Actes de l'Université d'été de Saint-Flour
La pluridisciplinarité dans les enseignements scientifiques à partir des thèmes de convergence
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II. Probabilité de défaillance
Il résulte de ce qui précède que la probabilité de défaillance (ou de ruine) de la
structure est P_R = P(G(X) < 0). Si l'on note D_R le domaine de défaillance dans R^n, qui est donc
défini par D_R= {x de R^n: G(x) < 0}, et μ la loi de probabilité de X, alors P_R = ∫_D_R f(x)
μ(dx).
En général, les modèles retenus pour X seront à densité, de sorte que, notant f cette
densité,
P_R = ∫{G(x_1, ..., x_n)<0} f(x_1, ..., x_n) dx_1...dx_n.
Le problème est donc celui d'estimer cette intégrale sachant que n peut être grand
(plusieurs dizaines, voire plus).
On peut remarquer tout de suite que le résultat sera fortement dépendant des modèles
retenus pour les lois des quantités aléatoires.
Les méthodes actuellement utilisées procèdent comme suit.
Etape 1 : on effectue un changement de varaiables pour se ramener à des lois
normales réduites. On utilise pour cela des transformations, dont la plus connue est la
transformation de Rosenblatt, que nous définirons plus loin. On dit que l'on est passé
de l'espace des variables physiques dans l'espace des variables gaussiennes. On notera
U l'image de X par cette transformation.
Etape 2 : La fonction limite transformée étant notéee H, on calcule P_R = P(H(U)
< 0), en utilisant le caractère gaussien de U.
A. Cas où le domaine de ruine est un demi-espace affine
Commençons par étudier le cas simple où le domaine de ruine est un demi-espace de
l'espace gaussien, délimité par un hyperplan affine. Autrement dit, supposons qu'il existe des
scalaires (a_1,..,a_n) et b tels que D = {u: a_1 u_1+ ...+ a_n u_n < b}.
Si l'on note A la projection orthogonale de l'origine sur l'hyperplan délimitant le
domaine de ruine, on appelle A le point de conception, ou check point en anglais. Le calcul de la
probabilité de défaillance est alors celui de la probabilité d'un demi espace affine pour une loi de
Gauss réduite dans un espace de dimension n. On vérifie que cema vaut exactement Φ(-β), ou Φ
est la fonction de répartition de la loi normale réduite scalaire et β la distance euclidienne de
l'origine au point A.
On voit que ce coefficient β permet de mesurer la fiabilité de la structure. C'est l'indice
de fiabilité de Hasofer-Lind.
1. La transformation de Rosenblatt
Présentons la en dimension 1. En dimension supérieure, c'est une généralisation (non
triviale) de celle-ci.
Soit F la fonction de répartition de X, supposée inversible. On sait qu'alors F(X) suit la
loi uniforme sur [0,1]. On déduit de cela que, effectuant le changement de variable x → u défini par