Introduction `a la géométrie symplectique

Introduction `a la g´eom´etrie symplectique∗
Mo¨ıse Mbikayi Tshimueneka†
Novembre 29, 2016
LAREQ One Pager, Vol. 11, No. 001, 68–75
Abstract
Symplectic geometry is a branch of differential geometry and differential topology that studies symplectic
manifolds. Unlike to Euclidean geometry, the symplectic geometry is not very visual because it generally
evolves in higher dimensions. This paper presents a preliminary analysis of symplectic geometry, by re-
viewing main concepts associated with the algebra structure, the symplectic manifold and the Poisson
algebra on a symplectic manifold.
R´esum´e
La g´eom´etrie symplectique est un outil math´ematique permettant de poser et de r´esoudre des probl`emes
d’origines diverses li´es notamment `a la g´eom´etrie alg´ebrique, `a la th´eorie des ´equations aux d´eriv´ees
partielles et `a la topologie de dimension faible. Contrairement `a la g´eom´etrie euclidienne, la g´eom´etrie
symplectique est peu visuelle du fait qu’elle ´evolue g´en´eralement en grande dimension. Ce papier propose
une introduction `a la g´eom´etrie symplectique, en passant en revue les concepts associ´es `a la notion de
la structure d’alg`ebre, `a la vari´et´e symplectique et `a l’alg`ebre de Poisson sur une vari´et´e symplectique.
Mots-cl´ es : K-Alg`ebre, vari´et´e symplectique, alg`ebre de Poisson
MSC : 53D05, 53D35, 17B63
1 Introduction
C’est vers la fin du XVIII`e si`ecle que J.-L. Lagrange, en cherchant `a r´esoudre de fa¸con approch´ee les
´equations du syst`eme des plan`etes 1, eut l’id´ee de consid´erer les ´el´ements orbitaux des plan`etes du syst`eme
solaire non plus comme des constantes mais comme des variables au cours du temps. D’o`u le nom de
m´ethode de variation des constantes. Ainsi, en 1808, dans son ouvrage intitul´e L’´etude des ´equations se
rapportant aux probl`emes de la m´ecanique et l’art de les r´esoudre, Lagrange introduira pour la toute
premi`ere fois les ´el´ements de calcul symplectique, qui sera suivi de trois autres communications, respec-
tivement en 1809, 1810 et 1811 2.
D’apr`es la revue de la litt´erature 3, la g´eom´etrie symplectique fut d´ecouverte par J.-L. Lagrange vers
∗Je remercie Gradi Kamingu et Jean-Paul K. Tsasa, ainsi que tous les membres du Laboratoire d’analyse-
recherche en ´economie quantitative (LAREQ) pour les multiplies ´echanges durant la r´edaction de ce papier. Le
contenu de ce document n’engage que l’auteur. Pour toute observation, pri`ere de me contacter par courriel.
†Aspirant chercheur au LAREQ. E-mail : [email protected] ;[email protected].
1. Ce qui ´etait un probl`eme de la m´ecanique classique.
2. Cf. Lagrange (1809,1810,1811).
3. Voir les 7 volumes de Encyclopaedia of Mathematical Sciences ´edit´es par Gamkrelidze (1988), ainsi que les
articles de recherche publi´es dans la Revue Differential Geometry and its Applications. Voir aussi Siegel
(1943), Audin and Iglesias-Zemmour (1994), McDuff (1998), Iglesias-Zemmour (2002), Silva (2001), Cantarella
and Shonkwiler (2016), Xie et al. (2016).
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1780 et sa formalisation analytique a dur´e `a peu pr`es un si`ecle, quasiment tout le XIX`e si`ecle, grˆace aux
travaux notamment de S.-D. Poisson, W.-R. Hamilton, C. Jacobi, G. Darboux, H. Poincar´e et E. Cartan.
Symplectique vient d’une racine grecque ”sum-plektikos” signifiant ”complexe”. Ce terme a ´et´e choisi car le
mot complexe, venant du latin, avait d´ej`a un tout autre sens en math´ematiques (Siegel,1943;Weyl,1946).
La g´eom´etrie symplectique est un langage permettant de poser et de r´esoudre des probl`emes d’origines di-
verses et elle est ´etroitement li´ee `a d’autres th´eories notamment la g´eom´etrie alg´ebrique pour les syst`emes
compl`etement int´egrables, la th´eorie des ´equations aux d´eriv´ees partielles pour la m´ecanique quantique
et l’´etude des milieux continues et la topologie de dimension faible.
L’outil principal de la g´eom´etrie symplectique est la forme symplectique. Celle-ci, bien que trait´ee comme
un produit scalaire, poss`ede des r`egles diff´erentes que ce dernier. Par exemple, avec le produit scalaire,
nous pouvions d´efinir des longueurs. Mais cela n’est pas le cas avec la forme symplectique qui, par contre,
permet de mesurer des surfaces.
Par ailleurs, il sied de noter que la g´eom´etrie symplectique est la th´eorie des vari´et´es symplectiques.
Cependant cette g´eom´etrie n’existe qu’`a partir de la dimension 4 car la dimension 3 est exclue par une
propri´et´e de la forme symplectique (non d´eg´en´erescence) ´eliminant les espaces de dimension impaire.
Contrairement `a la g´eom´etrie euclidienne, la g´eom´etrie symplectique est peu visuelle du fait qu’elle
´evolue g´en´eralement en grande dimension 4. L’objectif de cette note est de proc´eder `a une initiation `a la
g´eom´etrie symplectique.
Le reste du papier s’organise comme suit. La section 2pr´esente les concepts associ´es `a la notion de la
structure d’alg`ebre. La section 3d´erive la vari´et´e symplectique `a partir de la structure symplectique. La
section 4d´efinit l’alg`ebre de Poisson sur une vari´et´e symplectique. Enfin, la section 4conclut.
2 Alg`ebre sur le corps K
Cette section se propose d’´etudier de fa¸con g´en´erale les concepts associ´es `a la notion de la structure
d’alg`ebre. Plus loin, cette notion de la structure d’alg`ebre servira de fil conducteur dans le d´eveloppement
de cette note.
D´ efinition 2.1 (K-alg`ebre).Une K-alg`ebre (ou une alg`ebre sur un corps K) est un ensemble A muni
d’une structure d’espace vectoriel sur Ket d’une application K-bilin´eaire 5appel´ee multiplication.
D´ efinition 2.2. Une K-alg`ebre est dite :
1. associative (respectivement commutative) lorsque la multiplication est associative (respectivement
commutative) et est unif`ere lorsque la multiplication admet un ´el´ement neutre.
2. de Lie lorsque sa multiplication appel´ee crochet de Lie est antisym´etrique et v´erifie l’identit´e de
Jacobi.
Proposition 2.1. Une K-alg`ebre associative A est un K-espace vectoriel A muni d’une multiplication
qui, avec l’addition de l’espace vectoriel, fait de A un anneau tel que :
λ.(xy)=(λ.x)y=x(λ.y),∀λ∈K,∀x, y ∈A(1)
D´emonstration. Si A est une K-alg`ebre associative, il est ´evidemment un K-espace vectoriel. Il est de
plus muni d’une multiplication interne associative qui est distributive par rapport `a l’addition en vertu
4. La g´eom´etrie symplectique est la g´eom´etrie d’une forme oblique-sym´etrique ferm´ee. Il s’av`ere ˆetre tr`es
diff´erent de la g´eom´etrie riemannienne que nous connaissons. Une diff´erence importante est que, bien que tous
ses concepts soient initialement exprim´es dans la cat´egorie lisse (par exemple, en termes de formes diff´erentielles),
d’une mani`ere intrins`eque, ils n’impliquent pas de d´eriv´es. Ainsi, la g´eom´etrie symplectique est essentiellement de
nature topologique. En effet, on parle souvent de topologie symplectique. Une autre caract´eristique importante
est qu’il s’agit d’une g´eom´etrie bidimensionnelle qui mesure l’aire des courbes complexes au lieu de la longueur
des courbes r´eelles. Voir McDuff (1998) pour les d´etails.
5. Soient E,F,G des espaces vectoriels sur un corps K. On appelle application bilin´eaire de E×Fdans G, une
application v´erifiant les propri´et´es suivantes : ∀x1, x2, x ∈E, ∀y1, y2, y ∈F, ∀λ, µ ∈K, ona : (i)f(x1+x2, y) =
f(x1, y) + f(x2, y),(ii)f(λx, y) = λf (x, y),(iii)f(x, y1+y2) = f(x, y1) + f(x, y2),(iv)f(x, µy) = µf (x, y).
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de la K-bilin´earit´e. A est donc un anneau. Enfin, toujours `a cause de la K-bilin´earit´e de la multiplication
on a :
λ.(xy)=(λ.x)y=x(λ.y),∀λ∈K,∀x, y ∈A(2)
Supposons inversement que A soit un K-espace vectoriel et qu’il soit muni d’une multiplication interne
qui, avec l’addition de l’espace vectoriel, en fasse un anneau tel que (1) soit v´erifi´ee. Alors on a :
(λ1.x1+λ2.x2)y= (λ1.x1)y+ (λ2.x2)y
=λ1.(x1y)+(λ2.x2y)(3)
et
x(µ1.y1+µ2.y2) = x(µ1.y1) + x(µ2.y2)
=µ1.(xy1) + µ2.(xy2)(4)
La multiplication est K-bilin´eaire et A est donc une K-alg`ebre. Puisque cette multiplication est celle d’un
anneau, elle est associative et A est une K-alg`ebre associative.
Exemple 2.1. (1). Tout corps commutatif Kest une K-alg`ebre unif`ere, associative et commutative,
(2). Quel que soit l’ensemble F, l’ensemble KFdes applications de F dans Kest muni d’une structure
de K-alg`ebre associative unif`ere commutative,
(3). L’espace euclidien R3muni du produit vectoriel est une R-alg`ebre non associative, non commu-
tative, non unif`ere.
Homomorphisme
En alg`ebre, nous nous int´eressons souvent `a des applications allant d’une structure (groupe, anneau,
alg`ebre, etc.) vers une autre structure de mˆeme type, et pr´eservant les lois. Soit ∗une loi de composition
interne sur E et ⊥une loi de composition interne sur F ; une application fde E vers F est appel´e
morphisme 6(de la structure (E,∗) vers la structure (F,⊥)) si pour tout (x, y)∈E2,on a :
f(x∗y) = f(x⊥y) (5)
Plus g´en´eralement, si plusieurs lois interviennent, des formules analogues doivent ˆetre v´erifi´ees pour toutes
les lois et aussi les morphismes conservent les propri´et´es alg´ebriques.
D´ efinition 2.3 (Homomorphisme de K-alg`ebres).Un homomorphisme de K-alg`ebres, de la K-alg`ebre
(A, +, ., ×)dans la K-alg`ebre (A0,⊕,,⊗)est une application K-lin´eaire de A dans A0telles que ∀x, y ∈
A, ∀λ∈K:
(i). f(x+y) = f(x)⊕f(y),
(ii). f(λ.x) = λf(x),
(iii). f(x×y) = f(x)⊗f(y),
(iv). f (1A) = 1A0
(6)
Il sied de noter qu’un homomorphisme d’alg`ebre est la conjonction d’un morphisme d’anneau et d’une
application lin´eaire et que, de fa¸con particuli`ere, le noyau d’un morphisme d’alg`ebre est un sous espace
vectoriel et un anneau.
D´ efinition 2.4 (Homomorphisme unif`ere).Un homomorphisme unif`ere de la K-alg`ebre unif`ere A dans
la K-alg`ebre unif`ere A0est un homomorphisme de K-alg`ebres de A dans A0envoyant l’´el´ement unit´e de
A sur l’´el´ement unit´e de A0.
Th´ eor` eme 2.1 (Transport de structure).Si A est une K-alg`ebre et fest une bijection de l’ensemble A
sur l’ensemble A0, il existe une et une seule structure de K-alg`ebre telle que fsoit un isomorphisme de
K-alg`ebres. Si A est associative (resp. commutative, unif`ere), A0l’est aussi. On dit que cette structure
d’alg`ebre sur A0est obtenue par transport par fde la structure de K-alg`ebre de A.
6. Le mot morphisme signifie, `a peu pr`es soit qui respecte la forme, et est souvent utilis´e comme suf-
fixe pour d´esigner des applications v´erifiant certaines propri´et´es suppl´ementaires, par exemple diff´eomorphisme,
hom´eomorphisme, symplectomorphisme, etc.
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Sous - alg`ebres
D´ efinition 2.5 (Sous alg`ebre).Une sous alg`ebre de la K-alg`ebre A est une partie de A qui est une
K-alg`ebre pour les lois induites sur elle par les trois lois de l’alg`ebre A.
Remarquons qu’une sous-alg`ebre est l’addition d’un sous espace vectoriel et d’un anneau.
Proposition 2.2. Une partie non vide B de la K-alg`ebre A est une sous-alg`ebre de A si et seulement si
elle est stable pour chacune de trois lois de l’alg`ebre A.
D´emonstration. :=⇒La condition est ´evidemment n´ecessaire, montrons qu’elle est aussi suffisante i.e.
:⇐= B ´etant stable pour l’addition et pour la multiplication par les scalaires c’est-`a -dire ∀λ, µ ∈K,∀x, y ∈
B,λ.x +µ.y ∈B. B est donc un sous-espace vectoriel de A et, par suite un espace vectoriel pour les lois
induites. B ´etant un sous-groupe de A, stable pour la multiplication est un sous-anneau de A et est donc
un anneau pour les lois induites. Enfin, la multiplication de A est K-bilin´eaire, la formule suivante :
λ.(xy)=(λ.x)y=x(λ.y)∀λ∈K,∀x, y ∈A. (7)
est vraie lorsque x, y ∈A, elle l’est `a fortiori lorsque x, y ∈B.
Proposition 2.3. L’intersection d’une famille (Ai)i∈Ide sous-alg`ebres de A est une sous-alg`ebre de A.
D´emonstration. Cette intersection est en effet non vide car elle contient l’´el´ement nul de A et on v´erifie
ais´ement que ∩i∈IAiest stable pour chacune des trois lois de l’alg`ebre A.
D´ efinition 2.6 (Sous-alg`ebre engendr´ee).La sous-alg`ebre de A engendr´ee par la partie B de A est
l’intersection B de toutes les sous alg`ebres de A incluant B.
D´ efinition 2.7 (Syst`eme g´en´erateur).Un syst`eme g´en´erateur ou partie g´en´eratrice S de la K-alg`ebre est
une partie S de A telle que A soit la sous-alg`ebre de A engendr´ee par S.
3 Vari´et´e symplectique
Les vari´et´es symplectiques sont n´ecessairement de vari´et´es de dimension finie et toujours orientable.
Notons que toute vari´et´e orientable de dimension de 2 est symplectique.
D´ efinition 3.1 (Forme bilin´eaire anti - sym´etrique).Soient un espace vectoriel Vsur le corps Ret une
forme bilin´eaire
α:V×V−→ R(8)
La forme bilin´eaire αest anti - sym´etrique si
∀u, v ∈V, α(x, y) = −α(y, x) (9)
Th´ eor` eme 3.1 (Forme standard).Soit αune forme bilin´eaire anti - sym´etrique sur V, alors il existe
une base x1,· · · , xk,e1,· · · , en,f1,· · · , fnsur Vtel que
α(xi, y)=0 ∀i et ∀y∈V,
α(ei, ej) = 0 = α(fi, fj)∀i, j,
α(ei, fj) = δij ∀i, j.
(10)
D´emonstration. cette preuve inductive est une version anti - sym´etrique du processus de Gram - Schmidt.
Soit
U:= {x∈V|α(x, y)=0∀y∈V}(11)
Consid´erons x1,· · · , xkcomme base de U, et Wl’espace compl´ementaire de Udans V, ainsi, on a :
V=W⊕U(12)
Soit 0 6=e1∈W, alors f1∈Wtel que α(e1, f1)6= 0. Supposons que α(e1, f1) = 1. Soit
W1=span{e1, f1}
Wα
1={w∈W|α(w, y)=0∀y∈W1}(13)
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-W1∩Wα
1={0}.
En effet, supposons que y=ae1+bf1∈W1∩Wα
1={0}.
0 = α(y, e1) = −b
0 = α(y, f1) = a=⇒v= 0 (14)
-W=W1∩Wα
1={0}.
Supposons que y∈W et α(y, e1) = c et α(y, f1) = d, alors
y=−cf1+de1
| {z }
∈W1
+y+cf1−de1
| {z }
∈WΩ
1
(15)
ainsi, soit e2∈Wα
1, e26= 0 et f2∈Wα 1tel que α(e2, f2)6= 0.
Supposons que α(e2, f2) = 1 ; soit W2=span{e2, f2}, etc.
Ce processus, s’arrˆete ´eventuellement parce que dimV < ∞. Nous obtenons ainsi
V=U⊕W1⊕W2⊕ · · · ⊕ Wn(16)
o`u toutes les sommes sont orthogonales `a α, et o`u Wia pour base {ei, fi}avec α(ei, fi) = 1.
Structure symplectique
D´ efinition 3.2 (Structure symplectique).Une structure symplectique (ou forme symplectique) sur une
vari´et´e diff´erentiable Mest une 2-forme diff´erentielle anti-sym´etrique α, ferm´ee, i.e., dα = 0 (o`u dest
la d´eriv´e ext´erieure, dw une forme diff´erentielle de degr´e 3) et αest partout non d´eg´en´er´ee, i.e.,
∀p∈M, αp:TpM×TpM−→ R
(x, y)7−→ αp(x, y)6= 0 (17)
Si αest une forme symplectique i.e. ∀p∈M, αpest une forme bilin´eaire anti-sym´etrique non d´eg´en´er´ee
sur l’espace tangent TpMalors dimTpM=dimM
Notons que les propri´et´es de la non-d´eg´en´erescence et de la fermeture impliquent le th´eor`eme de Darboux.
D´ efinition 3.3 (Vari´et´e symplectique).Une vari´et´e Mmuni d’une forme symplectique αest appel´ee
vari´et´e symplectique et not´ee (M, α)
Il sied de noter quelques propri´et´es ´el´ementaires relatives `a une vari´et´e symplectique.
— Un espace vectoriel symplectique (V, α) peut ˆetre consid´er´e comme une vari´et´e symplectique, α
´etant consid´er´e comme une 2-forme diff´erentielle sur V. En effet, `a toute base de Vcorrespond
une carte, dans laquelle αa des composantes constantes, ce qui prouve que dα = 0.
— Soit (M, α) une vari´et´e symplectique de dimension 2n. La 2n-forme αnest une forme volume sur
M. Par suite Mest orientable.
— Sur une vari´et´e diff´erentiable de dimension 2, toute 2-forme diff´erentielle est automatiquement
ferm´ee. Par suite, toute vari´et´e diff´erentiable de dimension 2 orientable peut ˆetre munie d’une
structure symplectique.
Exemple 3.1. L’esapce M=R2nmuni de la 2-forme
ω=
n
X
k=1
dxk∧dyk,(18)
o`u (x1,· · · , xn, y1,· · · , yn)sont les coordonn´ees locales est une vari´et´e symplectique. ∀p∈M
∂
∂x1p
,· · · ,∂
∂xnp
,∂
∂y1p
,· · · ,∂
∂ynp
(19)
forment une base symplectique de l’espace tangent TpM.
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