5°)On note la suite définie pour tout entier ≥1 par : = − 0,2. a

Exercices de préparation pour le devoir commun du samedi 18 Janvier 2014.
Exercice 1 : Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive
procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Si le n-ième sondage
donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
On désigne par  l’évènement le « n-ième sondage est positif » et on note  sa probabilité.
L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que :
-si un sondage est positif, la probabilité que le suivant soit aussi positif est 0,6 ;
-si un sondage est négatif, la probabilité que le suivant soit aussi négatif est 0,9 ;
On suppose que le premier sondage est positif c’est-à-dire que  =1.
1°)Calculer la probabilité des évènements :
A : « les deuxième et troisième sondage sont positifs » ;
B : « les deuxièmes et troisième sondages sont négatifs ».
2°)Calculez la probabilité  que le troisième sondage soit positif .
3°)On désigne par  un entier naturel tel que   
Recopiez et compléter l’arbre ci-dessous en fonction des données de l’exercice
4°) Prouvez que pour tout entier   ,
 .
5°)On note  la suite définie pour tout entier    par : 
a) Compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche le terme de rang  de la suite 

Entrer n
P=1
Pour I allant de 1 à n
P=0,5P+0,1
U=…………….
Fin pour
Afficher U
b) Programmer cet algorithme à l’aide de votre calculatrice et tester le programme
avec       et   
6°)a)Démontrer que la suite  est une suite géométrique dont vous préciserez le premier
terme et la raison.
b) Exprimez  en fonction de 
c) Calculez et interpréter la limite de la suite( 
Exercice 2 : (Exercice 73 page 351) (Tirage dans une urne, calcul de l’espérance !)
Exercice 3 : Exercice 71 page 351. (Loi binomiale et calcul de l’espérance !)
Exercice 4 : Exercice 72 page 113.
Exercice 5 : Soit la fonction  définie sur D=    par,  
!"
"#
.
1°) Etudier le sens de variation de  sur D. (tableau !)
2°) Déterminer l’équation réduite de la tangente au point d’abscisse 3. (Contrôler !).
3°) a) Déterminer les points de D tels que la tangente à C soient parallèle à la droite
d’équation, $ 
#
%
. b) Montrer qu’il n’existe pas de points de D où la tangente à C est
parallèle à l’axe des abscisses.
4°) Application économique : On suppose que la fonction bénéfice, en millier d’euros, d’une
entreprise est donnée par f(x) sur l’intervalle  & pour l’année 2002+x.
Par exemple f(2)=7. Le bénéfice pour l’année 2004 est de 7000 euros.
a)Donner alors le bénéfice en 2010. (Arrondir à l’unité !).
b) Ecrire un algorithme qui retourne à partir de quelle année le bénéfice de cette société
sera strictement inférieur à 2500 euros. Programmer l’algorithme à l’aide de votre
calculatrice et répondre à la question posée.

Exercice 6 : (Convergence d’une suite de type homographique !)
On définit la fonction  sur l’intervalle   par  
%"#
"
.
1°)Etudier les variations de  sur son ensemble de définition.
2°)En déduire que si '   alors   '  .
Soit la suite U définie par 
(
  et pour tout  entier par : 
%)*#
)*
On souhaite montrer que la suite converge en utilisant deux méthodes.
Première méthde.
a)Montrer par récurrence que  +  +  pour tout  ' ,-
b)Montrer que la suite  est croissante.
c)En déduire alors que la suite  converge.
d) On sait alors que la limite . de la suite  est telle que : . 
%/#
/
.
Résoudre alors l’équation et déterminer la limite de la suite 
Deuxième méthode.
Soit la suite  définie par,
)
*
#
)
*
#
. Soit l’algorithme
Entrer N
=2
Pour I allant de à n
=
%)#
)
V=
)#
)#
Afficher
Afficher
a)Programmer cet algorithme à l’aide de votre calculatrice et compléter alors le tableau :
, arrondie à 10
-
2
1 2.33 -0.5
2 2.6 -0.25
3
c)Montrer que la suite  est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme.
d)Exprimer 
puis  en fonction de n, et retrouver 012
34
.