Cours

C2 Vecteurs et droites Cours 1S
1 Des rappels
1.1 Définition
Définition 1 (Vecteur)
On appelle vecteur −−→ AB le bipoint associé à la translation qui transforme Aen B.
Aest appelé origine du vecteur,Best appelé extrémité du vecteur.
La translation qui transforme Aen Bsera appelée translation de vecteur −−→ AB.
On peut aussi définir un vecteur de la manière suivante :
Définition 2 (Direction, sens et norme)
Un vecteur ~u non nul est déterminé par :
– sa direction ;
– son sens ;
– et sa longueur, appelée norme du vecteur, notée k~uk.
On a alors :
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
1.2 Égalité de deux vecteurs
Propriété 1
1. Soient A, B, C et D quatre points du plan, −→ AB =−→ DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme
(éventuellement aplati).
2. En particulier, si −→
AB =−→
DC, alors les droites (AB) et (DC) sont parallèles et AB=DC.
Exemples :
A B D C
A
B
C
D
1.3 Représentants d’un vecteur
Propriété 2
Pour tout point A du plan et tout vecteur ~u, il existe un unique point M tel que −−→ AM =~u
Remarques :
1. Il existe une infinité de façons de représenter le vecteur ~u car on peut le tracer à partir de n’importe quel
point du plan.
2. En particulier, dans un repère (O,−→ ı , −→ ), il existe un unique point M tel que −−→ OM =~u et les coordonnées
de ~u sont alors celles de M.
N. SANS page 1 Lycée Jean Giono Turin

C2 Vecteurs et droites Cours 1S
1.4 Relation de Chasles
Définition 3
La somme de deux vecteurs ~u et ~v est le vecteur ~w associé à la translation résultant de l’enchainement des
translation de vecteur ~u et de vecteur ~v. On note ~w =~u +~v.
L’égalité −−→ AB +−−→ BC =−→ AC est appelée la relation de Chasles.
Propriété 3 (Relation de Chasles)
Pour tous points A,Bet C, on
a : −−→ AB +−−→ BC =−→ AC
A
B C
~u
~v
~u +~v
Propriété 4 (Règle du parallélogramme)
Pour tous points A,B,Cet Don
a : −−→ AB +−→ AC =−−→ AD ⇔ABCD
parallélogramme.
A
B D
C
~u
~v
~u +~v
Définition 4 (Vecteur nul, vecteurs opposés)
On appelle vecteur nul, noté ~ 0, tout vecteur dont son origine et son extrémité sont confondues. La translation
associée laisse tous les points invariants.
On appelle vecteurs opposés tous vecteurs ~u et ~v tels que ~u +~v =~ 0. On peut noter ~u =−~v ou ~v =−~u.
Propriété 5 (Vecteurs opposés)
Les vecteurs −−→ AB et −−→ BA sont des vecteurs opposés car −−→ AB +−−→ BA =−→ AA =~ 0.
On a donc −−→ AB =−−−→ BA et −−→ BA =−−−→ AB.
Propriété 6 (Milieu d’un segment)
Soient Aet Bdeux points distincts et Iun point du plan. Alors :
Imilieu de [AB]⇐⇒ −→ IA +−→ IB =~ 0⇐⇒ −→ IA =−→ BI.
1.5 Multiplier un vecteur par un réel
Définition 5
Soit A et B deux points du plan et kun réel.
•Si ~ AB =~ 0ou k= 0, alors le vecteur k−→ AB est le vecteur nul.
•Sinon le point C tel que −→ AC =k−→ AB est l’unique point de (AB) avec
Si k > 0Si k < 0
AC=k ×AB AC= - k ×AB
−→
AC et −−→ AB sont de même sens −→
AC et −−→ AB sont de sens opposés
N. SANS page 2 Lycée Jean Giono Turin

C2 Vecteurs et droites Cours 1S
Remarques :
1. Un vecteur −→ AB est donc caractérisé par trois données : sa direction qui est celle de la droite (AB), son
sens de « A vers B » et par sa longueur qui est celle du segment [AB].
2. L’opposé du vecteur AB est le vecteur −−→
AB =−→
BA.
3. ~u −~v =~u + (−~v).
1.6 Norme d’un vecteur
Définition 6
Soit ~u un vecteur, A et B deux points tels que ~u =−→ AB.
On appelle norme du vecteur ~u que l’on note ||~u||, la longueur du segment [AB]. On a donc ||~u|| =AB.
2 Dans un repère
Soit un repère (O,−→ ı , −→ )quelconque du plan.
2.1 Coordonnées
Propriété 7
Le plan est muni d’une base ~
i,~ j.
Pour tout vecteur ~u du plan, il existe un unique couple (x;y), appelé coordonnées de ~u, tel que ~u =x
~
i+y~ j.
On notera indifférement ~u(x;y), ou ~u = (x;y), ou ~u x
y, ou ~u =x
y.
Remarque :
On notera que l’origine du repère n’a pas d’importance dans les coordonnées d’un vecteur et que le vecteur nul
a pour coordonnées (0 ; 0).
Définition 7
Le plan étant muni d’un repère (O,−→ ı , −→ ), on appelle coordonnées du point Mle couple (x;y)tel que
−−→
OM =x~ı +y~,xétant appelé abscisse de Met yétant appelé ordonnée de M.
Les coordonnées du point Msont donc les coordonnées du vecteur −−→ OM . Cela implique qu’elles dépendent de
l’origine du repère.
2.2 Propriétés
Propriété 8
•Soit ~u x
yet ~v x′
y′.
1. Égalité : ~u =~v ⇐⇒ x=x′
y=y′
2. Vecteur nul : ~u =~ 0⇐⇒ x= 0
y= 0
3. Somme : ~u +~v a pour coordonnées x+x′
y+y′
N. SANS page 3 Lycée Jean Giono Turin

C2 Vecteurs et droites Cours 1S
4. Produit par un réel k:k~u a pour coordonnées kx
ky 
•Soit A (xA;yA)et B (xB;yB)
1. −→ AB xB−xA
yB−yA
2. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : xI=xA+xB
2et yI=yA+yB 2.
2.3 En repère orthonormé
Propriété 9
Dans un repère orthonormal (O,−→ ı , −→ ).
1. ~u x
y, la norme de ~u est : ||~u|| =px2+y2.
2. Avec A (xA;yA)et B (xB;yB), AB=||−→ AB|| =p(xB−xA)2+ (yB−yA)2.
3 Vecteurs colinéaires
3.1 Définition
Définition 8
On dit que deux vecteurs non nuls ~u et ~v sont colinéaires s’il existe un réel ktel que ~v =k~u, c’est-à-dire s’ils
ont même direction.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.
3.2 Propriétés
Propriété 10
1. Deux vecteurs −→ AB et −→ CD non nuls sont colinéaires si, et seulement si, les droites (AB) et (CD) sont
parallèles.
2. Le point M appartient à la droite (AB) si, et seulement si, −−→ AM et −→ AB sont colinéaires.
3.3 Condition de colinéarité
Propriété 11
Dans un repère quelconque,
les vecteurs~u x
yet ~v x′
y′sont colinéaires si, et seulement si, xy′−x′y= 0.
N. SANS page 4 Lycée Jean Giono Turin

C2 Vecteurs et droites Cours 1S
4 Décomposition d’un vecteur dans une base du plan
4.1 Base du plan
Définition 9
On appelle base du plan vectoriel tout couple de deux vecteurs non colinéaires
Exemples :
1. Pour un repère (O,−→ ı , −→ )du plan, les vecteurs ~ı et ~ forment une base du plan vectoriel.
2. Soit un triangle ABC non aplati, les vecteurs −−→ AB et −→ AC ne sont pas colinéaires. Ils forment donc une base.
4.2 Combinaison linéaire
Propriété 12 (Admise)
Soit ~u et ~v deux vecteurs non colinéaires.
Pour tout vecteur ~w, il existe un unique couple de réels (a;b)tel que
~w =a~u +b~v
On dit que ~w est une combinaison linéaire des vecteurs ~u et ~v.
5 Équations cartésiennes
5.1 D’une droite
Définition 10
Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur ~u non nul dont la direction est celle de la droite (d)
Remarques :
– Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs.
– Si A et B sont deux points distincts d’une droite (d) alors −−→ AB est un vecteur directeur de(d).
– Tous les vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires !
Propriété 13 (de caractérisation d’une droite)
Une droite (d) du plan est caractérisée par un point A et un vecteur directeur.
M∈(d)⇐⇒ −−→ AM et ~u sont colinéaires.
Théorème 1
Le plan est muni d’un repère.
– Toute droite du plan admet une équation de la forme ax +by +c= 0 avec (a;b)6= (0 ; 0).
– L’ensemble des points Mdu plan dont les coordonnées vérifient ax +by +c= 0 avec (a;b)6= (0 ; 0) est
une droite de vecteur directeur ~u −b
a
N. SANS page 5 Lycée Jean Giono Turin