Fondamentaux d`Analyse - GIPSA-Lab
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Partie Module 2 Fondamentaux d’Analyse Année universitaire 2009-2010 Cléo BARAS [email protected] IUT1 Réseaux et Télécoms - 1ère année 1 / 130 Partie Introduction Les Maths en RT ▶ Objectif : Maîtriser les outils mathématiques utiles pour les réseaux et les télécoms ▶ Les modules : ▶ ▶ ▶ ▶ ▶ ▶ ▶ ▶ M1 (S1) : « Fondamentaux d’algèbre et de trigonométrie » M2 (S1) : « Fondamentaux d’analyse » M3 (S1) : « Calcul intégral et équations différentielles » M4 (S2) : « Éléments de mathématiques appliquées » M5 (S2) : « Outils mathématiques pour l’analyse de Fourier » M6 (S3) : « Mathématiques pour le signal discret » MC1 (S4) : « Algèbre linéaire » (PE) MC2 (S4) : « Probabilités » 2 / 130 Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) ▶ Calendrier : 30 heures ▶ 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30), 1 DS (1h30) Semaine Cours TD TP DS ▶ 43 3h 44 v v 45 3h 3h 46 1h30 3h 47 1h30 4h30 48 1h30 1h30 3h 49 50 3h 1h30 Évaluation ▶ ▶ ▶ Contrôle continue : coeff 20% Compte rendu de TP : coeff 30% DS final : coeff 50% 3 / 130 Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) ▶ Encadrants TD ▶ ▶ ▶ ▶ Amélie LELONG, [email protected] Mathieu PARVAIX, [email protected] Cléo BARAS, [email protected] Documentation http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/GTR/mathM2/ login : n˚ groupe TD mot de passe : n˚ carte étudiant 4 / 130 Partie Introduction Objectifs du module 1. Maîtriser la notion fonctionnelle et les outils d’étude des fonctions : ▶ limites, dérivées, graphe, ... 2. Maîtriser les outils d’approximation de fonctions : ▶ équivalence, développements limités 3. Connaître les fonctions usuelles utilisées en RT et leurs propriétés : ▶ logarithmes, exponentielles, sinus cardinal Sans calculatrice... 5 / 130 Partie Introduction Pourquoi faire ce module 1. Faciliter les calculs en RT Électronique, Télécom ▶ ▶ Éviter d’être bloqué Avoir les outils/réflexes adéquates 2. Comprendre rapidement des formules complexes à partir des fonctions mathématiques simples Électronique, Télécom 3. Développer la rigueur Informatique 6 / 130 Partie Introduction Les Maths selon ... 1. Les Maths, c’est comme le ski, çà s’apprend par la pratique (Luc Alphand) 2. Les Maths, c’est savoir se poser des questions (Fred & Jami) 3. Un matin un matheux m’a dit tout est possible Que tous les rêves du monde te seront accessibles ... (Ridan) 4. ... Ecoute ce message et le dis pas à ton voisin (Pas Ridan) 7 / 130 Partie Introduction Plan du cours 1. Généralités sur les fonctions de la variable réelle 2. Limites 3. Continuité et dérivation des fonctions de la variable réelle 4. Étude de fonctions 5. Développements limités 8 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Première partie I Généralités sur les fonctions 9 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Plan : Généralités sur les fonctions Définitions Fonctions Ensembles Graphe Règles de définition Fonction paramétrée Catalogue de fonctions Fonctions "simples" Fonctions "avancées" Racines n-ièmes Fractions rationnelles Logarithmes Exponentielle Opérations sur les fonctions Exercices type 10 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Définitions Fonctions Définitions : Fonction Définition : F ONCTION Une fonction f est une relation qui relie chaque élément x d’un ensemble de départ Ef avec au plus un élément y d’un ensemble d’arrivée Af . L’élément y se note f (x). { Ef −→ Af Notation : f : x 7−→ y = f (x) Définition : I MAGE ET ANTÉCÉDENT ▶ y = f (x) est l’image de x par f ▶ x est un antécédent de y = f (x) par f { Exemple : carre : IR x −→ 7−→ IR x2 11 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Définitions Ensembles Définitions : Ensemble de définition, image Définition : E NSEMBLES ▶ DE DÉFINITION Df , IMAGE If L’ensemble de définition Df de f est le sous-ensemble de Ef constitué par les x qui ont une et une seule image par f : Df = {x ∈ Ef /f (x) existe } ▶ L’ensemble formé par les images de tous les éléments x de Df par f est appelé ensemble image If : If = {f (x) ∈ Af /x ∈ Df } { Exemple : carre : IR x −→ 7−→ IR , Dcarre = IR, Icarre = IR+ x2 12 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Définitions Graphe Définitions : Graphe géométrique Définition : G RAPHE GÉOMÉTRIQUE Le graphe géométrique 𝒢f de f est l’ensemble des points M du plan 𝒫, d’abscisse x et d’ordonnée y = f (x), tel que x ∈ Df : 𝒢f = {M(x, f (x)) ∈ 𝒫/x ∈ Df } Exemple : Cube restreint : { [−3; 3] −→ IR x 7−→ x 3 13 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Définitions Règles de définition Règle de définition et variable muette Définition : R ÈGLE DE DÉFINITION La règle de définition de f est l’expression de l’image y de x par f en fonction de x, autrement dit l’expression de f (x) Exemple : f (x) = x +2 3x 2 − 5 Remarques : ▶ Dans f (x), x est une variable muette Pour calculer l’image de n’importe quel réel toto, il suffit d’utiliser la règle de définition en remplaçant x par toto toto + 2 Exemple : f (toto) = 3toto2 − 5 ▶ 14 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Définitions Fonction paramétrée Fonction paramétrée Définition : F ONCTION PARAMÉTRÉE Une fonction f peut être définie en fonction d’un paramètre P ; sa règle de définition est alors notée fP (x). Exemple : ▶ Fonction porte ΠT (t) : Π ⎧T (x) = , si t < −T /2 ⎨ 0 1/T , si − T /2 ≤ t < T /2 ⎩ 0 , si T /2 < t 15 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Catalogue de fonctions Brainstorming ▶ Quelle fonction connaissez-vous ? 16 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "simples" Catalogue des fonctions "simples" Fonction f Expression Df If constante identité affine Monôme polynomiale Racine carrée f (x) = c f (x) = Id(x) = x f (x) = ax + b f (x) = x n f (x) = a0 + a1 x √ + ... + an x n f (x) = x 1 x 7−→ x f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) sin(x) f (x) = tan(x) = cos(x) IR IR IR IR IR IR+ IR IR IR IR IR IR+ IR∗ IR∗ IR IR [−1; 1] [−1; 1] Inverse Sinus Cosinus Tangente IR ∖ {𝜋 2 } + k 𝜋, k ∈ ZZ IR 17 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "simples" Exemples d’application ▶ En électronique : + ▶ ▶ Fonction affine : U = f (I) = −R.I + E ▶ Fonction carrée : P = f (I) = R.I 2 − U R I En télécommunications : ▶ ▶ Sinus : s(t) = e(t) sin (2𝜋ft +(√ 𝜙) ) Eb Racine carrée : TEB = 21 erfc N 0 ▶ En réseaux : ▶ Polynôme : P(x) = 1 + x 2 + x 7 18 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "avancées" Catalogue des fonctions "avancées" Rappel sur les fonctions : ▶ Racines n-ième ▶ Fractions rationnelles Logarithmes ▶ ▶ ▶ ▶ Logarithme népérien Logarithme à base 10 Exponentielles ▶ ▶ ▶ Exponentielle Monômes de puissances réelles Fonctions puissances Plus tard : ▶ Fonctions trigonométriques : Arccos, Arcsin, Arctan 19 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "avancées" Racines n-ièmes Racines n-ièmes 1 f (x) = x n = ▶ ▶ Df = IR+ si n pair Df = IR si n impair Image : ▶ ▶ ▶ x avec n ∈ IN∗ Déf. : ▶ ▶ √ n If = IR+ si n pair If = IR si n impair Prop. math. : ▶ ▶ ▶ ▶ √( √ ) √ x= n mx √ √ n m x = n (x m ) √ √ √ n (x ⋅ y ) = n x ⋅ n y √ √ √ n x/y = n x/ n y n⋅m 20 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "avancées" Fractions rationnelles Fractions rationnelles f (x) = ▶ Num(x) a0 + a1 x + ... + an x n = Denom(x) b0 + b1 x + ... + bm x m Déf. : Df = l’ensemble des réels x tel que Denom(x) ∕= 0 ▶ Image : dépendante des limites de f ▶ Pôles/Zéros 21 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "avancées" Logarithmes Logarithme népérien ou logarithme à base e f (x) = ln(x) = loge (x) ▶ Déf. : Df = IR∗+ ▶ Image : If = IR Application Réseaux Capacité maximale d’un canal ln(1 + Ps /Pb ) D=W ln(2) ▶ 22 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "avancées" Logarithmes Logarithme népérien ou logarithme à base e f (x) = ln(x) = loge (x) ▶ Prop. maths. : 1. ln(x.y ) = ln(x) + ln(y ) ( ) 1 = − ln(x) 2. ln x 3. ln (x y ) = y ln(x) 4. Attention : ln (x + y ) ∕= ln(x) + ln(y ) 22 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "avancées" Logarithmes Logarithme à base 10 f (x) = log10 (x) = ln(x) ln(10) ▶ Déf. : Df = IR∗+ ▶ Image : If = IR Application Échelle Logarithmique 01 10 Linéaire −∞ Logarithmique −∞ 100 1000 +∞ +∞ 0 1 2 3 4 Exemple : Diagramme de Bode en Électronique 23 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "avancées" Logarithmes Logarithme à base 10 f (x) = log10 (x) = ln(x) ln(10) ▶ Déf. : Df = IR∗+ ▶ Image : If = IR Application Puissance en décibel PdB = 10 log10 (P) PdB P Murmure Poids lourd 40 dB 90 dB 104 109 Ratio ≈2 ≈ 105 23 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "avancées" Exponentielle Exponentielle f (x) = exp(x) = ex ▶ Déf. : Df = IR ▶ Image : If = IR∗+ Application Electronique U I C R ( ) t U(t) = U0 exp − 𝜏 24 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "avancées" Exponentielle Exponentielle f (x) = exp(x) = ex ▶ Prop. maths. : 1. e(x+y ) = ex .ey y x 2. (ex ) = (ey ) = e(x⋅y ) 1 3. x = e−x e 4. Attention : ex + ey ∕= ex+y 24 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "avancées" Exponentielle Monômes de puissances réelles f (x) = x 𝛼 = e𝛼 ln(x) avec 𝛼 ∈ IR ▶ Déf. : Df = IR∗+ ▶ Image : If = IR∗+ ▶ Prop. maths : cf exp et ln ▶ Cas particuliers : 𝛼 = 0, 𝛼 = 1 25 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions Fonctions "avancées" Exponentielle Fonctions puissances f (x) = ax = ex ln(a) avec a ∈ IR∗+ ▶ ▶ Déf. : Df = IR Image : If = IR∗+ ▶ Prop. maths : cf exp et ln ▶ Cas particuliers : a=1 26 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions Opérations sur les fonctions (1/2) ▶ Une fonction peut être définie comme un assemblage d’autres fonctions Fonction Régle de définition Somme de f et g Opposée de f Différence de f et g Produit de f et g (f + g)(x) = f (x) + g(x) (−f )(x) = −f (x) (f − g)(x) = f (x) − g(x) (fg)(x) ( ) = f (x)g(x) 1 1 (x) = f f (x) ( ) f (x) f (x) = g g(x) (𝜆f )(x) = 𝜆f (x) Inverse de f Quotient de f et g Amplification de f par 𝜆 (𝜆 ∈ ℝ) 27 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions Opérations sur les fonctions (2/2) ▶ Fonction composée ou composition : mise en cascade de fonction Fonction Régle de définition Composée de f par g (g ∘ f )(x) = g(f (x)) Exemple : ∙ Fonction puissance x 7→ x 𝛼 = e𝛼 ln(x) , composée de f (x) = 𝛼 ln(x) avec g(x) = ex ∙ Composées de f (x) = 1 − x + x 2 et g(x) = 1/(1 + x) ▶ Remarque : quelques composées utiles : ▶ ▶ Composée de exp et ln : exp(ln(x)) ={ln(exp(x)) = x √ (x 2 ) = ∣x∣ (√ )2 Composée de racine carré et carré : x =x 28 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions Ensemble de définition (1/2) Fonction Somme f + g Opposée −f Différence f − g Produit fg 1 Inverse f f Quotient g Amplification 𝜆f (avec 𝜆 ∈ IR) Composition g ∘ f Ensemble de définition Df +g = Df ∩ Dg D−f = Df Df +g = Df ∩ Dg Dfg = Df ∩ Dg D1/f = {x ∈ Df /f (x) ∕= 0} Df /g = {x ∈ Df ∩ Dg /g(x) ∕= 0} Dg∘f D𝜆f = Df = {x ∈ Df /f (x) ∈ Dg } 29 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions Ensemble de définition (2/2) Remarque Avant d’utiliser toutes fonctions, il faut toujours déterminer son ensemble de définition Exemple : DS 2007 ; ou comment éviter des calculs inutiles : résoudre ln(x + 2) + ln(x + 3) = ln(−x − 11) 30 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Exercices type Exercices type (1/3) ▶ Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction x −2 3x 2 − 2x + 1 √ 1 ∙ g(x) = x 2 − 3x + 2 + x ∙ f (x) = Méthodologie 1. Identifier les fonctions usuelles présentes dans la règle de définition et indiquer leur domaine de définition d’après la table 2. Identifier le (ou les) assemblage(s) des fonctions identifiées et leur ordonnancement pour la construction de la fonction 3. Appliquer les règles d’assemblage en fonction des assemblages identifiés et dans leur ordre 31 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Exercices type Exercices type (2/3) ▶ Tracer un graphe géométrique "simple" : ▶ Graphe de Π3T (t − 3T ) où T ∈ ℝ∗+ Méthodologie 1. Identifier la fonction usuelle dont découle la fonction demandée, donner son expression et tracer rapidement son graphe 2. Déduire de la fonction usuelle celui de la fonction demandée 32 / 130 Partie Généralités sur les fonctions Exercices type Exercices type (3/3) ▶ Résolution d’équation : x ▶ Résoudre x x = x x 2 Méthodologie/Astuce 1. Identifier les fonctions usuelles 2. Utiliser leur propriété mathématique pour simplifier l’écriture 3. Isoler l’inconnue à gauche et les constantes à droite dès que l’équation le permet 33 / 130 Partie Limites Deuxième partie II Limites 34 / 130 Partie Limites Plan Définitions Limite finie en un point Limite infinie en un point Limite finie en l’infini Limite infinie en l’infini Calcul de limites Fonctions usuelles Opérations sur les limites Équivalence Exercices type Croissance comparée 35 / 130 Partie Limites Notions de limites Exemple : La fonction inverse : f (x) = 1 x Table de valeurs x f (x) 1 1 0.1 10 0.01 100 0.001 103 ... ... 1.10−6 106 ▶ ▶ Lorsque x → 0 (par valeurs supérieures), f (x) croit indéfiniment lim f (x) = +∞ x→0+ 36 / 130 Partie Limites Notions de limites Exemple : La fonction inverse : f (x) = 1 x Table de valeurs x f (x) 1 1 10 0.1 100 0.01 1000 0.001 ... ... 106 10−6 ▶ ▶ Plus x augmente, et plus f (x) se rapproche de 0 lim f (x) = 0+ x→+∞ 36 / 130 Partie Limites Définitions Limites ▶ Etude du comportement local (en un point a ∈ IR) ou du comportement asymptotique (en +∞, en −∞) d’une fonction f lim f (x) = Limite L d’étude a x→Point ▶ f (x) −→ L x→a Point d’étude ▶ ▶ ▶ ou Comportement local : on fait tendre x → a, x → a+ (si x > a) 1 , x → a− par (si x < a) 2 Comportements asymptotiques : on fait tendre x → +∞, x → −∞ Limite ▶ ▶ finie : L ∈ IR, L+ (si f (x) > L), L− (si f (x) < L) infinie : +∞, −∞ 1. valeurs supérieures 2. valeurs inférieures 37 / 130 Partie Limites Définitions Limite finie en un point Limite finie en un point a Limite finie L ∈ IR en a ∈ IR lim f (x) = lim f = L x→a a Exemple : Sinus cardinal sinc (x) = sin(x) −→ 0 x→0 x Application : Télécom → conversion numérique analogique 38 / 130 Partie Limites Définitions Limite infinie en un point Limite infinie en un point a Limite +∞ en un point a ∈ IR lim f (x) = lim f = +∞ x→a a Exemple : f (x) = 1 −→ +∞ ∣x∣ x→0 39 / 130 Partie Limites Définitions Limite infinie en un point Limite infinie en un point a (2/2) Limite −∞ en un point a ∈ IR lim f (x) = lim f = −∞ x→a a Exemple : f (x) = tan(x) −→ + x→(− 𝜋2 ) −∞ 40 / 130 Partie Limites Définitions Limite finie en l’infini Limite finie en l’infini Limite finie L ∈ IR en +∞ lim f (x) = lim f = L x→+∞ +∞ Exemple : f (x) = 1 −→ 0+ x x→+∞ Remarque : Idem pour une limite finie en −∞ 41 / 130 Partie Limites Définitions Limite infinie en l’infini Limite infinie en l’infini Limite +∞ en +∞ lim f (x) = lim f = +∞ x→+∞ +∞ Exemple : f (x) = ∣x∣ −→ +∞ x→+∞ Remarque : Idem pour une limite en −∞ et pour une limite −∞ 42 / 130 Partie Limites Calcul de limites Fonctions usuelles Limites des fonctions usuelles Fonction f (x) Constante Puissance c x n (n ∈ IN∗ ) Racine carrée Inverse Log népérien Exponentielle Sin Cos Tan √ x 1 x ln(x) ex sin(x) cos(x) tan(x) Limite en −∞ Limite en +∞ Limite en 0 c +∞ si n pair −∞ si n impair n.d. 3 c +∞ c 0 +∞ 0+ 0 0 n.d. 0 p.d.l. 4 p.d.l. p.d.l. +∞ +∞ p.d.l. p.d.l. p.d.l. +∞ si x → 0+ −∞ si x → 0− −∞ pour x → 0+ 1 0 1 0 3. non défini 4. pas de limite 43 / 130 Partie Limites Calcul de limites Opérations sur les limites Opérations algébriques sur les limites f g Somme f+g Produit f×g Quotient f/g L L′ L + L′ LL′ L/L′ si L, L′ ∕= 0 ∞ si L ∕= 0 et L′ = 0 FI si L = L′ = 0 ∞ L′ ∞ ∞ L +∞ ∞ ∞ si L′ ∕= 0 FI si L′ = 0 ∞ si L ∕= 0 FI si L = 0 +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ FI FI +∞ +∞ −∞ −∞ FI FI FI FI 0 où ∙ ∞ : l’infini dont le signe dépendant du signe des limites de f et g ∙ FI = Forme Indéterminée 44 / 130 Partie Limites Calcul de limites Opérations sur les limites Exercices type ▶ Calculer les limites suivantes : ▶ lim x 3 ln(x) x→+∞ ▶ ▶ e−x x→+∞ x tan(x) lim x→0 2 + 1 x lim Méthodologie 1. Identifier les fonctions usuelles et donner leurs limites 2. Identifier le (ou les) assemblages de fonctions usuelles et l’ordre d’assemblage puis calculer la limite de proche en proche en utilisant les règles sur les limites 3. En cas de forme indéterminée : ▶ ▶ Quelques astuces (cf TD) Utiliser des outils plus puissants, comme l’équivalence ou les développements limités 45 / 130 Partie Limites Calcul de limites Opérations sur les limites Relations d’ordre T HÉORÈME : Relations d’ordre Pour deux fonctions f et g, ▶ Si g(x) ≤ f (x) avec lim g(x) = +∞, alors lim f (x) = +∞ ▶ Si f (x) ≤ g(x) avec lim g(x) = −∞, alors lim f (x) = −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ Remarque : Idem lorsque x → −∞ T HÉORÈME du gendarme Étant donnée trois fonctions f , g et h telles que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x). Alors si lim g = lim h (en un point comme en l’infini), lim g = lim f = lim h. Remarque : Théorèmes très utiles pour les limites incluant des fonctions trigonométriques 46 / 130 Partie Limites Calcul de limites Opérations sur les limites Exercices Type ▶ Calcul de limite ∙ Calcul de lim (2 + cos(x)) x 3 x→+∞ ∙ Calcul de lim x→+∞ sin(x) x2 Méthodologie 1. Encadrer la fonction (au voisinage du point où la limite est recherchée) par des fonctions plus simples dont on connaît la limite 2. Utiliser le théorème d’encadrement (du gendarme) 47 / 130 Partie Limites Calcul de limites Équivalence Équivalence D ÉFINITION f et g sont équivalentes au voisinage de a (∈ IR, ±∞) SSI f (x) = g(x) (1 + 𝜖(x)) avec lim 𝜖(x) = 0 x→a Notation : f ∼ g ou f (x) ∼ g(x) a x→a Exemple : tan(x) ∼ x x→0 Remarque : Comportement identique des équivalents au voisinage du point d’équivalence 48 / 130 Partie Limites Calcul de limites Équivalence Équivalence et limites Deux fonctions équivalentes en un point ont une même limite en ce point ! Théorème Si f ∼ g (avec a ∈ IR ou a = ±∞) alors lim f (x) = lim g(x) a x→a Exemple : Calcul de lim x→0 x→a tan(x) x 49 / 130 Partie Limites Calcul de limites Équivalence Équivalences usuelles (1/3) Quand x est au voisinage de 0 : (1 + x)𝛼 ∼ 1 + 𝛼x x→0 (1 − x)𝛼 ∼ 1 − 𝛼x (avec 𝛼 ∈ IR+∗ ) x→0 1 ∼ 1 + 𝛼x (1 − x)𝛼 x→0 1 ∼ 1 − 𝛼x (1 + x)𝛼 x→0 ln(1 + x) ∼ x (avec 𝛼 ∈ IR+∗ ) x→0 ln(1 − x) ∼ −x x→0 sin(x) ∼ x x→0 cos(x) ∼ 1 x→0 tan(x) ∼ x x→0 50 / 130 Partie Limites Calcul de limites Équivalence Équivalences usuelles (2/3) T HÉORÈME : Equivalent d’un polynôme Un polynôme de degré n, P(x) = an x n + ... + a1 x + a0 , admet pour équivalent : ▶ ▶ en ±∞ : le monôme de plus haut degré muni de son coefficient. en 0 : le monôme de plus petit degré muni de son coefficient non nul. Exemple : ∙ P(x) = 3x 4 − 2x = 3x 4 + 0x 3 + 0x 2 − 2x 1 + 0 ▶ ▶ ▶ P(x) P(x) ∼ 3x 4 ∼ 3x 4 x→+∞ x→−∞ P(x) ∼ −2x 1 x→0 51 / 130 Partie Limites Calcul de limites Équivalence Équivalences usuelles (3/3) T HÉORÈME : Equivalent d’une fraction rationnelle P(x) où Q(x) P(x) = an x n + ... + a1 x + a0 de degré n et Q(x) = bm x m + ... + b1 x + b0 de degré m admet pour équivalent (en ±∞ comme en 0) le quotient des équivalents de P(x) et Q(x). Une fraction rationnelle de type F (x) = Exemple : ▶ F (x) = ▶ ▶ ▶ P(x) 3x 4 − 2x 3x 4 + 0x 3 + 0x 2 − 2x 1 + 0 = = 3 2 Q(x) 6x + 4x + 1 6x 3 + 4x 2 + 0x + 1 3x 4 x→+∞ 6x 3 3x 4 F (x) ∼ x→−∞ 6x 3 −2x F (x) ∼ x→0 1 F (x) ∼ 52 / 130 Partie Limites Calcul de limites Équivalence Exercices type Exercices Type ▶ Calcul de limites ln(1 + x) x2 x2 − 1 ∙ Calcul de lim 1 + x→+∞ 2x 2 + 1 1/2 1−x ∙ Calcul de lim x→1 (1 − x)3 ∙ Calcul de lim x→0 Méthodologie ▶ Identifier la ou les fonctions usuelles, leurs limites, et tester les méthodes classiques de calcul de limite. ▶ Si polynôme ou fraction rationnelle en ±∞, utiliser l’équivalent ▶ Sinon, faire un changement de variable pour se ramener en 0, puis utiliser les équivalents en 0 53 / 130 Partie Limites Calcul de limites Croissance comparée Croissance comparée de log, exp et puissance Règles de croissance comparée ln(x) ex = 0 et lim = +∞ (avec 𝛼 ∈ IR∗+ ) x7−→+∞ x 𝛼 x7−→+∞ x 𝛼 lim «ln croit moins vite que les puissances, qui croissent moins vite que l’expo vers +∞» Notation : ln << x 𝛼 << ex Exemple : lim ln(x) x→+∞ ex 1 x2 54 / 130 Partie Continuité Troisième partie III Continuité 55 / 130 Partie Continuité Plan Continuité en un point Définitions Discontinuités Prolongement par continuité Ensemble de continuité 56 / 130 Partie Continuité Notion de continuité ▶ Continuité ▶ ▶ ▶ ≡ "Tracé de la courbe sans lever le stylo" ∕= "Rupture dans le tracé de la courbe" Applications ▶ ▶ Pas d’applications directes Utile pour plusieurs théorèmes importants (existence d’une réciproque) 57 / 130 Partie Continuité Continuité en un point Définitions Continuité en un point D ÉFINITION ▶ f est continue en un point x0 de Df SSI lim f (x) = f (x0 ). ▶ f est continue à droite de x0 de Df SSI lim+ f (x) = f (x0 ). x→x0 x→x0 ▶ f est continue à gauche de x0 de Df SSI lim− f (x) = f (x0 ). x→x0 58 / 130 Partie Continuité Continuité en un point Discontinuités Exemples de discontinuité (1/2) ▶ f définie en x0 mais lim f (x) ∕= f (x0 ) x→x0 3 Exemple : Échelon unité (ou Fonction de Heaviside) 2 { 1 0 −3 −2 −1 U(x) = 0 1 2 −1 −2 1 0 si x ≥ 0 sinon 3 ▶ non continue en 0 ▶ continue à droite de 0 −3 F IGURE: Echelon unité Application Electronique : Caractérisation de filtre 59 / 130 Partie Continuité Continuité en un point Discontinuités Exemples de discontinuité (2/2) ▶ f définie en x0 mais lim f (x) ∕= f (x0 ) x→x0 3 Exemple : Fonction signe 2 1 0 −3 −2 −1 0 1 2 −1 −2 −3 3 ⎧ ⎨ 1 0 sign(x) = ⎩ −1 ▶ si x > 0 si x = 0 si x < 0 non continue en 0, ni à droite, ni à gauche Application Télécoms : Décision binaire F IGURE: Fonction signe 60 / 130 Partie Continuité Continuité en un point Prolongement par continuité Prolongement par continuité ▶ f non définie en x0 mais lim+ f (x) = lim− f (x) = l ∈ IR x→x0 x→x0 Exemple : Sinus cardinal 1 sinc (x) = { 0 0 −1 −1 F IGURE: Sinus cardinal 1 sin(x) x 1 si x ∕= 0 si x = 0 sin(x) x ▶ non continue en 0 (car non définie) ▶ sinc (x) continue en 0, comme prolongement de sin(x) par x continuité en 0 61 / 130 Partie Continuité Ensemble de continuité Ensemble de continuité D ÉFINITION L’ensemble de continuité Cf de la fonction f (x) est l’ensemble des x de Df en lesquels f est continue Remarques : en général, Cf = Df ▶ Les fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine carré, fraction rationnelle, sin, cos, tan, ln, expo) sont continues sur leur ensemble de définition ▶ L’ensemble de continuité de tout assemblage de fonctions usuelles se détermine suivant les mêmes règles que l’ensemble de définition 62 / 130 Partie Continuité Ensemble de continuité Exercices type ▶ Donner les ensembles de continuité des fonctions suivantes : ∙ f : x{7→ ln(x)e−x x 7→ 1/x ∙ g: x 7→ 2 − x , si x < 1 , si x ≥ 1 Méthodologie 1. Si f a une règle de définition unique en fct. de x, ▶ ▶ identifier les fonctions usuelles dans f et leurs ensembles de continuité identifier l’assemblage de fonctions usuelles et appliquer les règles d’opération sur les fonctions 2. Si f a plusieurs règles de déf. (en fct. de la valeur de x) ▶ ▶ Analyser la continuité de chaque règle de définition séparément (cf. cas n˚1) Étudier les limites de f à gauche et à droite des points de césure 63 / 130 Partie Dérivabilité Quatrième partie IV Dérivabilité 64 / 130 Partie Dérivabilité Plan Dérivabilité Dérivabilité en un point Non-dérivabilité Dérivée Ensemble de dérivabilité et Dérivée Dérivées usuelles Opérations sur les fonctions Application : Sens de variation Application : Extrêma Dérivées à l’ordre n Différentielles Différentielle en un point Définitions Changement de variable 65 / 130 Partie Dérivabilité Dérivabilité Dérivabilité en un point Dérivabilité en un point D ÉFINITIONS ▶ Taux de variation de f entre les points x et a de Df : Tf (x, a) = f (x) − f (a) x −a ▶ f est dérivable en a SSI lim Tf (x, a) existe et vaut A ∈ IR. ▶ Nombre dérivé de f en a : x→a A = f ′ (a) 66 / 130 Partie Dérivabilité Dérivabilité Dérivabilité en un point Interprétation géométrique ▶ Taux de variation Tf (x, a) = pente de la droite orientée reliant M(x, f (x)) et M(a, f (a)) ▶ Dérivée f ′ (a) = pente de la tangente à la courbe Gf en M(a, f (a)) ▶ Equation de la tangente à Gf en M(a, f (a)) : y = f ′ (a) (x − a) − f (a) F IGURE: Sécante et Tangente 67 / 130 Partie Dérivabilité Dérivabilité Non-dérivabilité Exemples de non dérivabilité (1/2) ▶ f non dérivable ni continue Exemple : Partie supérieure (ceil) ⌈x⌉ = l’entier directement supérieur ou égal à x Application RT : Calcul des notes de DS F IGURE: Partie supérieure 68 / 130 Partie Dérivabilité Dérivabilité Non-dérivabilité Exemples de non dérivabilité (2/2) ▶ f non dérivable mais continue Exemple : f (x) = 1/3 ∗ ∣x∣ + x 2 Remarques : ▶ x → ∣x∣ non dérivable en 0 ▶ Non-dérivabilité ≡ Cassure/Inflexion dans le graphe de la fonction 69 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Ensemble de dérivabilité et Dérivée Ensemble de dérivabilité D ÉFINITION : Ensemble de dérivabilité L’ensemble de dérivabilité Bf de f (x) est l’ensemble des x de Df en lesquels f est dérivable Remarques ▶ ▶ ▶ Si f est dérivable en x = a alors f est continue en x = a (Bf ⊂ Cf ) f est dérivable sur l’intervalle I si f est dérivable en tout point x = a de I Avant de calculer une dérivée, il faut déterminer l’ensemble de dérivabilité 70 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Ensemble de dérivabilité et Dérivée Dérivée D ÉFINITION : Dérivée La fonction dérivée de f , notée f ′ , est la fonction définie par : { Bf → IR ′ f : x 7→ f ′ (x) Calcul de dérivée ▶ A partir de fonctions usuelles ▶ En utilisant les règles de calcul de la dérivée sur un assemblage de fonction 71 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Ensemble de dérivabilité et Dérivée Dérivées usuelles Fonctions dérivables usuelles Fonction f Bf Dérivée Constante f (x) = k (avec k ∈ IR) Monôme f (x) = x n (avec n ∈ IN∗ ) Puissance f (x) = x 𝛼 (𝛼 ∈ R) √ Racine carrée f (x) = x IR IR IR∗ + Racine n-ième (avec n ∈ IN∗ ) IR∗ + si n pair f ′ (x) = 0 ′ (n−1) f (x) = nx ′ (𝛼−1) f (x) = 𝛼x 1 1 ′ f (x) = √ 2 x 1 ( 1 −1) ′ f (x) = x n n 1 ′ f (x) = − 2 x n ′ f (x) = − n+1 x 1 ′ f (x) = x ′ f (x) = exp(x) f ′ (x) = − sin(x) f ′ (x) = cos(x) 1 ′ 2 f (x) = = 1 + tan (x) cos2 (x) Inverse f (x) = f (x) = 1 xn IR∗ + 1 x ℝ∗ ℝ∗ Logarithme népérien f (x) = ln(x) IR∗ + Exponentielle f (x) = exp(x) Cosinus f (x) = cos(x) Sinus f (x) = sin(x) IR IR IR { Tangente f (x) = tan(x) IR ∖ 𝜋 + k 𝜋/k ∈ ZZ 2 } 72 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Ensemble de dérivabilité et Dérivée Opérations sur les fonctions Opérations sur les fonctions (1/2) Si f et g sont définies et dérivables au point x, alors les fonctions suivantes sont dérivables au point x : ▶ Fonction Dérivée Somme f + g Opposée −f Différence f − g Produit fg Amplification 𝜆f (𝜆 ∈ ℝ) 1 Inverse f f Quotient g (f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x) (−f )′ (x) = −f ′ (x) (f − g)′ (x) = f ′ (x) − g ′ (x) (fg)′ (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x) (𝜆f )′ (x) = 𝜆f ′ (x) ( )′ f ′ (x) 1 (x) = − 2 (si f (x) ∕= 0) f (x) ( f)′ ′ f (x)g(x) − f (x)g ′ (x) f (x) = g g 2 (x) si g(x) ∕= 0 Même règles pour déterminer l’ensemble de dérivabilité d’un assemblage de fonction que pour l’ensemble de définition 73 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Ensemble de dérivabilité et Dérivée Opérations sur les fonctions Opérations sur les fonctions (2/2) Théorème Si f est définie et dérivable au point x, et g une fonction définie et dérivable en f (x) alors g ∘ f est dérivable au point x et : ▶ Fonction Dérivée Composition g ∘ f (g ∘ f )′ (x) = f ′ (x)g ′ (f (x)) Même règles pour déterminer l’ensemble de dérivabilité d’un assemblage de fonction que pour l’ensemble de définition 74 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Ensemble de dérivabilité et Dérivée Opérations sur les fonctions Exercices type ▶ Ensemble de dérivabilité et calcul de dérivée 1 x2 + 3 2 (1 − x ) ∙ f (x) = ln 1 − xe−x ∙ f (x) = Méthodologie ▶ Identifier les fonctions usuelles et leur ensemble de dérivabilité ▶ Identifier le (ou les) assemblages de fonctions usuelles et utiliser les règles correspondantes 75 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Application : Sens de variation Sens de variation D ÉFINITION : Sens de variation Étant donné deux réels qcqs, x1 et x2 , d’un intervalle I, f est : ▶ ▶ croissante sur I SSI Tf (x1 , x2 ) ≥ 0 strict. a croissante sur I SSI Tf (x1 , x2 ) > 0 a. strictement Exemple : Dent de scie Application Electronique 76 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Application : Sens de variation Sens de variation D ÉFINITION : Sens de variation Étant donné deux réels qcqs, x1 et x2 , d’un intervalle I, f est : ▶ ▶ décroissante sur I SSI Tf (x1 , x2 ) ≤ 0 strict. décroissante sur I SSI Tf (x1 , x2 ) < 0 Exemple : Dent de scie Application Electronique 76 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Application : Sens de variation Formule des accroissements finis T HÉORÈME : Formule des accroissements finis Soit f une fonction continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[. Il existe au moins un réel c ∈]a; b[ tel que : Tf (b, a) = f (b) − f (a) = f ′ (c) b−a Conséquences : ∙ Sens de variation d’une fonction dépendant du signe de la dérivée ∙ Extrêma de la fonction aux points d’annulation et de changement de signe de la dérivée 77 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Application : Sens de variation Dérivée et sens de variation T HÉORÈME : Sens de variation Une fonction f dérivable sur I est : ▶ croissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′ (x) ≥ 0 ▶ strict. croissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′ (x) > 0 ▶ décroissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′ (x) ≤ 0 ▶ strct. décroissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′ (x) < 0 Etude du sens de variation de f ▶ Tableau de variation : ensemble de variation de x (Bf ), signe de la dérivée f ′ (x), variation de f (x) 78 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Application : Sens de variation Exercices type ▶ Déterminer le sens de variation d’une fonction ▶ ▶ f (x) = 2x − 1 − ln(x) 1 g(x) = 300(x − 6)e− 4 x M ÉTHODOLOGIE ▶ ▶ ▶ Déterminer l’ensemble de dérivabilité de f Calculer sa dérivée f ′ et étudier son signe en fonction de x Tracer le tableau de variation, en déduisant le sens de variation du signe de la dérivée 79 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Application : Extrêma Extrêma (1/2) D ÉFINITION Pour un intervalle I, f admet : ▶ ▶ un minimum m sur I SSI ∀x ∈ I, f (x) ≥ m un maximum M sur I SSI ∀x ∈ I, f (x) ≤ M Remarques : ▶ Si I = Df , l’extrêmum est absolu, ▶ Sinon, il est local. Exemple : f (x) = e−x ( 21 + x 3 ) 80 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Application : Extrêma Extrêma (2/2) T HÉORÈME ▶ Une fonction f , dérivable au voisinage d’un point a, admet un extrêma au voisinage de a si sa dérivée f ′ s’annule en a et change de signe au voisinage de a. ▶ La nature de l’extrêma dépend des sens de variation Application Optimisation d’un critère de performance : ▶ ▶ Gain des révisions de math en fonction du temps : P(t) = 3t − 0.1t 3 Quel est le temps de révision optimal ? "Toute ressemblance avec des situations réelles ou ayant existées serait fortuite" 81 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Dérivées à l’ordre n Dérivées à l’ordre n Remarques : ▶ Si f est dérivable sur B et si sa dérivée f ′ est elle-même dérivable sur B de dérivée (f ′ )′ , on dit que f est dérivable à l’ordre 2 et (f ′ )′ est la dérivée seconde/deuxième. On la note f ′′ ou f (2) . ▶ En généralisant n fois ... D ÉFINITION : Dérivabilité à l’ordre n (n ∈ ℕ∗) Une fonction f est dérivable à l’ordre n sur B si tous ses dérivées d’ordre < n existent et sont dérivables sur B. La dérivée à l’ordre n de f est alors : n fois z }| ) { ( ( )′ ′ ′ ′ (n) f (x) = ... (f ) ... (x) (1) 82 / 130 Partie Dérivabilité Dérivée Dérivées à l’ordre n Applications : Convexité et concavité T HÉORÈME (Pas dans le poly !) Si f est dérivable à l’ordre 2 sur B, et : ▶ si ∀x ∈ B, f ′′ (x) ≥ 0, alors f est convexe ▶ si ∀x ∈ B, f ′′ (x) ≤ 0, alors f est concave ▶ Si f est convexe (resp. concave), f est toujours au-dessus (resp. au-dessous) de ses tangentes 83 / 130 Partie Dérivabilité Différentielles Différentielle en un point Différentielle en un point a ▶ Autre écriture de la dérivée D ÉFINITION Différentielle de f en a : df = f ′ (a)dx ▶ dx = x − a : variation autour de a a ▶ df : variation de la tangente à Gf en a autour de f (a) a. Le même que pour le calcul d’intégrales 84 / 130 Partie Dérivabilité Différentielles Différentielle en un point Différentielle en un point a Lien avec la physique ▶ En physique, étude des "petites variations" d’une fonction f autour du point d’équilibre (a, f (a)) Exemple : Le pendule de longueur l0 √ et de période : T0 (l0 ) = 2𝜋 l0 /g ∙ f (a + 𝛿x) = f (a) + 𝛿f ∙ 𝛿x = x − a : petite variation de x ∙ 𝛿f = f (x) − f (a) = Tf (x, a)𝛿x : petite variation de f autour de a 85 / 130 Partie Dérivabilité Différentielles Différentielle en un point Différentielle en un point a Lien avec la physique ▶ En physique, étude des "petites variations" d’une fonction f autour du point d’équilibre (a, f (a)) Exemple : Le pendule de longueur l0 √ et de période : T0 (l0 ) = 2𝜋 l0 /g Si 𝛿x ≈ 0 ∙ 𝛿x → dx ∙ Tf (x, a) → f ′ (a) ∙ 𝛿f → df 85 / 130 Partie Dérivabilité Différentielles Définitions Définitions Définitions ▶ ▶ Différentielle de f : df : x 7→ f ′ (x)dx df Différentielle logarithmique de f : : x 7→ d(ln(∣f ∣)) f Conséquences : ▶ Toutes les différentielles (de fonctions usuelles et résultants d’opérations sur les fonctions) se déduisent des dérivées, puisque (si x ∈ Bf ) : df f ′ (x) = dx ▶ ▶ Attention à ne pas oublier le dx ! ! 86 / 130 Partie Dérivabilité Différentielles Définitions Opérations sur les fonctions Fonction Somme f + g Opposée −f Différence f − g Produit fg Amplification 𝜆f (𝜆 ∈ IR) Inverse Quotient 1 f f g ln(f ) exp(f ) f n (avec n ∈ IN∗ ) Différentielle d[f + g] = df + dg d[−f ] = −df d[f − g] = df − dg d[fg] = df ⋅ g + f ⋅ dg d[𝜆f [ ]] = 𝜆df df 1 =− 2 d f [ ] f df ⋅ g − f ⋅ dg f d = g g2 df d [ln(f )] = f d [exp(f )] = exp(f )df d [f n ] = nf n−1 df 87 / 130 Partie Dérivabilité Différentielles Définitions Exercices type Exemple : Calcul de la différentielle : ∙ f (x) = ln(x) ∙ g(x) = ex (1 + x 2 ) 88 / 130 Partie Dérivabilité Différentielles Changement de variable Changement de variable Le petit + des différentielles P ROPRIÉTÉ : Changement de variable Soit f une fonction de la variable x avec x, elle-même, une fonction de la variable t : t 7→ x(t) 7→ f (x) = f (x(t)). Alors df dx df = ⋅ ⇐⇒ df = f ′ (x) ⋅ x ′ (t) ⋅ dt dt dx dt ▶ Calcul de la différentielle d’une composée beaucoup simple que celui de la dérivée ▶ df /dx s’interprète comme un quotient Exemple : f (x) = sin(𝜔x + 𝜙) et x(t) = 2t t −1 89 / 130 Partie Dérivabilité Différentielles Changement de variable Différentielle à l’ordre n D ÉFINITION : Différentielle à l’ordre n De la même façon qu’une fonction f de la variable x est dérivable à l’ordre n, on peut calculer la différentielle à l’ordre n de f , notée d n f , en fonction de la différentielle à l’ordre n de x, notée dx n . Elles sont données par : d nf f (n) (x) = (2) dx n ▶ Attention ! d n f n’est pas une puissance de n 90 / 130 Partie Etude de fonctions Cinquième partie V Etude de fonctions 91 / 130 Partie Etude de fonctions Plan Etude de fonctions : comment tracer le graphe d’une fonction SANS calculatrice Techniques d’étude de fonctions Méthodologie Ensemble d’étude Symétrie graphique Sens de variation Branches asymptotiques Transformations géométriques Quelques fonctions usuelles Bijection Fonctions réciproques Propriétés Sinus/Arcsin Cosinus/Arccos Tangente/Arctan 92 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Méthodologie Méthodologie 1. Déterminer l’ensemble d’étude 2. Déterminer le sens de variation 3. Etudier les branches asymptotiques 4. Tracer le graphe Exemples : ▶ ▶ cos(x) x x2 + x − 2 g(x) = x −2 f (x) = 93 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Ensemble d’étude Ensemble d’étude D ÉFINITION L’ensemble d’étude d’une fonction f , noté Ef , est l’ensemble des réels x en lesquels il convient d’étudier la fonction. ▶ Ef est un sous-ensemble de l’ensemble de définition Df ▶ Ef peut être réduit grace aux symétries graphiques de f 94 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Ensemble d’étude Symétrie graphique Parité D ÉFINITION Une fonction f est paire SSI pour tout x ∈ Df : ▶ ▶ −x ∈ Df f (−x) = f (x) Conséquences ▶ Graphe symétrique par rapport à l’axe (0y ) ▶ Ef = {x ∈ Df /x ≥ 0} Exemple : f (x) = x 2 95 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Ensemble d’étude Symétrie graphique Impaire D ÉFINITION Une fonction f est impaire SSI pour tout x ∈ Df : ▶ ▶ −x ∈ Df f (−x) = −f (x) Conséquences ▶ Graphe symétrique par rapport au point 0 ▶ Ef = {x ∈ Df /x ≥ 0} Exemple : f (x) = x 3 96 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Ensemble d’étude Symétrie graphique t-Périodicité et Période T D ÉFINITIONS ∙ f est t-périodique SSI il existe t ∈ IR tel que pour tout x ∈ Df : ▶ ▶ x + t ∈ Df f (x + t) = f (x) ∙ La période T de f est le plus petit réel positif non nul tel que l’équation précédente est satisfaite Exemple : cos(x) : périodique de période 2𝜋, 2𝜋-périodique, 4𝜋-périodique, ..., 26𝜋-périodique, ... 97 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Ensemble d’étude Symétrie graphique t-Périodicité et Période T Conséquences ▶ Motifs dans le graphe, se répétant périodiquement ▶ Ef = tout intervalle de longueur la période T Exemple : cos(x) : périodique de période 2𝜋, 2𝜋-périodique, 4𝜋-périodique, ..., 26𝜋-périodique, ... 97 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Sens de variation Sens de variation ▶ Méthodologie : 1. 2. 3. 4. ▶ Calcul de l’ensemble de dérivation Calcul de la dérivée Analyse du signe de la dérivée Tracer du tableau de variation Informations supplémentaires : Points caractéristiques + Limites −∞ x f 0 (x) 3 − +∞ + f (x) Exemple : f (x) = x 2 − 6x + 1 98 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Sens de variation Sens de variation ▶ Méthodologie : 1. 2. 3. 4. ▶ Calcul de l’ensemble de dérivation Calcul de la dérivée Analyse du signe de la dérivée Tracer du tableau de variation Informations supplémentaires : Points caractéristiques + Limites −∞ x f 0 (x) f (x) 3 +∞ − + +∞ +∞ −8 Exemple : f (x) = x 2 − 6x + 1 98 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Branches asymptotiques Asymptotes et branches paraboliques (1/2) Objectifs ▶ ▶ Evaluer "comment" une fonction tend vers +∞ Direction dominante ? ▶ ▶ ▶ (0x), (0y ) de la forme y = ax + b de la forme y = ax 2 99 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Branches asymptotiques Asymptotes et branches paraboliques (2/2) Méthodologie : lim f (x ) lim f (x) x →a ∞ Asymptote verticale x =a x→∞ ∞ l lim Asymptote horizontale y =l x→∞ a ∕= 0 lim f (x) − ax x→∞ b Asymptote oblique y = ax + b ∞ f (x) x 0 Branche parabolique de direction (0x) ∞ Branche parabolique de direction (0y) Branche parabolique de direction y = ax 100 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Branches asymptotiques Tracé du graphe Y a plus qu’à... 101 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Transformations géométriques Quelques transformations géométriques Translation − → Définition :Translation u (a, b) → − g est la translatée de f par le vecteur u (a, b) ssi : g(x) = f (x − a) + b M(x, y ) ∈ 𝒢f ⇐⇒ M(x + a, y + b) ∈ 𝒢g (3) 102 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Transformations géométriques Quelques transformations géométriques Symétrie centrale Définition : Symétrie centrale Ω(a, b) g est la symétrie centrale de centre Ω(a, b) de la fonction f ssi g(x) = −f (−x + 2a) + 2b M(x, y ) ∈ 𝒢f ⇐⇒ M(−x + 2a, −y + 2b) ∈ 𝒢g (4) 103 / 130 Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions Transformations géométriques Transformation géométrique Homothétie Définition : Homothétie de rapport k dans la direction (Ox) g est l’homothétie de f de rapport k dans la direction (Ox) ssi : g(x) = f (kx) M(x, y ) ∈ 𝒢f ⇐⇒ M(kx, y ) ∈ 𝒢g (5) 104 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Bijection Notion d’injection, de surjection, de bijection ▶ Injection : f est injective SSI les images de 2 éléments différents de Df sont différentes f x y C. BARAS Maths C. SICLET Prog C R. CHOLLET Y. DELNONDEDIEU Reseaux Unix 105 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Bijection Notion d’injection, de surjection, de bijection ▶ Injection : f est injective SSI les images de 2 éléments différents de Df sont différentes ▶ Surjection : g est surjective SSI tout élément de Ag possède au moins un antécédent par g (dans Dg ) f x y C. BARAS Maths C. SICLET Prog C R. CHOLLET Y. DELNONDEDIEU Reseaux Unix 105 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Bijection Notion d’injection, de surjection, de bijection ▶ Injection : f est injective SSI les images de 2 éléments différents de Df sont différentes ▶ Surjection : g est surjective SSI tout élément de Ag possède au moins un antécédent par g (dans Dg ) ▶ Bijection : h est bijective SSI tout élément de Ah possède un unique antécédent par h h x y C. BARAS Maths C. SICLET Prog C R. CHOLLET Y. DELNONDEDIEU Reseaux Unix 105 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Bijection Notion de réciproque ▶ La fonction réciproque de f est la fonction inverse f −1 de f h x y C. BARAS Maths C. SICLET Prog C R. CHOLLET Y. DELNONDEDIEU Reseaux Unix $h^{−1}$ x y C. BARAS Maths C. SICLET Prog C R. CHOLLET Y. DELNONDEDIEU Reseaux Unix 106 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Bijection Bijection D ÉFINITION : Bijection Une fonction f est une bijection (ou est bijective) de l’intervalle I ⊂ Df vers l’intervalle J ⊂ Af SSI : ▶ ▶ pour tout y ∈ J, l’eq. y = f (x) admet une unique solution x. ∀x ∈ I, ∃!y ∈ J tel que y = f (x) T HÉOREME : CNS d’existence Si f est continue et strict. monotone sur I = [a, b], alors f est une bijection de I vers l’intervalle J. ▶ Si f est strict. croissante, J = f ([a, b]) = [f (a), f (b)]. ▶ Si f est strict. décroissante, J = f ([a, b]) = [f (b), f (a)]. 107 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Fonctions réciproques Fonction réciproque D ÉFINITION : Fonction réciproque g est la fonction réciproque (ou inverse) d’une fonction bijective f de I vers J = f (I) SSI : ▶ g est définie en tout point de J ▶ pour tout x ∈ Df , y = f (x) ⇔ x = g(y ) T HEOREME : CNS d’existence Si f est bijective de I vers J, alors f admet une fonction réciproque, et cette fonction réciproque est unique. On la note f −1 . Remarque : ▶ Une fonction f dont le sens de variation change sur IR admet une réciproque sur chaque intervalle de variation ! 108 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Fonctions réciproques Propriétés Propriétés de la réciproque (1/2) 1. Continuité : f −1 est continue sur f (I) 2. Sens de variation : f −1 est strictement monotone sur f (I) et de même sens de variation que la fonction f . 3. Outils de calcul : ▶ ▶ La composée de la réciproque de f et de f est l’identité : (f −1 ∘ f )(x) = (f ∘ f −1 )(x) = x ( )−1 La réciproque de la réciproque de f est f : f −1 (x) = f (x) Exemple : Des réciproques usuelles : ▶ ▶ exp et ln sur IR∗+ √ x → x n et x → n n sur IR+ 109 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Fonctions réciproques Propriétés Propriétés de la réciproque (2/2) 4. Graphe : Dans un repère orthonormé, les graphes 𝒢f et 𝒢f − 1 de f et f −1 sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice du plan, c’est à dire la droite d’équation y = x. 4 Exemple : f (x) = x et sa réciproque sur IR+ : f −1 (x) = x 1/4 7 y=x4 6 y=x 5 4 3 2 y=x1/4 1 0 −2 −1 0 −1 1 2 3 4 5 6 7 −2 110 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Fonctions réciproques Propriétés Exercices type Exemples : ▶ Montrer que g(x) = 1 + x est la réciproque de f (x) = x − 1 sur IR Méthodologie ▶ Montrer que g(f (x)) = f (g(x)) = x ▶ Montrer que f (x) = (x + 1)1/3 + 2 admet une réciproque (sur un intervalle que l’on précisera) et donné l’expression de sa réciproque Méthodologie ▶ Etudier la continuité et le (ou les) sens de variation de f . ▶ Poser y = f (x) et manipuler l’équation pour avoir x = g(y ). Alors g = f −1 . 111 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Fonctions réciproques Sinus/Arcsin Sinus et Arcsin y=x 4 3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1 −2 1 2 3 4 y=sin(x) −3 −4 112 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Fonctions réciproques Sinus/Arcsin Sinus et Arcsin y=x y=Arcsin(x) 1.5708 y=sin(x) 0 −1.5708 −1.5708 0 1.5708 D ÉFINITIONS Sinus restreint { [ 𝜋 𝜋] − 2 ; 2 → [−1; 1] x → sin(x) { Arcsinus [ ] [−1; 1] → − 𝜋2 ; 𝜋2 x → Arcsin(x) Remarques : ∙ Sinus restreint et Arcsinus sont réciproques. ∙ Arcsinus est continue sur [−1; 1] ∙ sin(x) ∼0 x, Arcsin(x) ∼0 x 112 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Fonctions réciproques Cosinus/Arccos Cosinus et Arccos y=x 4 3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1 −2 1 2 3 4 y=cos(x) −3 −4 113 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Fonctions réciproques Cosinus/Arccos Cosinus et Arccos D ÉFINITIONS 3.1416 y=x y=Arccos(x) 1.5708 Cosinus restreint { [0; 𝜋] → [−1; 1] x → cos(x) Arccosinus 0 −1.5708 0 1.5708 3.1416 y=cos(x) { [−1; 1] → [0; 𝜋] x → Arccos(x) Remarques : ∙ Cosinus restreint et Arccos sont réciproques. ∙ Arccosinus est continue sur [−1; 1]. ∙ sin(x) ∼0 x, Arcsin(x) ∼0 x. 113 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Fonctions réciproques Tangente/Arctan Tangente et Arctan 8 7 6 5 y=x 4 3 2 1 0 −9−8−7−6−5−4−3−2−1 3 4 5 6 7 8 −1 0 1 2y=tan(x) −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 114 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Fonctions réciproques Tangente/Arctan Tangente et Arctan Définitions 4.7124 3.1416 1.5708 0 −4.7124 −3.1416 −1.5708 y=tan(x) y=x y=Arctan(x) 0 1.57083.14164.7124 Tangente restreinte { [ ] − 𝜋2 ; 𝜋2 → [−1; 1] sin(x) x → tan(x) = cos(x) −1.5708 −3.1416 { −4.7124 Arctangente [ ] [−1; 1] → − 𝜋2 ; 𝜋2 x → Arctan(x) Remarques : ∙ Tan restreinte et Arctan sont reciproques. ∙ Arctan est continue sur ℝ. ∙ tan(x) ∼0 x, Arctan(x) ∼0 x. 114 / 130 Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles Fonctions réciproques Tangente/Arctan Exercices type Exemple : Que vaut : ▶ Arccos(cos(7𝜋/3)) ▶ sin(Arcsin(1/2)) ▶ Arctan(tan(3𝜋/4)) 115 / 130 Partie Développements limités (DLs) Sixième partie VI Développements limités (DLs) 116 / 130 Partie Développements limités (DLs) Plan Introduction Notion de négligeabilité Développement limité Définition Interprétation graphique DL usuels Opérations sur les DLs Développements limités et limites 117 / 130 Partie Développements limités (DLs) Introduction Principe des DLs ▶ Etude locale d’une fonction, c’est à dire en un point a, généralement en a = 0 ▶ Approximation (de plus en plus précise) par une fonction "plus simple" ▶ Equivalent en 0 : Exemple : tan(x) ∼ x x→0 ▶ DL en 0 : Polynôme + une fonction (non spécifiée) négligeable devant un monôme Exemples : x3 + o(x 3 ) (à l’ordre 3) 3 2x 5 x3 tan(x) = x + + + o(x 5 ) (à l’ordre 5) 3 15 tan(x) = x + 118 / 130 Partie Développements limités (DLs) Notion de négligeabilité Négligeabilité D ÉFINITION : Négligeabilité devant un monôme en 0 Une fonction f est négligeable devant le monôme x n (avec n ∈ IN) au voisinage de 0 SSI : ▶ ▶ f est définie au voisinage de 0 f (x) lim n = 0 x→0 x Notation : f (x) = o (x n ) Remarque ▶ o(x n ) désigne une fonction de x (non explicitée) négligeable devant la fonction x n 119 / 130 Partie Développements limités (DLs) Notion de négligeabilité Propriétés de négligeabilité Au voisinage de 0, 1. Négligeabilité des monômes ▶ ▶ x m = o(x n ) si m > n o(x m ) + o(x n ) = o(x p ) avec p = min(m, n) 2. Négligeabilité par rapport à 1 ▶ Si f (x) = o(1), alors simplement lim x→0 f (x) =0 1 3. Produit et quotient de fonctions et de monômes ▶ ▶ Si f (x) = o(x m ), alors f (x).x n = o(x m ).x n = o(x m+n ) f (x) o(x m ) Si f (x) = o(x m ), alors pour m ≥ n, n = = o(x m−n ) x xn 4. Négligeabilité et signe ▶ o(x n ) = −o(x n ) 120 / 130 Partie Développements limités (DLs) Développement limité Définition Développement limité (DL) à l’ordre n D ÉFINITION : DL à l’ordre n f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 s’il existe un polynôme Pn (x) = a0 + a1 x + ... + an x n de degré au plus égal à n (avec a0 , a1 , ..., an ∈ IR) tel que : f (x) = Pn (x) + o (x n ) , où o(x n ) désigne une fonction (non spécifiée) négligeable devant x n . P ROPRIÉTÉ S’il existe ce DL est unique. 121 / 130 Partie Développements limités (DLs) Développement limité Définition Calcul de DL F ORMULE DE TAYLOR -YOUNG pour les DL en 0 Une fonction f définie et dérivable n fois en 0 admet un (unique) DL à l’odre n en 0, donné par : f (x) = f (0) + f ′ (0)x + f ′′ (0) 2 f (n) (0) n x + ... + x + o (x n ) , 2! n! où n! est la factorielle de n : { n! = 1 × 2 × ... × (n − 1) × n 0! = 1 , si n ∕= 0 Exemple : DL de ex à l’ordre 5 122 / 130 Partie Développements limités (DLs) Développement limité Interprétation graphique Interprétation numérique et graphique Exemple : ⎧ 1 ⎨ f (x) = 1+x ⎩ = P (x) + o(x n ) n avec Pn (x) = 1 − x + x 2 − x 3 + ... + (−1)n x n ▶ P0 (x) = 1 ▶ P1 (x) = 1 − x ▶ P2 (x) = 1 − x + x 2 ▶ P3 (x) = 1 − x + x 2 − x 3 123 / 130 Partie Développements limités (DLs) Développement limité DL usuels Développements limités usuels (1/3) ▶ Puissance : ▶ ▶ (1 + x)𝛼 = 𝛼(𝛼 − 1) 2 𝛼(𝛼 − 1) . . . (𝛼 − n + 1) n 1 + 𝛼x + x + ... + x + o(x n ) 2! n! Inverse : ▶ ▶ ▶ 1 = 1 − x + x 2 − x 3 + . . . + (−1)n x n + o(x n ) 1+x 1 = 1 + x + x 2 + x 3 + . . . + x n + o(x n ) 1−x 1 = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 + . . . + (n + 1)x n + o(x n ) (1 − x)2 124 / 130 Partie Développements limités (DLs) Développement limité DL usuels Développements limités usuels (2/3) ▶ Logarithme : ▶ ▶ ▶ ▶ (−1)n+1 n x2 x3 + + ... + x + o(x n ) 2 3 n x3 xn x2 − − ... − + o(x n ) ln(1 − x) = −x − 2 3 n ( ) 1+x 2 2 2 = 2x + x 3 + x 5 + . . . + x 2p+1 + o(x 2p+1 ) ln 1−x 3 5 2p + 1 ln(1 + x) = x − Exponentielle : ▶ ex = 1 + x + x2 x3 1 + + . . . + x n + o(x n ) 2 6 n! 125 / 130 Partie Développements limités (DLs) Développement limité DL usuels Développements limités usuels (3/3) ▶ Trigonométrie : ▶ ▶ ▶ ▶ (−1)p x3 x5 + − ... + x 2p+1 + o(x 2p+1 ) 6 120 (2p + 1)! (−1)p 2p x4 x2 + − ... + x + o(x 2p ) cos(x) = 1 − 2 24 (2p)! 2x 5 x3 tan(x) = x + + + o(x 5 ) 3 15 x3 x5 arctan(x) = x − + + o(x 5 ) 3 120 sin(x) = x − 126 / 130 Partie Développements limités (DLs) Développement limité Opérations sur les DLs Opérations sur les DLs Pour f (x) = Pn (x) + o(x n ) et g(x) = Qn (x) + o(x n ) : DL Polynôme du (f + g)(x) = Sn (x) + o(x n ) Sn (x) = Pn (x) + Qn (x) tronqué à l’ordre n Sn (x) = Pn (x).Qn (x) tronqué à l’ordre n (fg)(x) = Sn (n) + o(x n ) ( ) f g (x) = Sn (x) + o(x n ) (f ∘ g)(x) = g(f (x)) = Sn (x) + o(x n ) ∫ ( x f ) = Sn (x) + o(x n ) f ′ (x) = Sn (x) + o(x n ) DL Sn (x) s’obtient par division (polynomial) suivant les puissances croissantes de Pn (x) par Qn (x) tronqué à l’ordre n Sn (x) = Qn (Pn (x)) avec troncature à l’ordre n ∫ Sn (x) = x Pn puis troncature à l’ordre n ′ Sn (x) = Pn+1 (x) (où Pn+1 (x) est le polynôme du DL de f à l’ordre n + 1) 127 / 130 Partie Développements limités (DLs) Développement limité Opérations sur les DLs Exercices type Exemple : Ecrire les DL suivants : ▶ DL à l’ordre 3 de f (x) = cos(x) + sin(x) à l’ordre 2 de f (x) = ex . cos(x) ln(1 + x) DL à l’ordre 2 de f (x) = cos(x) DL à l’ordre 3 de f (x) = ln(1 + sin(x)) 1 DL à l’ordre 3 de f (x) = (1 + x)2 ▶ DL ▶ ▶ ▶ 128 / 130 Partie Développements limités (DLs) Développement limité Développements limités et limites DL et limites T HÉOREME : DLet limite Si une fonction f admet un DL en 0 à l’ordre n de la forme Pn (x) + o(x n ) où Pn (x) est un polynôme de degré n, alors : lim f (x) = lim Pn (x) x→0 Exemple : f (x) = x→0 ln(1 − x) x 129 / 130 Partie Développements limités (DLs) Développement limité Développements limités et limites The end 130 / 130
