PROBABILITÉS

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CHAPITRE 6
PROBABILITÉS
1 Rappels de combinatoire
1.1
Situations de référence
Une urne U contient n boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à n.
• Tirages successifs avec remise : On tire une boule de l’urne, on note son numéro, puis on la remet dans l’urne. On
effectue de la sorte p tirages. On obtient ainsi une p-liste, c’est-à-dire une liste de p numéros de U, dans laquelle certains
nombres peuvent être présents plusieurs fois et d’autres ne pas apparaître du tout.
Le nombre de p-listes (listes de longueur p) formées de numéros de U est n p .
• Tirages successifs sans remise : On tire une boule de l’urne U, on note son numéro mais on ne la remet pas dans l’urne.
On effectue de la sorte p tirages (avec, nécessairement, p ¶ n). On obtient ainsi un arrangement, c’est-à-dire une série de
p numéros de U, tous distincts.
Le nombre d’arrangements formés de p numéros distincts pris dans U est
Anp = n(n − 1) . . . (n − p + 1) =
n!
(n − p)!
.
Cas particulier : lorsque p = n, toutes les boules sont tirées une à une. Le nombre de permutations des n numéros de U
est n(n − 1) . . . 1 = n!.
• Tirages simultanés (sans remise) : On tire simultanément p boules de l’urne (avec p ¶ n). On obtient ainsi un ensemble
de p numéros pris parmi n, que l’on appelle une combinaison.
Le nombre de combinaisons de p objets parmi n (avec p ¶ n) est
n
p
Les nombres
ci-dessous.
1.2
n
p
= Cnp =
Anp
p!
=
n!
p!(n − p)!
=
n
p
×
n −1
p −1
× ··· ×
n − p +1
1
.
sont appelés les coefficients binomiaux, car ils interviennent dans la formule du binôme, présentée
Propriétés des coefficients binomiaux
Propriété 1 (symétrie). Pour tous entiers naturels n et p, avec p ¶ n, on a l’égalité
n
p
=
n
n−p
Propriété 2 (relation de Pascal). Pour tous entiers naturels n et p, avec 1 ¶ p ¶ n, on a l’égalité
.
n −1
n −1
n
+
=
.
p −1
p
p
Cette identité est à la base du triangle de Pascal, qui permet de calculer la valeur des coefficients binomiaux uniquement à
l’aide d’additions.
Module Mathématiques 11 – Probabilités
CUEEP Littoral
Propriété 3 (formule du binôme de Newton). Pour tous a et b réels ou complexes, et n entier naturel (non nul), on a
l’identité remarquable suivante :
n n X
n 0 n
n 1 n−1
n 2 n−2
n
n
n n 0
k n−k
n−2 2
n−1 1
(a + b ) =
a b
=
a b +
a b
+
a b
+···+
a b +
a b +
a b .
k
0
1
2
n −2
n −1
n
k=0
n
2 Loi de probabilité sur un ensemble fini
Définitions. Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues (ou résultats possibles) et que l’on ne peut prévoir
laquelle de ces issues sera réalisée. L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est appelé univers ; dans ce qui suit, on le
notera Ω = {x1 ; x2 ; . . . ; xn }.
Définition. Définir une loi de probabilité sur Ω, c’est associer à chaque issue xi un nombre pi positif ou nul tel que p1 +
p2 + · · · + pn = 1.
2.1
Loi équirépartie
Définition. Dans le cas où l’on associe à chacune des n issues d’une expérience aléatoire la même probabilité p, on parle de
loi équirépartie. Par conséquent, p = 1/n.
Exemple 1. La naissance d’un enfant est en général modélisée par la loi équirépartie sur Ω = {♀ ; ♂}. Cependant, un démographe peut souhaiter disposer pour ses prévisions d’un modèle plus fin et décider de prendre sur Ω = {♀ ; ♂} la loi définie
par P({♀}) = 0,48 et P({♂}) = 0,52.
Exemple 2. Le lancer de deux dés équilibrés à 6 faces, numérotées de 1 à 6, se modélise par la loi équirépartie sur Ω =
{(1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; . . . ; (2 ; 1) ; . . . ; (6 ; 6)}.
Exemple 3. Le rangement aléatoire des quatre tomes d’une encyclopédie sur une étagère peut se modéliser par la loi équirépartie sur l’ensemble Ω des dispositions possibles que l’on peut coder (T1 ; T2 ; T3 ; T4 ), . . . , (T2 ; T4 ; T3 ; T1 ), . . .
2.2
Espérance mathématique, variance et écart type
On considère une loi de probabilité sur un univers Ω, où les issues sont des nombres réels.
Définitions.
n
P
• L’espérance mathématique de la loi de probabilité est le nombre m =
pi xi .
i =1
• La variance de la loi de probabilité est le nombre positif ou nul V =
• L’écart type de la loi de probabilité est le nombre positif ou nul σ =
–2–
n
P
ip
=1
pi (xi − m)2 =
V.
P
n
i =1
pi xi2
2
− m2 .
Module Mathématiques 11 – Probabilités
CUEEP Littoral
3 Probabilité d’un événement
3.1
Vocabulaire
Définition. On considère une expérience aléatoire dont l’univers des possibles (c’est-à-dire l’ensemble des issues) est noté Ω.
Un événement est une partie de Ω.
Exemple 4. Lorsqu’une issue x appartient à un événement A, on dit que x réalise A.
Exemple 5. L’événement ∅ est dit impossible : aucune issue ne le réalise. L’événement Ω est dit certain : toutes les issues le
réalisent.
Exemple 6. Un événement formé d’une seule issue est appelé événement élémentaire.
Définition. On considère une loi de probabilité définie sur un ensemble Ω. La probabilité d’un événement A est la somme
les probabilités des issues qui le réalisent. On la note P(A).
Propriété 4. Dans le cas d’une loi équirépartie, la probabilité d’un événement A est donnée par
P(A) =
nombre d’issues qui réalisent A
nombre d’issues dans Ω
=
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
=
Card(A)
Card(Ω)
,
où la notation Card(A) désigne le cardinal de l’ensemble A, c’est-à-dire le nombre d’éléments qui le composent.
3.2
Calculs de probabilités
Définitions. Soit A et B deux évéments.
Leur intersection est l’événement A ∩ B formé des issues qui réalisent à la fois A et B. Lorsque A ∩ B = ∅, les événements A
et B sont dits incompatibles.
Leur réunion est l’événement A ∪ B formé des issues qui réalisent A ou B, c’est-à-dire au moins l’un des deux.
Propriété 5. Soit Ω un ensemble sur lequel est définie une loi de probabilité. Pour tous événements A et B, on a l’égalité
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Définitions. Soit A un évément.
L’événement contraire de A est formé des issues qui ne réalisent pas A ; on le note A.
Propriété 6. Soit Ω un ensemble sur lequel est définie une loi de probabilité. Alors, pour tout événement A, on a l’égalité
P(A) = 1 − P(A).
Propriétés 7. Soit A et B deux événements d’un univers Ω. Alors A ∩ B = A ∪ B et A ∪ B = A ∩ B.
3.3
Indépendance de deux événements
Définition. Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Exemple 7. Considérons le lancer de deux dés à 6 faces, l’un rouge l’autre bleu, ainsi que les événements B : « le résultat
obtenu avec le dé bleu est supérieur ou égal à 3 », R : « le résultat obtenu avec le dé rouge est supérieur ou égal à 3 », S : « la
somme des deux résultats est 8 ».
–3–
Module Mathématiques 11 – Probabilités
CUEEP Littoral
Les événements B et R sont indépendants. En effet, il est clair que P(B) = P(R) = 2/3 et qu’il existe 42 = 16 issues réalisant
16 4
2 2 4
l’événement B ∩ R, d’où P(B ∩ R) =
= , qui est égal à P(B) × P(R) = × = .
36 9
3 3 9
À l’opposé, il existe 5 issues réalisant l’événement S, d’où P(S) = 5/36, mais seules 4 d’entre elles réalisent l’événement B ∩ S,
4
1
2
5
5
donc P(B ∩ S) =
= ≈ 0,11, ce qui est différent de P(B) × P(S) = ×
=
≈ 0,09. On en déduit que les événements
36 9
3 36 54
B et S ne sont pas indépendants.
4 Variables aléatoires discrètes
Définitions. Soit Ω l’univers des possibles d’une expérience aléatoire. Une variable aléatoire (réelle) X est une fonction
définie sur Ω et à valeurs réelles.
Lorsque l’univers Ω est fini, les valeurs que peut prendre la fonction X sont isolées ; on parle alors de variable aléatoire discrète.
C’est aussi le cas lorsque X prend des valeurs entières, en nombre quelconque (fini ou infini).
Définitions. Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un univers fini Ω = {x1 ; x2 ; . . . ; xn }. On définit alors :
n
P
xk P(X = xk ),
• l’espérance mathématique de X par la formule E(X) = x1 P(X = x1 )+ x2 P(X = x2 )+· · · + xn P(X = xn ) =
k=1
P
ce que l’on note aussi E(X) =
k · P(X = k) ;
k∈Ω
2
P
n
n
P
xk P(X = xk ) ;
xk2 P(X = xk ) −
• la variance de X par V(X) = E [X − E(X)]2 = E(X2 ) − [E(X)]2 =
k=1
k=1
p
• l’écart type de X par σ(X) = V(X).
Définitions. Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un univers fini Ω = {x1 ; x2 ; . . . ; xn }. La fonction de répartition
de X est la fonction FX définie sur R par FX (x) = P(X ¶ x).
Propriété 8. Soit X une variable aléatoire discrète sur un univers Ω = {x1 ; x2 ; . . . ; xn ; . . .}. Alors la fonction de répartition FX
est continue à droite en chaque point de R. En outre, les points de discontinuité (à gauche) de FX sont exactement les valeurs
prises par X avec une probabilité non nulle.
5 Loi de Bernoulli ; schéma de Bernoulli ; loi binomiale
Définitions. Soit p un nombre réel compris entre 0 et 1. On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une épreuve
aléatoire admettant deux issues, et deux seulement :
• l’une, appelée « succès » et notée S, dont la probabilité d’apparition est p ;
• l’autre, appelée « échec » et notée E, dont la probabilité est q = 1 − p.
On appelle schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p (ou encore schéma de Bernoulli de paramètres n et p)
une expérience aléatoire consistant à répéter n fois de suite, dans les mêmes conditions, une même épreuve de Bernoulli de
paramètre p.
Définition. Soit p un nombre réel compris entre 0 et 1. La loi de Bernoulli de paramètre p est la loi de probabilité d’une
variable aléatoire X prenant la valeur 1 avec la probabilité p, et la valeur 0 avec la probabilité q = 1 − p. C’est le cas de la
variable aléatoire X prenant la valeur 1 lorsque S se produit, et la valeur 0 sinon.
Propriété 9. Soit p ∈ [0 ; 1]. La loi de Bernoulli de paramètre p a une espérance mathématique égale à p et une variance égale
à pq = p(1 − p).
–4–
Module Mathématiques 11 – Probabilités
CUEEP Littoral
Propriété 10. Dans un schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p :
• un résultat est une n-liste, comprenant, par exemple, (S ; E ; E ; . . . ; S ; E) ;
• la variable aléatoire Y associant à chaque issue le nombre de succès a pour loi de probabilité
n k
P(Y = k) =
p (1 − p)n−k
(k ∈ {0 ; 1 ; . . . ; n}).
k
Définition. La loi de probabilité de la variable aléatoire Y définie ci-dessus est appelée loi binomiale de paramètres n et p,
et est notée B(n ; p).
Propriété 11. Soit Y une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p). Alors E(Y) = n p et V(Y) = n pq = n p(1 − p).
6 Exercices
EXERCICE 1
Dans un cours de ski réunissant 32 élèves, on en recense 13 qui ont déjà pratiqué le ski de descente, 9 le ski de fond et 14 qui
n’ont aucune expérience du ski.
1. Combien délèves ont déjà pratiqué le ski ?
2. Combien d’élèves ont la double expérience du ski de descente et du ski de fond ?
EXERCICE 2
La cantine d’un centre de vacances propose, au choix, 3 entrées, 4 plats chauds, 2 fromages et 3 desserts.
1. Combien de menus différents comportant un plat de chaque type sont ainsi proposés aux enfants ?
2. Même question si un enfant peut ne pas prendre un ou plusieurs types de plat, mais doit obligatoirement manger
quelque chose.
EXERCICE 3
1. Combien existe-t-il de mots de 6 lettres (ayant ou non une signification) formés avec les 6 lettres du prénom HÉLÈNE ?
2. Même question avec les 6 lettres du prénom HELENE (les trois E ne sont plus accentués).
EXERCICE 4
12 athlètes sont au départ d’une course de 200 m ; les trois premiers seront sélectionnés pour une finale régionale. On suppose
qu’il n’y a pas d’ex aequo.
1. Combien peut-on imaginer de podiums possibles ?
2. Combien de groupes différents peuvent être retenus pour participer à la finale ?
EXERCICE 5
Pour construire une grille de mots croisés de 8 lignes et 6 colonnes, on noircit 6 cases.
1. Combien de grilles différentes peut-on obtenir ?
2. Même question si les cases noircies ne peuvent appartenir à une même ligne ou une même colonne.
EXERCICE 6
Combien existe-t-il de codes comprenant trois lettres distinctes, suivies de quatre chiffres distincts ou non ?
EXERCICE 7
1. Une association comprenant 32 membres doit élire un président, un secrétaire et un trésorier. Combien y a-t-il de choix
possibles ?
2. Une classe de 32 élèves doit choisir trois délégués. Combien y a-t-il de choix possibles ?
–5–
Module Mathématiques 11 – Probabilités
EXERCICE 8
Calculer à la main : A =
10! × 5!
8! × 4!
;B=
CUEEP Littoral
(9!)2 × 10!
12! × (7!)2
;C=
100
99
+
100
100
; D=
16
13
EXERCICE 9
Résoudre dans N les équations suivantes : (n − 2)! = 5040 ; (n + 1)! = 132(n − 1)! ;
−
n
2
15
13
−
15
.
12
= 28.
EXERCICE 10
6
5
7
1. À l’aide de la formule du binôme, développer
; (i +
lesexpressions
suivantes
: (x
+ 2)
2) ; (x−1) .
7
7
7
7
7
7
7
7
2. Calculer astucieusement le nombre A =
+
+
+
+
+
+
+
.
0
1
2
3
4
5
6
7
EXERCICE 11
Une urne contient 4 boules rouges et 5 boules vertes. On tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne et on note
leur couleur. Calculer la probabilité que les deux boules tirées soient de couleur rouge.
EXERCICE 12
L’équipe de basket d’une université doit disputer un match. 8 étudiants ont été sélectionnés parmi lesquels figure Jean. Pour
un match, l’entraîneur choisit au hasard un « cinq », c’est-à-dire cinq joueurs parmi les huit sélectionnés.
1. Combien l’entraîneur peut-il former de « cinq » différents ?
2. Démontrer que la probabilité que Jean fasse partie du « cinq » est égale à 5/8.
EXERCICE 13
1. Combien, au maximum, peut-il exister de numéros de téléphone portable à 10 chiffres, commençant par 06 ?
2. Dénombrer les numéros de téléphone (portable) commençant par 067 et contenant exactement deux fois le chiffre 2,
une fois le 3, une fois le 4, trois fois le 5.
3. Dénombrer les numéros de téléphone commençant par 060, contenant exactement quatre fois le chiffre 8 et ne contenant pas le chiffre 9.
4. Dénombrer les numéros de téléphone commençant par 06 et dans lesquels apparaît au moins une fois le chiffre 1.
EXERCICE 14
Une association est formée de 35 personnes (15 hommes et 20 femmes). On se propose de former un bureau de 5 personnes,
dans lequel doivent se trouver au moins 2 femmes et 2 hommes. Déterminer de combien de façons l’on peut former ce bureau
dans les cas suivants :
1. chaque membre de l’association est candidat ?
2. deux hommes refusent d’être candidats ?
3. M. et Mme Éneu, tous deux membres de l’association, refusent de siéger ensemble ?
EXERCICE 15
De combien de façons différentes peut-on choisir, dans un jeu de 32 cartes, une main de 5 cartes contenant :
1. exactement 1 roi ?
2. au moins un roi ?
3. exactement 1 roi et 2 dames ?
4. exactement 1 roi, 1 dame et 2 valets ?
5. l’as de pique et au moins 2 trèfles ?
6. exactement 2 carreaux, 1 trèfle et 1 cœur ?
7. exactement 1 roi et 2 trèfles ?
EXERCICE 16 [Bac STT 02]
Dans un établissement scolaire de 2000 élèves :
• 40 % des élèves sont des filles ;
• 15 % des filles sont internes ;
–6–
Module Mathématiques 11 – Probabilités
CUEEP Littoral
• 60 % des élèves, parmi lesquels 760 garçons, sont externes ;
• la moitié des demi-pensionnaires sont des filles.
1. Compléter le tableau suivant en vous servant des renseignements précédents ; les calculs intermédiaires ne sont pas
demandés.
Internes
Demi-pensionnaires
Externes
Total
Filles
Garçons
Total
Dans la suite de cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de nombres décimaux arrondis au centième.
2. On choisit, au hasard, un élève pour représenter l’établissement. Calculer la probabilité des événements suivants :
• A : « l’élève choisi est une fille » ;
• B : « l’élève choisi est interne » ;
• C : « l’élève choisi est une fille interne » ;
• D : « l’élève choisi est interne ou est une fille ».
3. La vie scolaire du lycée désigne un garçon pour l’aider à gérer la cafétéria du lycée. Calculer la probabilité des événements suivants :
• E : « c’est un interne » ;
• F : « ce n’est pas un externe ».
EXERCICE 17 [Bac ES 98]
On donnera les réponses sous forme de fractions.
On dispose de 10 boules blanches, de 10 boules noires et de deux urnes A et B.
Un joueur peut répartir les 20 boules comme il le veut entre les deux urnes. Puis on lui bande les yeux, et il choisit au hasard
l’une des deux urnes, dans laquelle il tire une boule. Si cette boule est blanche, il gagne.
1. Luc dépose une boule noire dans l’urne A et les 19 autres boules dans l’urne B. Quelle est la probabilité qu’il gagne ?
2. Yves dépose une boule blanche dans l’urne A et les 19 autres boules dans l’urne B. Quelle est la probabilité qu’il gagne ?
3. Louise dépose 5 boules blanches dans chaque urne, n boules noires dans l’urne A et (10− n) boules noires dans l’urne B
(0 ¶ n ¶ 10).
1 5
5 a) Montrer que la probabilité qu’elle gagne est égale à pn =
+
.
2 5 + n 15 − n
b) On donne le tableau ci-dessous :
n
pn
0
1
2
3
4
50
50
50
84
91
96
5
6
7
8
9
50
50
50
50
50
99
99
96
91
84
10
Déterminer les valeurs manquantes.
c) Louise compare ses résultats avec ceux d’Yves et de Luc. Que constate-t-on ?
EXERCICE 18 [Bac STI 05]
Le Comité des fêtes d’un village organise une loterie à l’aide de deux urnes.
L’urne U1 contient trois boules rouges notées R1 , R2 , R3 et deux boules jaunes notées J1 et J2 .
L’urne U2 contient quatre boules bleues notées B1 , B2 , B3 , B4 et une boule verte V.
Pour participer à cette loterie, un joueur doit d’abord miser 3 €. Il tire ensuite au hasard une boule dans U1 , puis une boule
dans U2 . Les boules sont indiscerables au toucher. On suppose que tous les tirages de couples de boules sont équiprobables.
1. À l’aide d’un tableau ou d’un arbre, montrer qu’il y a 25 couples de boules possibles.
2. Une boule rouge fait gagner 2 €. Une boule jaune fait gagner 3 €. Une boule bleue fait gagner 1 €. La boule verte fait
gagner 5 €.
À chaque tirage de 2 boules la variable aléatoire X associe le gain finalement réalisé par le joueur. Ainsi, en tenant
compte de la mise de 3 €, le tirage d’une boule rouge et d’une boule verte occasionne finalement un gain de 4 €.
a) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.
2
b) Démontrer que P(X = 5) = .
25
–7–
Module Mathématiques 11 – Probabilités
3.
c)
d)
a)
b)
CUEEP Littoral
Présenter en tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Quelle est la probabilité que le gain du joueur ne dépasse pas finalement 1 € ?
Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
Le Comité s’aperçoit que son jeu est déficitaire. Expliquer quelle est, en nombre entier d’euros, la mise minimale
qu’il faudrait demander afin de rendre le jeu favorable au Comité.
EXERCICE 19 [Bac S 02]
1. Dans un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.), pour une question donnée, 3 réponses sont proposées dont une seule
est exacte.
Un candidat décide de répondre au hasard à cette question.
La réponse exacte rapporte n point(s) et une réponse fausse fait perdre p point(s).
Soit N la variable aléatoire qui associe, à la réponse donnée par le candidat, la note algébrique qui lui sera attribuée
pour cette question.
a) Donner la loi de probabilité de N.
b) Quelle relation doit exister entre n et p pour que l’espérance matématique de N soit nulle ?
2. À un concours un candidat doit répondre à un Q.C.M. de 4 questions comportant chacune trois propositions de
réponse dont une seule est exacte. On suppose qu’il répond à chaque question, au hasard. Calculer la probabilité qu’il
réponde correctement à 3 questions exactement (donner cette probabilité sous forme de fraction irréductible puis sa
valeur arrondie au centième).
EXERCICE 20 [Bac S 02]
Répondre au Q.C.M. suivant. Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
a) On dispose de dix jetons numérotés de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pour former un « paquet ». Combien
de « paquets » contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi former ?
Réponse 1 :
Réponse 2 :
Réponse 3 :
180
330
110
b) A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que :
p(A) = 0, 4
Combien vaut p(A ∩ B) ?
Réponse 1 :
p(A ∩ B) = 0, 1
p(B) = 0, 5
p(A ∪ B) = 0, 35.
Réponse 2 :
p(A ∩ B) = 0, 25
c) Une variable aléatoire X a pour loi de probabilité :
xi
1
1
pi
2
Combien vaut l’écart type de X ?
Réponse 1 :
σ=
3
2
Réponse 2 :
È
3
σ=
2
Réponse 3 :
Les données sont
insuffisantes pour répondre.
2
1
4
1
4
4
Réponse 3 :
σ=2
EXERCICE 21 [Bac STI 03]
Une urne contient une boule rouge R, deux boules blanches B1 et B2 , et deux boules noires N1 et N2 toutes indiscernables au
toucher. Un jeu consiste à tirer deux boules successivement, sans remise.
1. En utilisant un arbre on un tableau, déterminer les 20 tirages possibles.
On admet par la suite que ces 20 tirages sont équiprobables.
2. Calculer la probabilité des événements suivants :
A : « tirer deux boules de même couleur » ;
B : « tirer au plus une boule noire ».
3. Lors du tirage de deux boules :
• la boule rouge obtenue fait gagner 3 €,
• chaque boule blanche obtenue fait gagner 2 €,
–8–
Module Mathématiques 11 – Probabilités
CUEEP Littoral
• chaque boule noire obtenue fait perdre 3 €.
On appelle X la variable aléatoire qui à tout tirage de deux boules associe le gain, en euros, du joueur (une perte est
considérée comme un gain négatif).
a) Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour X ?
b) Écrire la loi de probabilité de X.
c) Calculer la probabilité P pour que le gain soit strictement positif.
d) Calculer l’espérance mathématique de X. Interpréter le résultat obtenu.
EXERCICE 22 [Bac S 09]
Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.
1. a) On note A l’événement « obtenir deux jetons blancs ». Démontrer que la probabilité de l’événement A est égale
à 7/15.
b) On note B l’événement « obtenir deux jetons portant des numéros impairs ». Calculer la probabilité de B.
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ?
2. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance mathématique de X.
EXERCICE 23 [Bac S 99]
Une urne contient quatre boules rouges, quatre boules blanches et quatre boules noires. On prélève simultanément quatre
boules dans l’urne. Les prélèvements sont supposés équiprobables.
1. Calculer la probabilité d’un prélèvement unicolore.
2. a) Quelle est la probabilité d’un prélèvement bicolore composé de boules rouges et blanches ?
b) Démontrer que la probabilité d’un prélèvement bicolore est 68/165.
3. Déduire des résultats précédents la probabilité d’un prélèvement tricolore.
EXERCICE 24 [Bac S 00]
Une urne contient 10 boules indiscernables : 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes. Dans les questions 1. et 2. on tire au hasard et
simultanément 3 boules de cette urne. Les réponses seront données sous forme de fractions irréductibles.
1. Soit les événements suivants :
A : « les trois boules sont rouges » ;
B : « les trois boules sont de la même couleur » ;
C : « les trois boules sont chacune d’une couleur différente. ».
a) Calculer les probabilités p(A), p(B) et p(C).
b) On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues. Déterminer la loi
de probabilité de X. Calculer E(X).
2. Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par n boules rouges, où n est un entier supérieur ou égal à 2.
L’urne contient donc n + 5 boules, c’est-à-dire, n rouges, 3 jaunes et 2 vertes. On tire au hasard et simultanément deux
boules de cette urne. Soit les événements suivants :
D : « tirer deux boules rouges » ;
E : « tirer deux boules de la même couleur ».
a) Montrer que la probabilité de l’événement D est
p(D) =
n(n − 1)
(n + 5)(n + 4)
.
b) Calculer la probabilité p(E) de l’événement E en fonction de n. Pour quelles valeurs de n a-t-on p(E) ¾
1
2
?
EXERCICE 25
Une classe de collège compte 30 élèves, dont 20 filles. À chaque cours de mathématiques, le professeur de cette classe interroge
au hasard un élève. D’un cours à l’autre, le professeur ne se rappelle pas l’élève interrogé au cours précédent, ce qui fait qu’à
chaque cours le choix de l’élève par le professeur est indépendant des choix précédents.
1. Quelle est la probabilité, à un cours donné, que l’élève interrogé soit une fille ?
–9–
Module Mathématiques 11 – Probabilités
CUEEP Littoral
2. Soit n un entier positif ou nul. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de filles interrogées durant
n cours de mathématiques consécutifs.
a) Quelle est la loi de probabilité de X ?
b) Quelle est la probabilité que 4 filles soient interrogées durant 10 cours consécutifs ?
c) Quel doit être le nombre minimal de cours consécutifs pour que la probabilité qu’aucune fille ne soit interrogée
soit inférieure à 0,001 ?
EXERCICE 26 [Bac S 01]
Le directeur d’un musée, dont le plan est fourni ci-dessous, organise une exposition. Afin de prévoir la fréquentation des
salles, il décide d’imaginer le parcours d’un visiteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses suivantes :
• le visiteur passe au hasard d’une salle à une salle voisine ;
• pour sortir d’une salle, il franchit de manière équiprobable n’importe quelle autre porte que celle qu’il a utilisée pour
entrer.
Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s’intéresse qu’aux quatre premières salles traversées, l’entrée E étant comprise
dans celles-ci. Un trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre lettres, commençant par la lettre E. Par
exemple :
• si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on codera son trajet par le mot EBDF ;
• le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses choisies.
F
G
T
D
B
A
Entrée
E
C
1. On considère un visiteur, pris au hasard, devant effectuer un trajet selon les hypothèses précédentes.
a) Construire l’arbre pondéré des différents trajets possibles pour ce visiteur.
1
b) Montrer que la probabilité du parcours codé EBDF est .
6
c) Déterminer la probabilité p1 de l’événement « la quatrième salle du trajet est F ».
d) Pour des raisons techniques, le directeur installe les œuvres les plus intéressantes dans la salle T. Déterminer la
probabilité p2 de l’événement « le trajet passe par la salle T ».
2. Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun un trajet, de manière indépendante et selon les
hypothèses précédentes. On appelle X la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre de leurs trajets
passant par la salle T.
a) Calculer la probabilité de l’événement (X = 1).
b) Calculer la probabilité que deux visiteurs au moins passent par la salle T. (Donner le résultat arrondi au millième.)
c) Le directeur décide d’obliger les visiteurs à se diriger, après l’entrée, vers la salle A, les hypothèses précédentes
demeurant pour la suite des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilité que deux visiteurs au moins, sur les
dix, passent par la salle T.
Prouver qu’il a tort.
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