EXERCICE 3 (5 points ) (Commun à tous les candidats) Soit k un

EXERCICE 3 (5 points )
(Commun à tous les candidats)
Soit kun entier naturel supérieur ou égal à 2.Uneurnecontientkboules noires et 3boules blanches.
Ces k+3boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste àpréleverauhasardsuccessive-
ment et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :
-unjoueurperd9eurossilesdeuxboulestiréessontdecouleur blanche ;
-unjoueurperd1eurosilesdeuxboulestiréessontdecouleurnoire;
-unjoueurgagne5eurossilesdeuxboulestiréessontdecouleurs différentes ; on dit dans ce cas
là qu’il gagne la partie.
Partie A
Dans la partie A, on pose k=7.
Ainsi l’urne contient 3boules blanches et 7boules noires indiscernables au toucher.
1. Un joueur joue une partie. On note pla probabilité que le joueur gagne la partie, c’est-à-dire
la probabilité qu’il ail tiré deux boules de couleurs différentes. Démontrer que p=0,42.
2. Soit nun entier tel que n>2.Unjoueurjouenparties identiques et indépendantes.
On note Xla variable aléatoire qui comptabilise le nombre de parties gagnées par le joueur,
et pnla probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des nparties.
a. Expliquer pourquoi la variable Xsuit une loi binomiale de paramètres net p.
b. Exprimer pnen fonction de n,puiscalculerp10 en arrondissant au millième.
c. Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité
de gagner au moins une fois soit supérieure à 99%.
Partie B
Dans la partie B, le nombre kest un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Un joueur joue une partie.
On note Ykla variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
1. a. Justifier l’égalité : p(Yk=5)= 6k
(k+3)
2.
b. Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire Yk.
2. On note E(Yk)l’espérance mathématique de la variable aléatoire Yk.
On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance E(Yk)est strictement positive.
Déterminer les valeurs de kpour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.
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EXERCICE 3
Partie A
1) On note Nl’événement « la boule obtenue au cours d’un tirage est noire »etBl’événement « la boule obtenue au cours
d’un tirage est blanche ». Représentons la situation par un arbre :
3/10
7/10
B
N
B
N
B
N
3/10
7/10
3/10
7/10
La probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes est
p=7
10 ×3 10 +3 10 ×7 10 =42 100 =0, 42.
2) a) La variable aléatoire Xest régie par un schéma de Bernoulli.Eneffet,
•nexpériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
•chaque expérience a deux issues : « le candida t gagne la partie»avecuneprobabilitép=0, 42 (d’après la question
précédente) ou « le candidat perd la partie » avec une probabilité 1−p=0, 58.
La variable aléatoire Xsuit donc une loi binomiale de paramètres net p=0, 42.
b) pn=p(X!1)=1−p(X=0)=1−!n
0"(0, 42)0(0, 58)n=1−(0, 58)n.
En particulier, p10 =1−(0, 58)10 =0, 996 arrondie au millième.
c)
pn!0, 99 ⇔1−(0, 58)n!0, 99 ⇔(0, 58)n"0, 01
⇔ln ((0, 58)n)"ln (0, 01)(par stricte croissance de la fonction ln sur ]0, +∞[)
⇔nln (0, 58)"ln (0, 01)
⇔n!ln (0, 01)
ln (0, 58)⇔n!8, 4 . . .
⇔n!9(car nest un entier).
Le joueur doit jouer un nombre minimal de 9parties pour que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure
à99%.
Partie B
1) a) L’événement Yk=5est l’événement « les deux boules tirées sont de couleurs différentes. Représentons la situation
par un arbre :
3/(k+3)
k/(k+3)
B
N
B
N
B
N
3/(k+3)
k/(k+3)
3/(k+3)
k/(k+3)
p(Yk=5)qui est encore la probabilité de tirer deux boules de couleursdifférentes est
p(Yk=5)= k
(k+3)×3 k+3+3 k+3×k k+3=6k (k+3)2.
http ://www.maths-france.fr 5 c !Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés.

b) De même, p(Yk=−9)= 3
k+3×3 k+3=9 (k+3)2et p(Yk=−1)= k k+3×k k+3=k2 (k+3)2.Donnonsalorslaloi
de probabilité de Ykdans un tableau :
yi−9−1 5
p(Yk=yi)9/(k+3)2k2/(k+3)26k/(k+3)2
2) Soit kun entier naturel supérieur ou égal à 2.
E(Yk)=−9×9
(k+3)2
−1×k2
(k+3)2+5×6k (k+3)2=
−k2+30k −81
(k+3)2,
puis
E(Yk)>0⇔
−k2+30k −81
(k+3)2>0⇔−k2+30k −81 > 0 (car (k+3)2>0)
⇔k2 −30k +81 < 0 ⇔(k−15)2 −152+81 < 0 ⇔(k−15)2<144
⇔−12 < k −15 < 12 ⇔3<k<27⇔4"k"26.
Les valeurs de kpour lesquelles le jeu est favorable au joueur sont 4,5,6, ..., 24,25 et 26.
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