Document créé le 24 novembre 2013
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Chapitre 13
Espaces vectoriels
13.1
Espaces et sous-espaces vectoriels
Exercice 13.1.1 (O)
Soit E l’espace vectoriel de toutes les fonctions de [0, 1] dans R.
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de E ?
1. A = {f ∈ E, 2f (0) = f (1)}.
2. B = {f ∈ E, f (1) = f (0) + 1}.
3. C = {f ∈ E, f > 0}.
4. D = {f ∈ E, f (x) ≡ f (1 − x)}.
5. F = {f ∈ E, f polynomiale de degré 4}.
6. G = {f ∈ E, f polynomiale de degré 6 4}.
Exercice 13.1.2 (O)
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E ⇔ F ⊂ G ou G ⊂ F .
Exercice 13.1.3 (O)
A, B, C sont des sous-espaces vectoriels de E tels que : A ∩ C ⊂ B, C ⊂ A + B et B ⊂ C.
Montrer que B = C.
13.2
Familles génératrices, libres. Bases
Exercice 13.2.1 (O)
Montrer que la famille a = (9, −3, 7), b = (1, 8, 8), c = (5, −5, 1) est liée.
Exercice 13.2.2 (O)
Peut-on déterminer λ et µ dans R tels que le vecteur u = (−2, λ, µ, 3) appartienne au sous-espace
vectoriel de R4 engendré par a = (1, −1, 1, 2) et b = (−1, 2, 3, 1) ?
Même question avec u = (λ, 1, µ, 1), a = (1, 2, 3, 4), et b = (1, −2, 3, −4).
13.3 Somme de sous-espaces vectoriels
Chapitre 13 : Espaces vectoriels
Exercice 13.2.3 (OO)
Dans l’espace vectoriel de toutes les applications de R dans R, montrer que la famille formée des
applications fλ : x 7→ exp(λx) (avec λ ∈ R) est libre.
Exercice 13.2.4 (OO )
Montrer que la famille formée des applications fλ : x 7→ cos(λx) (avec λ ∈ R+ ) est libre.
Exercice 13.2.5 (OO)
Soit E l’espace vectoriel de toutes les applications de R dans R.
On note fk : x 7→ |x − k|. Montrer que la famille (f1 , f2 , . . . , fn ) est libre.
Exercice 13.2.6 (OO)
Dans K[X], on se donne une suite de polynômes non nuls (Pn )n>0 .
On suppose que pour tout entier n de N, on a deg Pn < deg Pn+1 .
1. Montrer que la famille (Pn )n>0 est libre.
2. Montrer que c’est une base de K[X] si et seulement si, pour tout n, deg Pn = n.
Exercice 13.2.7 (O)
Soit u1 , u2 , . . . , un une famille de n vecteurs de E.
On définit les vecteurs vk = u1 + · · · + uk , pour k compris entre 1 et n.
Montrer que (u) est libre (resp. génératrice) si et seulement si il en est de même de (v).
Exercice 13.2.8 (OO)
Soient A, B deux polynômes de K[X], non constants, et premiers entre eux.
Soit n dans N. Montrer que les Pk = Ak B n−k (avec 0 6 k 6 n) forment une famille libre.
Exercice 13.2.9 (O)
Soient α et β deux scalaires disctincts. Soit n un entier naturel.
Montrer que les Pk = (X − α)k (X − β)n−k , où 0 6 k 6 n, forment une base de Kn [X].
13.3
Somme de sous-espaces vectoriels
Exercice 13.3.1 (O)
Montrer que dans l’espace vectoriel E de toutes les fonctions f de R dans R, les ensembles P et I formés
respectivement des fonctions paires et impaires forment deux sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Exercice 13.3.2 (O)
Soient A, B, C, D quatre sous-espaces vectoriels de E tels que E = A ⊕ B = C ⊕ D.
On suppose que A ⊂ C et B ⊂ D. Montrer que A = C et B = D.
Exercice 13.3.3 (OOO)
Soit E un K-espace vectoriel.
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13.4 Espaces de dimension finie
Chapitre 13 : Espaces vectoriels
1. Soient E1 et E2 deux sous-espaces de E tels que E = E1 + E2 .
Soit F2 un supplémentaire de E1 ∩ E2 dans E2 . Montrer que E = E1 ⊕ F2 .
2. Soient E1 , E2 , . . . , En des sous-espaces de E tels que E = E1 + E2 + · · · + En .
Montrer qu’il existe des sous-espaces F1 , F2 , . . . , Fn de E tels que pour tout indice j on ait l’inclusion
Fj ⊂ Ej et tels que E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fn .
13.4
Espaces de dimension finie
Exercice 13.4.1 (O )
Soient a, b, c trois réels quelconques.
Montrer que fa : x 7→ sin(x + a), fb : x 7→ sin(x + b) et fc : x 7→ sin(x + c) sont liées.
Exercice 13.4.2 (O)
Dans R4 , montrer que l’ensemble E des u = (x, y, z, t) tels que
x + 3y
− 2z − 5t = 0
x + 2y
+z−t=0
est un sous-
espace vectoriel. En donner la dimension et une base.
Exercice 13.4.3 (O)
Dans R4 , déterminer la dimension du sous-espace vectoriel engendré par :
a = (1, 2, 2, 1), b = (4, 3, 10, 5), c = (−1, −3, 4, 0), d = (0, 4, −3, −1).
Exercice 13.4.4 (O)
On définit les trois sous-espaces suivants de E = K3 [X] :
F
= {P ∈ E, P (0) = P (1) = P (2) = 0}
G = {P ∈ E, P (1) = P (2) = P (3) = 0}
H = {P ∈ E, P (X) = P (−X)}
– Montrer que F ⊕ G = {P ∈ E, P (1) = P (2) = 0}.
– Montrer que E = F ⊕ G ⊕ H.
Exercice 13.4.5 (OOO)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.
Soient F et G deux sous-espaces de E, tels que dim(F ) = dim(G) = r.
Montrer qu’il existe un sous-espace H de E tel que E = F ⊕ H = G ⊕ H.
Indication : utiliser une récurrence descendante sur l’entier r.
Exercice 13.4.6 (OO)
On se donne une subdivision x0 = a < x1 < . . . xn−1 < xn = b du segment [a, b].
Soit F l’ensemble des applications f : [a, b] → R qui sont affines sur chaque [xk , xk+1 ].
Montrer que F est un espace vectoriel. En donner la dimension et une base.
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