Question de TP - Enseignement des Sciences Physiques en CPGE

Moment cinétique & Mouvement dans un champ de force centrale :
Etude d’une poulie :
Une masse m = 5,0 kg est suspendue à l’extrémité d’une corde enroulée sur une
poulie de masse mp = 1,0 kg et de rayon R = 10 cm en liaison pivot idéale autour de son
axe avec un support fixe. On prendra g = 10 m.s-2. Le moment d’inertie de la poulie par
rapport à son axe vaut I = ½.mp.R².
a. Aspect cinématique : on suppose que la poulie est en rotation uniforme autour
de son axe fixe (Oz) à la vitesse angulaire ̇ .
Quelle est la vitesse de la masse m ?
b. Aspect statique : Cette même poulie est retenue par un opérateur.
Quelle force l’opérateur doit-il exercer sur la poulie pour l’empêcher de tourner ?
c. Aspect dynamique : Avec le même dispositif, l’opérateur lâche la poulie.
Déterminer l’accélération angulaire du cylindre, l’accélération linéaire de la masse m et la
tension de la corde.
Freinage d’un satellite par l’atmosphère :
On étudie le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre dans le référentiel géocentrique
supposé galiléen. On néglige les autres interactions que la force de gravitation entre la Terre et le
satellite. On note MT la masse de la Terre, RT son rayon, m la masse du satellite supposée petite devant
MT et G la constante de gravitation universelle. On note T0 la période de révolution du satellite.
a. Etablir la conservation du moment cinétique du satellite par rapport à la Terre.
b. En déduire que le mouvement du satellite est plan.
c. Montrer que cela permet de définir une constante des aires C dont on donnera l’expression.
d. On suppose que le satellite est en orbite autour de la Terre. Montrer que son mouvement est
uniforme.
e. Etablir l’expression de la vitesse du satellite en fonction de G, MT et du rayon de l’orbite r.
f. Retrouver alors la troisième loi de Kepler dans le cas d’une trajectoire circulaire.
g. Déterminer l’expression de l’énergie cinétique Ec du satellite en fonction de G, MT, r et m.
h. Même question pour l’énergie potentielle Ep du satellite. Donner la relation entre Ec et Ep.
i. En déduire l’expression de l’énergie mécanique Em et les relations avec Ec et Ep.
Les satellites en orbite basse subissent des frottements de la part des hautes couches de
l’atmosphère. Ces frottements limitent la durée de vie des satellites en les faisant lentement chuter sur
Terre. Un satellite situé en orbite à 1,0.103 km d’altitude descend d’environ 2 m par jour. On cherche à
modéliser ces observations.
On utilise pour cela la modélisation de l’action des hautes couches atmosphériques à l’aide d’une force
de frottement proportionnelle à la masse du satellite et sa vitesse au carré : ⃗
⃗ avec α un
coefficient de frottement. Cette force est suffisamment faible pour que la trajectoire soit quasi-circulaire.
Dans ces conditions, les expressions des différentes énergies en fonction de r restent valables mais r varie
lentement dans le temps.
j. A l’aide du théorème de l’énergie cinétique, établir l’équation différentielle vérifiée par r.
k. Sans résoudre, montrer que r ne peut que diminuer.
l. En déduire un résultat surprenant sur l’évolution de la vitesse du satellite.