Mathématiques appliquées à la topographie

VILLE DE LIEGE
INSTITUT DE TRAVAUX PUBLICS
Enseignement de promotion sociale
Mathématiques
appliquées à la
topographie - niveau 1
Notes de cours provisoires
Jean-Luc Becker

Trigonométrie plane

Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
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1. Nombres trigonométriques des angles aigus
Soit un angle aigu quelconque. Construisons un triangle rectangle contenant cet angle.
1.1. Définitions
On appelle
SINUS d’un angle aigu α le rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse,
COSINUS de cet angle α le rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse, TANGENTE le
rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent à l’angle, et
COTANGENTE le rapport
entre le côté adjacent à l’angle et le côté opposé à l’angle.
En résumé :
sin cosαα α== =
coté opposécoté ad
j
acent coté opposé
coté adjacenthypotenuse hypotenuse tg
On peut facilement montrer à l’aide des triangles semblables que ces nombres sont
indépendants du triangle rectangle choisi. Ces nombres ne dépendent donc que de l’angle α ( ou de
son amplitude ) et son appelés nombres trigonométriques de l’angle aigu α.
Avec les notations du triangle ci-dessus, on a donc
sin $cos $$ sin $cos $$ Cc
aCb atg C c b
b
aBc atg B b c
======B
1.2. Propriétés
En observant les définitions et le tableau des valeurs ci-dessus, on voit de suite que :
(
)
(
)
sin $cos $cos $sin $cos $cos $ BC B CB C= = °− = = °−90 90
Le théorème de Pythagore a une conséquence remarquable appelée relation fondamentale de
la trigonométrie. En effet, on a
( ) ( )
AB AC BC
AB
BC
AC
BC
AB
BC
AC
BC
²²²
²
²
²
²
sin cos
+=
+=
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟+⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=
+=
1
1
1
22
22
αα
ce que les mathématiciens écrivent souvent
sin² cos²αα+=1
A
B
C
α

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2. Unités de mesure des angles
2.1. Le degré
Le
degré est par définition la nonantième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat a pour
mesure 180°. Le degré est subdivisé en 60 minutes et une minute en 60 secondes :
1° = 60’, 1’ =
60’’, donc 1° = 3600’’.
Notons cependant qu’en pratique, on utilise de moins en mois les degrés-
minutes-secondes au profit des degrés décimaux.
2.2. Le grade
Le
grade est par définition la centième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat a pour
mesure 200 g. Le grade est subdivisé décimalement comme beaucoup d'autres unités du système
international. Notons cependant un sous-multiple du grade souvent utilisé en topométrie : le
décimilligrade ( dmg) qui vaut bien entendu un dix-millième de grade :
1dmg= 1
10000 gg g==
−
10 0 0001
4,
2.3. Relation entre les unités
La relation entre ces deux unité découle d'une simple règle de trois. En effet, on a
100 g = 90° ⇔ 1 g = 0,9° ⇔ 1° = 10
9g
3. Formulaire
3.1. Triangles rectangles
$$$
sin $cos $
sin $cos $
$cot $
$cot $
ABC g
Bb
aC
Cc
aB
tgB b
cgC
tg C c
bgB
abc
+++=
==
==
==
==
=+
200
222
3.2. Triangles quelconques
$$$
sin $sin $sin $
cos $
cos $
cos $
ABC g
a
A
b
B
c
C
abc bc A
bca ca B
cab abC
++=
==
=+−
=+−
=+−
200
2
2
2
222
222
222
A
B
C
a
b
c
A
B C
a
b
c

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4. Exercices
1/ Un point O est situé à 5 m au-dessus du plan horizontal α passant par le pied d’une tour.
De 0, on voit le sommet de la tour sous un angle de 55 g au-dessus de l’horizontale passant par O et
le pied sous un angle de 11 g au-dessous de la même horizontale. Calculer la hauteur de la tour.
55g
11g
5,00
H ?
2/ Un observateur est à 30 m du pied d’une tour verticale de 25 m de hauteur. On demande
sous quel angle il voit la tour, son œil étant à 1 m 50 du sol supposé horizontal.
?
25,00
30,00
1,50