette Ancel
Influence de l’écart type
On constate que plus l’écart type est important, plus
la courbe de densité est évasée et plus le maximum
est petit. En effet un écart type important signifie
que la dispersion des données est importante.
La courbe est d'autant plus "resserrée" autour de son
axe de symétrie que l'écart-type σ est petit.
L'écart-type (ou la variance) est un caractère de
dispersion autour de l'espérance qui est un caractère
de position.
Intervalles de confiance
X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N µ;σ 2 .
(
)
P ( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) ≈ 0,683 (intervalle de confiance à 68%)
(
)
P ( µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) ≈ 0,997 (intervalle de confiance à 99%)
P µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ≈ 0,954 (intervalle de confiance à 95%)
Approximation loi binomiale
Si X suit une loi binomiale de paramètre n et p avec n ≥ 30 ; np ≥ 5 et n (1− p ) ≥ 5 alors on
peut utiliser l’approximation du théorème de Moivre-Laplace :
⎛
⎞
X − np
P⎜ a ≤
≤ b⎟ ≈ P ( a ≤ Z ≤ b) , où Z suit la loi normale centrée réduite.
np(1− p)
⎝
⎠
Un exemple d’approximation de loi binomiale par la loi normale : théorème de Moivre Laplace
X suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,1.
Est-il raisonnable d’utiliser l’approximation fournie par le théorème de Moivre Laplace. Si oui, utiliser
cette approximation pour calculer P(0 ≤ X ≤ 5).
Le théorème de Moivre-Laplace permet d’approcher en pratique une loi binomiale B(n ; p) par une loi
normale dès que n ≥ 30, np ≥ 5 et n (1– p) ≥ 5. Dans notre cas n = 100 et p = 0,1 donc ces trois conditions
sont bien réalisées. Il est donc raisonnable d’utiliser l’approximation normale fournie par le théorème de
Moivre-Laplace.
Afin de pouvoir utiliser ce théorème, il faut centrer et réduire X.
⎛ 0 − 10 X − 10 5 − 10 ⎞
⎛ 10 X − 10 5 ⎞
P (0 ≤ X ≤ 5) = P ⎜
≤
≤
= P⎜ − ≤
≤ ⎟
⎟
⎝ 3
⎝ 3
3
3 ⎠
3
3⎠
5⎞
⎛ 10 X − 10 5 ⎞
⎛ 10
P⎜ − ≤
≤ ⎟ ≈ P ⎜ − ≤ Z ≤ ⎟ , où Z suit la loi normale centrée réduite. A la calculatrice, on
⎝ 3
⎝ 3
3
3⎠
3⎠
5⎞
⎛ 10
obtient : P ⎜ − ≤ Z ≤ ⎟ ≈ 0,05 à 10–2 près.
⎝ 3
3⎠
8 sur 11 – Cosette Ancel
Une entreprise de confitures annonce sur les emballages une teneur en fruits de 60 grammes pour 20
grammes de confiture.
Le procédé de fabrication est soumis à quelques aléas. On considère que la teneur en fruits pour 100
grammes de confiture fluctue selon la loi N(60 ; 9).
1. Quelle est la probabilité que la teneur en fruits soit différente de plus de 5 grammes de valeur
annoncée sur l’emballage ?
2. Dans quel intervalle fluctue la teneur en fruits avec une probabilité de 0,95.
Ces résultats ne satisfont pas le service qualité de l’entreprise : en présence de trop peu de fruites, le
client risque de dénoncer une publicité mensongère et à l’inverse, l’excès de fruits augmente le coût de
fabrication d’un pot de confiture et diminue sa rentabilité. Le service qualité demande donc au service
technique de modifier l’écart type σ pour rendre la teneur en fuit moins fluctuante.
3. Celui-ci doit-il augmenter au diminuer σ ?
4. Plus précisément, le service qualité souhaite que la teneur en fruits fluctue désormais à 95% dans
l’intervalle [58 ; 62]. Quelle valeur de σ le service technique doit-il atteindre ?
1. Soit X la teneur en fruits dans un pot. D’après l’énoncé X suit la loi normal N(60 ; 9). La teneur en
fruits est annoncée à 60 g. Elle s’en écarte de plus de 5 g si X ≤ 55 et si X ≥ 65. On cherche donc :
P ( X ≤ 55 ∪ X ≥ 65 ) = 1− P ( 55 < X < 65 ) ≈ 0,904 .
La probabilité que la teneur en fruits diffère de plus de 5 g est 0,904 à 10–3 près.
2. Si X suit une loi normale N µ;σ 2 , alors il fluctue à 95% dans l’intervalle [ µ − 2σ ; µ + 2σ ] ,
(
)
puisqu’ici µ = 60 et σ = 3 : la teneur en fruits fluctue à 95% dans l’intervalle [54 ; 60].
3. L’écart-type σ quantifie la dispersion de la variable aléatoire X. Plus σ est élevé, plus les réalisations
de σ sont dispersées. Il faut donc réduit l’intervalle de fluctuations de X.
4. On souhaite que l’intervalle [ µ − 2σ ; µ + 2σ ] soit égale à [58 ; 62]. Puisque µ = 60 , on a σ = 1 .
Un dernier exemple
On suppose que la distance en mètres parcourue par un javelot suit une loi normale. Au cours d’un
entraînement, on constate que :
10% des javelots atteignent plus de 75 mètres.
25% des javelots parcourent moins de 50 mètres.
Calculer la longueur moyenne parcourue par un javelot, ainsi que l’écart type de cette longueur.
Soit X la variable aléatoire égale à la distance parcourue par le javelot. D’après l’énoncé X suit la loi
normale de paramètres m et s.
D’après l’énoncé on sait que P(X > 75) = 0,1 et P(X < 50) = 0,25
X−m
Si X suit la loi normale de paramètres m et s, alors T =
suit la loi normale centrée réduite.
s
75 − m ⎞
⎛ X − m 75 − m ⎞
⎛
P(X > 75) = P ⎜
>
= P⎜T >
⎟
⎟ = 0,1 . A l’aide de la calculatrice, on obtient :
⎝ s
⎝
s ⎠
s ⎠
75 − m
= −1,28 .
s
50 − m ⎞
⎛ X − m 50 − m ⎞
⎛
P(X < 50) = P ⎜
<
= P⎜T <
⎟
⎟ = 0,25 .
⎝ s
⎝
s ⎠
s ⎠
50 − m
A l’aide de la calculatrice, on obtient :
= 0,67 .
s
Ainsi, m et s sont solutions du système :
⎧ 75 − m
⎪⎪ s = −1,28
⎧−m = −1,28s − 75
⎧ s = 12,82
⇔⎨
⇔⎨
⎨
⎩−m = 0,67s − 50
⎩ m = 58,69
⎪ 50 − m = 0,67
⎪⎩ s
La longueur parcourue par un javelot suit la loi normale de paramètre de moyenne 58,69
et d’écart type 12,82
9 sur 11 – Cosette Ancel
Loi Normale et calculatrice
La variable aléatoire X suit la loi normale n( ; )
Nous choisissons ici une variable aléatoire X qui suit la loi normale n(10;3,2)
Casio : Graph 35+ et modèles supérieurs
Choisir le menu : STAT
Puis DIST
Puis NORM
Remarque
Npd permet d’obtenir les valeurs prises par la fonction de densité.
Calcul de P(X k) : choisir Ncd
Pour calculer P(X 13)
Placer une borne inférieure très petite
Placer la valeur de k
Placer ici la valeur de
Placer ici la valeur de
Calculer en appuyant sur F1
Calcul de P(k1 X k2) : choisir Ncd
Pour calculer P(9 X 13)
Placer la valeur de k1
Placer la valeur de k2
Placer ici la valeur de
Placer ici la valeur de
Calculer en appuyant sur F1
Calcul de a tel que P(X a) = p (avec 0 p 1) : choisir InvN
Pour calculer a tel que P(X a) = 0,7568
Placer la valeur de p
Placer ici la valeur de
Placer ici la valeur de
Calculer en appuyant sur F1
Utilisation de la calculatrice
Page 1
10 sur 11 – Cosette Ancel
Équipe Académique Mathématiques
Bordeaux
Texas : TI82 Stats Fr et modèles supérieurs
Obtenir le menu des
distributions des lois de
probabilités par :
2nd
DISTR (ou distrib)
Remarque
Normalpdf ou normalFdp (version fr) permet d’obtenir les valeurs prises par la fonction de densité.
Calcul de P(X k)
Pour calculer P(X
13)
Choisir DISTR
Choisir normalcdf ou
normalFrèp (version fr)
Compléter les paramètres :
valeur de k
valeur de
borne inférieure très petite
valeur de
Après éxécution on obtient :
Calcul de P(k1 X k2)
Pour calculer P(9 X
Choisir DISTR
13)
Choisir normalcdf ou
normalFrèp (version fr)
Compléter les paramètres :
valeur de k1 valeur de k2
valeur de
valeur de
Après éxécution on obtient :
Calcul de a tel que P(X a) = p (avec 0 p 1)
Pour calculer a tel que P(X a) = 0,7568
Choisir DISTR
Choisir invNorm ou
FracNormale (version fr)
Compléter les paramètres :
valeur de
valeur de
valeur de p
Après éxécution on obtient :
Utilisation de la calculatrice
Page 2
11 sur 11 – Cosette Ancel
Équipe Académique Mathématiques
Bordeaux