LIMITES DE FONCTIONS Calculs de limites - MPSI Saint

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 4 janvier 2015
LIMITES DE FONCTIONS
Calculs de limites
Exercice 1 : ´ Etudier les limites suivantes :
1. lim
x→+∞xe1/x +e2/x −2
2. lim
x→0
sin(1/x)
e1/x + 1
3. lim
x→1(1 −x2) tan(π2x)
4. lim
x→2
√x2−1−√2x−1
√x+ 2 −√x2+ 2x−4
5. lim
x→1
√2−x2−1
ln x
6. lim
x→+∞sin(1/x)ecos(x)
7. lim
x→0
1 + x2
sin2(x)
8. lim
x→π/2tan(x) tan(2x)
9. lim
x→±∞ px2+ 1 −x
10. lim
x→π/3
√3 cos(x)−sin(x)
x−π/3
11. lim
x→0
tan(x)−sin(x)
x3
12. lim
x→0xsin(1/x)
Propri´et´es fondamentales
Exercice 2 : Soit f, g :I→Rdeux fonctions d´efinies sur un mˆeme intervalle I,
a∈¯ I∪ {±∞}. On suppose que lim
x→af(x) = ℓet lim x→ag(x) = k.
On pose µ= max(f, g) et ν= min(f, g).
Montrez que lim
x→aµ(x) = max(ℓ, k) et lim x→aν(x) = min(ℓ, k).
Exercice 3 : Soit f:R→Rune fonction T-p´eriodique. On suppose que fadmet
ℓ∈Rpour limite en +∞.
Montrez que fest constante.
Exercice 4 : Etudiez les limites en 0 et en +∞de la fonction d´efinie sur R+⋆par
∀x∈R+⋆, f(x) = x×1
x.
Exercice 5 : Soit fune fonction d´efinie dans un voisinage de 0 telle que
lim
x→0f(x) = 0 et lim x→0
f(2x)−f(x)
x= 0
Montrez que lim
x→0
f(x)
x= 0.
Indication : vous pourrez ´ecrire f(x) =
n
X
k=1 fx/2k−1−fx/2k+fx/2n.
Exercice 6 : Soit f:R+⋆→Rune fonction croissante telle que la fonction
g:R+⋆→Rd´efinie par g(x) = f(x)
xsoit d´ecroissante. Montrez que fest continue
en tout point de R+⋆.
Exercice 7 : Montrez que la fonction f:R→Rd´efinie par
∀x∈R, f(x) = 1 si x∈Q
0 sinon
n’admet de limite en aucun point.
Exercice 8 : Soit f:R→Cune fonction continue en 0 qui v´erifie
∀x∈R, f(2x) = f(x)
Montrez que fest constante.
´
Equations fonctionnelles
Exercice 9 : Soit El’ensemble des fonctions f:R→Rcontinues en tout point de
Rv´erifiant
∀(x, y)∈R2, fx+y
2=f(x) + f(y) 2
1. Soit Dl’ensemble des nombres rationnels de la forme p
2n, pour (p, n)∈Z×N.
Montrez que Dest dense dans R,i.e. tout r´eel est limite d’une suite d’´el´ements
de D.
2. Soit f∈E. On suppose que f(0) = f(1) = 0. Montrez que f= 0 sur Z,Det R.
3. Montrez que Eest l’ensemble des fonctions affines sur R.
Exercice 10 : On note El’ensemble des fonctions fd´efinies sur R, continues en 0,
non nulles et telles que :
∀(x, y)∈R2, f(x+y) = f(x) + f(y)
Soit f∈E.
1

1. Montrez que ∀x∈R,∀n∈N, f(nx) = n f(x).
2. On note a=f(1). Montrez que ∀x∈Q, f(x) = a x.
3. Montrez que fest continue sur R.
4. Utilisez la caract´erisation s´equentielle de la densit´e de Qpour en d´eduire que
∀x∈R, f(x) = a x
Miscellaneous
Exercice 11 : Soit f:R+→Rune fonction born´ee sur tout intervalle de longueur
1.
1. On suppose que lim
x→+∞[f(x+ 1) −f(x)] = 0. ´
Etant donn´e ε > 0 fix´e, il existe
donc A > 0 tel que |f(x+ 1) −f(x)| ≤ εpourvu que x≥A.
a. Soit x≥Aet n=⌊x−A⌋. Montrezque |f(x)−f(x−n)| ≤ nε.
En d´eduire que |f(x)|
x≤M x+ε, o`u Mest un majorant de |f|sur [A, A + 1].
b. Montrez que lim
x→+∞
f(x)
x= 0.
2. On suppose que lim
x→+∞[f(x+ 1) −f(x)] = ℓ∈R. Montrez que lim x→+∞
f(x)
x=ℓ.
2