C2 Vecteurs et droites 1 1S Cours Des rappels 1.1 Définition Définition 1 (Vecteur) −−→ On appelle vecteur AB le bipoint associé à la translation qui transforme A en B. A est appelé origine du vecteur, B est appelé extrémité du vecteur. −−→ La translation qui transforme A en B sera appelée translation de vecteur AB. On peut aussi définir un vecteur de la manière suivante : Définition 2 (Direction, sens et norme) Un vecteur ~u non nul est déterminé par : – sa direction ; – son sens ; – et sa longueur, appelée norme du vecteur, notée k~uk. On a alors : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme. 1.2 Égalité de deux vecteurs Propriété 1 −→ −→ 1. Soient A, B, C et D quatre points du plan, AB = DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). −→ −→ 2. En particulier, si AB = DC, alors les droites (AB) et (DC) sont parallèles et AB=DC. Exemples : b A b b B b D b C B b C Ab b 1.3 D Représentants d’un vecteur Propriété 2 −−→ Pour tout point A du plan et tout vecteur ~u, il existe un unique point M tel que AM = ~u Remarques : 1. Il existe une infinité de façons de représenter le vecteur ~u car on peut le tracer à partir de n’importe quel point du plan. −−→ → → 2. En particulier, dans un repère (O, − ı, − ), il existe un unique point M tel que OM = ~u et les coordonnées de ~u sont alors celles de M. N. SANS page 1 Lycée Jean Giono Turin C2 Vecteurs et droites 1.4 1S Cours Relation de Chasles Définition 3 La somme de deux vecteurs ~u et ~v est le vecteur w ~ associé à la translation résultant de l’enchainement des translation de vecteur ~u et de vecteur ~v . On note w ~ = ~u + ~v . −−→ −−→ −→ L’égalité AB + BC = AC est appelée la relation de Chasles. B Propriété 3 (Relation de Chasles) Pour tous points A, B et C, on −−→ −−→ −→ a : AB + BC = AC ~v C ~u ~u + ~v A B Propriété 4 (Règle du parallélogramme) Pour tous points A, B, C et D on −−→ −→ −−→ a : AB + AC = AD ⇔ ABCD A parallélogramme. D ~u ~v ~u + ~v C Définition 4 (Vecteur nul, vecteurs opposés) On appelle vecteur nul, noté ~0, tout vecteur dont son origine et son extrémité sont confondues. La translation associée laisse tous les points invariants. On appelle vecteurs opposés tous vecteurs ~u et ~v tels que ~u + ~v = ~0. On peut noter ~u = −~v ou ~v = −~u. Propriété 5 (Vecteurs opposés) −−→ −−→ −−→ −−→ −→ Les vecteurs AB et BA sont des vecteurs opposés car AB + BA = AA = ~0. −−→ −−→ −−→ −−→ On a donc AB = −BA et BA = −AB. Propriété 6 (Milieu d’un segment) Soient A et B deux points distincts et I un point du plan. Alors : − → −→ −→ −→ I milieu de [AB] ⇐⇒ IA + IB = ~0 ⇐⇒ IA = BI. 1.5 Multiplier un vecteur par un réel Définition 5 Soit A et B deux points du plan et k un réel. → ~ = ~0 ou k = 0, alors le vecteur k − • Si AB AB est le vecteur nul. −→ −→ • Sinon le point C tel que AC = k AB est l’unique point de (AB) avec Si k > 0 Si k < 0 AC=k × AB AC= - k × AB −→ −−→ −→ −−→ AC et AB sont de même sens AC et AB sont de sens opposés N. SANS page 2 Lycée Jean Giono Turin C2 Vecteurs et droites 1S Cours Remarques : −→ 1. Un vecteur AB est donc caractérisé par trois données : sa direction qui est celle de la droite (AB), son sens de « A vers B » et par sa longueur qui est celle du segment [AB]. −→ −→ 2. L’opposé du vecteur AB est le vecteur −AB = BA. 3. ~u − ~v = ~u + (−~v ). 1.6 Norme d’un vecteur Définition 6 −→ Soit ~u un vecteur, A et B deux points tels que ~u = AB. On appelle norme du vecteur ~u que l’on note ||~u||, la longueur du segment [AB]. On a donc ||~u|| = AB. 2 Dans un repère −ı , → − )quelconque du plan. Soit un repère (O, → 2.1 Coordonnées Propriété 7 Le plan est muni d’une base ~i, ~j . Pour tout vecteur ~u du plan, il existe un unique couple (x; y), appelé coordonnées de ~u, tel que ~u = x~i + y~j. On notera indifférement ~u(x; y), ou ~u = (x; y), ou ~u x y x . , ou ~u = y Remarque : On notera que l’origine du repère n’a pas d’importance dans les coordonnées d’un vecteur et que le vecteur nul a pour coordonnées (0 ; 0). Définition 7 → → Le plan étant muni d’un repère (O, − ı, − ), on appelle coordonnées du point M le couple (x ; y) tel que −−→ OM = x~ı + y~, x étant appelé abscisse de M et y étant appelé ordonnée de M . −−→ Les coordonnées du point M sont donc les coordonnées du vecteur OM . Cela implique qu’elles dépendent de l’origine du repère. 2.2 Propriétés Propriété8 x et ~v • Soit ~u y x′ y′ . x = y = x 2. Vecteur nul : ~u = ~0 ⇐⇒ y 1. Égalité : ~u = ~v ⇐⇒ x′ y′ = = 3. Somme : ~u + ~v a pour coordonnées N. SANS 0 0 x + x′ y + y′ page 3 Lycée Jean Giono Turin C2 Vecteurs et droites 1S Cours 4. Produit par un réel k : k~u a pour coordonnées kx ky • Soit A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) −→ xB − xA 1. AB yB − yA 2. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : xI = 2.3 xA + xB yA + yB et yI = . 2 2 En repère orthonormé Propriété 9 → − ). Dans un repère orthonormal (O, − ı, → p x , la norme de ~u est : ||~u|| = x2 + y 2 . 1. ~u y p −→ 2. Avec A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) , AB=||AB|| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 . 3 3.1 Vecteurs colinéaires Définition Définition 8 On dit que deux vecteurs non nuls ~u et ~v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que ~v = k~u, c’est-à-dire s’ils ont même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan. 3.2 Propriétés Propriété 10 −→ −→ 1. Deux vecteurs AB et CD non nuls sont colinéaires si, et seulement si, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. −−→ −→ 2. Le point M appartient à la droite (AB) si, et seulement si, AM et AB sont colinéaires. 3.3 Condition de colinéarité Propriété 11 Dans un repère quelconque, ′ x x sont colinéaires si, et seulement si, xy ′ − x′ y = 0. et ~v les vecteurs~u y′ y N. SANS page 4 Lycée Jean Giono Turin C2 Vecteurs et droites 4 1S Cours Décomposition d’un vecteur dans une base du plan 4.1 Base du plan Définition 9 On appelle base du plan vectoriel tout couple de deux vecteurs non colinéaires Exemples : −ı , → − )du plan, les vecteurs ~ı et ~ forment une base du plan vectoriel. 1. Pour un repère (O, → −−→ −→ 2. Soit un triangle ABC non aplati, les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires. Ils forment donc une base. 4.2 Combinaison linéaire Propriété 12 (Admise) Soit ~u et ~v deux vecteurs non colinéaires. Pour tout vecteur w, ~ il existe un unique couple de réels (a ; b) tel que w ~ = a~u + b~v On dit que w ~ est une combinaison linéaire des vecteurs ~u et ~v . 5 Équations cartésiennes 5.1 D’une droite Définition 10 Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur ~u non nul dont la direction est celle de la droite (d) Remarques : – Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs. −−→ – Si A et B sont deux points distincts d’une droite (d) alors AB est un vecteur directeur de(d). – Tous les vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires ! Propriété 13 (de caractérisation d’une droite) Une droite (d) du plan est caractérisée par un point A et un vecteur directeur. −−→ M ∈ (d) ⇐⇒ AM et ~u sont colinéaires. Théorème 1 Le plan est muni d’un repère. – Toute droite du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ; b) 6= (0 ; 0). – L’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient ax + by + c = 0 avec (a ; b) 6= (0 ; 0) est −b une droite de vecteur directeur ~u a N. SANS page 5 Lycée Jean Giono Turin C2 Vecteurs et droites 1S Cours Preuve : α . Soit la droite (d) passant par le point A (xA ; yA ) et dirigé par le vecteur ~u β −−→ x − xA α M (x ; y) ∈ (d) ⇐⇒ AM sont colinéaires et ~u y − yA β ⇐⇒ β(x − xA ) − α(y − yA ) = 0 ⇐⇒ βx − αy + (αyA − βxA ) = 0 En posant, a = β, b = −α et c = αyA − βxA , on aboutit à : M ∈ (d) ⇐⇒ ax + by + c = 0. Exemples : 2 . 1. Soit la droite D passant par le point A (−2 ; 3) et de vecteur directeur ~u 5 Déterminons une équation cartésienne de cette droite. Soit M un point du plan de coordonnées (x ; y). −−→ x + 2 2 sont colinéaires ⇐⇒ 5(x + 2) − 2(y − 3) = 0 ⇐⇒ 5x − 2y + 16 = 0. et ~u M ∈ D ⇐⇒ AM 5 y−3 Donc, une équation cartésienne de la droite D est 5x − 2y + 16 = 0. Nous pouvons aussi dire que −5x + 2y − 16 = 0 et 10x − 4y + 32 = 0 sont des équations cartésiennes de D. En effet, comme une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, elle admet donc une infinité d’équations cartésiennes. −40 −4 ou encore ~u 2. La droite (d) d’équation cartésienne 3x + 4y − 10 = 0 a pour vecteur directeur ~u 30 3 Propriété 14 Le plan est muni d’un repère. Soit D une droite d’équation réduite y = mx + p. Alors ~v (1 ; m) est un vecteur directeur de D. La preuve sera faite en exercice. Propriété 15 Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Preuve : Trivial. 5.2 Pour un cercle Théorème 2 Le plan est muni d’un repère orthonormal. Soit C le cercle de centre Ω(xΩ ; yΩ ) et de rayon r. Alors tout point de M de C a ses coordonnées qui vérifient (x − xΩ )2 + (y − yΩ )2 = r2 . Preuve : Par définition ΩM = r. Comme ΩM est une longueur, M ∈ C ⇐⇒ ΩM = r ⇐⇒ ΩM 2 = r2 ⇐⇒ (x − xΩ )2 + (y − yΩ )2 = r2 Exemple : Soit le cercle de centre A (2 ; −3) et de rayon 3. Une équation cartésienne de ce cercle est : (x − 2)2 + (y − (−3))2 = 32 . N. SANS page 6 Lycée Jean Giono Turin