Chapitre 6 : Probabilités. I. Rappels. Vocabulaire probabiliste. 1

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Chapitre 6:Probabilités.
I.Rappels.Vocabulaireprobabiliste.
1.
Vocabulaire signification
expériencealéatoireouépreuveexpériencesoumiseauhasardpouvant
conduireàplusieursrésultatsouissues
notées: w1, w2,…..wn .
éventualité wi chaquerésultatouissuepossible
universouévénementcertain: W
(ensemblefinidanscechapitre)
ensembledetoutesleséventualitésliées
àuneépreuve
événementToutsousensembleAdel'univers W
Cardinalde W notécard(W) Nombretotald’issuespossiblesde
l’expérience
cardinald'unévénementA:
card(A)
nombred'éventualitésquicomposentA
événementélémentaire:{wi}avec wi
appartenantà W
événementayantuneseuleéventualité:
wi
événementimpossible: Æ événementquineseréalisejamais
événement(AouB)
notéA È B
événement(AetB)
notéA Ç B
AetBsontdeuxévénements
incompatibles.
AetBsontdeuxévénementscontraires.
L'ensemble de tous les événements liés à une expérience aléatoire – pour laquelle
l’univers est fini – est l'ensemble de toutes les parties de l'univers W ; on note cet
ensemble P (W).
Exemple:onconsidèrel’expériencealéatoiresuivante:onlanceundéàsixfaces.
v Uneéventualitéest:
v L’univers W est:
v Unévénementest(parexemple):
v Unévénementélémentaireest(parexemple):
v Deuxévénementsincompatiblessont(parexemple):
v Deuxévénementscontrairessont(parexemple):

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2.Probabilitésurununiversfini.
Définition:  Soit W l'univers lié à une expérience aléatoire. À chaque partie de W donc
chaque événement, on fait correspondre un nombre compris entre 0 et 1, appelé
probabilité decetévénement,telque:
¨ lasommedesprobabilitésdesévénementsélémentairesquilecomposentestégaleà
1:p(W)=1.
¨ La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements
élémentairesquilecomposent.
¨ Laprobabilitédel'événementimpossibleest0,ainsip(Æ)=0.
3.Propriétés.
Soit W l'universliéàuneexpériencealéatoireetAetBdeuxévénements.
SiAetBsontincompatibles;alorsp(A È B)=p(A)+p(B)
sinon: p(A È B)=p(A)+p(B)–p(A Ç B)
4.Equiprobabilité.
Sionpeutmunir W delaprobabilitéuniforme,onapourtoutévénementE:
p(E)=card(E)
card(W)
Onditqu’ilyaéquiprobabilitédans W.
II.Notiondevariablealéatoire.
1.Définition.:OnappellevariablealéatoiretouteapplicationXde W dansIRqui,àchaque
éventualité wi del'univers W,faitcorrespondreunnombreréel.
L’universimagedelavariablealéatoireXestl'ensembledesnombresréelsX(wi ).
onnoteX(W)=(x1 ;x2 ;...;xn )cetensemble.
Pourtoutevaleurxi del'universimage,l'ensembledeséventualités w tellesqueX(w)=xi
estunévénement,noté(X=xi).
Exemple.  Une urne contient dix boules indiscernables: une jaune, deux rouges, trois
vertesetquatrebleues.Uneboulejaunetiréefaitperdre3€.Uneboulerougefaitperdre
2€.Uneboulevertefaitgagner1€etenfinuneboulebleuetiréefaitgagner4€.
Ona:X(W)={3;2;1;4}
2.Loideprobabilitéd'unevariablealéatoire.
a) Définition.: On appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X, la donnée des
probabilitéspi desévénements(X=xi).Onnotepi =p(X=xi)1 £ i £ n
b)Onreprendl’exemplecidessus.
xi 3 2 1 4
p(X=xi) 0,1 0,2 0,3 0,4

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3.Espéranceetvarianced’unev.a.
a)Définition.:L’espéranced’unev.a.Xestlenombreréel,notéE(X),définipar:
E(X)= å
i=1
n
pixi
b)Exemple:onreprendl’exemplecidessus;onaE(X)=1,2(gainmoyenenEuros)
c)Définition.:Lavarianced’unev.a.Xestlenombreréel,notéV(X),définipar:
V(X)= å
i=1
n
[xi –E(X)]²pi
L’écarttyped’unev.a.Xestlenombreréel,noté s(X),définipar: s(X)= V(X)
d)Théorème: V(X)=E(X²)–[E(X)]²
C’estlaformulepratiquedecalcul.
e)Exemple:V(X)=6,96et s(X) » 2,64
III.Probabilitéconditionnelle.
1. Exempleintroductif.
Dans une loterie 100 billets sont mis en vente dont 20 gagnants. Onrépartit les billets
dans100enveloppesdont60sontdecouleurbleueet40sontdecouleurjaune.Onmet
les100enveloppesdansuneurneetunepersonnechoisituneenveloppeauhasard.
On note Gl’événement «La personne gagne», B l’événement «La personne a choisi
uneenveloppebleue»,Jl’événement«Lapersonneachoisiuneenveloppejaune».
a. CalculerlaprobabilitédeGetcelledeB.
b. On suppose qu’on connaît la répartition des billets dans les enveloppes: 10 billets
gagnants sont dans une enveloppe bleue et 10 billets gagnants sont dans une
enveloppejaune.Onchoisituneenveloppe,onvoitsacouleurbleue:quelleestalors
laprobabilitédegagner?Mêmequestionsil’enveloppeestjaune.
c. Onvousdemandederépartirlesbilletsgagnantsdanslesenveloppesdemanièreque
la probabilitédegagnerne«dépendepas»delacouleurdel’enveloppe.Comment
procédezvous?
2.Définition.Onconsidèreunensemble W surlequelestdéfinieuneprobabilitép,etdeux
événementsAetBtelsquep(B)nonnulle.
Onappelleprobabilitédel’événementAsouscondition(ousachant)quel’événementB
s’estréalisélequotient p(A Ç B)
P(B) notépB(A)
Donc:pB(A)= p(A Ç B)
P(B)
pB estunenouvelleprobabilité,dite« conditionnelle»,définieaumoyendelaprobabilité
p:elleatouteslespropriétésd'uneprobabilité.
3.Propriétés:
a. SiAestunévénement,0 £ pB(A) £ 1.
b. pB(A)+pB(A)=1

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c. Ensituationd’équiprobabilité:pB(A)=cardinal(A Ç B)
card(B)
d. sip(A) ¹ 0etsipB) ¹ 0alorsp(A Ç B)=pB(A) ´ p(B)=pA(B) ´ p(A)
IV.Formuledesprobabilitéstotales.
1. Uncasparticulierimportant:soitAunévénementdeprobabiliténonnulleetdifférente
de1.Onadoncp(A) ¹ 0.
SoitBunévénementquelconque,onaB=(B Ç A) È (B Ç A)etdonc:
p(B)=p(B Ç A)+p(B Ç A)=pA(B) ´ p(A)+pA(B) ´ p(A)
2. Généralisationàunepartitionde W ennélémentsdistinctsdeprobabilitésnonnulles.
p(B)=pA1(B) ´ p(A1)+pA2(B) ´ p(A2)+…..+pAn(B) ´ p(An)
3. Utilisationd’unarbredeprobabilités.
V.Indépendanceenprobabilités.
1. Théorèmeetdéfinition.
AetBsontdeuxévénementsdeprobabilitésnonnulles.
Ilyaéquivalenceentrelestroiségalitéssuivantes:
(i) pB(A)=p(A) (AestindépendantdeB)
(ii) pA(B)=p(B) (BestindépendantdeA)
(iii) p(A Ç B)=p(A) ´ p(B)
Lorsqu’unedeceségalitésestvraieonditqueAetBsontindépendantspar
rapportàlaprobabilitép.

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2. Répétitiond’uneexpériencenfoisdansdesconditionsexactementidentiques.
Principe: «le hasard n’a pas de mémoire» et donc si on répète n fois la même
expérienceetsiEestunévénementennotantEi cetévénementElorsdelaiéme
répétitionona:
p(E1 Ç E2……..Ç En)=p(E)
n .
Ilyaeneffet«indépendance»entrelesnévénementsEi.
3. Variablesaléatoiresindépendantes:
SoitXetYdeuxv.a.etX(W)={x1,…..xp}etY(W)={y1,…..yq}
OnditquelesdeuxvariablesaléatoiresXetYsontindépendanteslorsquepour
touti=1…..pettoutj=1….qlesévénements(X=xi)et(Y=yj)sontindépendants.