2011

UTBM
Session de Printemps 2011
Médian SQ20
Durée : 2 heures
Une calculatrice électronique de poche - y compris programmable, alphanumérique ou à écran
graphique - à fonctionnement autonome, est autorisée.
L’usage de tout document, de tout dictionnaire, et de tout autre matériel électronique (y compris
un téléphone portable) est rigoureusement interdit.
La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront un élément important pour l’appréciation des copies.
L’exercice 1 est à rendre sur une copie séparée. Le barème, donné à titre purement indicatif, est
susceptible de modification.
( 6 points )
Exercice 1 Dénombrements
1. Un jeu de poker a 52 cartes. Déterminer le nombre de mains de 5 cartes comprenant
exactement :
a. une quinte flush : cinq cartes de rangs consécutifs, et dont la couleur est identique
b. une suite : cinq cartes consécutives, et d’au moins deux couleurs différentes (sinon
c’est une quinte flush)
c. une couleur : cinq cartes de même couleur, mais qui ne forment pas une suite (sinon
c’est une quinte flush).
Remarque : le rang du "Valet de Pique" est "Valet", sa couleur "Pique".
2. De combien de manières différentes peut-on faire asseoir 8 personnes sur un banc :
a. en n’imposant aucune restriction
b. il y a 4 hommes et 4 femmes, et on ne veut pas qu’il y ait 2 hommes ou 2 femmes
assis de manière consécutive
c. il y a 5 mormons qui veulent s’asseoir groupés.
Remarque : les dispositions a − b − c − d − e − f − g − h et h − g − f − e − d − c − b − a
sont considérées comme différentes.
Changez de copie
( 6 points )
Exercice 2 Loi de couple
La loi de probabilité du couple de variables aléatoires (X, Y ) est donnée par le tableau suivant :
X\Y
−1
0
1
0
1 2
a 2a a
0
a a
3a 0 a
1. Déterminer a pour que le tableau donné corresponde bien à une loi de probabilité.
2. Déterminer les lois marginales de X et de Y .
3. Calculer l’espérance de X, celle de Y , puis la covariance de (X, Y ). Que peut-on en déduire
sur l’indépendance de X et Y ?
4. Trouver les lois de probabilités des variables aléatoires
S =X +Y
et
T =X ×Y
( 8 points )
Exercice 3 Un problème d’urne
Une urne U contient n jetons numérotés de 1 à n (où n est un entier supérieur ou égal à 2). On
prélève une poignée "aléatoire" de jetons. On note N la variable aléatoire égale au nombre de
jetons tirés, et S la somme des points des jetons de la poignée.
Si la poignée est vide (c’est à dire si N = 0), on convient que S = 0.
1. On suppose dans cette question que toutes les poignées possibles sont équiprobables.
a. Combien y a-t-il de poignées possibles ?
b. Déterminer la loi de N , et trouver son espérance.
c. Pour i ∈ J1, nK, on note Xi la variable aléatoire qui vaut 1 si la poignée contient le
jeton i, et 0 sinon. Quelle est la loi de Xi ? Préciser la valeur du (des) paramètre(s).
Pn
d. Montrer que S = i=1 iXi . En déduire l’espérance de S.
e. Justifier que les variables Xi sont indépendantes, et en déduire la variance de S.
2. On suppose dans cette question que N suit la loi uniforme sur J0, nK, c’est à dire que les
"tailles" des poignées sont équiprobables.
a. Quelle est l’espérance de N ?
b. Avec les notations de la question précédente, calculer pour tout k ∈ J0, nK la probabilité
conditionnelle P(Xi = 1|N = k).
c. En déduire P(Xi = 1). Donner la loi et le(s) paramètre(s) de la variable Xi .
d. Soient i et j deux entiers distincts compris entre 1 et n.Calculer pour tout k ∈ J0, nK
la probabilité conditionnelle P Xi = 1 et Xj = 1|N = k .
e. En déduire P Xi = 1 et Xj = 1 . Les variables Xi et Xj sont-elles indépendantes ?
Rappel :
n
X
k=1
k=
n(n + 1)
2
et
n
X
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6