Espace vectoriel

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Chapitre 13
Espaces vectoriels
13.1 Espaces et sous-espaces vectoriels
Exercice 13.1.1 (O)
Soit El’espace vectoriel de toutes les fonctions de [0,1] dans R.
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de E?
1. A={f∈E, 2f(0) = f(1)}.
2. B={f∈E, f(1) = f(0) + 1}.
3. C={f∈E, f >0}.
4. D={f∈E, f(x)≡f(1 −x)}.
5. F={f∈E, f polynomiale de degré 4}.
6. G={f∈E, f polynomiale de degré 64}.
Exercice 13.1.2 (O)
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que F∪Gest un sous-espace vectoriel de E⇔F⊂Gou G⊂F.
Exercice 13.1.3 (O)
A, B, C sont des sous-espaces vectoriels de Etels que : A∩C⊂B,C⊂A+Bet B⊂C.
Montrer que B=C.
13.2 Familles génératrices, libres. Bases
Exercice 13.2.1 (O)
Montrer que la famille a= (9,−3,7),b= (1,8,8),c= (5,−5,1) est liée.
Exercice 13.2.2 (O)
Peut-on déterminer λet µdans Rtels que le vecteur u= (−2, λ, µ, 3) appartienne au sous-espace
vectoriel de R4engendré par a= (1,−1,1,2) et b= (−1,2,3,1) ?
Même question avec u= (λ, 1, µ, 1),a= (1,2,3,4), et b= (1,−2,3,−4).

13.3 Somme de sous-espaces vectoriels Chapitre 13 : Espaces vectoriels
Exercice 13.2.3 (OO)
Dans l’espace vectoriel de toutes les applications de Rdans R, montrer que la famille formée des
applications fλ:x7→ exp(λx)(avec λ∈R) est libre.
Exercice 13.2.4 (OO )
Montrer que la famille formée des applications fλ:x7→ cos(λx)(avec λ∈R+) est libre.
Exercice 13.2.5 (OO)
Soit El’espace vectoriel de toutes les applications de Rdans R.
On note fk:x7→ |x−k|. Montrer que la famille (f1, f2, . . . , fn)est libre.
Exercice 13.2.6 (OO)
Dans K[X], on se donne une suite de polynômes non nuls (Pn)n>0.
On suppose que pour tout entier nde N, on a deg Pn<deg Pn+1.
1. Montrer que la famille (Pn)n>0est libre.
2. Montrer que c’est une base de K[X]si et seulement si, pour tout n,deg Pn=n.
Exercice 13.2.7 (O)
Soit u1, u2, . . . , unune famille de nvecteurs de E.
On définit les vecteurs vk=u1+· · · +uk, pour kcompris entre 1et n.
Montrer que (u)est libre (resp. génératrice) si et seulement si il en est de même de (v).
Exercice 13.2.8 (OO)
Soient A, B deux polynômes de K[X], non constants, et premiers entre eux.
Soit ndans N. Montrer que les Pk=AkBn−k(avec 06k6n) forment une famille libre.
Exercice 13.2.9 (O)
Soient αet βdeux scalaires disctincts. Soit nun entier naturel.
Montrer que les Pk= (X −α)k(X −β)n−k, où 06k6n, forment une base de Kn[X].
13.3 Somme de sous-espaces vectoriels
Exercice 13.3.1 (O)
Montrer que dans l’espace vectoriel Ede toutes les fonctions fde Rdans R, les ensembles Pet Iformés
respectivement des fonctions paires et impaires forment deux sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Exercice 13.3.2 (O)
Soient A, B, C, D quatre sous-espaces vectoriels de Etels que E=A⊕B=C⊕D.
On suppose que A⊂Cet B⊂D. Montrer que A=Cet B=D.
Exercice 13.3.3 (OOO)
Soit Eun K-espace vectoriel.
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13.4 Espaces de dimension finie Chapitre 13 : Espaces vectoriels
1. Soient E1et E2deux sous-espaces de Etels que E=E1+E2.
Soit F2un supplémentaire de E1∩E2dans E2. Montrer que E=E1⊕F2.
2. Soient E1, E2, . . . , Endes sous-espaces de Etels que E=E1+E2+· · · +En.
Montrer qu’il existe des sous-espaces F1, F2, . . . , Fnde Etels que pour tout indice jon ait l’inclusion
Fj⊂Ejet tels que E=F1⊕F2⊕ · · · ⊕ Fn.
13.4 Espaces de dimension finie
Exercice 13.4.1 (O)
Soient a, b, c trois réels quelconques.
Montrer que fa:x7→ sin(x+a),fb:x7→ sin(x+b)et fc:x7→ sin(x+c)sont liées.
Exercice 13.4.2 (O)
Dans R4, montrer que l’ensemble Edes u= (x, y, z, t)tels que 
x+ 3y−2z−5t= 0
x+ 2y+z−t= 0 est un sous-
espace vectoriel. En donner la dimension et une base.
Exercice 13.4.3 (O)
Dans R4, déterminer la dimension du sous-espace vectoriel engendré par :
a= (1,2,2,1),b= (4,3,10,5),c= (−1,−3,4,0),d= (0,4,−3,−1).
Exercice 13.4.4 (O)
On définit les trois sous-espaces suivants de E=K3[X] :
F={P∈E, P (0) = P(1) = P(2) = 0}
G={P∈E, P (1) = P(2) = P(3) = 0}
H={P∈E, P (X) = P(−X)}
– Montrer que F⊕G={P∈E, P (1) = P(2) = 0}.
– Montrer que E=F⊕G⊕H.
Exercice 13.4.5 (OOO)
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n.
Soient Fet Gdeux sous-espaces de E, tels que dim(F) = dim(G) = r.
Montrer qu’il existe un sous-espace Hde Etel que E=F⊕H=G⊕H.
Indication : utiliser une récurrence descendante sur l’entier r.
Exercice 13.4.6 (OO)
On se donne une subdivision x0=a<x1< . . . xn−1< xn=bdu segment [a, b].
Soit Fl’ensemble des applications f: [a, b]→Rqui sont affines sur chaque [xk, xk+1].
Montrer que Fest un espace vectoriel. En donner la dimension et une base.
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