Matrices - BCPST Hoche

Chapitre 6
Matrices
– Connaître les opérations sur les matrices : addition, multiplication, transposition,
etc.
– Savoir utiliser la formule de Newton sur les matrices.
– Connaître les propriétés des matrices carrées, symétriques, scalaires, diagonales et
triangulaires.
– Avoir fait quelques exercices type (diagonalisation, calcul de puissances et d’inverse).
– Connaître le lien entre effectuer des opérations élémentaires et multiplier par cer-
taines matrices particulières.
– La méthode de remontée.
– Introduire les notations utiles pour la suite ainsi que faire le lien entre système
linéaire et matrices.
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BY: $
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=
I Introduction : définitions
Dans tout le chapitre, la lettre Kdésigne Rou C. Les éléments de Ksont appelés les scalaires (par
opposition aux vecteurs), et sont traditionnellement notés avec des lettres grecques.
I.1 Rappel sur Kn
Définition 1. L’ensemble Knest l’ensemble des n-uplets, c’est-à-dire des éléments de la forme : x=
(x1,··· , xn), où les xi∈K. Les xisont appelés les composantes du vecteur x.
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont le même nombre d’éléments et que tous leurs éléments
sont égaux.
Dans cet ensemble, on peut ajouter des éléments xet x′en ajoutant composante par composante :
x+x′= (x1,··· , xn) + (x′
1,··· , x′ n) = (x1+x′ 1,··· , xn+x′ n).
(on parle d’addition interne).
On peut aussi multiplier un vecteur xpar un scalaire λi.e. un élément de K, en multipliant toutes les
composantes :
λx =λ(x1,··· , xn) = (λx1,··· , λxn).
(on parle de multiplication externe).
1

2CHAPITRE 6. MATRICES
On ne peut pas multiplier des vecteurs, mais il existe le produit scalaire entre deux vecteurs xet x′:
x·x′= (x1,··· , xn)·(x′
1,··· , x′ n) =
n
X
i=1
xix′
i
Ce produit scalaire associe à deux vecteurs un scalaire i.e. un élément de K.
I.2 Ensemble des matrices Mp,q(K)
Définition 2. Une matrice Aàplignes et qcolonnes à coefficients dans Kest un tableau de p×qéléments
(ai,j )i=1···p, j=1···q.
C’est donc :
A=
a11 a12 ··· a1q
a21 a22 ··· a2q
.
.
..
.
..
.
..
.
.
ap1ap2··· apq
Une matrice est donc déterminée par ses dimensions pet q, et par ses p×qcoefficients (qui sont
éléments de K).
Deux matrices Aet Bsont égales si elles ont mêmes dimensions, et si elles ont les mêmes coefficients,
i.e. ∀i∈[[1, p]] , j ∈[[1, q]] , Aij =Bij.
On note Mp,q(K), l’ensemble des matrices de taille ppar q.
Note: Dans les matrices, le 1er indice est l’indice de ligne, le suivant, l’indice de colonne.
Exemple:
– 1 2 3
4 5 6!∈ M2,3(R)
– 1i
−i5!∈ M2,2(C)
– La matrice de taille (3 ×2) telle que ai,j =i+jest : 
2 3
3 4
4 5
∈ M3,2(R)
Une matrice de taille n(entier générique) est représenté en donnant ses éléments, par exemple : Aij =
max(i, j), ou bien en donnant sa forme générale en utilisant ···, ici :
A=
1 2 3 4 ··· n
2 2 3 4 ··· n
3 3 3 4 ··· n
4 4 4 4 ··· n
.
.
..
.
..
.
.n
nnn ··· n
.
On utilise aussi souvent la convention que les termes non écrits sont nuls.
Enfin, les vecteurs de Knpeuvent s’identifier au vecteur colonne de Mn,1(K) ou au vecteur ligne
M1,n(K).
II Opération sur les matrices
II.1 Addition de matrices
Définition 3. Soient Aet Bdeux matrices de même taille p, q, la matrice A+Best définie comme la
matrice de taille p, q, telle que : ∀i∈[[1, p]] ,∀j∈[[1, q]] ,(A+B)ij =Aij +Bij .

II. OPÉRATION SUR LES MATRICES 3
L’addition de deux matrices correspond donc à l’addition dans Kp×q,i.e. l’addition élément par élément.
C’est encore l’addition interne : à deux matrices de taille (p, q) on associe une matrice de taille (p, q).
Attention, on ne peut ajouter que des matrices de même taille.
Proposition 1. On a les propriétés classiques de l’addition : pour trois matrice A, B et C∈ Mp,q(K)
– l’addition est commutative : A+B=B+A
– l’addition est associative : A+ (B+C) = (A+B) + C
– si on note 0pq la matrice de taille p, q dont tous les éléments sont nuls, on a : A+ 0pq = 0pq +A=A.
Démonstration. C’est l’addition dans Kp×q, donc cela hérite des propriétés de l’addition.
Note: Puisque l’addition est commutative, on peut donc utiliser la notation X.
Exemple: "1i
−i5#+"2i3i 0 5i#="1 + 2i4i −i5 + 5i#
Il faut aussi être capable d’additionner des matrices écrites avec des ··· comme :
0 1 0 ··· 0
.
.
....1 0 ··· 0
.
.
.......
.
.
. 0 ...1
0··· ··· 0
+
0 0 ··· 0
1...0··· 0
0.........
.
.
. 0 1 ...0
0··· 0 1 0
=
0 1 0 ··· 0
1...1 0 ··· 0
0 1 ......0
.
.
. 0 1 ...1
0··· 0 1 0
II.2 Multiplication par un scalaire
Définition 4. Soient Aune matrice de Mp,q(K)et λ∈K, on appelle λA la matrice de Mp,q(K), définie
par ∀i∈[[1, p]] , j ∈[[1, q]] ,(λA)ij =λAij .
Ici encore, c’est la simple multiplication d’un vecteur par un scalaire, on retrouve la multiplication
externe de Kn.
Note: De plus, on peut maintenant parler de différence entre matrices, comme A+ (−B).
Proposition 2. On a les propriétés classiques : soient Aet Bdeux matrices de Mp,q(K)
–α(βA) = (αβ)A,
–(α+β)A=αA +βA,
–α(A+B) = αA +αB.
Démonstration. Encore une fois il n’y a rien à démontrer : ce sont les mêmes propriétés pour Rp×q
Note:
– Attention dans l’écriture (α+β)A=αA +βA, les + n’ont pas le même sens : cela peut être une addition dans
K, ou dans Mp,q (K)
– Avec ces propriétés, on a donc :
n
X
k=1
αAk=α
n
X
k=1
Ak,et aussi
n
X
k=1
(αkA) = n
X
k=1
αk!A,
où le symbole Pa un sens différents selon si c’est une somme de matrices ou de scalaires.
Exemple:
λ"x y z
u v w#="λx λy λz λu λv λw#

4CHAPITRE 6. MATRICES
II.3 Produit matriciel
On quitte maintenant l’aspect purement vectoriel des matrices en ajoutant le produit de matrices.
Définition 5. Soient A∈ Mp,q et B∈ Mq,r On définit le produit de Apar Bcomme la matrice Cde
taille p, r telle que :
∀i∈[[1, p]] ,∀r∈[[1, r]] , Ci,j =
q
X
k=1
Ai,kBk,j
Remarque:
– On ne peut pas faire le produit de n’importe quelle matrice par une autre : il faut que les dimensions
soient compatibles, il faut qu’il y ait une dimension en commun (celle sur laquelle on fait la somme).
En particulier, ce n’est pas parce que le produit AB est défini que le produit BA est défini.
– On conserve le même nombre de lignes que la première et on prend le nombre de colonne de la
seconde : si A∈ Mp,q et B∈ Mq,r, on a AB ∈ Mp,r.
– L’élément (AB)ij est donc le produit scalaire de la ligne ide Aet de la colonne jde B. D’une
manière générale, on fait toujours le produit d’une ligne par une colonne.
Exemple:
"a b c
d e f #
1 2
3 4
5 6
="a+ 3b+ 5c2a+ 4b+ 6c
d+ 3e+ 5f2b+ 4e+ 6f#
Pour faire un produit matriciel, on utilise souvent la technique le produit ainsi :
1 2
3 4
5 6
"1 2 1
2 2 2# "12 16
18 24#
Remarquons qu’en particulier : "a b
c d#"x y#="ax +by cx +dy#
Donc le système d’équations linéaire (ax +by =x0
bx +cy =y0
peut s’écrire comme une équation matricielle : AX =X0, avec X= x
y!le vecteur (colonne) des inconnues,
A= a b
c d!la matrice (2 ×2) des coefficients, et X0= x0
y0!le vecteur de second membre, ce qui motive
le produit matriciel.
Proposition 3. Résoudre le système :
(S)
a11x1+. . . a1pxp=b1(l1)
a21x1+. . . a2pxp=b2(l2)
.
.
.=.
.
.
an1x1+. . . anpxp=bn(ln)

II. OPÉRATION SUR LES MATRICES 5
d’inconnue (x1,...,xn)revient à résoudre l’équation : AX =B, d’inconnue X∈ Mn1avec A=
a11 a12 ··· a1p
a21 a22 ··· a2p
.
.
..
.
..
.
..
.
.
an1an2··· anp
Mnp la matrice des coefficients, B=
b1
b2
.
.
.
bn
∈ Mn1le vecteur (colonne) du second membre. et X=
x1
x2
.
.
.
xn
le vecteur (colonne) des inconnues.
Proposition 4. Certaines propriétés classiques de la multiplication sont conservées mais attention pas
toutes (commutativité et intégrité).
–Associativité : Soient A∈ Mp,q,B∈ Mq,r, et C∈ Mr,s, (i.e. telles que (AB)Cait un sens).
On a alors :
(AB)C=A(BC) = ABC
–Distributivité : Soient A∈ Mp,q,B∈ Mp,q, et C∈ Mq,r (i.e. telles que A(B+C)ait un sens).
On a alors :
A(B+C) = AB +AC.
De même si (A+B)Ca un sens alors : (A+B)C=AC +BC.
–Distributivité sur les scalaires : Soient A∈ Mp,q,B∈ Mp,q et λ∈K, on a alors
(λA)B=A(λB) = λ(AB).
– Soit A∈ Mpq(K), et r∈N, on a alors : A0qr = 0pr et 0rpA= 0rq ,
–Non commutativité : En règle générale AB 6=BA. Dans le cas contraire, on dit que les matrices
commutent.
–Non intégrité : on peut avoir deux matrices A6= 0 et B6= 0 et AB = 0, De même, on peut avoir
AB =AC, sans que B=C.
Commençons par les contre-exemples. Pour AB 6=BA :
"0 1
1 0#"0−1 1 0 #="1 0 0−1#
tandis que "0−1
1 0 #"0 1 1 0#="−1 0 0 1#
Ainsi les scalaires commutent avec les matrices mais pas les matrices entre elles.
Pour AB = 0 avec A6= 0 et B6= 0 :
"1−1
1−1#"1 1 1 1#="0 0 0 0#
Démonstration. On commence par l’associativité, soient A∈ Mp,q(K), B∈ Mq,r(K), et C∈ Mr,s(K).
On a : (AB)∈ Mp,r(K), et (AB)Cexiste et (AB)C∈ Mp,s(K). De même (BC)∈ Mq,s(K), donc
A(BC) existe et A(BC)∈ Mp,s(K).
Donc les matrices ont la bonne dimension.