Exercice 1. Etant donné un nombre réel α, on s`interesse à la série

Université Paris 7 MP3
Algèbre et Analyse fondamentales I L2 Physique
TD groupe PHY-1/2/3/4 Octobre 2015
Séries
Exercice 1. Etant donné un nombre réel α, on s’interesse à la série
X
n≥0
(−1)nα2n
(2n)!.(1)
1. Etudier la convergence simple et absolue de la série (1).
2. On écrit cos αen utilisant la formule de Taylor :
cos α= 1 −α2
2+α4 24 −. . . + (−1)nα2n (2n)! +Rn(α).
À l’aide d’une expression convenable du reste Rn(α), montrer qu’on a
lim
n→+∞Rn(α) = 0 .
En déduire à nouveau que la série (1) converge, et déterminer sa somme.
3. Application numérique : calculer cos(1) avec une erreur inférieure à 10−4.
Exercice 2. On pose
un=(−1)n
√n+ (−1)n.
1. Montrer qu’on a un∼vn(n→+∞), où vnest le terme général d’une série convergente.
2. On pose wn=un−vn. Montrer que la série (Pwn)est divergente.
3. En déduire que la série de terme général unest divergente.
Quelle “morale” tirer de cet exercice ?
Exercice 3. Montrer que si la fonction gest continue positive et décroissante sur ]0,+∞[,
alors on a :
Zn+1
1
g(x)dx ≤
n
X
k=1
g(k)≤g(1) + Zn
1
g(x)dx.
En déduire le comportement de la suite définie par un=1
√nPn
k=1 1
√k.
Exercice 4. Étudier la nature des séries dont voici le terme général :
1

1) 1
nlog n2) 1+log n
n23) 2n+5
3n−11
4) nln(a)(a > 0) 5) e−√n6) n2sin 1
2n
7)(n!)3
(3n)! 8) 3n
4n−12n+1 9) (n+1)4 n!+1
10) 1!+···+(n−2)!
n!11) n·n1
n12) n!x
nn(0 < x et x6=e)
13) 1 −cos 1
n14) n2e−√n
Exercice 5. Étudier la convergence des séries (alternées) de termes généraux
un=r1 + (−1)n
n−1, vn=(−1)n
n1+(1/n).
Exercice 6. * Soit α > 0, et θdeux réels. On s’intéresse à la série de terme général
cos(nθ)
nα.
1. Étudier la convergence dans le cas α > 1.
2. On considère le cas 0< α ≤1. Etudier la convergence lorsque θ≡0[π](θ=kπ,k∈Z).
On pourra séparer les cas kpair et kimpair.
3. On considère le cas 0< α ≤1, avec θ6= 0[π]. Montrer que An:= Pn
k=1 cos(kθ)est une
suite bornée. A l’aide de la transformation d’Abel, montrer que la série est convergente.
4. Sous les mêmes hypothèses que 3), montrer que la série n’est pas absolument convergente.
(On pourra utiliser, après l’avoir vérifié : |cos(nθ)| ≥ cos(nθ)2=1
2(cos(2nθ)−1).)
Exercice 7. * Soit (un)une suite de réels positifs. Montrer que les séries de termes généraux
unet vnsont de même nature, où
vn=un
1 + un
.
Exercice 8. * Soit (un)une suite de nombres réels.
1. Montrer que, si la série de terme général unest absolument convergente, il en est de
même pour la série de terme général u2
n.
2. Donner l’exemple d’une suite (un)telle que la série de terme général unsoit convergente
mais pas la série de terme général u2
n.
2