Introduction `a la géométrie symplectique

Introduction à la géométrie symplectique∗
Moı̈se Mbikayi Tshimueneka†
Novembre 29, 2016
LAREQ One Pager, Vol. 11, No. 001, 68–75
Abstract
Symplectic geometry is a branch of differential geometry and differential topology that studies symplectic
manifolds. Unlike to Euclidean geometry, the symplectic geometry is not very visual because it generally
evolves in higher dimensions. This paper presents a preliminary analysis of symplectic geometry, by reviewing main concepts associated with the algebra structure, the symplectic manifold and the Poisson
algebra on a symplectic manifold.
Résumé
La géométrie symplectique est un outil mathématique permettant de poser et de résoudre des problèmes
d’origines diverses liés notamment à la géométrie algébrique, à la théorie des équations aux dérivées
partielles et à la topologie de dimension faible. Contrairement à la géométrie euclidienne, la géométrie
symplectique est peu visuelle du fait qu’elle évolue généralement en grande dimension. Ce papier propose
une introduction à la géométrie symplectique, en passant en revue les concepts associés à la notion de
la structure d’algèbre, à la variété symplectique et à l’algèbre de Poisson sur une variété symplectique.
Mots-clés : K-Algèbre, variété symplectique, algèbre de Poisson
MSC : 53D05, 53D35, 17B63
1
Introduction
C’est vers la fin du XVIIIè siècle que J.-L. Lagrange, en cherchant à résoudre de façon approchée les
équations du système des planètes 1 , eut l’idée de considérer les éléments orbitaux des planètes du système
solaire non plus comme des constantes mais comme des variables au cours du temps. D’où le nom de
méthode de variation des constantes. Ainsi, en 1808, dans son ouvrage intitulé L’étude des équations se
rapportant aux problèmes de la mécanique et l’art de les résoudre, Lagrange introduira pour la toute
première fois les éléments de calcul symplectique, qui sera suivi de trois autres communications, respectivement en 1809, 1810 et 1811 2 .
D’après la revue de la littérature 3 , la géométrie symplectique fut découverte par J.-L. Lagrange vers
∗
Je remercie Gradi Kamingu et Jean-Paul K. Tsasa, ainsi que tous les membres du Laboratoire d’analyserecherche en économie quantitative (LAREQ) pour les multiplies échanges durant la rédaction de ce papier. Le
contenu de ce document n’engage que l’auteur. Pour toute observation, prière de me contacter par courriel.
†
Aspirant chercheur au LAREQ. E-mail : [email protected] ; [email protected].
1. Ce qui était un problème de la mécanique classique.
2. Cf. Lagrange (1809, 1810, 1811).
3. Voir les 7 volumes de Encyclopaedia of Mathematical Sciences édités par Gamkrelidze (1988), ainsi que les
articles de recherche publiés dans la Revue Differential Geometry and its Applications. Voir aussi Siegel
(1943), Audin and Iglesias-Zemmour (1994), McDuff (1998), Iglesias-Zemmour (2002), Silva (2001), Cantarella
and Shonkwiler (2016), Xie et al. (2016).
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1780 et sa formalisation analytique a duré à peu près un siècle, quasiment tout le XIXè siècle, grâce aux
travaux notamment de S.-D. Poisson, W.-R. Hamilton, C. Jacobi, G. Darboux, H. Poincaré et E. Cartan.
Symplectique vient d’une racine grecque ”sum-plektikos” signifiant ”complexe”. Ce terme a été choisi car le
mot complexe, venant du latin, avait déjà un tout autre sens en mathématiques (Siegel, 1943; Weyl, 1946).
La géométrie symplectique est un langage permettant de poser et de résoudre des problèmes d’origines diverses et elle est étroitement liée à d’autres théories notamment la géométrie algébrique pour les systèmes
complètement intégrables, la théorie des équations aux dérivées partielles pour la mécanique quantique
et l’étude des milieux continues et la topologie de dimension faible.
L’outil principal de la géométrie symplectique est la forme symplectique. Celle-ci, bien que traitée comme
un produit scalaire, possède des règles différentes que ce dernier. Par exemple, avec le produit scalaire,
nous pouvions définir des longueurs. Mais cela n’est pas le cas avec la forme symplectique qui, par contre,
permet de mesurer des surfaces.
Par ailleurs, il sied de noter que la géométrie symplectique est la théorie des variétés symplectiques.
Cependant cette géométrie n’existe qu’à partir de la dimension 4 car la dimension 3 est exclue par une
propriété de la forme symplectique (non dégénérescence) éliminant les espaces de dimension impaire.
Contrairement à la géométrie euclidienne, la géométrie symplectique est peu visuelle du fait qu’elle
évolue généralement en grande dimension 4 . L’objectif de cette note est de procéder à une initiation à la
géométrie symplectique.
Le reste du papier s’organise comme suit. La section 2 présente les concepts associés à la notion de la
structure d’algèbre. La section 3 dérive la variété symplectique à partir de la structure symplectique. La
section 4 définit l’algèbre de Poisson sur une variété symplectique. Enfin, la section 4 conclut.
2
Algèbre sur le corps K
Cette section se propose d’étudier de façon générale les concepts associés à la notion de la structure
d’algèbre. Plus loin, cette notion de la structure d’algèbre servira de fil conducteur dans le développement
de cette note.
Définition 2.1 (K-algèbre). Une K-algèbre (ou une algèbre sur un corps K) est un ensemble A muni
d’une structure d’espace vectoriel sur K et d’une application K-bilinéaire 5 appelée multiplication.
Définition 2.2. Une K-algèbre est dite :
1. associative (respectivement commutative) lorsque la multiplication est associative (respectivement
commutative) et est unifère lorsque la multiplication admet un élément neutre.
2. de Lie lorsque sa multiplication appelée crochet de Lie est antisymétrique et vérifie l’identité de
Jacobi.
Proposition 2.1. Une K-algèbre associative A est un K-espace vectoriel A muni d’une multiplication
qui, avec l’addition de l’espace vectoriel, fait de A un anneau tel que :
λ.(xy) = (λ.x)y = x(λ.y),
∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ A
(1)
Démonstration. Si A est une K-algèbre associative, il est évidemment un K-espace vectoriel. Il est de
plus muni d’une multiplication interne associative qui est distributive par rapport à l’addition en vertu
4. La géométrie symplectique est la géométrie d’une forme oblique-symétrique fermée. Il s’avère être très
différent de la géométrie riemannienne que nous connaissons. Une différence importante est que, bien que tous
ses concepts soient initialement exprimés dans la catégorie lisse (par exemple, en termes de formes différentielles),
d’une manière intrinsèque, ils n’impliquent pas de dérivés. Ainsi, la géométrie symplectique est essentiellement de
nature topologique. En effet, on parle souvent de topologie symplectique. Une autre caractéristique importante
est qu’il s’agit d’une géométrie bidimensionnelle qui mesure l’aire des courbes complexes au lieu de la longueur
des courbes réelles. Voir McDuff (1998) pour les détails.
5. Soient E,F,G des espaces vectoriels sur un corps K. On appelle application bilinéaire de E × F dans G, une
application vérifiant les propriétés suivantes : ∀x1 , x2 , x ∈ E, ∀y1 , y2 , y ∈ F, ∀λ, µ ∈ K, ona : (i)f (x1 + x2 , y) =
f (x1 , y) + f (x2 , y), (ii)f (λx, y) = λf (x, y), (iii)f (x, y1 + y2 ) = f (x, y1 ) + f (x, y2 ), (iv)f (x, µy) = µf (x, y).
69
de la K-bilinéarité. A est donc un anneau. Enfin, toujours à cause de la K-bilinéarité de la multiplication
on a :
λ.(xy) = (λ.x)y = x(λ.y),
∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ A
(2)
Supposons inversement que A soit un K-espace vectoriel et qu’il soit muni d’une multiplication interne
qui, avec l’addition de l’espace vectoriel, en fasse un anneau tel que (1) soit vérifiée. Alors on a :
(λ1 .x1 + λ2 .x2 )y = (λ1 .x1 )y + (λ2 .x2 )y
(3)
= λ1 .(x1 y) + (λ2 .x2 y)
et
x(µ1 .y1 + µ2 .y2 ) = x(µ1 .y1 ) + x(µ2 .y2 )
(4)
= µ1 .(xy1 ) + µ2 .(xy2 )
La multiplication est K-bilinéaire et A est donc une K-algèbre. Puisque cette multiplication est celle d’un
anneau, elle est associative et A est une K-algèbre associative.
Exemple 2.1.
(1). Tout corps commutatif K est une K-algèbre unifère, associative et commutative,
(2). Quel que soit l’ensemble F, l’ensemble KF des applications de F dans K est muni d’une structure
de K-algèbre associative unifère commutative,
(3). L’espace euclidien R3 muni du produit vectoriel est une R-algèbre non associative, non commutative, non unifère.
Homomorphisme
En algèbre, nous nous intéressons souvent à des applications allant d’une structure (groupe, anneau,
algèbre, etc.) vers une autre structure de même type, et préservant les lois. Soit ∗ une loi de composition
interne sur E et ⊥ une loi de composition interne sur F ; une application f de E vers F est appelé
morphisme 6 (de la structure (E,∗) vers la structure (F,⊥)) si pour tout (x, y) ∈ E 2 ,on a :
f (x ∗ y) = f (x ⊥ y)
(5)
Plus généralement, si plusieurs lois interviennent, des formules analogues doivent être vérifiées pour toutes
les lois et aussi les morphismes conservent les propriétés algébriques.
Définition 2.3 (Homomorphisme de K-algèbres). Un homomorphisme de K-algèbres, de la K-algèbre
0
0
(A, +, ., ×) dans la K-algèbre (A , ⊕, , ⊗) est une application K-linéaire de A dans A telles que ∀x, y ∈
A, ∀λ ∈ K :
(i). f (x + y) = f (x) ⊕ f (y),
(ii).
f (λ.x) =
λ f (x),
(iii). f (x × y) = f (x) ⊗ f (y),
(iv).
f (1A )
=
1A0
(6)
Il sied de noter qu’un homomorphisme d’algèbre est la conjonction d’un morphisme d’anneau et d’une
application linéaire et que, de façon particulière, le noyau d’un morphisme d’algèbre est un sous espace
vectoriel et un anneau.
Définition 2.4 (Homomorphisme unifère). Un homomorphisme unifère de la K-algèbre unifère A dans
0
0
la K-algèbre unifère A est un homomorphisme de K-algèbres de A dans A envoyant l’élément unité de
0
A sur l’élément unité de A .
Théorème 2.1 (Transport de structure). Si A est une K-algèbre et f est une bijection de l’ensemble A
0
sur l’ensemble A , il existe une et une seule structure de K-algèbre telle que f soit un isomorphisme de
0
K-algèbres. Si A est associative (resp. commutative, unifère), A l’est aussi. On dit que cette structure
0
d’algèbre sur A est obtenue par transport par f de la structure de K-algèbre de A.
6. Le mot morphisme signifie, à peu près soit qui respecte la forme, et est souvent utilisé comme suffixe pour désigner des applications vérifiant certaines propriétés supplémentaires, par exemple difféomorphisme,
homéomorphisme, symplectomorphisme, etc.
70
Sous - algèbres
Définition 2.5 (Sous algèbre). Une sous algèbre de la K-algèbre A est une partie de A qui est une
K-algèbre pour les lois induites sur elle par les trois lois de l’algèbre A.
Remarquons qu’une sous-algèbre est l’addition d’un sous espace vectoriel et d’un anneau.
Proposition 2.2. Une partie non vide B de la K-algèbre A est une sous-algèbre de A si et seulement si
elle est stable pour chacune de trois lois de l’algèbre A.
Démonstration. :=⇒ La condition est évidemment nécessaire, montrons qu’elle est aussi suffisante i.e.
:⇐= B étant stable pour l’addition et pour la multiplication par les scalaires c’est-à -dire ∀λ, µ ∈ K, ∀x, y ∈
B, λ.x + µ.y ∈ B . B est donc un sous-espace vectoriel de A et, par suite un espace vectoriel pour les lois
induites. B étant un sous-groupe de A, stable pour la multiplication est un sous-anneau de A et est donc
un anneau pour les lois induites. Enfin, la multiplication de A est K-bilinéaire, la formule suivante :
λ.(xy) = (λ.x)y = x(λ.y)
∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ A.
(7)
est vraie lorsque x, y ∈ A, elle l’est à fortiori lorsque x, y ∈ B.
Proposition 2.3. L’intersection d’une famille (Ai )i∈I de sous-algèbres de A est une sous-algèbre de A.
Démonstration. Cette intersection est en effet non vide car elle contient l’élément nul de A et on vérifie
aisément que ∩i∈I Ai est stable pour chacune des trois lois de l’algèbre A.
Définition 2.6 (Sous-algèbre engendrée). La sous-algèbre de A engendrée par la partie B de A est
l’intersection B de toutes les sous algèbres de A incluant B.
Définition 2.7 (Système générateur). Un système générateur ou partie génératrice S de la K-algèbre est
une partie S de A telle que A soit la sous-algèbre de A engendrée par S.
3
Variété symplectique
Les variétés symplectiques sont nécessairement de variétés de dimension finie et toujours orientable.
Notons que toute variété orientable de dimension de 2 est symplectique.
Définition 3.1 (Forme bilinéaire anti - symétrique). Soient un espace vectoriel V sur le corps R et une
forme bilinéaire
α : V × V −→ R
(8)
La forme bilinéaire α est anti - symétrique si
∀ u, v ∈ V, α(x, y) = −α(y, x)
(9)
Théorème 3.1 (Forme standard). Soit α une forme bilinéaire anti - symétrique sur V , alors il existe
une base x1 , · · · , xk , e1 , · · · , en , f1 , · · · , fn sur V tel que
α(xi , y) = 0
∀i et ∀y ∈ V,
α(ei , ej ) = 0 = α(fi , fj )
∀i, j,
α(ei , fj ) = δij
∀i, j.
(10)
Démonstration. cette preuve inductive est une version anti - symétrique du processus de Gram - Schmidt.
Soit
U := {x ∈ V |α(x, y) = 0∀y ∈ V }
(11)
Considérons x1 , · · · , xk comme base de U , et W l’espace complémentaire de U dans V , ainsi, on a :
V =W ⊕U
(12)
Soit 0 6= e1 ∈ W , alors f1 ∈ W tel que α(e1 , f1 ) 6= 0. Supposons que α(e1 , f1 ) = 1. Soit
W1 = span{e1 , f1 }
(13)
W1α = {w ∈ W |α(w, y) = 0∀y ∈ W1 }
71
- W1 ∩ W1α = {0}.
En effet, supposons que y = ae1 + bf1 ∈ W1 ∩ W1α = {0}.
0 = α(y, e1 ) = −b
=⇒ v = 0
0 = α(y, f1 ) = a
(14)
- W = W1 ∩ W1α = {0}.
Supposons que y ∈ W et α(y, e1 ) = c et α(y, f1 ) = d, alors
y = −cf1 + de1 + y + cf1 − de1
|
{z
} |
{z
}
∈W1
(15)
∈W1Ω
ainsi, soit e2 ∈ W1α , e2 6= 0 et f2 ∈ W1α tel que α(e2 , f2 ) 6= 0.
Supposons que α(e2 , f2 ) = 1 ; soit W2 = span{e2 , f2 }, etc.
Ce processus, s’arrête éventuellement parce que dimV < ∞. Nous obtenons ainsi
V = U ⊕ W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wn
(16)
où toutes les sommes sont orthogonales à α, et où Wi a pour base {ei , fi } avec α(ei , fi ) = 1.
Structure symplectique
Définition 3.2 (Structure symplectique). Une structure symplectique (ou forme symplectique) sur une
variété différentiable M est une 2-forme différentielle anti-symétrique α, fermée, i.e., dα = 0 (où d est
la dérivé extérieure, dw une forme différentielle de degré 3) et α est partout non dégénérée, i.e.,
∀p ∈ M,
αp
: Tp M × Tp M
(x, y)
−→
7−→
R
αp (x, y) 6= 0
(17)
Si α est une forme symplectique i.e. ∀p ∈ M, αp est une forme bilinéaire anti-symétrique non dégénérée
sur l’espace tangent Tp M alors dimTp M = dimM
Notons que les propriétés de la non-dégénérescence et de la fermeture impliquent le théorème de Darboux.
Définition 3.3 (Variété symplectique). Une variété M muni d’une forme symplectique α est appelée
variété symplectique et notée (M, α)
Il sied de noter quelques propriétés élémentaires relatives à une variété symplectique.
— Un espace vectoriel symplectique (V, α) peut être considéré comme une variété symplectique, α
étant considéré comme une 2-forme différentielle sur V . En effet, à toute base de V correspond
une carte, dans laquelle α a des composantes constantes, ce qui prouve que dα = 0.
— Soit (M, α) une variété symplectique de dimension 2n. La 2n -forme αn est une forme volume sur
M . Par suite M est orientable.
— Sur une variété différentiable de dimension 2, toute 2-forme différentielle est automatiquement
fermée. Par suite, toute variété différentiable de dimension 2 orientable peut être munie d’une
structure symplectique.
Exemple 3.1. L’esapce M = R2n muni de la 2-forme
ω=
n
X
dxk ∧ dyk ,
(18)
k=1
où (x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn ) sont les coordonnées locales est une variété symplectique. ∀p ∈ M
∂
∂
∂
∂
,··· ,
,
,··· ,
∂x1 p
∂xn p
∂y1 p
∂yn p
forment une base symplectique de l’espace tangent Tp M .
72
(19)
Nous pouvons aussi citer comme exemple de variété symplectique, les surfaces de Riemann 7 (X, volX ),
les variétés Kahlériennes 8 ainsi que les variétés projectives complexes.
Définition 3.4 (Symplectomorphisme). Soient (M1 , α1 ) et (M2 , α2 ) deux variétés symplectiques de même
dimension, et ϕ : M1 −→ M2 une application différentiable. On dit que ϕ est morphisme symplectique
s’il préserve les formes volumes, i.e., ϕ vérifie
ϕ∗ α2 = α1
(20)
Lorsque ϕ est un difféomorphisme, on dira que ϕ est un difféomorphisme symplectique ou encore un
symplectomorphisme.
Remarquons qu’un morphisme symplectique est un difféomorphisme local. Nous déduisons que les difféomorphismes symplectiques ou syplectomorphismes conservent la forme volume et donc l’orientation ainsi
que l’inverse d’un symplectomorphisme est aussi un symplectomorphisme.
4
Algèbre de Poisson
Avant que nous ne puissions nous attarder sur l’objet de cette section, faisons un détour et préparons le
chemin afin qu’il soit explicitement dériver.
Champs de vecteurs hamiltonien
Définition 4.1. Soit (M, θ) une variété de Poisson et f ∈ C ∞ (M ) une fonction lisse de sorte que
df ∈ θ1 (M ). Puisque
θ̃ : X(M )
X
−→
7−→
θ1 (M )
θ̃(X)(Y ) = θ(X, Y )
(21)
est un isomorphisme de C ∞ (M )-module, il existe un et un seul champ Xf ∈ X(M ) tel que θ̃(Xf ) = df .
Le champ Xf est appelé champ hamiltonien associé à la fonction hamiltonienne f
Si Xf est un champ hamiltonien alors
LXf f = 0
(22)
De plus, les champs de vecteurs hamiltoniens préservent leurs fonctions hamiltoniens et chaque courbe
intégrale {ϕt (x)|t ∈ R} de Xf peut être contenu dans un ensemble de niveau de H :
h(x) = (ϕ∗t h)(x) = h(ϕt (x)),
∀t.
(23)
Crochet de Poisson
Le crochet ont été inventé par D. Poisson ; après lui, Jacobi, qui a compris l’importance de ce crochet et
élucide leur propriété algébrique ensuite vient Lie qui à son tour, a étudié leur propriété géométrique
(Weinstein, 1998).
Considérons deux fonctions différentiables f, g définies sur une variétés symplectique (M, α) et deux
champs de vecteurs hamiltonien associés Xf , Xg .
Définition 4.2 (Crochet de Poisson). Le crochet de Poisson de deux fonctions différentiables f, g, noté
{f, g} est défini comme suit :
{f, g} := α(Xf , Xg ).
(24)
On a
X{f,g} = −[Xf , Xg ]
Car
Xω(Xf ,Xg ) = [Xg , Xf ]
7. Ce sont des variétés analytiques de dimension 1 complexe (2 réelle) munies d’atlas dont les changements de
cartes sont holomorphes.
8. Une variété Kahlérienne est une variété complexe munie d’une métrique hermitzienne dont la partie imaginaire, qui est une 2-forme de type (1, 1) relativement à la structure complexe, est fermée.
73
Propriétés
Pour toutes fonctions différentiables f, g et h, le crochet de Poisson vérifie les propriétés ci-dessous :
- L’anti-symétrique :
{f, g} = −{g, f }
(25)
- L’identité de Leibniz :
{f, g1 g2 } = {f, g1 }g2 + g1 {f, g2 }
(26)
- L’identité de Jacobi :
{f, {g, h} = {{f, g}, h} + {g, {f, h}}
(27)
par l’anti-symétrie, l’équation (27) devient :
{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0
(28)
L’anti-symétrie et l’identité de Jacobi assurent que {, } est un crochet de Lie, qui par conséquent munissent
C ∞ (M ) d’une structure d’algèbre de Lie de dimension infinie ; l’identité de Leibniz assure que l’application
g 7−→ {f, g} est une dérivation.
Définition 4.3 (Algèbre de Poisson). Une algèbre de Poisson (P), {., .} est une algèbre commutative
associative P munie de crochet de Lie {., .} vérifiant l’identité de Leibniz
Par conséquent, si (M, α) est une variété symplectique alors l’ensemble C ∞ (M ) muni du crochet de
Poisson i.e.
(C ∞ (M ), {., .})
(29)
est l’algèbre de Poisson d’une variété symplectique.
5
Conclusion
Ce papier a proposé une introduction à la géométrie symplectique, en présentant successivement les
concepts associés à la structure d’algèbre, la variété symplectique et l’algèbre de Poisson. À l’effet de
compléter la présente note, dans les publications ultérieures nous traiterons l’algèbre de champs Hamiltonien, l’algèbre de Jacobi d’une variété de contact.
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