Mathématiques appliquées à la topographie

VILLE DE LIEGE
INSTITUT DE TRAVAUX PUBLICS
Enseignement de promotion sociale
Mathématiques
appliquées à la
topographie - niveau 1
Notes de cours provisoires
Jean-Luc Becker
Trigonométrie plane
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
1. Nombres trigonométriques des angles aigus
Soit un angle aigu quelconque. Construisons un triangle rectangle contenant cet angle.
B
α
C
A
1.1. Définitions
On appelle SINUS d’un angle aigu α le rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse,
COSINUS de cet angle α le rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse, TANGENTE le
rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent à l’angle, et COTANGENTE le rapport
entre le côté adjacent à l’angle et le côté opposé à l’angle.
En résumé :
coté adjacent
coté opposé
coté opposé
sin α =
cos α =
tg α =
hypotenuse
hypotenuse
coté adjacent
On peut facilement montrer à l’aide des triangles semblables que ces nombres sont
indépendants du triangle rectangle choisi. Ces nombres ne dépendent donc que de l’angle α ( ou de
son amplitude ) et son appelés nombres trigonométriques de l’angle aigu α.
Avec les notations du triangle ci-dessus, on a donc
c
b
c
$ =b
sin C$ =
cos C$ =
tg C$ =
sin B
a
a
b
a
1.2. Propriétés
$ =c
cos B
a
$ =b
tg B
c
En observant les définitions et le tableau des valeurs ci-dessus, on voit de suite que :
$ = cos C$ = cos 90°−B
$
$ = cos 90°−C$
sin B
sin C$ = cos B
(
(
)
)
Le théorème de Pythagore a une conséquence remarquable appelée relation fondamentale de
la trigonométrie. En effet, on a
AB² + AC² = BC²
AB² AC²
+
=1
BC² BC²
2
2
⎛ AC ⎞
⎛ AB ⎞
⎜
⎟ +⎜
⎟ =1
⎝ BC ⎠
⎝ BC ⎠
(sin α)2 + (cos α)2 = 1
ce que les mathématiciens écrivent souvent
sin²α + cos²α = 1
3
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
2. Unités de mesure des angles
2.1. Le degré
Le degré est par définition la nonantième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat a pour
mesure 180°. Le degré est subdivisé en 60 minutes et une minute en 60 secondes : 1° = 60’, 1’ =
60’’, donc 1° = 3600’’. Notons cependant qu’en pratique, on utilise de moins en mois les degrésminutes-secondes au profit des degrés décimaux.
2.2. Le grade
Le grade est par définition la centième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat a pour
mesure 200 g. Le grade est subdivisé décimalement comme beaucoup d'autres unités du système
international. Notons cependant un sous-multiple du grade souvent utilisé en topométrie : le
décimilligrade ( dmg) qui vaut bien entendu un dix-millième de grade :
1
1 dmg =
g = 10 −4 g = 0,0001 g
10000
2.3. Relation entre les unités
La relation entre ces deux unité découle d'une simple règle de trois. En effet, on a
100 g = 90° ⇔ 1 g = 0,9° ⇔ 1° =
10
g
9
3. Formulaire
3.1. Triangles rectangles
$ + B$ + C$ + = 2 0 0 g
A
B
b
= c o s C$
s in B$ =
a
c
= c o s B$
s in C$ =
a
b
t g B$ =
= c o t g C$
c
c
t g C$ =
= c o t g B$
b
a2 = b2 + c2
a
c
C
b
A
3.2. Triangles quelconques
A
$ +B
$ + C$ = 200g
A
a
B
$
sin A
b
c
a
=
b
$
sin B
=
c
sin C$
$
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
$
b2 = c2 + a2 − 2ca cos B
C
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C$
4
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
4. Exercices
H?
1/ Un point O est situé à 5 m au-dessus du plan horizontal α passant par le pied d’une tour.
De 0, on voit le sommet de la tour sous un angle de 55 g au-dessus de l’horizontale passant par O et
le pied sous un angle de 11 g au-dessous de la même horizontale. Calculer la hauteur de la tour.
5,00
11g
g
55
?
1,50
25,00
2/ Un observateur est à 30 m du pied d’une tour verticale de 25 m de hauteur. On demande
sous quel angle il voit la tour, son œil étant à 1 m 50 du sol supposé horizontal.
30,00
5
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
g
80
93
g
3/ Deux observateurs, distants de 1750 m sur une horizontale, mesurent au même instant
les angles d’élévation d’un point remarquable d’un nuage, lorsque celui-ci traverse le plan vertical de
la base d’observation; ils trouvent 80 g et 93 g. Quelle est la hauteur du nuage, si celui-ci passe
entre les deux observateurs ?
1750
53g
20g
?
4/ Une personne placée au bord d’une rivière voit dans une direction perpendiculaire à la
rivière, un arbre planté sur la rive opposée sous un angle de 53 g; elle recule de 50 m et cet angle
n’est plus que de 20 g. Quelle est la hauteur de l’arbre et la largeur de la rivière?
50,00
?
6
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
1,55
78
,6
31,37
33g
43
4g
?
5/ Sur un terrain horizontal, on observe une tour sous un angle d’élévation de 78,6434 g. En
reculant de 37,84 mètres, on observe alors la tour sous un angle d'élévation de 31,3733 g. Quelle
est la hauteur de la tour sachant que l’observation a été faite à 1,55 m du sol?
37,84
42 m
6/ Un bateau quitte son embarcadère pour prendre le large. Sachant que sa plus haute
structure est 42 mètres au dessus du niveau de l’eau et que le rayon de la terre est de 6378 km, à
quelle distance du rivage le paquebot disparaîtra-t-il à l’horizon ?
6378 km
?
7
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
7/ Du sommet S d’une colline de hauteur H, on observe deux points X et Y dans la plaine.
Déterminer la distance d entre les points X et Y sachant que les lignes de visée SX et SY forment
respectivement des angles α et β avec l’horizontale en S et que SX et SY forment une angle γ.
Calculer la distance d sachant que α = 28,5741 g, β = 26,2957 g, γ = 73,2051 g et H = 290 m.
8/ Un géomètre se trouve sur le bord d’une rivière à 63 m du pied d’un pylône d’un pont
suspendu et observe le sommet de ce pylône sous un angle d'élévation de 44,5254 g par rapport à
l’horizontale. Un pylône identique, situé sur l’autre rive, est vu sous un angle d'élévation de 12,6298
g. Calculer la portée du pont sachant que l’écart entre les deux pylônes se voit sous un angle
horizontal de 84,6377 g.
8
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
9/ Deux observateurs au sol sont situés dans l’axe d’un couloir aérien à une distance de 1 km
l’un de l’autre. A l’approche d’un avion, ces observateurs notent au même moment l’angle d’élévation
de l’avion par rapport à l’horizon ( l’avion n’est pas entre les observateurs). L’observateur le plus
proche de l’avion mesure 62,2875 g tandis que l’autre 34 g. Sachant que l’avion passe au-dessus du
premier observateur 8 secondes plus tard, calculer sa vitesse horaire et son altitude.
62
,28
g
75
34g
1 km
10/ D’un point P d’une plaine, on vise les sommets A et B de deux collines. La colline de
sommet A est située au Nord-Ouest de P, a une altitude de 250 mètres et est vue sous un angle
d'élévation de 70,4833 g. La colline de sommet B est située au nord-est de P, a une altitude de 525
mètres et est vue sous un angle d'élévation de 73,7133 g. Quelle est la distance horizontale entre
A et B (estimée d’après une carte) et la distance réelle entre A et B ?
9
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
11/ On observe au NO une antenne de radio. Après avoir progressé vers le NE sur 3055 m,
on observe l’antenne plein ouest sous un angle d'élévation de 8,6403 g. Quelle est la hauteur de
l’antenne si elle est vue à 1,4 m du sol ?
12/ On observe un réservoir sphérique depuis une base AB longue de 53 m. Les visées
horizontales tangentes à ce réservoir issues de A forment avec AB des angles de 33,6313 g et de
63,3547 g; celles issues de B des angles de 43,8206 g et de 79,4406 g. Quel est le volume de ce
réservoir ?
53,00
10
79,
440
6g
313g
43,
8
33,6
g
547
63,3
A
206
g
C
B
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
13/ Un randonneur marchant vers le nord observe, devant lui, une colline sous un angle
d’élévation a. En se déplaçant vers l’est , sur une distance d, cette même colline est vue sous un
angle d’élévation b. Déterminer en fonction de a, b, et d la hauteur h de la colline. Calculer h avec
les mesures indiquées sur la figure ci-dessous.
14/ Un observateur situé sur la plaine en une station A mesure l’angle d’élévation d’un pic
montagneux apparaissant dans la direction sud-est (18,5544 g). Il gravit ensuite une colline située à
l’est-nord-est de la station A. Du sommet de cette colline, de hauteur 168 m au dessus de la plaine,
le pic montagneux apparaît cette fois au sud sous un angle d’élévation 13,2159 g. Calculer la hauteur
du pic montagneux.
15/ Une station d’observation repère un ballon sonde au nord-est selon un angle d’élévation a
au-dessus de l’horizon. Dix minutes plus tard, le ballon est observé plein Nord selon un angle
11
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
d’élévation b. On constate par d’autres mesures que le ballon a une vitesse ascensionnelle de 6
km/h. On demande la vitesse horizontale du ballon (supposée constante) sachant qu’il se meut sous
l’effet d’un vent d’Est. (valeurs numérique des angles: a = 11 g et b= 24 g).
16/ Un capitaine de navire observe dans la direction faisant un angle de 24 g avec la
direction de son cap, un rocher de hauteur h1 surmonté d’une tour de hauteur h2. Il mesure l’angle
d’élévation du sommet de la tour et trouve 9,7897 g. Après avoir parcouru 1200 m, il mesure une
nouvelle fois l’angle d’élévation du sommet de la tour (24,9664 g) ainsi que celui de son pied
(21,2566 g). Calculer les hauteurs h1 et h2 .
17/ Un paratonnerre de longueur connue p est placé sur un édifice. D’un point situé à une
distance d du pied de l’édifice et à une hauteur h au-dessus du sol, on voit le paratonnerre sous un
12
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
angle a. Calculer la hauteur de l’édifice, sachant que p = 3 m, d = 36,92 m, h = 1,50 m et a = 3,5470
g.
13
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
Trigonométrie
sphérique
14
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
1. Mesure des arcs de cercle
1.1. Unités
x grades
(ou degrés ou
radians)
d'angle
On définit chacune des unités de mesure des
arcs de cercle suivantes comme étant l’arc
intercepté par l’unité de mesure des angles
correspondante.
x grades
(ou degrés ou
radians)
d'arc
Ainsi, un degré d’arc est un arc intercepté
par un angle au centre de 1°; un radian d’arc est un
arc intercepté par un angle au centre de 1 radian et
un grade d’arc est un arc intercepté par un angle
au centre de 1 grade.
Rappelons que le radian est par définition la
mesure de l’angle au centre interceptant un arc de
longueur égale au rayon du cercle.
Avec de telles définitions, on peut affirmer que tout arc de cercle a pour mesure la mesure
de l’angle au centre qui l’intercepte.
Remarquons bien que ces définitions donnent des mesures des arcs indépendantes du rayon
du cercle, au contraire de leur longueur.
1.2. Longueur d’un arc de mesure connue
Une règle de trois évidente donne
immédiatement la longueur d’un arc de cercle de
rayon R et de mesure connue:
a
a°
. 2πR , si a est exprimé en degré s
360°
a gr
L=
. 2πR , si a est exprimé en grades
400 gr
a
L=
. 2π R = a . R , si a est exprimé en radians.
2π
L=
2. Définitions
Soit une sphère de centre 0. Coupons-la par trois plans passant par son centre; ces plans
déterminent sur la sphère des arcs de grands cercles AB, BC, CA qui permettent la définition
suivante:
On appelle triangle sphérique, un triangle tracé sur la sphère au moyen d’arcs de grands
cercles inférieurs à un demi-cercle.
L’importante restriction finale va de soi, si l’on veut conserver la figure triangulaire
habituelle.
15
A
c
B
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
Les arcs de grands cercles formant le
triangle sphérique ABC en sont les côtés : on
représente leurs mesures par a, b, c suivant qu’ils
sont opposés aux sommets A, B ou C.
b
a
Les angles du triangle sphérique sont des
angles formés par des arcs de grands cercles,
c’est-à-dire des angles obtenus en traçant des
tangentes à ces arcs, dans les plans qui les
contiennent, par les sommets du triangle. Les plans
passant par le centre de la sphère déterminent un
trièdre central OABC.
O
C
Les faces angulaires de ce trièdre sont des
angles au centre ayant la même mesure que les
côtés du triangle. Les rectilignes des dièdres du
trièdre central sont égaux aux angles
correspondants du triangle sphérique.
Par le centre de la sphère, traçons des perpendiculaires aux faces du trièdre central
situées, par rapport à ces faces, du même côté que les arêtes opposées. Ces perpendiculaires
percent la sphère aux points A’, B’ et C’. Ces points sont chacun pôle d’un des arcs de grands cercles
BC, AC et AB. Le triangle sphérique A’B’C’ est appelé triangle sphérique polaire du triangle ABC.
3. Relations géométriques
La correspondance établie entre les faces angulaires du trièdre et les côtés du triangle
d’une part, les rectilignes des dièdres et les angles du triangle d’autre part, permettent d’énoncer
les relations suivantes :
1. La somme des côtés d’un triangle sphérique est inférieure à un grand cercle.
2. Chaque côté d’un triangle sphérique est inférieur à la somme des deux autres.
3. La somme des angles d’un triangle sphérique est comprise entre deux et six droits.
4. L’excès de la somme de deux angles sur le troisième est inférieure à deux droits.
Enfin, les relations existant entre les faces ou les rectilignes d’un trièdre et les
rectilignes ou les faces du trièdre supplémentaire donnent l’énoncé suivant : chaque
angle d’un triangle sphérique est le supplément du côté opposé dans le triangle polaire.
De plus, on sait que (2E, l’excès sphérique, valant la somme des angles moins 180°), l’aire d’un
triangle sphérique quelconque est à l’aire du triangle trirectangle comme son excès sphérique est à
un droit. Si E est exprimé en degrés, l’aire du triangle vaut
E
T=
πR 2
90°
16
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
4. Relations trigonométriques
4.1. Relations fondamentales
$
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
)
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B
)
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
4.2. Relations aux sinus
)
)
)
sin p sin(p - a) sin(p - b) sin(p - c)
sin A sin B sin C
=
=
=2
sin a sin b sin c
sin a sin b sin c
4.3. Lois des cotangentes
Partons de la première formule du groupe fondamental et remplaçons-y cos c par sa valeur
tirée de la troisième :
)
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
)
)
cos a = cos b (cos a cos b + sin a sin b cos C) + sin b sin c cos A
)
)
cos a = cos a cos² b + sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A
)
)
cos a - cos a cos² b = sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A
)
)
cos a (1 - cos² b) = sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A
)
)
cos a sin² b = sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A
Divisons par sin b sin a,
) sin c
)
cos a
cos A
sin b = cos b cos C +
sin a
sin a
)
)
)
)
sin c
sin C
) , nous obtenons cotg a sin b = cos b cos C + sin C cotg A .
par
Remplaçons
sin a
sin A
En procédant par analogie, nous obtenons les lois des cotangentes :
)
)
)
cotg a sin b = cos b cos C + sin C cotg A
)
)
)
cotg a sin c = cos c cos B + sin B cotg A
)
)
)
cotg b sin a = cos a cos C + sin C cotg B
)
)
)
cotg b sin c = cos c cos A + sin A cotg B
)
)
)
cotg c sin a = cos a cos B + sin B cotg C
)
)
)
cotg c sin b = cos b cos A + sin A cotg C
17
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
4.4. Relations entre trois angles et un côté
Considérons le triangle ABC et son triangle polaire A’B’C’. D ‘après la géométrie A’ = π - a et
a’ = π - A, B’ = π - b et b’ = π - B, C’ = π - c et c’ = π - C. Appliquons la formule fondamentale au
triangle polaire A’B’C’ :
)
cos a ′ = cos b ′ cos c ′ + sin b ′ sin c ′ cos A′
ou
)
)
)
)
)
cos( π − A) = cos(π − B) cos( π − C) + sin ( π − B) sin (π − C) cos (π − a)
ou
)
)
)
)
)
- cos A = cos B cos C - sin B sin C cos a
ou enfin
)
)
)
)
)
cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a
)
)
)
)
)
cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b
)
)
)
)
)
cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c
4.5. Triangles rectangles
4.5.1 Formulaire
)
)
Si on remplace A par 90°, sin A = 1 et cos A = 0 , les formules précédentes prennent des
expressions plus simples connues sous le nom de formules des triangles rectangles :
cos a = cos b cos c
)
)
cos a = cotg B cotg C
)
sin b = sin a sin B
)
sin c = sin a sin C
)
)
cos B = cos b sin C
)
)
cos C = cos c sin B
)
tg b = tg a cos C
)
tg c = tg a cos B
)
tg b = sin c tg B
)
tg c = sin b tg C
4.5.2 Nature des éléments
En multipliants les deux membres de la formule cos a = cos b cos c par cos a, on obtient
cos2 a = cos a cos b cos c .
Le premier membre étant positif, le second membre doit contenir trois facteurs positifs ou
deux négatifs et un positif. Les côtés d'un triangle sphérique rectangle sont donc tous inférieurs à
un quadrant ou l'un est inférieur à un quadrant et les deux autre supérieurs à un quadrant. En
conclusion :
dans un triangle sphérique rectangle, le nombre de côtés obtus est toujours pair.
18
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
)
)
$ sont de
De plus les formules tg b = sin c tg B et tg c = sin b tg C montrent que tg b et tgB
$ . On en conclut que :
même signe, comme tg c et tgC
dans un triangle sphérique rectangle, chaque côté de l'angle droit est de même nature que
l'angle qui lui est opposé.
5. Exercices
1. Calculer la vraie grandeur d'un angle projeté sur un plan horizontal suivant un angle de 107 g si
ses côtés font avec ce même plan des angles respectifs de 86 g et 29 g.
2. Calculer la projection d'un angle de 79 g sur un plan horizontal si ses côtés font avec ce même
plan des angles respectifs de 26 g et 69 g.
3. Calculer la distance qui sépare Rio de Janeiro (23°27'S; 42°10'W) et le Cap de Bonne Espérance
(34°32'S; 18°30'E) si le globe terrestre est supposé sphérique et de rayon 6378 km.
4. Calculer les angles dièdres d'un tétraèdre régulier.
5. On considère sur le globe terrestre supposé sphérique le point A de coordonnées géographiques
49° E et 38° N et un point B de coordonnées géographiques 143° E et 65° S. Calculer le gisement
de BA en B ( gisBA = angle entre la direction Nord en B et l'arc BA, compté positivement depuis
cette direction Nord; rayon terrestre = 6380 km) et la longitude du point D, point d'intersection
de l'arc de grand cercle AB avec l'équateur.
6. On donne sur le globe terrestre supposé sphérique (rayon : 6380 km) deux points de même
latitude 33,7° Nord et de longitude 7,9° Est (A) et 121,8° Est (B). Calculer la différence entre la
distance de A à B sur l'arc de grand cercle qui les unit et la distance entre ces mêmes points sur
leur parallèle.
19
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
Géométrie analytique
20
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
1. Repères du plan
r
e2
O
r
e1
Un repère du plan est constitué
1/ d'un point de référence ( arbitrairement choisi ) appelé
origine du repère et souvent noté O;
2/ d'un ensemble de deux vecteurs non nuls et non alignés
r r
(e1 , e 2 ) souvent appelé base du repère. Nous noterons un tel
r r
repère {O ; e 1 , e 2 } .
Si les vecteurs de la base sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal; si les vecteurs
de la base sont de même longueur, le repère dit normé; si les vecteurs de la base sont à la fois
perpendiculaires et normés, le repère sera dit orthonormé.
r
Considérons alors un point P quelconque du plan et projetons le sur l'axe (O, e 1 ) en P' et sur
r
l'axe (O, e 2 ) en P". On a alors les égalités suivantes :
P
P"
OP = OP' + OP"
r
r
OP = x e 1 + y e 2
r
e2
r
e1
P'
O
Cette décomposition de OP suivant les vecteurs de la base est unique. A tout point du plan,
on peut donc faire correspondre un et un seul couple de nombres réels et réciproquement. Ce couple
(x,y) est appelé coordonnées du point P, qui se note P(x,y) :
r
r
P(x, y) ⇔ OP = x e 1 + y e 2
La première coordonnée est appelée abscisse de P et la seconde ordonnée de P.
r
La droite déterminée par O et le vecteur e 1 est un axe ( voir 2.1.) et s'appelle l'axe des
r
abscisses. Il est souvent noté X. La droite déterminée par O et le vecteur e 2 est un axe ( voir 2.1.)
et s'appelle l'axe des ordonnées. Il est souvent noté Y. Avec ces notations, il nous arrivera parfois
r r
de parler du repère XOY pour le repère {O ; e 1 , e 2 } .
21
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
En procédant de la même manière avec un vecteur (libre ou lié) quelconque, on peut définir la
r
notion de coordonnées d'un vecteur v :
r
v
r
v 2 e2
r
r
r
r
v(v 1 , v 2 ) ⇔ v = v 1 e 1 + v 2 e 2
r
e2
O
r
v 1 e1
r
e1
On démontre alors le résultat suivant :
B( x B , y B )
yB
M
A( x A , y A )
yA
r
e2
O
r
e1
xA
xB
x A + xB y A + y B
,
)
2
2
Les coordonnées du milieu d'un segment sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnes
des extrémités du segment.
M(
22
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
2. Equations vectorielles, paramétriques et cartésiennes de la droite du
plan
2.1. Notion d'équation d'une droite
On appelle équation d'une droite toute condition nécessaire et suffisante pour qu'un point
du plan appartienne à cette droite.
2.2. Equation vectorielle
Soit d une droite quelconque et A et B deux
points distincts sur d. Soit enfin P un point
quelconque du plan. On a alors les équivalences
suivantes :
P ∈ d ⇔ AP est parallèle à AB
P
B
d
⇔ le vecteur AP est multiple du vecteur AB
A
⇔ ∃ k ∈ℜ : AP = k AB
On en déduit donc que AP = k AB est une équation vectorielle de la droite d = AB.
Vocabulaire :
1/ k est appelé paramètre réel.
2/ AB est appelé vecteur directeur de la droite d = AB.
Remarque : une droite possède de nombreuses équations vectorielles puisqu'elle possède de
nombreux vecteurs directeurs : n'importe quel vecteur déterminé par deux points distincts
quelconques de la droite.
2.3. Equations paramétriques
P( x, y)
AB(v 1 , v 2 )
r r
Munissons le plan d'un repère {O ; e 1 , e 2 } et
désignons par (x,y) les coordonnées de P , par
(x A, y A ) les coordonnées de A et par (v 1 , v 2 ) les
B
coordonnées du vecteur directeur AB .
On a alors les équivalences suivantes :
AP = k AB
A( x A , y A )
OP − OA = k AB
OP = OA + k AB
r
r
r
r
r
r
x e 1 + y e 2 = x A e 1 + y A e 2 + k (v 1 e 1 + v 2 e 2 )
r
r
r
r
x e 1 + y e 2 = (x A + k v 1 ) e 1 + ( y A + k v 2 ) e 2
r
e2
O
r
e1
ce qui donne le système d'équations suivant
23
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
⎧x = x A + k v 1
⎨
⎩y = y A + k v 2
appelé système d'équations paramétriques de la droite d.
Le couple (v 1 , v 2 ) , coordonnées du vecteur directeur, s'appelle un couple de paramètres
directeurs de la droite.
2.4. Equations cartésiennes
Pour obtenir une équation cartésienne de la droite d, il suffit d'éliminer le paramètre k
du système d'équations paramétriques de d.
On sait que (v 1 , v 2 ) sont les coordonnées d'un vecteur directeur de d, donc que v 1 et v 2 ne
sont pas nuls tous les deux en même temps ( sinon la droite n'a plus de direction ?! )
Dès lors, trois cas sont possibles :
1/ v 1 et v 2 sont non nuls : le système d'équations paramétriques peut alors s'écrire :
x − xA
⎧
k=
⎪
v1
⎧x − x A = k v 1
x − xA y − y A
⎪
⇔
=
⇔ v 2 (x − x A ) = v 1 ( y − y A ) (*)
⇔⎨
⎨
y
y
−
y
y
k
v
v1
v2
−
=
A
2
A
⎩
⎪k =
⎪⎩
v2
⇔ v 2 x − v 2 x A = v 1 y − v 1 YA
;
⇔ v 2 x − v1 y − v 2 xA + v1 y A = 0
c'est-à-dire une équation de la forme a x + b y + c = 0, où a (=v2) et b (= -v1) ne sont pas nuls.
r
r
Remarquons que le vecteur directeur v (v1,v2) peut aussi s'écrire v (-b,a).
2/ v 1 = 0 : le système d'équations paramétriques peut alors s'écrire :
⎧x = x A
⇔ x = xA ;
⎨
⎩y = y A + k v 2
c'est-à-dire une équation de la forme a x + b y + c = 0, où a = 1, b = 0. Remarquons que dans ce cas la
r
droite est parallèle à l'axe Y puisque son vecteur directeur v a pour coordonnées (0, v2).
Remarquons qu'un autre vecteur directeur de la droite d est alors (0,1) = (-b,a).
3/ v 2 = 0 : le système d'équations paramétriques peut alors s'écrire :
⎧x = x A + k v 1
⇔ y = yA ;
⎨
⎩y = y A
c'est-à-dire une équation de la forme a x + b y + c = 0, où a = 0, b = 1. Remarquons que dans ce cas la
r
droite est parallèle à l'axe X puisque son vecteur directeur v a pour coordonnées (v2,0).
Remarquons qu'un autre vecteur directeur de la droite d est alors (-1,0) = (-b,a).
Conclusions :
Tout droite du plan admet pour équation cartésienne une équation de la forme ax + by
+ c = 0 , où a et b ne sont pas simultanément nuls.
24
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
Si l'équation d'une droite est ax + by + c = 0, cette droite admet comme vecteur
directeur le vecteur de coordonnées (-b,a).
Remarques :
1/ En (*), l'équation obtenue peut aussi s'écrire : y − y A =
v2
(x − x A ) . Nous reviendrons plus loin
v1
sur cette formulation.
3. Coefficient de direction et coefficient angulaire, perpendicularité,
distances
3.1. Définition :
Considérons une droite d d'équation ax + by + c = 0. Remarquons d'abord que, dans cette
équation, b diffère de 0 si et seulement si la droite n'est pas parallèle à l'axe Y. Dès lors, si b≠0,
c
a
l'équation de la droite s'écrit : by = − ax − c ⇔ y = − x − .
b
b
Le coefficient de x dans l'équation d'une droite résolue par rapport à y s'appelle
coefficient de direction de la droite. On le note souvent m :
m=−
a
b
3.2. Interprétation graphique
Y
En vertu d'un résultat du paragraphe 2.4., la
droite d'équation ax + by + c = 0 admet comme
vecteur directeur (-b,a). Puisque b≠0, elle admet
a⎞
⎛
aussi comme vecteur directeur ⎜ 1, − ⎟ = (1, m) . Ceci
⎝ b⎠
explique l'appellation de m, puisque c'est sa valeur
qui mesure la "croissance" ou "décroissance" de la
droite. En particulier, on obtient les trois cas
suivant, selon le signe de m :
r
e2
r
e1
O
X
Y
Y
m>0
r
e2
O
r
e
Y
m<0
m
1
m=0
r
e2
X
O
r
e2
r
e
X
25
O
r
e1
X
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
Si le repère est orthonormé, on voit
facilement que m vaut la tangente trigonométrique
de l'angle qui applique la partie positive de l'axe
x sur la droite : m = tg α. Dans ce cas le
coefficient de direction s'appelle coefficient
angulaire.
Y
r
e2
α
r
e1
O
X
3.3. Propriétés
3.3.1. Coefficient de direction d'une droite dont on connaît deux points :
r r
Soit deux points du plan muni d'un repère {O ; e 1 , e 2 } : P1 (x1 , y 1 )
Y
r
e2
O
P1 ( x1 , y 1 )
P2 ( x 2 , y 2 ) et P2 (x 2, y 2 ) . Un vecteur directeur de la droite est
r
r
r
r
P1P2 = OP2 − OP1 = x 2e 1 + y 2e 2 − x1 e 1 − y 1 e 2
r
r
= (x 2 − x1 )e 1 + ( y 2 − y 1 )e 2
X
r
e1
Les coordonnées de P1P2 sont donc (x 2 − x1 , y 2 − y 1 ) . En prenant
le vecteur directeur d'abscisse 1, on déduit que
y − y1
m= 2
x 2 − x1
3.3.2. Equation de la droite passant par un point donné et de coefficient de direction
donné
r r
Le plan étant muni d'un repère {O ; e 1 , e 2 } , soit
Y
P(xP,yP)
coordonnées d'un point de d et (v 1 , v 2 ) celles d'un
r
e2
O
une droite d dont on connaît un point P(xP,yP) et le
coefficient de direction m.
A la première remarque du paragraphe 2.4., on
a établit qu'une équation cartésienne de la droite d
v
est y − y A = 2 (x − x A ) où (x A, y A ) désignait les
v1
r
e1
De plus, puisque (v 1 , v 2 )
vecteur directeur de d. Avec les notations du présent
paragraphe, cette équation s'écrit
X
v
y − y P = 2 (x − x P ) .
v1
v
est un vecteur directeur, le rapport 2 est égal au coefficient de
v1
direction m. L'écriture définitive de l'équation de d est donc
26
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
y − y P = m (x − x P )
3.3.3. Condition de parallélisme :
Deux droites, non parallèles à l'axe Y, sont parallèles entre elles si et seulement si
elles ont même coefficient de direction.
En effet : si on désigne par m1 le coefficient de direction de la première droite d1 et par m2
celui de la deuxième droite d2, elles admettent pour vecteurs directeurs respectifs
r
r
v 1 (1, m 1 ) et v 2 (1, m 2 ) . Alors
⎧1 = r.1
r r
r
r
d 1 d 2 ⇔ v 1 v 2 ⇔ ∃ r ∈ℜ : v 1 = r v 2 ⇔ (1, m 1 ) = r (1, m 2 ) ⇔ ⎨
⇔ m1 = m 2
⎩m 1 = r. m 2
3.4. Conditions de perpendicularité de deux droites (repaire ORTHONORME)
Si deux droites ne sont pas parallèles à l'axe Y, désignons par md le coefficient angulaire de
d et md' le coefficient angulaire de d'. Alors
d ⊥ d' ⇔ md md' = -1
3.5. Distance entre deux points
r r
Soit un repère orthonormé {O ; e 1 , e 2 } et deux
Y
B(x B , y B )
A(x A , y A )
r
e1
dist(A,B) = AB = AB. AB
dist(A, B) =
r
e2
O
points A(x A, y A ) et B(x B , y B ) .Alors,
X
27
( x B − x A )2 + ( y B − y A )2
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
3.6. Distance d'un point à une droite
r r
Soit un repère orthonormé {O ; e 1 , e 2 } , un
(
Q
ax + by + c = 0.
Y
Un vecteur directeur de d est (-b,a). Un
vecteur directeur de la droite perpendiculaire à d
passant par P est donc (a,b). Le vecteur
r
(a, b) est donc perpendiculaire à d et de
n=
a 2 + b2
r
norme 1. Alors, dist(P, d) = PQ. n , où Q est un point
d
r
n
r
e2
O
(
P x p, y p
)
r
e1
X
On a donc
dist(P, d) =
)
point P x p , y p et une droite d d'équation
(x
q
quelconque de d.
)
− x P , y q − y P . ( a, b)
a 2 + b2
=
ax Q − ax P + by Q − by P
a 2 + b2
Or le point Q est sur d, donc ses coordonnées vérifient l'équation de d :
ax Q + by Q + c = 0 ⇔ ax Q + by Q = −c ; et donc
ax P + by P + c
dist(P, d) =
a 2 + b2
4. Systèmes de coordonnées cartésiennes et polaires
4.1. Transformation de coordonnées d'un système à l'autre
4.1.1. Transformation de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires
mathématiques
Le point P est repéré par ses coordonnées
cartésiennes (ou rectangulaires) : P(xP , y P ) .
mathématique, les angles tournent positivement en
sens trigonométrique (inverse horaire); leur zéro
est sur l’axe des abscisses et ils sont généralement
exprimés en radians, unité du système
international.
Les formules de transformation sont les suivantes :
⎧ρ = x ² + y ²
P
P
⎧x P = ρ cos θ
⎪
et ⎨
⎨
yP
⎩y P = ρ sin θ
⎪tg θ =
xP
⎩
28
P
ρ
θ
Les coordonnées polaires mathématiques sont, dans
l'ordre, le rayon polaire ρ et l’angle polaire (ou
argument) θ : P(ρ, θ) . En convention polaire
yP
xP
X
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
Il faut cependant remarquer que la relation tg θ =
yP
ne suffit pas à elle seule pour déterminer de
xP
manière univoque l'angle θ, il demeure en effet une imprécision quant au quadrant.
4.1.2. Transformation de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires
topographiques
Le point P est repéré par ses coordonnées
cartésiennes (ou rectangulaires) : P(xP , y P ) .
yP
G
P
Dh
Les coordonnées polaires topographiques sont la
distance horizontale D h et le gisement G :
En convention polaire topographique, les angles
tournent positivement en sens horaire ; leur zéro
est sur l’axe des ordonnées et ils sont toujours
exprimés en grades (symbole gon) : cela vient des
choix technologiques sur les appareils de
topométrie.
X
xP
Les formules de transformation sont les suivantes :
⎧D = x ² + y ²
P
P
⎧x P = D h sin G
⎪ h
et
⎨
⎨
xP
⎩y P = D h cos G
⎪tg G =
yP
⎩
xP
ne suffit pas à elle seule pour déterminer de
yP
Ici aussi, il faut remarquer que la relation tg G =
manière univoque l'angle G, il demeure en effet une imprécision quant au quadrant.
4.2. Changement de repère cartésien dans le plan
4.2.1. Changement d'origine
P
r r
Soit un repère {O ; e 1 , e 2 } , ou encore XOY.
Si nous lui faisons subir une translation de son
origine O à une nouvelle origine O', nous obtenons
un nouveau repère X'O'Y'. Soit alors un point P
dont les coordonnées sont (x,y) dans XOY et (x',y')
dans X'O'Y'. Cherchons le lien qui unit ces
coordonnées. Désignons par (x O', y O' ) les
Y
O'
O
coordonnées de O' dans XOY.
Alors, il vient successivement
r
x e1 + y
r
x e1 + y
OP = OO' + O'P
r
r
r
r
r
e 2 = x O' e 1 + y O' e 2 + x' e'1 + y' e'2
r
r
r
e 2 = (x O' + x') e 1 + ( y O' + y') e 2
Adoptons les notations matricielles suivantes :
29
Y'
X
X'
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
⎛ x'⎞
⎛ x O' ⎞
⎛ x⎞
X = ⎜ ⎟ , X' = ⎜ ⎟ , X O' = ⎜
⎟,
⎝ y⎠
⎝ y O' ⎠
⎝ y'⎠
la dernière relation s'écrit
X = X O' + X'
4.2.2. Rotation de repère
Y
Faisons à présent subir à notre repère XOY
une rotation d'angle G (convention topographiques).
Nous obtenons un nouveau repère X'OY' de même
r
origine que XOY. De plus, les coordonnées de e'1
r
sont (cos G, -sin G) et celles de e'2 (sin G, cos G). Il
G
Y'
P
X
O
vient alors
X'
r
r
r
r
OP = x e 1 + y e 2 = x' e'1 + y' e'2
r
r
r
r
r
r
x e 1 + y e 2 = x'(cos G e 1 − sin G e 2 ) + y'(sin G e 1 + cos G e 2 )
r
r
r
r
x e 1 + y e 2 = (x'cos G + y'sin G )e 1 + ( − x'sin G + y'cos G )e 2
Adoptons les notations matricielles suivantes :
⎛ x'⎞
⎛ cos G sin G ⎞
⎛ x⎞
X = ⎜ ⎟ , X' = ⎜ ⎟ , R G = ⎜
⎟,
⎝ y⎠
⎝ − sin G cos G⎠
⎝ y'⎠
la dernière relation s'écrit
⎛ cos G sin G ⎞
X=⎜
⎟ X' = R G X'
⎝ − sin G cos G⎠
⎛ cos G sin G ⎞
La matrice R G = ⎜
⎟ s'appelle la matrice de rotation relative à l'angle G. Elle possède
⎝ − sin G cos G⎠
quelques propriétés remarquables :
cos G sin G
= cos²G + sin²G = 1
• dtm(R G ) =
− sin G cos G
−1
• RG
~
~
⎛ cos G sin G ⎞
⎛ cos G − sin G⎞
1
=
⎜
⎟ =⎜
⎟ = RG
dtm(R G ) ⎝ − sin G cos G⎠
⎝ sin G cos G ⎠
4.2.3. Rotation et changement d'origine
Y"
Pour passer du repère XOY au repère
X'O'Y', on peut d'abord changer d'origine (repère
X"O"Y"), puis effectuer la rotation d'angle G
autour de O" = O'. En vertu de ce qui précède, il
vient alors
X = X O" + X" = X O' + X"
X" = R G X' ,
donc
Y
X = X O' + R G X'
ou encore
30
X"
O"=O'
P
O
Y
G '
X
X'
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
⎛ x⎞ ⎛ x O' ⎞ ⎛ cos G sin G ⎞ ⎛ x'⎞
⎟⎜ ⎟
⎟ +⎜
⎜ ⎟ =⎜
⎝ y⎠ ⎝ y O' ⎠ ⎝ − sin G cos G⎠ ⎝ y'⎠
En vertu des propriétés de la matrice de rotation, l'inversion de cette formule est très aisée :
X = X O' + R G X' ⇔ R G X' = X − X O' ⇔ X' = R −G1 (X − X O' ) = R ~G (X − X O' ) ,
ou encore
⎛ x'⎞ ⎛ cos G − sin G⎞
⎜ ⎟ =⎜
⎟
⎝ y'⎠ ⎝ sin G cos G ⎠
⎛ ⎛ x⎞ ⎛ x O' ⎞ ⎞
⎜⎜ ⎟ − ⎜
⎟⎟
⎝ ⎝ y⎠ ⎝ y O' ⎠ ⎠
4.2.4. Changement d'origine avec changement d'échelle (d'unité)
Considérons à présent deux repères XOY et
X'O'Y' d'unités différentes. Désignons par k le
rapport entre la mesure d'une longueur quelconque
|PQ| dans le repère X'O'Y' et le repère XOY, ce
que nous noterons
Q
Y
O'
P
'
k=
d PQ
O
d PQ
X
Si nous prenons successivement comme vecteur PQ
les vecteur unitaire de X'O'Y', il vient
r '
r '
e'1
e'2
r
r
r
r
1
1
1
1r
1r
k = r ' = r ' = r ' = r ' ; dont on déduit que e'1 = e'2 =
et donc que e'1 = e 1 et e'2 = e 2 ,
k
k
k
e1
e1
e2
e2
r'
r
r'
r
puisque les vecteurs e 1 et e 1 d'une part et les vecteurs e 2 et e 2 sont parallèles.
Il vient alors
OP = OO' + O'P
r
r
r
r
r
r
x e 1 + y e 2 = x O' e 1 + y O' e 2 + x' e'1 + y' e'2
r
r
r
r
1r
1r
x e 1 + y e 2 = x O' e 1 + y O' e 2 + x' e 1 + y' e 2
k
k
r
r
1 ⎞ r
1 ⎞ r
⎛
⎛
x e 1 + y e 2 = ⎜ x O' + x'⎟ e 1 + ⎜ y O' + y'⎟ e 2
⎝
⎠
⎝
k
k ⎠
ou encore avec nos notations habituelles
1
X = X O' + X'⇔ X' = k(X − X O' )
k
Si nous appliquons cette dernière relation au point O, origine du repère XOY, il vient
X O' = k(0 − X O' ) = −kX O'
Dans cette relation, il ne faut pas confondre X O' donnant les coordonnées de O dans X'O'Y', avec
X O' donnant les coordonnées de O' dans XOY.
31
X'
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
4.2.5. Rotation et changement d'origine avec changement d'échelle (d'unité)
Y"
Pour ce faire, on effectue d'abord un
changement d'origine avec changement d'unité du
repère XOY au repère provisoire X"O"Y", puis une
simple rotation du repère de X"O"Y" en X'O'Y'.
Cela donne successivement
1
1
X = X O" + X" = X O' + X" ,
k
k
⎛ cos G sin G ⎞
X" = ⎜
⎟ X' = R G X' ,
⎝ − sin G cos G⎠
X = X O' +
Y
G '
Q
Y
X"
O"=O'
P
X'
X
O
1
X" , donc
k
1
R X'
k G
⎛ x⎞ ⎛ x O' ⎞ 1 ⎛ cos G sin G ⎞ ⎛ x'⎞
⎟⎜ ⎟
⎟+ ⎜
⎜ ⎟ =⎜
⎝ y⎠ ⎝ y O' ⎠ k ⎝ − sin G cos G⎠ ⎝ y'⎠
X = X O' +
Cette relation s'inverse facilement :
~
~
1
1
'
X = X O' + R G X' ⇔ R G X' = X − X O' ⇔ R G X' = k(X − X O' ) ⇔ X' = k R G (X − X O' ) ⇔ X' = k R G X + X O
k
k
~
'
X' = k R G X + X O
⎛ x'⎞
⎛ cos G − sin G⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x O' ⎞
⎜ ⎟ = k⎜
⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ sin G cos G ⎠ ⎝ y⎠ ⎜⎝ y O' ⎟⎠
⎝ y'⎠
qui développée rend les relations de Helmert vues au cours de topographie.
5. Le cercle
5.1. Définitions
On appelle cercle l'ensemble des points du plan équidistants d'un point fixe appelé centre du
cercle. La distance constante est appelée rayon du cercle.
5.2. Equation cartésienne
r r
Soit un repère orthonormé {O ; e 1 , e 2 } un cercle
de rayon r et de centre C (x C , y C ) . On a alors les
P(x,y)
Y
équivalences suivantes :
P(x, y) ∈ cercle
⇔ dist(P, C ) = r
(x − x C ) + ( y − y C ) = r
2
2
⇔ (x − x C ) + ( y − y C ) = r2
⇔
C (x C , y C )
2
L'équation générale d'un cercle est donc
r
e2
O
2
r
e1
(x − x C )2 + (y − y C )2 = r2
X
32
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
Si on développe cette dernière équation, on obtient
(x − x C )2 + (y − y C )2 = r2 ⇔ x2 − 2x C x + x C 2 + y2 − 2y C y + y C 2 = r2 ⇔ x2 + y2 − 2x C x − 2y C y + x C 2 + y C 2 − r2 = 0
c'est-à-dire une équation de la forme
x2 + y 2 + ax + by + c = 0
Examinons sous quelles conditions une équation de cette forme est l'équation d'un cercle :
a
b
x2 + y 2 + ax + by + c = 0 ⇔ x2 + 2 x + y 2 + 2 y + c = 0
2
2
2
2
⎛
⇔ ⎜x +
⎝
a⎞
a2 ⎛
b⎞
b2
⎛
+ ⎜y + ⎟ −
+ c = 0 ⇔ ⎜x +
⎟ −
⎠
⎝
2
4 ⎝
2⎠
4
⇔ ⎛⎜ x +
⎝
a⎞
b⎞
a2 + b2 − 4c
⎛
⎟ + ⎜y + ⎟ =
⎝
2⎠
2⎠
4
2
2
2
a⎞
b⎞
a 2 b2
⎛
+
−c
⎟ + ⎜y + ⎟ =
⎝
2⎠
2⎠
4
4
2
Dès lors,
⎛ − a −b ⎞
• si a2 + b2 − 4c > 0 , l'équation x2 + y2 + ax + by + c = 0 est celle d'un cercle de centre ⎜ , ⎟
⎝ 2 2⎠
a2 + b2 − 4c
;
2
• si a2 + b2 − 4c = 0 , l'équation x2 + y2 + ax + by + c = 0 est celle du point de coordonnées
et de rayon
⎛ − a −b ⎞
⎜ , ⎟;
⎝ 2 2⎠
• si a2 + b2 − 4c < 0 , l'équation x2 + y2 + ax + by + c = 0 est impossible.
6. L'ellipse
6.1. Définition
On appelle ellipse le lieu des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes
appelés foyers est constante.
6.2. Equation
Y
P (x,y)
X
F ’(-c,0 )
F (c,0 )
Afin d’établir l’équation canonique de
l’ellipse, notons 2a la constante donnée et F et F’ les
deux foyers. Nous définissons alors notre repère
orthonormé comme suit : origine au milieu du
segment [F,F’], axe des abscisses passant par les
deux foyers F et F’. L’axe des ordonnées est alors
automatiquement déterminé. Nous désignerons par
(c,0) les coordonnées du foyer F , celles du foyer F’
étant alors (-c,0).
Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a les équivalences suivantes : P(x,y) appartient à
l’ellipse
⇔ PF + PF' = 2a
33
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
2
2
2
2
⇔ (x − c) + y + (x + c) + y = 2a
⇔ (x − c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 + 2 (x − c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 = 4a2
⇔ 2 (x − c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 = 4a2 − 2x2 − 2y 2 − 2c2
⇔ (x − c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 = 2a2 − x2 − y 2 − c2
[
][
] (
⇒ (x − c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 = 2a2 − x2 − y 2 − c2
)
2
( a)
⇔ x 4 − 2c2x2 + c 4 + x2 y 2 − 2xcy 2 + c2 y 2 + x2 y 2 + 2xcy 2 + c2 y2 + y 4
= 4a 4 + c 4 + x 4 + y 4 − 4a2c2 − 4a2x2 − 4a2 y 2 + 2c2x2 + 2c2 y2 + 2x2 y 2
⇔ 4a 4 − 4a2c2 − 4a2x2 − 4a2 y 2 + 4c2x2 + 4c2 y 2 + 4x2 y 2 = 0
⇔ a 4 − a2c2 − a2x2 − a2 y 2 + c2x2 + c2 y 2 + x2 y 2 = 0
(
⇔ (a
)
− c )x
⇔ c 2 − a 2 x 2 − a 2 y 2 + a 4 − a 2c 2 = 0
2
2
2
(
+ a2 y 2 = a2 a 2 − c2
)
(1)
Posons b2 = a2 − c2 , ce qui est licite car 2c = ⎜FF’⎜ < 2a sinon le lieu est vide puisque dans le
triangle PFF’ le côté FF’ est inférieur à la somme des deux autres côtés. L’équation (1) s’écrit alors
x2 y 2
+
= 1 (2)
a 2 b2
Pour que (2) soit l’équation de l’ellipse, il faut prouver qu’en (a), on a équivalence; c’est-à-dire
que si un point P(x,y) vérifie (2), alors on a 2a2 − c2 − x2 − y 2 ≥ 0 ⇔ x2 + y 2 ≤ 2a2 − c2 .
y2
y2
x2
≤
1
=
≤ 1 donc
et
a2
b2 a 2 − c2
x2 ≤ a2 et y 2 ≤ a2 − c2 et donc l’inégalité recherchée en additionnant membre à membre ces deux
Or si un point P(x,y) vérifie (2) on a
relations.
CONCLUSION : Dans le repère décrit ci-dessus, l’équation de l’ellipse s’écrit
x2 y2
+
=1
a2 b2
6.3. Etude de la courbe
L’équation de l’ellipse peut s’écrire
x2
b2 2
b 2
2
⇔
y
=
a − x2 ⇔ y = ±
a − x2
2
2
a
a
a
Pour tracer le graphique de l’ellipse, il suffit d’étudier la fonction positive ci-dessus, l’autre
partie du graphique s’obtenant par symétrie par rapport à l’axe X.
b 2
Etudions donc la fonction y =
a − x2 .
a
Domaine : [ - a , a ]
Zéros : - a et a
Pas d’asymptotes
−x
b
Dérivée première : y ′ =
a a2 − x2
y 2 = b2 1 −
x
- a
(
)
0
a
34
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
a2 − x2
+
0
+
+
0
+
+
0
y‘
y
+∞
tangente verticale
+
0
max = b
-
-∞
tangente verticale
- x
Dérivée seconde : y ′′ =
(a
− ab
2
−x
)
2 3
< 0 sur ] - a , a [
Remarque : si on avait fait passer l’axe Y et non l’axe X par les deux foyers , on aurait obtenu pour
x2 y 2
équation de l’ellipse 2 + 2 = 1 et le graphique ci dessus à droite.
b
a
On voit de suite qu'une ellipse possède deux axes de symétrie orthogonaux; l'un passant
par les foyers et l'autre par la médiatrice du segment les reliant. Les points d'intersection
des axes de symétrie avec l'ellipse sont appelés sommets de l'ellipse.
7. L’HYPERBOLE
7.1. Définition
On appelle hyperbole le lieu des points du plan dont la différence des distances à deux
points fixes appelés foyers est égale à une constante .
7.2. Equation
Afin d’établir l’équation canonique de
l’hyperbole, notons 2a la constante donnée et F et
F’ les deux foyers. Nous définissons alors notre
repère orthonormé comme suit : origine au milieu du
segment [F,F’], axe des abscisses passant par les
deux foyers F et F’. L’axe des ordonnées est
Y
P (x,y)
X
F ’(-c ,0 )
F (c,0)
35
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
alors automatiquement déterminé. Nous désignerons par (c,0) les coordonnées du foyer F , celles du
foyer F’ étant alors (-c,0).
Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a les équivalences suivantes : P(x,y) appartient à
l’hyperbole
⇔ PF − PF ' = 2a
(x − c) 2 + y2 − (x + c)2 + y2
⇔
= 2a
⇔ (x − c) 2 + y2 + (x + c) 2 + y2 − 2 (x − c) 2 + y2 (x + c) 2 + y2 = 4a2
⇔ 2 (x − c)2 + y2 (x + c) 2 + y2 = 2x2 + 2y2 + 2c2 − 4a2
⇔ (x − c)2 + y2 (x + c)2 + y2 = x2 + y2 + c2 − 2a2
[
][
] (
⇒ (x − c)2 + y2 (x + c)2 + y2 = x2 + y2 + c2 − 2a2
)
2
(b)
⇔ x 4 − 2c2x2 + c 4 + x2 y2 − 2xcy2 + c2 y2 + x2 y2 + 2xcy2 + c2 y2 + y 4
= x 4 + y 4 + c 4 + 4a 4 + 2x2 y2 + 2c2x2 − 4a2x2 + 2c2 y2 − 4a2 y2 − 4a2c2
⇔ 4a 4 + 4c2x2 − 4a2x2 − 4a2 y2 − 4a2c2 = 0
⇔ a 4 + c2x2 − a2x2 − a2 y2 − a2c2 = 0
(
)
⇔ c2 − a2 x2 − a2 y2 + a 4 − a2c2 = 0
(3)
Posons b2 = c2 − a2 , ce qui est licite car 2c = ⎜FF’⎜ > 2a sinon le lieu est vide puisque dans le
triangle PFF’ le côté FF’ est supérieur à la différence des deux autres côtés. L’équation (3) s’écrit
alors
x2 y 2
−
= 1 ( 4)
a2 b2
Pour que (4) soit l’équation de l’hyperbole, il faut prouver qu’en (b), on a équivalence; c’est-àdire que si un point P(x,y) vérifie (4), alors on a x2 + y2 + c2 − 2a2 ≥ 0 ⇔ x2 + y2 ≥ 2a2 − c2 = a2 − b2 .
y2
x2
=
1
+
≥ 1 donc x2 + y2 ≥ x2 ≥ a2 ≥ a2 − b2 .
2
2
a
b
CONCLUSION : Dans le repère décrit ci-dessus, l’équation de l’hyperbole s’écrit
x2 y 2
−
=1
a2 b2
Or si un point P(x,y) vérifie (4) on a
7.3. Etude de la courbe
L’équation de l’hyperbole peut s’écrire
x2
b2 2
b
2
−
1
⇔
=
y
x − a2 ⇔ y = ±
x2 − a2
2
2
a
a
a
Pour tracer le graphique de l’hyperbole, il suffit d’étudier la fonction positive ci-dessus,
l’autre partie du graphique s’obtenant par symétrie par rapport à l’axe X.
b 2
x − a2 .
Etudions donc la fonction y =
a
Domaine : ] - ∞ , - a [ ∪ ] a , + ∞ [; zéros : - a et a
Asymptotes : pas de verticales
(
y2 = b2
ANV : m ± =
b
lim x → ±∞
a
)
x
x2 − a 2 b
b
= lim x → ±∞
=±
x
a
x
a
36
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
b
b
p ± = lim x → ±∞ x2 − a2 m x = lim x → ±∞
a
a
= − ab lim x → ±∞
1
=0
x +x
− a2
x2 − a 2 m x
Il y a donc deux asymptotes obliques; l’une en +∞ d'équation y =
d'équation y = −
b
x.
a
Dérivée première : y ′ =
x
x
x −a
2
2
y’
y
b
a
x
2
x − a2
- a
0
+
-
Dérivée seconde : y ′′ =
b
x et l’autre en −∞
a
-∞
tangente
verticale
− ab
(x
2
−a
)
2 3
a
+
0
+∞
tangente
verticale
+
+
+
< 0 sur ] - ∞ , - a [ ∪ ] a , + ∞ [
Remarque : si on avait fait passer l’axe Y et non l’axe X par les deux foyers, on aurait obtenu
y 2 x2
pour équation de l’hyperbole 2 − 2 = 1 et le graphique ci dessus à droite.
a
b
On voit de suite qu'une hyperbole possède deux axes de symétrie orthogonaux; l'un
passant par les foyers et l'autre par la médiatrice du segment les reliant. Les points
d'intersection de l'axe des foyers avec l'hyperbole sont appelés sommets de l'hyperbole.
8. LA PARABOLE
8.1. Définition
On appelle parabole le lieu des points du plan équidistants d’un point fixe appelé foyer et
d’une droite fixe appelée directrice.
37
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
8.2. Equation
Afin d’établir l’équation canonique de la
parabole, nommons F le foyer et d la directrice.
Nous définissons alors notre repère orthonormé
comme suit : origine au milieu du segment issu de F
perpendiculaire à d et limitée à celle-ci, axe des
abscisses passant par le foyer F (et donc
perpendiculaire à d), l’abscisse de F étant positive
et désignée par p/2. L’axe des ordonnées est alors
automatiquement déterminé. Les coordonnées du
foyer F sont alors (p/2,0) et l’équation de la
directrice x = -p/2.
P ( x, y )
x = -p/2
F(p/2,0)
d
Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a alors les équivalences suivantes : P(x,y)
appartient à la parabole
2
p⎞
p
⎛
⇔ ⎜ x − ⎟ + y2 = x +
⎝
2⎠
2
2
p⎞
p2
⎛
⇔ ⎜ x − ⎟ + y2 = x2 + px +
⎝
2⎠
4
⇔ x2 − px +
p2
p2
+ y2 = x2 + px +
4
4
⇔ y2 = 2px
CONCLUSION : Dans le repère décrit ci-dessus, l’équation de la parabole s’écrit
y2 = 2px
8.3. Etude de la courbe
L’équation de la parabole peut s’écrire
y = ± 2px .
Domaine : [ 0 , +∞ [
Zéros : 0
Pas d'asymptotes
p
y'=
> 0 sur ] 0 , +∞ [ : fonction
2px
strictement croissante ( décroissante)
tangente verticale en 0
2
−p
y" =
< 0 sur ] 0 , +∞ [
3
2
px
( )
On voit de suite qu'une parabole possède un axe de symétrie passant par le foyer et
perpendiculaire à la directrice. Le point d'intersection de l'axe avec la parabole est appelé sommet
de la parabole.
38
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
8.4. Autre forme de l'équation
Si on avait fait passer l'axe Y et non l'axe X par le foyer, on aurait obtenu pour équation de
x²
. Si de plus on effectue un changement d'origine du repère, défini par
la parabole x² = 2py ⇔ y =
2p
des relations du type x'= x + x 0 et y'= y + y 0 , on obtient tous calculs faits une équation du type
y = ax² + bx + c . On retrouve la forme de l'équation de la parabole bien connue des étudiants du
secondaire supérieur. Rappelons en les conclusions :
• Si a > 0, la parabole est de concavité positive; si a < 0, la parabole est de concavité négative.
−b
• La parabole admet pour axe de symétrie la droite parallèle à l'axe Y d'équation x =
.
2a
⎛ −b − ∆ ⎞
• Les coordonnées du sommet sont ⎜
,
⎟ , où ∆ = b² − 4ac .
⎝ 2a 4a ⎠
10
10
20
20
9
19
8
18
7
17
6
16
5
15
4
14
3
2
13
12
11
1
2
x
x 6
2
x
5
4
3
2
1 0 1
1
2
3
4
10
x 1
5
9
2
8
3
7
4
6
5
5
6
4
7
3
8
2
1
9
10
0
10
5
x
5
5
5
4
3
2
1
0 1
x
2
3
4
5
5
9. Exercices
Enoncés
1. On donne les droites a : 3x + 2y = 6, b : x - 2y + 6 = 0, c : 2x - y - 4 =
0. Représenter chacune de ces droites et calculer les coordonnées
des sommets du triangle que ces droites déterminent.
2. On donne les droites a : 5x + 2y -10 = 0, b : 3x + 4y - 12 = 0, c : 3x 4y - 12 = 0. Représenter chacune de ces droites et calculer les
coordonnées des sommets du triangle que ces droites déterminent.
3. On donne les points A(3;0) et B(0;-2). Représenter la droite AB et en
calculer l'équation cartésienne.
4. On donne les points A(3;-1) et B(0;2). Représenter la droite AB et en
calculer l'équation cartésienne.
5. On donne les points A(4;3) et B(-3;4). Représenter la droite AB et en
calculer l'équation cartésienne.
6. On donne les points A(4;7) et B(1;-5). Représenter la droite AB et en
calculer l'équation cartésienne.
39
Réponses
⎛ 14 16 ⎞
(0;3), (2;0), ⎜ ; ⎟
⎝ 3 3⎠
⎛ 8 15 ⎞ ⎛ 32 −15 ⎞
;
⎟ et (4;0)
⎜ ; ⎟, ⎜
⎝ 7 7 ⎠ ⎝ 13 13 ⎠
2
x−2
3
y = −x + 2
y=
1
25
x+
7
7
y = 4x − 9
y=−
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
7. On donne les points A(1;2), B(3;4) et C(0;-2). Déterminer le point
commun à AB et à la droite d : x + 1 = 0; le point commun à AC et à la
droite d' : y = 3; le point commun à BC et à la droite d" : y + x = 0.
8. On donne le triangle ABC avec A(-3;0), B(0;4) et C(6;0).Déterminer
les coordonnées des milieux des cotés. Ecrire les équations des
médianes. Calculer les coordonnées du centre de gravité.
9. On donne les points A(2;1) et B(-3;2) et la droite d : x - 3y + 1 = 0.
Ecrire l'équation de la droite a passant par A et parallèle à l'axe X; b
passant par B et parallèle à l'axe Y; c passant par O et parallèle à AB;
e passant par A et parallèle à d; f passant par B et parallèle à d.
10. On donne le triangle ABC avec A(3,1), B(-4,2) et C(-2,-3). Ecrire
l'équation de chacune des droites passant par un sommet de ce
triangle et parallèle au côté opposé.
⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 2⎞
(-1;0), ⎜ ;3⎟ , ⎜ ;− ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 3⎠
⎛ 3 ⎞
⎛3 ⎞
C'⎜ − ;2⎟ , B'⎜ ;0⎟ , A'(3;2)
⎝ 2 ⎠
⎝2 ⎠
1
x +1
3
8
BB' : y = − x + 4
3
4
8
CC' : y = − x +
15
5
AA' : y =
a:y=1
⎛ 4⎞
G ⎜ 1; ⎟
⎝ 3⎠
b: x = -3
1
x e : x - 3y + 1 = 0
5
f : x - 3y + 9 = 0
c: y=−
−5
17
x+
2
2
4
26
Par B : y = x +
5
5
−1
23
x−
Par C : y =
7
7
1
5
11. On considère les points A(2,3) et B(-4,-1). Déterminer l'équation de la
a : y= x+
b et d (-6;-4)
4
2
droite a passant par A et parallèle à OB; de la droite b passant par B
3
et parallèle à OA; de la droite d passant par O et parallèle à AB.
b et a : (-2;2)
b : y = x+5
2
Déterminer les coordonnées des sommets du triangle dont les côtés
2
sont portés par les droites a, b et d.
a et d : (6;4)
d: y= x
3
12. On donne les droites a : x + y = 0, b : x - 2y = 0, c : y = 2x et le point B(-2;0)
A(1,-3). Par A on mène les droites a' et b' respectivement parallèles
C(-5;-6)
aux droites a et b; sur a' on marque le point B d'abscisse -2. Par B on
mène la droite c' parallèle à la droite c et on note C son point commun
avec b'. Calculer les coordonnées de B et C.
13. On considère le quadrilatère ABCD avec A(3,2), B(-5,4), C(-3,-4) et
⎛ −1 −44 ⎞
⎛ 41 2⎞
Q⎜ ;
P⎜ ;− ⎟
⎟
⎝3 3 ⎠
⎝ 3 3⎠
D(2,-3). On désigne par P le point commun à AB et CD et par Q le
point commun à AD et BC. Démontrer que les droites AC et PQ sont
m AC = m PQ = 1 ⇒ AC
...
parallèles et que BD passe par le milieu de [PQ].
20
23 ⎞
⎛
milieu de [PQ] : ⎜
;− ⎟ ,
⎝ 3
3⎠
14. On donne les points A(1,2) et B(-2,1). Démontrer que les droites OA
et OB sont perpendiculaires.
Par A : y =
solution de l'équation de
BD : y = - x - 1
−1
−1
m OA = 2
, m OB =
=
2 m OA
1
9
15. On donne les points A(1,2), B(1,- 5). Ecrire les équations des hauteurs
h A: y = x +
5
5
du triangle OAB et calculer les coordonnées de leur point commun.
1
9
hB: y = − x −
2
2
hO: y = 0
H(-9;0)
40
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
16. On donne le point A(-1,- 2) et la droite d : 2x + 3y = 0. La droite
comprenant A et parallèle à d coupe Ox en B. La droite comprenant A
et perpendiculaire à d coupe Oy en D. Déterminer les coordonnées
des sommets du rectangle ABCD.
17. On considère le triangle ABC avec A(7,4), B(2,-3) et C(-5,2). Ecrire
les équations des médiatrices du triangle ABC. Vérifier par le calcul
que ces médiatrices sont concourantes en un point M. Vérifier par le
calcul que le point M est équidistant des points A, B et C. Que peut-on
en conclure ?
18.On donne les points A(-3, 3), B(-2, -1) et C(2, 1). Déterminer les
coordonnées des milieux des côtés et du centre de gravité du triangle
ABC. Déterminer les équations des côtés et des médianes du triangle
ABC. Déterminer les équations des hauteurs et les coordonnées de l
orthocentre du triangle ABC. Déterminer les équations des
médiatrices et les coordonnées du centre du cercle circonscrit au
triangle ABC.
B(-4;0)
1⎞
⎛
D⎜ 0;− ⎟
⎝
2⎠
3⎞
⎛
C ⎜ −3; ⎟
⎝
2⎠
⎛ 5 ⎞
B'(-½;2) A'(0;0) C' ⎜ − ;1⎟
⎝ 2 ⎠
G(-1;1)
AB : y = -4x - 9
2
9
1
AC : y = − x +
BC : y = x
5
5
2
AA' : y = -x BB' : y = 2x + 3
CC' : y = 1
5
h A: y = −2x − 3 hB: y = x + 4
2
1
1 ⎛ 14 1 ⎞
hC : y = x +
H⎜ − ; ⎟
4
2 ⎝ 9 9⎠
5
13
x+
2
4
mé dBC : y = −2x
mé dAC : y =
1
13
x+
4
8
⎛ 13 13 ⎞
centre ⎜ − ; ⎟
⎝ 8 9⎠
mé dAB : y =
19. On donne les droites a : x - 2y - 1 = 0, b : 7x + y + 8 = 0, c : x + y - 4 = sommets (-1;-1) (3;1) (-2;6)
0. On note T le triangle déterminé par ces trois droites. Déterminer G(0;2)
les sommets de T. Déterminer ensuite le centre de gravité,
⎛ 2 2⎞
H⎜ ; ⎟
⎝ 3 3⎠
l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit de T.
⎛ 1 8⎞
centre ⎜ − ; ⎟
⎝ 3 3⎠
20. Déterminer l'équation des droites situées à une distance 1 de la
droite d : 3x - 4y + 6 = O.
21. Déterminer les points d'abscisse 1 situés à la même distance de d et
de d'. En déduire les équations des bissectrices des angles
déterminés par d : x + y - 1 = 0 et par d' : x - y + 1 = O.
22. Déterminer les points d'abscisse 1 situés à la même distance de d et
de d'. En déduire les équations des bissectrices des angles
déterminés par d : 2x + y - 2 = O et par d' : x + 2y - 3 = O.
3x - 4y + 1 = 0
3x - 4y + 11 = 0
(1;1)
y=1
x=0
⎛ 2⎞
(1;2) et ⎜ 1; ⎟
⎝ 3⎠
y = x +1
y = −x +
41
5
3
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
23. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² = 9
24. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² + 2x 2y - 4 = 0
25. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² + x 3y = 0
(0;0)
3
(-1;1)
6
⎛ 1 3⎞
⎜− ; ⎟
⎝ 2 2⎠
10
2
26. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² -2x +
4y - 20 = 0
27. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 2x² + 2y² +
2x + 2y -3 = 0
(1;-2)
28. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 4(x² + y²) 4x + 12y + 9 = 0
⎛ 1 3⎞
⎜ ;− ⎟
⎝ 2 2⎠
29. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 4(x² + y²) - x
+ 2y - 5 = 0
⎛1 1⎞
⎜ ;− ⎟
⎝ 8 4⎠
30. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 3 x² + 3y² 5x + 7 y - 1 = 0
⎛ 5 7⎞
⎜ ;− ⎟
⎝ 6 6⎠
31. Déterminer k pour que le cercle d'équation x² + y² - 2x + 4y + k = 0
passe par le point (4,3); ait 4 comme rayon; soit tangent à l'axe X;
soit tangent à l'axe Y.
32. Déterminer k pour que le cercle d'équation x² + y² - 2kx + 2(k-1)y =
0 passe par le point (4,3); ait 5 comme rayon; soit tangent à l'axe X;
soit tangent à l'axe Y.
33.Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la
droite d'équations x² + y² = 65 et 3x + y - 25 = 0.
34. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la
droite d'équations x² + y² + x + 3y - 4 = 0 et x + y - 1 = 0.
35. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la
droite d'équations x² + y² + 2x - 1 = 0 et x - y - 1 = 0.
36. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la
droite d'équations x² + y² - 2x + 3y - 3 = 0 et 2x + y + 2 = 0.
37. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la
droite d'équations x² + y² + 2x + 3y - 7 = 0 et 5x + 4y + 11 = 0
38. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la
droite d'équations x² + y² + x - 15y + 24 = 0 et x - 2y + 3 = 0.
39. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est l'origine et le rayon 2
k = -29
k=1
40. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est C(1,-2) et le rayon 5
41. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est C(1,2) et qui passe par
(-2,-2)
42. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est C(0,-3) et qui est
tangent à la droite d : 3 x + y + 1 = 0
5
⎛ 1 1⎞
⎜ − ;− ⎟
⎝ 2 2⎠
19
2
k=0
k=
2
1
2
85
8
86
6
k = -11
k=4
k = 4 ou -3
k=1
(8;1) et (7;4)
(0;1) et (2:-1)
(0;-1)
(1;-4) et (-1:0)
(1;-4) et (-3;1)
(3;3) et (1;2)
x² + y² = 4
(x-1)²+(y+2)² = 5
(x-1)²+(y-2)² = 25
x² + (y+3)² = 1
43. Ecrire l'équation du cercle passant par (0,0), (3,3) et (4,-4)
x² + y² -7x + y = 0
44. Ecrire l'équation du cercle passant par (2,0), (5,0) et (2,-4)
x² + y² -7x + 4y + 10 = 0
45. Ecrire l'équation des cercles tangents à d : y = x, à l'axe des y et de x − 2 2 + y − 2 + 2 2 = 2
rayon est 2
2
2
x+ 2 + y+ 2+ 2 = 2
(
(
42
) ( (
) ( (
))
))
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
46. Ecrire l'équation du cercle tangent à d : x + y + 2 = O, à d' : x - y + 2
= O et comprenant le point A(O, 2)
47. Ecrire l'équation du cercle de diamètre [AB] avec A(-1,3) et B(2;-1).
(x-2)² + y² = 8
48. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (0,0) et qui est
tangent à la droite x + y + 1 = 0
49. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (1,2) et qui est tangent
à la droite 2x + y - 8 = 0
50. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (-1,0) et qui est
tangent à la droite 3x - y + 1 = 0
51. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (2,-3) et qui est
tangent à la droite 2x - 3y + 4 = 0
52.Déterminer les tangentes au cercle de centre (0,0) et de rayon 2
parallèles à la droite y = 0
53. Déterminer les tangentes au cercle de centre (1,0) et de rayon 3
parallèles à la droite x - 2y = 0
x² + y² = ½
54. Déterminer les tangentes au cercle de centre (0,2) et de rayon 3
parallèles à la droite x - y = 0
x − y + 2 − 3 2 = 0 et
55. Déterminer les tangentes au cercle de centre (1,2) et de rayon 1
parallèles à la droite x = 0
56. Déterminer les tangentes au cercle de centre (3,-1) et de rayon 4
parallèles à la droite 2x - y = 0
x = 0 et x = 2
57. Déterminer les tangentes au cercle de centre (4,2) et de rayon 4
parallèles à la droite x + 2y = 0
x + 2y − 8 + 4 5 = 0 et
58. On donne le cercle C 1 , de centre O(0, 0) et de rayon 5 et le point
2
1⎞
25
2
⎛
⎜ x − ⎟ + ( y − 1) =
⎝
2⎠
4
(x-1)² + (y-2)² =
(x+1)² + y² =
16
5
2
5
(x-2)² + (y+3)² =
289
13
y = 2 et y = -2
x − 2y − 1 − 3 5 = 0 et
x − 2y − 1 + 3 5 = 0
x− y+2+3 2 = 0
2x − y − 7 + 4 5 = 0 et
2x − y − 7 − 4 5 = 0
x + 2y − 8 − 4 5 = 0
2
2
7⎞
1⎞
50
⎛
⎛
C 2: ⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ =
⎝
⎠
⎠
⎝
2
2
4
A(7, 1). Quelle est l'équation du cercle C 2 qui a [OA] comme diamètre
intersection : (3;4) et (4;-3)
? Quels sont les points communs à C 1 et à C 2 ? Quelles sont les
3
équations des tangentes à C 1 issues de A ? Vérifier que ces
tangentes : y − 1 = − ( x − 7 )
4
tangentes sont perpendiculaires.
4
et y − 1 = ( x − 7 )
3
43
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
59. On donne deux cercles : C 1 de centre (3, 2) et de rayon
65
et C 2
2
⎛ 3⎞
de centre (0,0) et comprenant le point ⎜ 1, ⎟ . Déterminer des
⎝ 2⎠
C 1 : ( x − 3) + ( y − 2) =
2
2
C 1 : x2 + y2 =
équations de ces cercles. Quels sont les points A et B communs à ces A⎛⎜ 1;− 3 ⎞⎟
⎝ 2⎠
cercles ? Chercher les points communs aux tangentes à ces cercles en
A et en B.
pour C 1 :
13
4
65
4
3⎞
⎛
B⎜ −1; ⎟
⎝
2⎠
4
13
x−
7
14
13
tB: y = −8x −
2
⎛ 39 1 ⎞
intersection ⎜ −
;− ⎟
⎝ 52 2⎠
2
13
t A: y = x +
pour C 2 :
3
6
2
13
tB: y = x −
3
6
pas d'intersection
centre (2;-4), rayon 5
point de contact (5;0)
tangente en (-1;-8) :
4y + 3x + 35 = 0
t A: y = −
60.On donne les points A(5,0), B(-1, O) et C(-2,-7) ainsi que la droite d :
4y + 3x - 15 = 0. Quels sont le centre et le rayon du cercle
comprenant A, B et C ? Prouver que d est tangente à ce cercle et
chercher le point de contact. Déterminer une équation de la tangente
à ce cercle au point diamétralement opposé à ce point de contact.
61.On donne le triangle dont les sommets sont A(1,0), B(5,4), C(3,-2).
triangle rectangle en A
Quelle est la nature de ce triangle ? Déterminer une équation du
(x-2)² + (y+1)² = 2
cercle de diamètre [AC].
62.On donne les points A(0,3), B(0,-3), C(5,2). Quels sont le centre et le centre (2;0), rayon 13
rayon du cercle comprenant ces points ? Déterminer une équation de
⎛ 19 ⎞
3
19
M⎜ 0; ⎟
tC : y = − x +
la tangente à ce cercle en C. Quel est le point M commun à cette
⎝ 2⎠
2
2
tangente et à l'axe des y ? Vérifier que MC² = MA . MB.
325
13
25
MC² =
MA =
MB =
2
4
2
15
63.Ecrire les équations des tangentes issues de O au cercle de centre
x
y = 0 et y =
8
C(5,3) et de rayon 3.
64.Ecrire les équations des tangentes au cercle de centre C(-4,-9) et de en (1;3) : 5x + 12y - 41 = 0
rayon 13 en ses points d'abscisses 1 et 8.
en (1;-21) : 5x - 12y - 257 = 0
en (8;-4) : 12x + 5y - 76 =0
en (8;-14) : 12x - 5y - 166 = 0
3
5
3
65.Ecrire les équations des tangentes au cercle de centre C(1,- 3) et de
y = x − 10 et y = x +
3
−4
4
4
2
comme coefficients de direction.
et
rayon 5 et qui ont
4
20
4
3
4
y = − x+
et y = − x − 10
3
3
3
12
33
66. Ecrire l équation de la corde de contact des tangentes parallèles à la
corde : y = − x +
5
5
droite y = 5x/12 au cercle de centre C(4,-3) et de rayon 13. Ecrire
5
135
ensuite les équations de ces tangentes.
x−
tangentes : y =
12
12
5
113
x+
et y =
12
12
44
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
67. Déterminer l'équation de la tangente et de la normale à la parabole
d'équation y² = 2x en son point d'abscisse 2 et d'ordonnée positive.
point (2;2)
t : x - 2y + 2 = 0
n : 2x + y - 6 = 0
68. Déterminer les équations des tangentes issues du point M(-1; ½ ) à la t1 : 2x + 2y − 1 = 0 , ( ½ ;-1)
parabole d'équation y² = 2x. Calculer les coordonnées des points de
t2 : x − 2y + 2 = 0 , (2;2)
contact.
x² y²
69. Quelle est l'équation de l'ellipse dont les sommets ont pour
+
=1
coordonnées (5;0), (-5;0), (3;0) et (-3;0) ?
25 9
70. Déterminer l'équation de la tangente et de la normale à l'ellipse
⎛
−5 3 ⎞
⎟
point : ⎜ −1;
d'équation 25x² + 16y² = 100 en son point d'abscisse 1 et d'ordonnée
4 ⎠
⎝
négative.
5 3 5 3
=
t: y+
( x − 1)
4
12
5 3 −4 3
=
n: y+
( x − 1)
4
5
71. Déterminer l'équation des tangentes à l'ellipse d'équation 25x² +
5
5 2 ⎛
5 2⎞
t: y = x±
; ⎜ − 2;
⎟
16y² = 100 parallèles à la droite d'équation 5x - 4y = 0. Calculer les
4 ⎠
4
2
⎝
coordonnées des points de contact.
⎛
−5 2 ⎞
⎜ 2;
⎟
4 ⎠
⎝
72. Quelle est l'équation de l'hyperbole dont les sommets ont pour
coordonnées (3;0) et (-3;0) et les foyers (5;0) et (-5;0),?
73. Déterminer l'équation de la tangente et de la normale à l'hyperbole
d'équation 9x² - 16y² + 144 = 0 en son point d'ordonné 5 et
d'abscisse négative.
45
x² y²
−
=1
9 16
⎛ −16 ⎞
point : ⎜
;5⎟
⎝ 3 ⎠
t : 3x + 5y - 9 = 0
n : 15x - 9y + 125 = 0
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
Applications diverses
46
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
1/ Soit la limite ABCDE entre les parcelles 52 et 53. Les sommets B, C et D sont repérés par
rapport à la base AE : EB' = 46,04 m, BB' = 6,01 m, EC' = 39,26 m, CC' = 7,14 m, ED' = 30,64 m, DD'
= 8,12 m, EA = 50,64 m. On demande de remplacer cette limite par la limite AE telle que les
superficies des parcelles restent inchangées. Calculer la distance EF.
2/ Soit la parcelle ABCDE ci-contre. On désire la partager en deux lots égaux par une limite
PQ perpendiculaire à AE. Calculer les distances d'implantation AP et PQ.
47
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
3/ A partir de la limite AB et des alignements AX et BY, on demande de déterminer la limite
MN parallèle à AB telle que la surface du lot ainsi obtenu soit de 2500 m², sachant que AB = 88,04
m, l'angle XAB = 110 gons, l'angle ABY = 105 gons. Calculer les distances AM et BN.
4/ Soit la parcelle ABCDE schématisée ci-contre et dont les coordonnées des sommets sont
X
Y
A : 2109,09 445,66
B : 2186,61 548,32
C : 2511,31
420,70
D : 2312,87 285,09
E : 2280,23 335,70
On demande de diviser cette parcelle en deux lots par une limite PR telle que le gisement de PR soit
de 20° et que la superficie du lot ABPR soit de 21000 m². Calculer les distances d'implantation AP
et BR.
48
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
5/ Le terrain ABCD représenté ci-contre est défini par ses quatre côtés : AB = 94,60 m, BC
= 60,65 m, CD = 113,54 m, DA = 99,58 m, et par l'angle DAB = 91,675 gons. De plus, on connaît les
coordonnées rectangulaires de A (210,10;593,60) et le gisement de AD : 164,920 gons. On désire
partager ce terrain en deux lots égaux en superficie par une ligne de séparation EF telle que F soit
situé sur CB à 20 m de C. Déterminer les segments d'implantation de E, à savoir AE, EF et ED.
6/ Soit la parcelle ABCE où AB est perpendiculaire à AE et BC à EC. Afin d'aménager le
carrefour, une nouvelle limite doit être implantée : un arc de cercle tangent en A à AE et tangent
en D à EC. On demande de calculer le rayon du cercle et la surface de l'emprise (partie hachurée).
On donne AB = 39,37 m, BC = 16,09 m, EA = 33,69 m et EC = 49,20 m.
49
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
7/ Soit la parcelle figurée ci-dessous. On demande de calculer les coordonnées de B et de C
dans un repère orthonormé d'origine A et d'axe X suivant AD; et de déterminer la limite PQ
perpendiculaire à AD de sorte que les deux surfaces ABPQ et PCDQ soient égales en donnant la
distance AQ.
8/ On considère la parcelle ABCDE dont les coordonnées des sommets sont
A(2109,09;445,66), B(2186,61;548,32), C(2511,31;420,70), D(2312,87;285,09) et
E(2280,23;335,70). On désire partager cette parcelle en deux lots par une limite MN telle que M
soit au milieu de AB et que la surface du lot MBCN soit de 20000 m². Calculer la distance
d'implantation de N sur CD.
50
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
9/ Soit la parcelle JKLM déterminée par les coordonnées de ses sommets J(969,36;865,02),
K(838,97;674,28), L(637,34;732,26) et M(540,88;888,97). On demande de partager cette parcelle
en deux lots égaux par une limite SR parallèle à LK. Calculer les distances d'implantation LS et KR.
10/ On donne les coordonnées des points A(100,9;226,48), B(210;273,63) et
C(310,10;196,01). On stationne en un point P et on y mesure les angles indiqués. Calculer les
coordonnées de P.
11/ Sur le profil en long ci-dessous sont représentées deux routes de pentes respectives 4%
et 6%. On place l'origine d'un repère orthonormé au point d'intersection de ces pentes, l'axe Y
51
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
étant pris vertical. On désire raccorder les deux pentes par un arc de parabole d'axe de symétrie
vertical. Cette parabole doit être tangente à chacune des pentes, les abscisses des points de
tangences étant symétriques par rapport à l'origine du repère et la distance horizontale du
raccordement étant de 600 m. Déterminer l'équation de cette parabole.
12/ Deux tronçons de routes rectilignes doivent être raccordés par un tronçon en arc de
cercle de rayon 15 m. On connaît sur le premier tronçon les points A(-12,10) et B(-5,6) et sur le
second les points C(13,4) et D(17,5). Calculer les coordonnées du centre E de l'arc de cercle
raccordant les deux tronçons et celles du point T, point de raccord entre l'arc de cercle et le
tronçon rectiligne.
52
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
13/ Soit la parcelle ABCD définie par les coordonnées de ses sommets A(210,10;593,60),
B(296,47;632,30), C(340,76;590,77), D(262,24;508,76). On demande de la partager en deux lots
égaux par une limite EF telle que F soit situé à 20 m de C. Afin d'implanter le point E, on demande
la distance AE au cm près.
14/ Soit la parcelle ABCD levée orthogonalement sur la limite AB. On demande de partager
cette parcelle en trois lots égaux par les limites MN et PQ parallèles à la limite AD. Déterminer les
distances d'implantation AN, AQ DM et DP.
53
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
15/ Soit une parcelle JKLM déterminée par les coordonnées des sommets J(969,36;965,02),
K(838,97;674,28), L(627,34;732,26), M(540,88;888,97). On demande de partager cette parcelle
en deux parties par une droite SR telle que SL = RK et que la surface SRKL soit le double de la
surface MJRS. Donner la longueur de SL au cm près.
54
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
Table des matières
TRIGONOMETRIE PLANE ....................................................................................................................................2
1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES DES ANGLES AIGUS ........................................................................................3
1.1. DEFINITIONS...................................................................................................................................................3
1.2. PROPRIETES ....................................................................................................................................................3
2. UNITES DE MESURE DES ANGLES ........................................................................................................................4
2.1. LE DEGRE .......................................................................................................................................................4
2.2. LE GRADE .......................................................................................................................................................4
2.3. RELATION ENTRE LES UNITES ........................................................................................................................4
3. FORMULAIRE .......................................................................................................................................................4
3.1. TRIANGLES RECTANGLES ...............................................................................................................................4
3.2. TRIANGLES QUELCONQUES ............................................................................................................................4
4. EXERCICES ...........................................................................................................................................................5
TRIGONOMETRIE SPHERIQUE ........................................................................................................................14
1. MESURE DES ARCS DE CERCLE .........................................................................................................................15
1.1. UNITES .........................................................................................................................................................15
1.2. LONGUEUR D’UN ARC DE MESURE CONNUE .................................................................................................15
2. DEFINITIONS ......................................................................................................................................................15
3. RELATIONS GEOMETRIQUES .............................................................................................................................16
4. RELATIONS TRIGONOMETRIQUES ....................................................................................................................17
4.1. RELATIONS FONDAMENTALES ......................................................................................................................17
4.2. RELATIONS AUX SINUS .................................................................................................................................17
4.3. LOIS DES COTANGENTES ..............................................................................................................................17
4.4. RELATIONS ENTRE TROIS ANGLES ET UN COTE ............................................................................................18
4.5. TRIANGLES RECTANGLES .............................................................................................................................18
4.5.1 Formulaire .............................................................................................................................................18
4.5.2 Nature des éléments...............................................................................................................................18
5. EXERCICES .........................................................................................................................................................19
GEOMETRIE ANALYTIQUE................................................................................................................................20
1. REPERES DU PLAN..............................................................................................................................................21
2. EQUATIONS VECTORIELLES, PARAMETRIQUES ET CARTESIENNES DE LA DROITE DU PLAN .........................23
2.1. NOTION D'EQUATION D'UNE DROITE.............................................................................................................23
2.2. EQUATION VECTORIELLE..............................................................................................................................23
2.3. EQUATIONS PARAMETRIQUES .......................................................................................................................23
2.4. EQUATIONS CARTESIENNES ..........................................................................................................................24
3. COEFFICIENT DE DIRECTION ET COEFFICIENT ANGULAIRE, PERPENDICULARITE, DISTANCES ...................25
3.1. DEFINITION : ................................................................................................................................................25
3.2. INTERPRETATION GRAPHIQUE ......................................................................................................................25
3.3. PROPRIETES ..................................................................................................................................................26
3.3.1. Coefficient de direction d'une droite dont on connaît deux points : .....................................................26
3.3.2. Equation de la droite passant par un point donné et de coefficient de direction donné........................26
3.3.3. Condition de parallélisme :...................................................................................................................27
3.4. CONDITIONS DE PERPENDICULARITE DE DEUX DROITES (REPAIRE ORTHONORME) ................................27
3.5. DISTANCE ENTRE DEUX POINTS ...................................................................................................................27
3.6. DISTANCE D'UN POINT A UNE DROITE ...........................................................................................................28
4. SYSTEMES DE COORDONNEES CARTESIENNES ET POLAIRES ..........................................................................28
110
Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1
4.1. TRANSFORMATION DE COORDONNEES D'UN SYSTEME A L'AUTRE................................................................28
4.1.1. Transformation de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires mathématiques.......................28
4.1.2. Transformation de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires topographiques ......................29
4.2. CHANGEMENT DE REPERE CARTESIEN DANS LE PLAN..................................................................................29
4.2.1. Changement d'origine ...........................................................................................................................29
4.2.2. Rotation de repère.................................................................................................................................30
4.2.3. Rotation et changement d'origine .........................................................................................................30
4.2.4. Changement d'origine avec changement d'échelle (d'unité) .................................................................31
4.2.5. Rotation et changement d'origine avec changement d'échelle (d'unité)................................................32
5. LE CERCLE .........................................................................................................................................................32
5.1. DEFINITIONS.................................................................................................................................................32
5.2. EQUATION CARTESIENNE .............................................................................................................................32
6. L'ELLIPSE ...........................................................................................................................................................33
6.1. DEFINITION ..................................................................................................................................................33
6.2. EQUATION ....................................................................................................................................................33
6.3. ETUDE DE LA COURBE ..................................................................................................................................34
7. L’HYPERBOLE................................................................................................................................................35
7.1. DEFINITION ..................................................................................................................................................35
7.2. EQUATION ....................................................................................................................................................35
7.3. ETUDE DE LA COURBE ..................................................................................................................................36
8. LA PARABOLE ................................................................................................................................................37
8.1. DEFINITION ..................................................................................................................................................37
8.2. EQUATION ....................................................................................................................................................38
8.3. ETUDE DE LA COURBE ..................................................................................................................................38
8.4. AUTRE FORME DE L'EQUATION .....................................................................................................................39
9. EXERCICES .........................................................................................................................................................39
APPLICATIONS DIVERSES .................................................................................................................................46
111