1 - Free

2nde. Cours - Probabilités
Le mot hasard vient de l’arabe al zahr qui désigne un dé à jouer.
Les jeux de hasard sont connus depuis la plus haute antiquité. Déjà les romains et les grecs jouaient aux osselets (des astragales). C’est l’étude des jeux de hasard qui a conduit Blaise Pascal (1623 - 1662) à s’intéresser
au calcul de probabilité.
1
Vocabulaire
Le tableau ci-dessous résume les définitions et notations importantes relatives à la notion d’expérience
aléatoire.
Pour les exemples, on considère l’expérience consistant à lancer un dé non truqué à six faces numérotées de
1 à 6 et à noter le nombre figurant sur la face supérieure du dé.
DÉFINITIONS
EXEMPLES
Expérience aléatoire :
C’est une expérience liée au hasard dont on ne peut
pas prévoir le résultat à l’avance.
L’expérience est aléatoire.
On peut cependant connaitre les issues possibles,
appelées éventualités .
Les éventualités sont 1 , 2 , 3 , 4 , 5 et 6.
L’ensemble de toutes les éventualités d’une expérience aléatoire est appelé univers . En général,
on note cet ensemble Ω.
Ω = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }
Évènement :
Un évènement est une partie (ou un sousensemble) de l’univers Ω. Il est constitué d’une ou
d’un ensemble d’éventualités.
Lorsqu’une éventualité xi appartient à un évènement
A, on dit que xi réalise A.
On considère l’évènement A : « obtenir un nombre
pair » .
On a A = { 2 ; 4 ; 6 }.
L’éventualité {2} réalise A.
Événement particulier :
Un évènement impossible est un événement qui
ne se réalise jamais.
Un évènement certain
réalise toujours.
est un événement qui se
Un évènement élémentaire
d’une seule issue.
est constitué que
L’évènement contraire de A est constitué de l’ensemble des issues qui ne réalisent pas A.
On le note Ā.
B : « obtenir 7 » est un évènement impossible.
On note B = ∅.
C : « obtenir un nombre plus grand que 0 » est un
évènement certain. On a C = Ω.
D : « obtenir 2 » est un évènement élémentaire.
D = {2}.
D̄ = {1; 3; 4; 5; 6}.
C’est l’évènement : « ne pas obtenir 2 »
43
2nde. Cours - Probabilités
2
Probabilité
Théorème 1 : Loi des grands nombres
Si l’on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quel
évènement finit par se stabiliser autour d’un nombre que l’on appelle la probabilité de cet évènement.
Exemple.
Si on lance un très grand nombre de fois un dé, la fréquence d’apparition du 5 tend à se stabiliser à 61 .
Définition 1 : Loi de probabilité
Définir une loi de probabilité sur un univers, c’est associer à chaque éventualité xi sa probabilité
pi . Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, la loi est dite équi-répartie .
On dit aussi que l’on a équiprobabilité des issues.
Théorème 2 :
La probabilité d’un évènement A est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui
constituent A.
Exemples. Quand on jette un dé à six faces équilibré, la loi de probabilité est la suivante :
xi
1
2
3
4
5
6
pi
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
a. la probabilité d’obtenir 6 est
1
6
;
b. la probabilité de ne pas obtenir 2 est
5
6
;
c. la probabilité d’obtenir un chiffre pair est
3
6
=
1
2
;
d. la probabilité d’obtenir un chiffre inférieur à 9 est 1 ;
e. la probabilité d’obtenir un résultat négatif est 0.
Théorème 3 :
Soit A un évènement. On a :
• 0 6 p(A) 6 1.
En particulier, p(∅) = 0 et p(Ω) = 1 ;
• p(A) + p(Ā) = 1.
En particulier, p(Ā) = 1 − p(A).
• De plus, si la loi est équi-répartie, on a
p(A) =
nombre d’issues réalisant A
nombres d’issues possibles
Preuve. Quels que soient l’expérience aléatoire et l’événement A, il est certain que l’un des évènements A
ou Ā se réalisera. Par conséquent p(A) + p(Ā) = 1. On en déduit que p(Ā) = 1 − p(A).
♣
44
http://lycee.lagrave.free.fr
2nde. Cours - Probabilités
3
Calculs de probabilités
Définition 2 : Intersection – Union
L’ Intersection des évènements A et B est l’évènement, noté A ∩ B, formé des issues qui réalisent à
la fois (simultanément) l’évènement A et l’évènement B.
La Réunion des évènements A et B est l’évènement, noté A ∪ B, formé des issues qui réalisent
l’évènement A ou l’évènement B, c’est à dire au moins l’un des deux.
Représentation de A ∪ B et de A ∩ B par un diagramme de Venn :
A∪B
A
A∩B
B
Union de deux événements
A
B
Intersection de deux événements
Exemple. On note A l’événement "obtenir un chiffre pair" et B l’événement "obtenir un chiffre strictement
inférieur à quatre"
• A ∩ B = "obtenir un chiffre pair et inférieure strictement à six" : A ∩ B = {2; 4; 6} ;
• A ∪ B = "obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six" : A ∪ B = {1; 2; 3; 4}.
Théorème 4 :
Soit A et B deux évènements. on a :
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
Preuve. On comprend facilement cette proposition en observant les diagrammes de Venn. Si l’on additionne
les probabilités de A et B, on compte deux fois la probabilité de A ∩ B. Pour obtenir celle de A ∪ B, il faut
donc soustraire une fois p(A ∩ B).
♣
Représentation d’évènements à l’aide d’un tableau ou d’un arbre 1
On jette deux dés à quatre faces
(tétraèdre régulier)
et on calcule le produit obtenu :
PP
PP Dé n°2 1
2
3
PP
Dé n°1
P
P
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
On lance une pièce de monnaie trois fois de suite, on
peut schématiser cette expérience par un arbre :
pile
pile
face
pile
pile
face
face
•
pile
pile
face
face
pile
face
face
1. Voir un cours de troisième : http://melusine.eu.org/syracuse/journal/2009/06/07/cours/3_cours-proba.pdf
45
2nde. Cours - Probabilités
1 Une campagne de prévention routière s’intéresse aux défauts constatés sur le freinage des véhicules et
sur leur éclairage. 400 véhicules sont examinés.
Le responsable du test de freinage a noté que 60 des 400 véhicules présentaient un défaut de freinage .
Le responsable du test d’éclairage a noté que 140 des 400 véhicules présentaient un défaut d’éclairage .
Une récapitulation permet de constater que 45 véhicules présentaient à la fois un défaut de freinage et un
défaut d’éclairage .
1. Compléter le diagramme de Venn ci-dessous pour représenter la situation.
F
E
2. On choisit un véhicule au hasard parmi ceux qui ont été examinés. Quelle est la probabilité que :
(a) le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d’éclairage ?
(b) le véhicule présente un défaut d’éclairage mais pas de défaut de freinage ?
(c) le véhicule ne présente aucun des deux défauts ?
(d) le véhicule présente au moins un des deux défauts ?
2 Plusieurs amis veulent choisir une activité. 73% d’entre eux veulent voir un film, 30% veulent aller à la
piscine, 3% n’aiment aucune de ces deux activités.
1. Dessiner le diagramme de Venn correspondant.
2. Quelle est la part des amis qui veulent voir un film et aller à la piscine ?
3. Quelle est la part des amis qui veulent voir un film ou aller à la piscine ?
3 Dans une école de danse, 48 élèves sont répartis
dans trois cours : hip hop (25 élèves), jazz (18 élèves)
et classique (22 élèves). Trois d’entre eux participent
aux trois cours, cinq ont choisi uniquement jazz et
quatre ont pris à la fois classique et jazz mais pas hip
hop.
Jazz
Hip Hop
1. Compléter le diagramme de Venn ci-contre pour
représenter la situation.
Classique
2. On choisit un élève au hasard. Quel est la probabilité qu’il suive les cours classique et hip hop
mais pas jazz ?
4 On interroge un groupe d’adolescents pour organiser un repas. 56 acceptent d’aller dans une pizzeria,
55 dans une crèperie, et 50 dans un fast-food. 19 refusent d’aller dans un fast food, mais acceptent les
deux autres propositions et 12 acceptent les trois. De plus, 15 refusent la pizzeria et le fast-food alors que 7
l’acceptent.
1. Construire un diagramme de Venn pour traduire la situation.
2. On choisit au hasard un adolescent. Quelle est la probabilité qu’il ne choisisse que le fast food ?
46
http://lycee.lagrave.free.fr