MAT210 Logique et mathématiques discrètes : Cours 1

Chapitre 5
Entiers, division et congruences
Ce document contient des définitions qui seront présentées en classe, plusieurs théorèmes dont
nous ferons la démonstration et quelques exercices qui seront faits en équipe lors de la cinquième et
sixième semaine de cours. Les pages indiquées entre crochets renvoient au livre obligatoire Discrete
Mathematics and its applications, septième édition, K. H. Rosen, livre qui comporte de nombreux
exercices importants pour vous préparez à l’examen. Avant de commencer la présentation théorique,
nous discuterons de quelques applications du modulo en informatique (voir document ppt sur le site
Web).
5.1 Division
Définition 5.1 [p. 238 D1] Si a∈Z,b∈Zet a6= 0, on dit que adivise bs’il existe un entier ctel que
b=ac. Notation : a|b⇐⇒ ∃c∈Z,ac =b⇐⇒ b
a∈Z
a6 | b⇐⇒ ¬ (a|b)
Théorème 5.1 [p. 238 T1] Soient a,bet cdes nombres entiers quelconques, avec a6= 0.
1. Si a|bet a|calors a|(b+c).
2. Si a|balors a|(bc).
3. Si a|bet b|calors a|c.
Exercice 5.1 Vrai ou faux ? Justifiez en invoquant une définition, un théorème, en donnant une
preuve ou un contre-exemple.
(a) 7 |10
(b) 5 |10
(c) 100 |10
(d) 5 | − 10
(e) ∀x,x|17 →x|85
(f) ∀x,x|bc →(x|b∨x|c)
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2 CHAPITRE 5. ENTIERS, DIVISION ET CONGRUENCES
(g) ∀x,¬(x|5) → ¬(x|45)
(h) ∀x, (x|36 ∧x|100) →x|172
(i) ∀x, (x|36∧x|100) →x|64
(j) Démontrez la partie 3 du théorème 5.1.
a|b∧b|c→a|c
Théorème 5.2 [p. 239 T2] Soient aet ddes entiers, avec d>0. Il existe une seule paire d’entiers qet
rsatisfaisant
0≤r<det a=dq +r
Définition 5.2 Considérons aet ddes entiers, avec d>0. Le théorème précédent stipule qu’il existe
une seule paire d’entiers qet rsatisfaisant
a=dq +ret 0 ≤r<d
Par exemple si a=17 et d=3, on a
17 =3·5+2 et 0 ≤2<3
• L’entier d=3 est appelé le diviseur.
• L’entier a=17 est appelé le dividende.
• L’entier q=5 est appelé le quotient (notation : q=adiv d).
• L’entier r=2 est appelé le reste.
On dit aussi que 17 est égal à 2 modulo 3 (notation : r=amod d).
L’algorithme de division, présenté à la page 253, présente une façon de calculer le quotient qet le
reste rde la division de apar l’entier positif d. Il s’agit de compter le nombre de fois (q) que l’on peut
soustraire dde |a|tout en conservant un résultat positif (r). Si aest positif, le diviseur est qet le reste
est r. Si aest négatif, on procède à un petit ajustement ( r:=d−ret q:= −(q+1) ).
5.2 Arithmétique modulaire
Définition 5.3 [p. 240 D3] Soient aet bdes entiers et m∈Z+. On dit que aest congru à bmodulo m
si et seulement si mdivise a−b. Notation
a≡b(mod m)⇐⇒ m|(a−b)
Attention : le symbole ≡est aussi utilisé en logique, mais il a ici un sens différent.
Remarque : si aest congru à bmodulo m, c’est que mdivise (a−b), mais alors mdivise aussi (b−a),
et donc, par définition, best congru à amodulo m. On peut donc dire que aet bsont congrus
modulo m.
Geneviève Savard, ÉTS, 2014

5.2. ARITHMÉTIQUE MODULAIRE 3
Exemple 5.1
Les nombres 73 et 23 sont congrus modulo 10 car 10 divise leur différence.
73 ≡23 (mod 10) ⇐⇒ 10 |(73−23)
Les nombres 17 et 32 sont congrus modulo 5 car 5 divise leur différence.
17 ≡32 (mod 5) ⇐⇒ 5|(17−32)
⇐⇒ 5|(−15)
⇐⇒ −15
5∈Z
⇐⇒ −3∈Z
Les nombres -8 et 7 sont congrus modulo 5 car 5 divise leur différence.
−8≡7 (mod 5) ⇐⇒ 5|(−8−7)
⇐⇒ 5|(−15)
⇐⇒ −15
5∈Z
⇐⇒ −3∈Z
Théorème 5.3 Soient aet bdes entiers et m∈Z+. Les énoncés suivants sont équivalents.
1. a≡b(mod m)
2. m|(a−b)
3. (amod m)=(bmod m)
4. ∃k∈Z,a=b+km
Exemple 5.2
Les nombres a=73 et b=23 sont congrus modulo 10, ce que l’on note
73 ≡23 (mod 10)
Ainsi, par le théorème précédent, ils ont le même reste après division par 10. En effet :
(73 mod 10) =3 et (23 mod 10). =3.
De plus, on peut passer de bàaen ajoutant un multiple de 10 :
73 =23+5·10.
Exemple 5.3
Nous avons vu à l’exemple précédent que les nombres a=17 et b=32 sont congrus modulo 5, ce que
l’on note
17 ≡32 (mod 5).
Geneviève Savard, ÉTS, 2014

4 CHAPITRE 5. ENTIERS, DIVISION ET CONGRUENCES
Nous aurions pu arriver à cette conclusion sans calculer leur différence, en utilisant le fait qu’ils ont
le même reste après division par 5. En effet :
(17 mod 5) =2 et (32 mod 5) =2.
De plus, on peut passer de bàaen ajoutant un multiple de 5 :
32 =17+3·5.
Exercice 5.2 Vrai ou faux ?
(a) 7 ≡13 (mod 6)
(b) −2≡10 (mod 6)
(c) 0 ≡14 (mod 6)
(d) 30 ≡600 (mod 6)
(e) 53≡5 (mod 20)
Théorème 5.4 [p. 242 T5] Soit m∈Z+. Si a1≡r1(mod m) et a2≡r2(mod m) alors
a1+a2≡r1+r2(mod m) et a1·a2≡r1·r2(mod m)
On peut donc calculer les modulos de a1et a2, puis les additionner, ou encore additionner d’abord
a1et a2puis calculer le modulo du résultat, et on arrivera à un résultat équivalent modulo m. Il en
va de même pour la multiplication. Or, il est beaucoup plus rapide de multiplier de petits nombres.
En arithmétique modulaire, il sera donc préférable de calculer d’abord les restes modulo m, puis
d’effectuer leur multiplication.
Exercice 5.3 Calculez sans calculatrice. Vérifiez avec la commande mod(a, m) de la TI qui calcule
amod m.
(a) 44 mod 10
(b) −44 mod 10
(c) −2 mod 11
(d) (−2)2mod 11
(e) (136·882·14 +12) mod 5
N. B. Vous n’avez pas à effectuer la multiplication des 3 nombres suivie de l’addition de 12 puis
à effectuer la division par 5 pour obtenir le modulo. Soyez stratégique !
(f) (55·13+8·47) mod 11
(g) 92mod 11
(h) 94mod 11 N. B. Vous n’avez pas à évaluer 94puis à effectuer la division par 11. Utilisez le
résultat précédent et le théorème.
(i) 98mod 11
(j) 916 mod 11
(k) 920 mod 11 Rappel 920 =916+4=916 94
(l) 928 mod 11 (Au besoin, voir l’algorithme Modular Exponentiation et l’exemple 12 p. 254.)
Geneviève Savard, ÉTS, 2014

5.3. NOMBRES PREMIERS 5
5.3 Nombres premiers
Théorème 5.5 [Théorème fondamental de l’arithmétique] Tout entier positif supérieur à 1 peut
être écrit de façon unique soit comme un nombre premier, soit comme un produit de nombres
premiers où les facteurs sont écrits en ordre croissant.
Une preuve par récurrence est présentée à la page 236. Nous n’avons pas encore étudié ce type de
preuve ; nous le ferons en deuxième moitié de trimestre.
Exercice 5.4 Donnez la décomposition en facteurs premiers de 84 et de 150.
Théorème 5.6 [T3 p. 260] Il y a une infinité de nombres premiers.
Définition 5.4 [pp 215 et 217] Soient aet bdes entiers. Le plus grand entier dqui divise aet qui
divise best appelé le plus grand commun diviseur de aet b. On le note pgcd(a,b) en français et
gcd(a,b) en anglais. N.B. pgcd(0,0) n’est pas défini.
Le plus petit commun multiple de aet best le plus petit entier ntel que a|net b|n. On le note
ppcm(a,b) en français et lcm(a,b) en anglais.
Comment calculer pgcd(a,b) et ppcm(a,b) ? Si les décompositions en facteurs premiers des
entiers aet bsont connues on peut obtenir rapidement pgcd(a,b) et ppcm(a,b) en prenant les
minimums ou les maximums de chacun des exposants, tel qu’indiqué aux exemples 14 et 15 de la
page 266. Quand les décompositions en facteurs premiers ne sont pas déjà connues, il est plus rapide
d’utiliser l’algorithme d’Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur (voir page 266 à 269).
Exemple 5.4
Calculez le plus grand commun diviseur de 96 et 28 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Solution :
Exercice 5.5 Calculez à la main le plus grand commun diviseur de aet b. Vérifiez avec la commande
gcd(a, b) de la TI.
(a) a=355473et b=3852112.
(b) a=504 et b=480, grâce à l’algorithme d’Euclide.
(c) a=80 et b=185, grâce à l’algorithme d’Euclide.
Geneviève Savard, ÉTS, 2014