1.2 Corrigés

CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE : NOMBRES, STRUCTURES ET FONCTIONS12
1.2 Corrig´es
1. Ensembles.
(a) Soit E={a, b, c}. Alors
P(E) = {∅,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}.
(b) Soit Eun ensemble fini tel que card(E) = n. Donner card(P(E)).
Corrig´e 1. On note x1, . . . , xnles ´el´ements de E. Pour chaque
xi, on note 1 si xiest dans le sous-ensemble et 0 sinon (deux choix
pour chaque ´el´ement). Par cons´equent, card(P(E)) = 2n. Une version
plus rigoureuse consiste `a faire une d´emonstration par r´ecurrence. Si
E=∅(le cas n= 0), alors P(E) = {∅}. Donc card(P(E))=1=20.
Si l’affirmation est vraie pour n, alors pour l’´el´ement xn+1 on a deux
choix comme expliqu´e ci-dessus. Il en suit que si card(E) = n+ 1,
alors card(P(E)) = 2n·2 = 2n+1.
Corrig´e 2. Il y a n
ksous-ensembles `a k´el´ements (k= 0, . . . n
o`u k= 0 correspond `a l’ensemble vide). Par cons´equent (voir aussi
la formule du binˆome de Newton, exercice 28),
card(P(E)) =
n
k=0 n
k= 2n.
2. Ensembles et Fonctions. Soit f:E→Fune fonction et A, B ⊂E.
Montrer que
(a) f[A∩B]⊂f[A]∩f[B],
(b) f[A∪B] = f[A]∪f[B].
Donner un exemple o`u f[A∩B]̸=f[A]∩f[B].
Corrig´e.
(a) Si x∈A∩B, alors f(x)∈f[A] et f(x)∈f[B], c’est-`a-dire f(x)∈
f[A]∩f[B].
(b) Si x∈A∪B, alors f(x)∈f[A]∪f[B]. Si y∈f[A]∪f[B], alors il
existe x∈Aou x∈B, c’est-`a-dire x∈A∪Btel que y=f(x) d’o`u
l’affirmation.
Soit A={1,2},B={2,3}et ftels que f(1) = a, f(2) = b, f(3) = a,
a̸=b. Alors f[A] = f[B] = {a, b}et f[A∩B] = {b}.
3. Le cardinal. Soit E, F des ensembles finis. Montrer que
(a) card(E)+card(F) = card(E∪F)+ card(E∩F) (principe d’exclusion-
inclusion)
(b) card(E×F) = card(E)·card(F).

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Corrig´e 1. Si E∩F=∅, alors le cardinal est additif : card(E) +
card(F) = card(E∪F). Si E∩F̸=∅, ´ecrire E, F, E ∪Fcomme r´eunion
d’ensembles disjoints 2 `a 2 :
E∪F= (E∩F)∪(E\F)∪(F\E),
E= (E∩F)∪(E\F),
F= (E∩F)) ∪(F\E),
d’o`u l’affirmation. Pour le produit cart´esien, c’est la d´efinition du produit
cart´esien comme ensemble de couples (voir aussi corrig´e 2).
Corrig´e 2. On utilise des fonctions indicatrices en admettant les iden-
tit´es donn´ees au cours et
card(E) = 
x∈E
χE(x).
Pour (a), il reste `a prendre la somme sur les x∈E∪Fou sur un ensemble
plus large dans
χE(x) + χF(x) = χE∪F(x) + χE∩F(x).
Pour (b), noter que
card(E×F) = 
x∈E y∈F
χE(x)χF(y) = 
x∈E
χE(x)
y∈F
χF(y).
4. Axiomes. En utilisant les axiomes alg´ebriques d’un corps K, montrer que
l’´el´ement neutre de l’addition 0 est unique.
Corrig´e Soit 0′∈Kun autre ´el´ement tel que 0′+x=xpour tout
x∈K, en particulier, 0′+ 0 = 0. D’autre part, 0 + x=xpour tout x∈K,
en particulier, 0 + 0′= 0′. L’addition est commutative, i.e. 0′+ 0 = 0 + 0′,
donc 0′= 0. q.e.d.
5. Axiomes. En utilisant les axiomes alg´ebriques pour les nombres r´eels,
montrer que pour tout x∈Ron a : 0 ·x= 0 et (−1) ·x=−x. En d´eduire
que (−1) ·(−1) = 1.
Corrig´e Notons d’abord les axiomes alg´ebriques. Soit x, y, z ∈R.
A1 x+ (y+z)=(x+y) + zet x·(y·z) = (x·y)·z.
A2 x+y=y+xet x·y=y·x.
A3 Il existe un ´el´ement not´e 0 tel que pour tout x: 0 + x=x.
A4 Pour chaque x, il existe un ´el´ement not´e −xtel que x+ (−x) = 0.
A5 Il existe 1 ̸= 0 tel que pour tout x: 1 ·x=x.
A6 Pour chaque x̸= 0, il existe un ´el´ement not´e x−1tel que x·x−1= 1.
A7 x·(y+z) = x·y+x·z.

CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE : NOMBRES, STRUCTURES ET FONCTIONS14
Montrons 0 ·x= 0 (entre parenth`eses l’axiome appliqu´e) :
0·x= 0 + 0 ·x
= (x+ (−x)) + 0 ·x
= (−x+x)+0·x
=−x+ (x+ 0 ·x)
=−x+ (1 ·x+ 0 ·x)
=−x+ (x·0 + x·1)
=−x+ (x·(0 + 1))
=−x+ (x·1)
=−x+ (1 ·x)
=−x+x
=x+ (−x)
= 0
(A3)
(A4)
(A2)
(A1)
(A5)
(A2)
(A7)
(A3)
(A2)
(A5)
(A2)
(A4)
Remarque : Les ´etapes (A2) peuvent ˆetre supprim´ees en appliquant
directement la loi commutative lors des autres axiomes.
Donc bri`evement (exercice : noter les ´etapes comme ci-dessus) :
x+ (−1) ·x= 1 ·x+ (−1) ·x= (1 + (−1)) ·x= 0 ·x= 0
i.e. −x= (−1) ·xet
1 = 1+0 = 1+0·(−1) = 1+(1+(−1))·(−1) = 1+(−1)+(−1)·(−1) = (−1)·(−1).
6. Axiomes. En utilisant les axiomes d’ordre pour les nombres r´eels et le
r´esultat de l’exercice 5, montrer que pour tout x̸= 0 on a : x2:= x·x > 0,
i.e. le carr´e d’un nombre r´eel nonz´ero est positif.
Corrig´e Si x > 0, alors x2≥0 est donc x2>0. Le cas x2= 0 est exclu,
car sinon on a x= 1 ·x= (x−1·x)·x=x−1(·x·x) = (x−1·0) = 0 par
l’exercice 5, d’o`u contradiction. Si x < 0, alors −x > 0 et
0<(−x)·(−x) = (−1) ·x·(−1) ·x= (−1)2·x2= 1 ·x2=x2
en utilisant le r´esultat de l’exercice 5.
7. Axiomes. Soit a, b ∈R, a ̸= 0. Montrer que l’´equation ax +b= 0 admet
l’unique solution x=−b
a.

CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE : NOMBRES, STRUCTURES ET FONCTIONS15
Corrig´e. C’est une cons´equence des axiomes d’ordre. ax +b= 0 est
´equivalent `a ax +b≤0 et 0 ≤ax +b. Si 0 ≤a, par les axiomes d’ordre 4
et 5, la premi`ere in´egalit´e est ´equivalente `a x≤ −b
a, la deuxi`eme in´egalit´e
est ´equivalente `a −b
a≤x, d’o`u l’affirmation par l’axiome 2. De mˆeme si
a≤0.
8. Axiomes. Soit K√2={(a, b) := a+b√2 : a, b ∈Q}. Montrer que
K√2(+,·) est un corps o`u
(a1, b1)+(a2, b2) = (a1+a2, b1+b2),(a1, b1)·(a2, b2) = (a1·a2+2b1·b2, a2b1+a1b2).
Corrig´e. Les lois associative, commutative et distributive sont une cons´equence
des lois dans Q, donc on ne donne pas de d´etails. Pour l’addition, l’´el´ement
neutre est (0,0) et pour la multiplication (1,0). L’inverse additif de (a, b)
est (−a, −b) et l’inverse multiplicatif est a
a2−2b2,−b a2−2b2. Noter que
a2−2b2̸= 0 si (a, b)̸= (0,0). Pourquoi ?
9. D´eveloppement d´ecimal. Montrer qu’un nombre r´eel est rationnel si et
seulement si son d´eveloppement d´ecimal est p´eriodique.
Corrig´e Commenons par montrer que tout nombre rationnel d=p
qad-
met un d´eveloppement d´ecimal p´eriodique. Sans perte de g´en´eralit´e, on
peut supposer p<q(pourquoi ?). La forme d´ecimale de ds’obtient par
division euclidienne : d=p
q= 0, a1a2a3a4···, o`u chaque division succes-
sive donne la d´ecimale aisuivante ainsi qu’un reste ri. Par d´efinition du
reste, riest un entier satisfaisant ri< n. Donc apr`es ndivisions, au moins
deux restes rjet rkseront ´egaux avec j < k. Autrement dit, le processus
de division devient p´eriodique au moins `a partir de la d´ecimale aj. Cette
preuve indique aussi que la taille de la p´eriode est au plus n.
Pour la r´eciproque, consid´erons un nombre r´eel de d´eveloppement p´eriodique
d=b1b2···bm, c1c2···cna1a2···au, et montrons qu’il est rationnel. Etant
donn´e que b1b2···bm, c1c2···cnest clairement rationnel, il suffit de se res-
treindre au nombre r= 0, a1a2···au. En posant s=a1a2···au, on voit
que
10ur−r=a1a2···au, a1a2···au−0, a1a2···au=s
⇒r=s
10u−1∈Q
10. Relation d’´equivalence. On rappelle la relation d’´equivalence dans Z×
Z\{0}qui d´efinit l’ensemble Qdes rationnels : p
q∼p′ q′si pq′=p′q. Soit
a, a′, c, c′∈Zet b, b′, d, d′∈Z∗tels que a
b∼a′ b′et c d∼c′ d′. Montrer que
(a) a
b+c d∼a′ b′+c′ d′
(b) a
b·c d∼a′ b′·c′ d′

CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE : NOMBRES, STRUCTURES ET FONCTIONS16
Corrig´e
(a) Il faut montrer que ad+bc
bd ∼a′d′+b′c′ c′d′. Par hypoth`ese, on a que ab′=
a′bet cd′=dc′. Donc (ad +bc)b′d′= (ab′)(dd′) + (bb′)(cd′) =
(a′b)(dd′)+(bb′)(c′d) = (a′d′+b′d′)bd.
(b) Il faut montrer que ac
bd ∼a′c′ b′d′. Par hypoth`ese, on a que ab′=a′bet
cd′=dc′. Donc (ac)(b′d′) = (ab′)(cd′) = (a′b)(c′d) = (a′c′)(bd).
11. Nombres premiers I. Montrer que tout nombre naturel n > 1 s’´ecrit de
mani`ere unique comme produit de nombres premiers :
n=
m
i=1
pki
i, p1< p2<··· < pm, ki∈N∗
Id´ee : raisonner par r´ecurrence pour prouver l’existence de la d´ecomposition
en nombre premiers. Pour l’unicit´e, utiliser le lemme d’Euclide qui dit que
si un nombre premier pdivise un produit d’entiers ab, alors il divise aou
il divise b.
Corrig´e
(a) Existence de la d´ecomposition. Si n= 2, alors la proposition est vraie
car 2 est premier. Supposons que l’´enonc´e est vrai pour tout entier
2≤k≤net ´etudions n+ 1. Si n+ 1 est un nombre premier, alors la
proposition est v´erifi´ee. Si n+1 n’est pas premier, alors il est divisible
par un entier sup´erieur `a 1 et donc n+ 1 = ab avec 1 < a, b ≤n.
Par hypoth`ese de r´ecurrence, aet bs’´ecrivent comme produits de
nombres premiers, donc n+ 1 = ab est aussi un produit de nombre
premiers.
(b) Unicit´e. Supposons que ns’´ecrive comme produit de nombres pre-
miers de deux mani`eres diff´erentes (ici les pi, qine sont pas forc´ement
diff´erents) : n=p1p2···pr=q1q2···qs. On va montrer que r=set
que les deux expressions diff`erent simplement par une permutation
des facteurs. Par le lemme d’Euclide, p1doit diviser un des qj. Mais
vu que qjest premier cela implique que p1=qj. On divise ensuite
npar p1et on fait le mˆeme raisonnement pour p2et ainsi de suite
jusqu’`a pr. On en d´eduit que r≤set qu’`a chaque picorrespond un
qj=pi. En suivant le mˆeme processus en consid´erant q1, q2,···, on
voit que s≤r. Donc s=ret les qjsont un simple r´earrangement
des pi.
12. Nombres premiers II. Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres pre-
miers.
Corrig´e Par l’absurde, supposons qu’il existe un nombre fini nde nombres
premiers. On les note p1, p2,···pn. On construit le nombre N=p1p2···pn+
1 et on sait par l’exercice 11 qu’il est divisible par un nombre premier.
Il existe donc un piqui divise N. Mais il est clair que pidivise aussi
p1p2···pn, et par cons´equent la diff´erence N−p1p2···pn= 1 est aussi
divisible par pi. Mais par d´efinition pi>1, d’o`u la contradiction.