Thèse ETH No 6021 Probabilité de ruine lorsque le paramètre de

Thèse
ETH No 6021
Probabilité
de ruine
lorsque
le
paramètre
de
Poisson
est
ajusté
à
posteriori
THÈSE
présentée
à
L'ÉCOLE
POLYTECHNIQUE
FÉDÉRALE
ZURICH
pour
l'obtention du titre
de
Docteur es sciences
mathématiques
par
ANDRÉ
DUBEY
math.
dipl.
ETH
né
le 9
janvier
1946
originaire
de
Gletterens
(Fribourg)
acceptée
sur
proposition
du
Prof. Dr H.
Bùhlmann,
rapporteur
Prof.
Dr
H.
Fôllmer,
corapporteur
1977

V
INTRODUCTION
Le
concept
de
probabilité
de
ruine
joue
en
tant
que
critère
de
stabi¬
lité
un
rôle
important
dans
la
théorie
du
risque.
Dans
le
modèle
clas¬
sique,
on
considère
un
processus
de
risque
dont
la
prime
est
de
nature
déterministe.
Dans
un
article
publié
en
1972
(4),
Buhlmann
étudie
la
probabilité
de
ruine
pour
un
processus
dont
la
prime
est
ajustée
en
fonction
du
nombre
des
dommages
et
est
donc
de
nature
stochastique.
Cet article
sert
de
base
au
présent
travail.
Dans
le
chapitre
1,
on
définit
le
processus
de
risque
considéré.
On
suppose
en
particulier
que
le nombre
de
dommages
est
un
processus
de
Poisson
dont
le
paramètre
est
inconnu.
La fonction
de
structure
donne
la
distribution
de
ce
paramètre
dans
le
collectif.
La
prime
indivi¬
duelle
du
risque
est
obtenue
par
une
estimation
de
ce
paramètre.
Trois
estimations
sont
considérées:
-
l'espérance
à
posteriori
du
paramètre
-
la
fréquence
des
dommages
-
l'estimation
de
credibility
Les
chapitres
2 à
5 sont
consacrés
au
calcul
de
la
probabilité
de
ruine
d'un
tel
processus
de
risque
pour
chacune
de
ces
estimations.
Dans
les
deux
premiers
cas,
il
est
possible
de
résoudre
ce
problème
en
stoppant
le
processus
aux
temps
d'arrivée
des
dommages.
On
est
alors
ramené
comme
dans
le
cas
classique
à
l'étude
de
la
probabilité
de
ruine
d'un
Random
Ualk. Dans
le
chapitre
4
en
particulier,
on
peut
donner
les
valeurs
asymptotiques
de
l'espérance
et
de la
variance
du moment de
la
ruine.
Lorsque
la
prime
est
calculée
sur
la base
de
l'estimation
de
credibility,
il
est
plus
difficile
de donner
une
valeur
exacte
de
la
probabilité
de
ruine.
En
remplaçant
le
processus
de
risque
par
un
processus
è
accrois¬
sements
indépendants,
on
peut
calculer
une
approximation
de cette
valeur.
Dans
le
chapitre
6,
on
considère
un
modèle
discret
du
processus
de
ris¬
que.
On
suppose
que
l'estimation
du
paramètre
de
risque
n'est
ajustée
qu'à
des
temps
fixes.
Dans le
cas
particulier
où
la
fonction
de
struc-

VI
ture
est
une
fonction
gamma,
on
peut
alors estimer
l'influence
de
cette
discrétisation*
Le
chapitre
7 est
consacré
à
l'étude
de la
probabilité
de
ruine
d'un
portefeuille.
On
suppose
que
chaque
risque
est
estimé
individuellement
et
on
montre
qu'asymptotiquement
la
probabilité
de
ruine
du
porte¬
feuille
est
identique
à
celle
que
l'on obtient
dans
le
cas
classique.