2011

UTBM Session de Printemps 2011
Médian SQ20
Durée : 2 heures
Une calculatrice électronique de poche - y compris programmable, alphanumérique ou à écran
graphique - à fonctionnement autonome, est autorisée.
L’usage de tout document, de tout dictionnaire, et de tout autre matériel électronique (y compris
un téléphone portable) est rigoureusement interdit.
La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements consti-
tueront un élément important pour l’appréciation des copies.
L’exercice 1 est à rendre sur une copie séparée. Le barème, donné à titre purement indicatif, est
susceptible de modification.
Exercice 1 Dénombrements (6points )
1. Un jeu de poker a 52 cartes. Déterminer le nombre de mains de 5 cartes comprenant
exactement :
a. une quinte flush : cinq cartes de rangs consécutifs, et dont la couleur est identique
b. une suite : cinq cartes consécutives, et d’au moins deux couleurs différentes (sinon
c’est une quinte flush)
c. une couleur : cinq cartes de même couleur, mais qui ne forment pas une suite (sinon
c’est une quinte flush).
Remarque : le rang du "Valet de Pique" est "Valet", sa couleur "Pique".
2. De combien de manières différentes peut-on faire asseoir 8 personnes sur un banc :
a. en n’imposant aucune restriction
b. il y a 4 hommes et 4 femmes, et on ne veut pas qu’il y ait 2 hommes ou 2 femmes
assis de manière consécutive
c. il y a 5 mormons qui veulent s’asseoir groupés.
Remarque : les dispositions a−b−c−d−e−f−g−het h−g−f−e−d−c−b−a
sont considérées comme différentes.
Changez de copie

Exercice 2 Loi de couple (6points )
La loi de probabilité du couple de variables aléatoires (X, Y )est donnée par le tableau suivant :
X\Y0 1 2
−1a2a a
0 0 a a
1 3a0a
1. Déterminer apour que le tableau donné corresponde bien à une loi de probabilité.
2. Déterminer les lois marginales de Xet de Y.
3. Calculer l’espérance de X, celle de Y, puis la covariance de (X, Y ). Que peut-on en déduire
sur l’indépendance de Xet Y?
4. Trouver les lois de probabilités des variables aléatoires
S=X+Yet T=X×Y
Exercice 3 Un problème d’urne (8points )
Une urne Ucontient njetons numérotés de 1 à n(où nest un entier supérieur ou égal à 2). On
prélève une poignée "aléatoire" de jetons. On note Nla variable aléatoire égale au nombre de
jetons tirés, et Sla somme des points des jetons de la poignée.
Si la poignée est vide (c’est à dire si N= 0), on convient que S= 0.
1. On suppose dans cette question que toutes les poignées possibles sont équiprobables.
a. Combien y a-t-il de poignées possibles ?
b. Déterminer la loi de N, et trouver son espérance.
c. Pour i∈J1, nK, on note Xila variable aléatoire qui vaut 1 si la poignée contient le
jeton i, et 0 sinon. Quelle est la loi de Xi? Préciser la valeur du (des) paramètre(s).
d. Montrer que S=Pn
i=1 iXi. En déduire l’espérance de S.
e. Justifier que les variables Xisont indépendantes, et en déduire la variance de S.
2. On suppose dans cette question que Nsuit la loi uniforme sur J0, nK, c’est à dire que les
"tailles" des poignées sont équiprobables.
a. Quelle est l’espérance de N?
b. Avec les notations de la question précédente, calculer pour tout k∈J0, nKla probabilité
conditionnelle P(Xi= 1|N=k).
c. En déduire P(Xi= 1). Donner la loi et le(s) paramètre(s) de la variable Xi.
d. Soient iet jdeux entiers distincts compris entre 1 et n. Calculer pour tout k∈J0, nK
la probabilité conditionnelle PXi= 1 et Xj= 1|N=k.
e. En déduire PXi= 1 et Xj= 1. Les variables Xiet Xjsont-elles indépendantes ?
Rappel : n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2et
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
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