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2nde. Cours - Probabilités
Le mot hasard vient de l’arabe al zahr qui désigne un dé à jouer.
Les jeux de hasard sont connus depuis la plus haute antiquité. Déjà les romains et les grecs jouaient aux osse-
lets (des astragales). C’est l’étude des jeux de hasard qui a conduit Blaise Pascal (1623 - 1662) à s’intéresser
au calcul de probabilité.
Vocabulaire
1
Le tableau ci-dessous résume les définitions et notations importantes relatives à la notion d’expérience
aléatoire.
Pour les exemples, on considère l’expérience consistant à lancer un dé non truqué à six faces numérotées de
1à6et à noter le nombre figurant sur la face supérieure du dé.
DÉFINITIONS EXEMPLES
Expérience aléatoire :
C’est une expérience liée au hasard dont on ne peut
pas prévoir le résultat à l’avance.
On peut cependant connaitre les issues possibles,
appelées éventualités .
L’ensemble de toutes les éventualités d’une expé-
rience aléatoire est appelé univers . En général,
on note cet ensemble Ω.
L’expérience est aléatoire.
Les éventualités sont 1 , 2 , 3 , 4 , 5 et 6.
Ω= { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
Évènement :
Un évènement est une partie (ou un sous-
ensemble) de l’univers Ω. Il est constitué d’une ou
d’un ensemble d’éventualités.
Lorsqu’une éventualité xiappartient à un évènement
A, on dit que xiréalise A.
On considère l’évènement A: « obtenir un nombre
pair » .
On a A= { 2 ; 4 ; 6 }.
L’éventualité {2}réalise A.
Événement particulier :
Un évènement impossible est un événement qui
ne se réalise jamais.
Un évènement certain est un événement qui se
réalise toujours.
Un évènement élémentaire est constitué que
d’une seule issue.
L’évènement contraire de Aest constitué de l’en-
semble des issues qui ne réalisent pas A.
On le note ¯ A.
B: « obtenir 7» est un évènement impossible.
On note B=∅.
C: « obtenir un nombre plus grand que 0 » est un
évènement certain. On a C= Ω.
D: « obtenir 2» est un évènement élémentaire.
D={2}.
¯
D={1; 3; 4; 5; 6}.
C’est l’évènement : « ne pas obtenir 2»
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2nde. Cours - Probabilités
Probabilité
2
Théorème 1 : Loi des grands nombres
Si l’on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quel
évènement finit par se stabiliser autour d’un nombre que l’on appelle la probabilité de cet évènement.
Exemple.
Si on lance un très grand nombre de fois un dé, la fréquence d’apparition du 5tend à se stabiliser à 1
6.
Définir une loi de probabilité sur un univers, c’est associer à chaque éventualité xisa probabilité
pi. Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, la loi est dite équi-répartie .
On dit aussi que l’on a équiprobabilité des issues.
Définition 1 : Loi de probabilité
Théorème 2 :
La probabilité d’un évènement Aest la somme des probabilités des évènements élémentaires qui
constituent A.
Exemples. Quand on jette un dé à six faces équilibré, la loi de probabilité est la suivante :
xi123456
pi1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
a. la probabilité d’obtenir 6 est 1
6;
b. la probabilité de ne pas obtenir 2 est 5
6;
c. la probabilité d’obtenir un chiffre pair est 3
6=1 2;
d. la probabilité d’obtenir un chiffre inférieur à 9 est 1;
e. la probabilité d’obtenir un résultat négatif est 0.
Théorème 3 :
Soit Aun évènement. On a :
•06p(A)61. En particulier, p(∅)=0et p(Ω) = 1 ;
•p(A) + p(¯ A)=1. En particulier, p(¯ A)=1−p(A).
•De plus, si la loi est équi-répartie, on a
p(A) = nombre d’issues réalisant A
nombres d’issues possibles
Preuve. Quels que soient l’expérience aléatoire et l’événement A, il est certain que l’un des évènements A
ou ¯ Ase réalisera. Par conséquent p(A) + p(¯ A)=1. On en déduit que p(¯ A)=1−p(A).♣
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Calculs de probabilités
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L’ Intersection des évènements Aet Best l’évènement, noté A∩B, formé des issues qui réalisent à
la fois (simultanément) l’évènement Aet l’évènement B.
La Réunion des évènements Aet Best l’évènement, noté A∪B, formé des issues qui réalisent
l’évènement Aou l’évènement B, c’est à dire au moins l’un des deux.
Définition 2 : Intersection – Union
Représentation de A∪Bet de A∩Bpar un diagramme de Venn :
A B
A∪B
A B
A∩B
Union de deux événements Intersection de deux événements
Exemple. On note Al’événement "obtenir un chiffre pair" et Bl’événement "obtenir un chiffre strictement
inférieur à quatre"
•A∩B="obtenir un chiffre pair et inférieure strictement à six" : A∩B={2; 4; 6};
•A∪B="obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six" : A∪B={1; 2; 3; 4}.
Théorème 4 :
Soit Aet Bdeux évènements. on a :
p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B)
Preuve. On comprend facilement cette proposition en observant les diagrammes de Venn. Si l’on additionne
les probabilités de Aet B, on compte deux fois la probabilité de A∩B. Pour obtenir celle de A∪B, il faut
donc soustraire une fois p(A∩B).♣
Représentation d’évènements à l’aide d’un tableau ou d’un arbre 1
On jette deux dés à quatre faces
(tétraèdre régulier)
et on calcule le produit obtenu :
PPPPPPP
P
Dé n°1
Dé n°21234
11234
22468
336912
44 8 12 16
On lance une pièce de monnaie trois fois de suite, on
peut schématiser cette expérience par un arbre :
•
face
face face
pile
pile face
pile
pile
face face
pile
pile face
pile
1. Voir un cours de troisième : http://melusine.eu.org/syracuse/journal/2009/06/07/cours/3_cours-proba.pdf
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2nde. Cours - Probabilités
1Une campagne de prévention routière s’intéresse aux défauts constatés sur le freinage des véhicules et
sur leur éclairage. 400 véhicules sont examinés.
Le responsable du test de freinage a noté que 60 des 400 véhicules présentaient un défaut de freinage .
Le responsable du test d’éclairage a noté que 140 des 400 véhicules présentaient un défaut d’éclairage .
Une récapitulation permet de constater que 45 véhicules présentaient à la fois un défaut de freinage et un
défaut d’éclairage .
1. Compléter le diagramme de Venn ci-dessous pour représenter la situation.
F E
2. On choisit un véhicule au hasard parmi ceux qui ont été examinés. Quelle est la probabilité que :
(a) le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d’éclairage ?
(b) le véhicule présente un défaut d’éclairage mais pas de défaut de freinage ?
(c) le véhicule ne présente aucun des deux défauts ?
(d) le véhicule présente au moins un des deux défauts ?
2Plusieurs amis veulent choisir une activité. 73% d’entre eux veulent voir un film, 30% veulent aller à la
piscine, 3% n’aiment aucune de ces deux activités.
1. Dessiner le diagramme de Venn correspondant.
2. Quelle est la part des amis qui veulent voir un film et aller à la piscine ?
3. Quelle est la part des amis qui veulent voir un film ou aller à la piscine ?
3Dans une école de danse, 48 élèves sont répartis
dans trois cours : hip hop (25 élèves), jazz (18 élèves)
et classique (22 élèves). Trois d’entre eux participent
aux trois cours, cinq ont choisi uniquement jazz et
quatre ont pris à la fois classique et jazz mais pas hip
hop.
1. Compléter le diagramme de Venn ci-contre pour
représenter la situation.
2. On choisit un élève au hasard. Quel est la pro-
babilité qu’il suive les cours classique et hip hop
mais pas jazz ?
Hip Hop
Jazz
Classique
4On interroge un groupe d’adolescents pour organiser un repas. 56 acceptent d’aller dans une pizzeria,
55 dans une crèperie, et 50 dans un fast-food. 19 refusent d’aller dans un fast food, mais acceptent les
deux autres propositions et 12 acceptent les trois. De plus, 15 refusent la pizzeria et le fast-food alors que 7
l’acceptent.
1. Construire un diagramme de Venn pour traduire la situation.
2. On choisit au hasard un adolescent. Quelle est la probabilité qu’il ne choisisse que le fast food ?
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