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1) 1
nlog n2) 1+log n
n23) 2n+5
3n−11
4) nln(a)(a > 0) 5) e−√n6) n2sin 1
2n
7)(n!)3
(3n)! 8) 3n
4n−12n+1 9) (n+1)4
n!+1
10) 1!+···+(n−2)!
n!11) n·n1
n12) n!x
nn(0 < x et x6=e)
13) 1 −cos 1
n14) n2e−√n
Exercice 5. Étudier la convergence des séries (alternées) de termes généraux
un=r1 + (−1)n
n−1, vn=(−1)n
n1+(1/n).
Exercice 6. * Soit α > 0, et θdeux réels. On s’intéresse à la série de terme général
cos(nθ)
nα.
1. Étudier la convergence dans le cas α > 1.
2. On considère le cas 0< α ≤1. Etudier la convergence lorsque θ≡0[π](θ=kπ,k∈Z).
On pourra séparer les cas kpair et kimpair.
3. On considère le cas 0< α ≤1, avec θ6= 0[π]. Montrer que An:= Pn
k=1 cos(kθ)est une
suite bornée. A l’aide de la transformation d’Abel, montrer que la série est convergente.
4. Sous les mêmes hypothèses que 3), montrer que la série n’est pas absolument convergente.
(On pourra utiliser, après l’avoir vérifié : |cos(nθ)| ≥ cos(nθ)2=1
2(cos(2nθ)−1).)
Exercice 7. * Soit (un)une suite de réels positifs. Montrer que les séries de termes généraux
unet vnsont de même nature, où
vn=un
1 + un
.
Exercice 8. * Soit (un)une suite de nombres réels.
1. Montrer que, si la série de terme général unest absolument convergente, il en est de
même pour la série de terme général u2
n.
2. Donner l’exemple d’une suite (un)telle que la série de terme général unsoit convergente
mais pas la série de terme général u2
n.
2