PROBABILITÉS

CHAPITRE 6
PROBABILITÉS
1 Rappels de combinatoire
1.1 Situations de référence
Une urne U contient nboules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à n.
•Tirages successifs avec remise : On tire une boule de l’urne, on note son numéro, puis on la remet dans l’urne. On
effectue de la sorte ptirages. On obtient ainsi une p-liste, c’est-à-dire une liste de pnuméros de U, dans laquelle certains
nombres peuvent être présents plusieurs fois et d’autres ne pas apparaître du tout.
Le nombre de p-listes (listes de longueur p) formées de numéros de U est np.
•Tirages successifs sans remise : On tire une boule de l’urne U, on note son numéro mais on ne la remet pas dans l’urne.
On effectue de la sorte ptirages (avec, nécessairement, p¶n). On obtient ainsi un arrangement, c’est-à-dire une série de
pnuméros de U, tous distincts.
Le nombre d’arrangements formés de pnuméros distincts pris dans U est
Ap
n=n(n−1)...(n−p+1) = n!
(n−p)!.
Cas particulier : lorsque p=n, toutes les boules sont tirées une à une. Le nombre de permutations des nnuméros de U
est n(n−1)...1 =n!.
•Tirages simultanés (sans remise) : On tire simultanément pboules de l’urne (avec p¶n). On obtient ainsi un ensemble
de pnuméros pris parmi n, que l’on appelle une combinaison.
Le nombre de combinaisons de pobjets parmi n(avec p¶n) est
n
p=Cp
n=
Ap
n
p!=n! p!(n−p)!=n p×n−1 p−1×···× n−p+1 1.
Les nombres n
psont appelés les coefficients binomiaux, car ils interviennent dans la formule du binôme, présentée
ci-dessous.
1.2 Propriétés des coefficients binomiaux
Propriété 1 (symétrie). Pour tous entiers naturels net p, avec p¶n, on a l’égalité n
p=n
n−p.
Propriété 2 (relation de Pascal). Pour tous entiers naturels net p, avec 1 ¶p¶n, on a l’égalité n−1
p−1+n−1
p=n
p.
Cette identité est à la base du triangle de Pascal, qui permet de calculer la valeur des coefficients binomiaux uniquement à
l’aide d’additions.

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Propriété 3 (formule du binôme de Newton). Pour tous aet bréels ou complexes, et nentier naturel (non nul), on a
l’identité remarquable suivante :
(a+b)n=
n
X
k=0n
kakbn−k=n
0a0bn+n
1a1bn−1+n
2a2bn−2+···+n
n−2an−2b2+n
n−1an−1b1+n
nanb0.
2 Loi de probabilité sur un ensemble fini
Définitions. Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues (ou résultats possibles) et que l’on ne peut prévoir
laquelle de ces issues sera réalisée. L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est appelé univers ; dans ce qui suit, on le
notera Ω = {x1;x2;...;xn}.
Définition. Définir une loi de probabilité sur Ω, c’est associer à chaque issue xiun nombre pipositif ou nul tel que p1+
p2+···+pn=1.
2.1 Loi équirépartie
Définition. Dans le cas où l’on associe à chacune des nissues d’une expérience aléatoire la même probabilité p, on parle de
loi équirépartie. Par conséquent, p=1/n.
Exemple 1. La naissance d’un enfant est en général modélisée par la loi équirépartie sur Ω = {♀;♂}. Cependant, un démo-
graphe peut souhaiter disposer pour ses prévisions d’un modèle plus fin et décider de prendre sur Ω = {♀;♂}la loi définie
par P({♀}) = 0,48 et P({♂}) = 0,52.
Exemple 2. Le lancer de deux dés équilibrés à 6 faces, numérotées de 1 à 6, se modélise par la loi équirépartie sur Ω =
{(1;1);(1;2);(1;3);...;(2;1);...;(6;6)}.
Exemple 3. Le rangement aléatoire des quatre tomes d’une encyclopédie sur une étagère peut se modéliser par la loi équiré-
partie sur l’ensemble Ωdes dispositions possibles que l’on peut coder (T1;T2;T3;T4), ... , (T2;T4;T3;T1), .. .
2.2 Espérance mathématique, variance et écart type
On considère une loi de probabilité sur un univers Ω, où les issues sont des nombres réels.
Définitions.
•L’espérance mathématique de la loi de probabilité est le nombre m=
n
P
i=1pixi.
•La variance de la loi de probabilité est le nombre positif ou nul V =n
P
i=1pi(xi−m)2=n
P
i=1pix2
i2−m2.
•L’écart type de la loi de probabilité est le nombre positif ou nul σ=pV.
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3 Probabilité d’un événement
3.1 Vocabulaire
Définition. On considère une expérience aléatoire dont l’univers des possibles (c’est-à-dire l’ensemble des issues) est noté Ω.
Un événement est une partie de Ω.
Exemple 4. Lorsqu’une issue xappartient à un événement A, on dit que xréalise A.
Exemple 5. L’événement ∅est dit impossible : aucune issue ne le réalise. L’événement Ωest dit certain : toutes les issues le
réalisent.
Exemple 6. Un événement formé d’une seule issue est appelé événement élémentaire.
Définition. On considère une loi de probabilité définie sur un ensemble Ω. La probabilité d’un événement A est la somme
les probabilités des issues qui le réalisent. On la note P(A).
Propriété 4. Dans le cas d’une loi équirépartie, la probabilité d’un événement A est donnée par
P(A) = nombre d’issues qui réalisent A
nombre d’issues dans Ω=nombre de cas favorables nombre de cas possibles =Card(A) Card(Ω) ,
où la notation Card(A)désigne le cardinal de l’ensemble A, c’est-à-dire le nombre d’éléments qui le composent.
3.2 Calculs de probabilités
Définitions. Soit A et B deux évéments.
Leur intersection est l’événement A ∩B formé des issues qui réalisent à la fois A et B. Lorsque A ∩B=∅, les événements A
et B sont dits incompatibles.
Leur réunion est l’événement A ∪B formé des issues qui réalisent A ou B, c’est-à-dire au moins l’un des deux.
Propriété 5. Soit Ωun ensemble sur lequel est définie une loi de probabilité. Pour tous événements A et B, on a l’égalité
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
Définitions. Soit A un évément.
L’événement contraire de A est formé des issues qui ne réalisent pas A ; on le note A.
Propriété 6. Soit Ωun ensemble sur lequel est définie une loi de probabilité. Alors, pour tout événement A, on a l’égalité
P(A) = 1−P(A).
Propriétés 7. Soit A et B deux événements d’un univers Ω. Alors A ∩B=A∪B et A ∪B=A∩B.
3.3 Indépendance de deux événements
Définition. Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A∩B) = P(A)×P(B).
Exemple 7. Considérons le lancer de deux dés à 6 faces, l’un rouge l’autre bleu, ainsi que les événements B : « le résultat
obtenu avec le dé bleu est supérieur ou égal à 3 », R : « le résultat obtenu avec le dé rouge est supérieur ou égal à 3 », S : « la
somme des deux résultats est 8 ».
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Les événements B et R sont indépendants. En effet, il est clair que P(B) = P(R) = 2/3 et qu’il existe 42=16 issues réalisant
l’événement B ∩R, d’où P(B∩R) = 16
36 =4 9, qui est égal à P(B)×P(R) = 2 3×2 3=4 9.
À l’opposé, il existe 5 issues réalisant l’événement S, d’où P(S) = 5/36, mais seules 4 d’entre elles réalisent l’événement B∩S,
donc P(B∩S) = 4
36 =1 9≈0,11, ce qui est différent de P(B)×P(S) = 2 3×5 36 =5 54 ≈0,09. On en déduit que les événements
B et S ne sont pas indépendants.
4 Variables aléatoires discrètes
Définitions. Soit Ωl’univers des possibles d’une expérience aléatoire. Une variable aléatoire (réelle) X est une fonction
définie sur Ωet à valeurs réelles.
Lorsque l’univers Ωest fini, les valeurs que peut prendre la fonction X sont isolées ; on parle alors de variable aléatoire discrète.
C’est aussi le cas lorsque X prend des valeurs entières, en nombre quelconque (fini ou infini).
Définitions. Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un univers fini Ω = {x1;x2;...;xn}. On définit alors :
•l’espérance mathématique de X par la formule E(X) = x1P(X=x1)+ x2P(X=x2)+···+xnP(X=xn) =
n
P
k=1
xkP(X=xk),
ce que l’on note aussi E(X) = P
k∈Ω
k·P(X=k);
•la variance de X par V(X) = E[X−E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2=
n
P
k=1
x2
kP(X=xk)−n
P
k=1
xkP(X=xk)2;
•l’écart type de X par σ(X) = pV(X).
Définitions. Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un univers fini Ω = {x1;x2;... ;xn}. La fonction de répartition
de X est la fonction FXdéfinie sur Rpar FX(x) = P(X¶x).
Propriété 8. Soit X une variable aléatoire discrète sur un univers Ω = {x1;x2;...;xn;...}. Alors la fonction de répartition FX
est continue à droite en chaque point de R. En outre, les points de discontinuité (à gauche) de FXsont exactement les valeurs
prises par X avec une probabilité non nulle.
5 Loi de Bernoulli ; schéma de Bernoulli ; loi binomiale
Définitions. Soit pun nombre réel compris entre 0 et 1. On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre pune épreuve
aléatoire admettant deux issues, et deux seulement :
•l’une, appelée « succès » et notée S, dont la probabilité d’apparition est p;
•l’autre, appelée « échec » et notée E, dont la probabilité est q=1−p.
On appelle schéma de népreuves de Bernoulli de paramètre p(ou encore schéma de Bernoulli de paramètres net p)
une expérience aléatoire consistant à répéter nfois de suite, dans les mêmes conditions, une même épreuve de Bernoulli de
paramètre p.
Définition. Soit pun nombre réel compris entre 0 et 1. La loi de Bernoulli de paramètre pest la loi de probabilité d’une
variable aléatoire X prenant la valeur 1 avec la probabilité p, et la valeur 0 avec la probabilité q=1−p. C’est le cas de la
variable aléatoire X prenant la valeur 1 lorsque S se produit, et la valeur 0 sinon.
Propriété 9. Soit p∈[0;1]. La loi de Bernoulli de paramètre pa une espérance mathématique égale à pet une variance égale
àpq =p(1−p).
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Propriété 10. Dans un schéma de népreuves de Bernoulli de paramètre p:
•un résultat est une n-liste, comprenant, par exemple, (S;E;E;... ;S;E);
•la variable aléatoire Y associant à chaque issue le nombre de succès a pour loi de probabilité
P(Y=k) = n
kpk(1−p)n−k(k∈{0;1;... ; n}).
Définition. La loi de probabilité de la variable aléatoire Y définie ci-dessus est appelée loi binomiale de paramètres net p,
et est notée B(n;p).
Propriété 11. Soit Y une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p). Alors E(Y) = n p et V(Y) = n pq =n p(1−p).
6 Exercices
EXERCICE 1
Dans un cours de ski réunissant 32 élèves, on en recense 13 qui ont déjà pratiqué le ski de descente, 9 le ski de fond et 14 qui
n’ont aucune expérience du ski.
1. Combien délèves ont déjà pratiqué le ski ?
2. Combien d’élèves ont la double expérience du ski de descente et du ski de fond ?
EXERCICE 2
La cantine d’un centre de vacances propose, au choix, 3 entrées, 4 plats chauds, 2 fromages et 3 desserts.
1. Combien de menus différents comportant un plat de chaque type sont ainsi proposés aux enfants ?
2. Même question si un enfant peut ne pas prendre un ou plusieurs types de plat, mais doit obligatoirement manger
quelque chose.
EXERCICE 3
1. Combien existe-t-il de mots de 6 lettres (ayant ou non une signification) formés avec les 6 lettres du prénom HÉLÈNE ?
2. Même question avec les 6 lettres du prénom HELENE (les trois E ne sont plus accentués).
EXERCICE 4
12 athlètes sont au départ d’une course de 200 m ; les trois premiers seront sélectionnés pour une finale régionale. On suppose
qu’il n’y a pas d’ex aequo.
1. Combien peut-on imaginer de podiums possibles ?
2. Combien de groupes différents peuvent être retenus pour participer à la finale ?
EXERCICE 5
Pour construire une grille de mots croisés de 8 lignes et 6 colonnes, on noircit 6 cases.
1. Combien de grilles différentes peut-on obtenir ?
2. Même question si les cases noircies ne peuvent appartenir à une même ligne ou une même colonne.
EXERCICE 6
Combien existe-t-il de codes comprenant trois lettres distinctes, suivies de quatre chiffres distincts ou non ?
EXERCICE 7
1. Une association comprenant 32 membres doit élire un président, un secrétaire et un trésorier. Combien y a-t-il de choix
possibles ?
2. Une classe de 32 élèves doit choisir trois délégués. Combien y a-t-il de choix possibles ?
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