1 STG. CORRIGE DU D.S. 1 DE MATHEMATIQUES EXERCICE 1 1. Construire obligatoirement dans le repère orthonormé cicontre les quatre droites dont les équations réduites sont les suivantes : D1 : y = 2x + 1 D2 : y = – x + 3 1 D3 : y = x – 1 2 2 D4 : y = – x + 4 . 3 2. Par le calcul, déterminer l’ordonnée du point A de la droite D4 et d’abscisse est – 10. On fait x = – 10 dans l’équation de la droite D4. 2 20 20 12 32 On obtient y = – × ( – 10) + 4 donc y = +4= + = . 3 3 3 3 3 Donc l’ordonnée du point A d’abscisse – 10 appartenant à D4 est 3. 32 32 . Donc A ( – 10 ; ). 3 3 Par le calcul, déterminer l’abscisse du point B appartenant à la droite D3 et dont l’ordonnée est – 10. On fait y = – 10 dans l’équation de D3 . 1 1 On obtient x – 1 = – 10 ; d’où x = – 10 + 1 = – 9 ; donc x = – 9 × 2 = – 18. 2 2 Donc l’abscisse du point B d’ordonnée – 10 appartenant à D3 est – 18 . Donc B ( – 18 ; – 10). EXERCICE 2 Résoudre graphiquement le système suivant : x – 2y = – 1 2x + 3y = 12 Transformons chacune des équations en une équation de la forme y = mx + p. D’abord : x – 2y = – 1 ⇔ – 2y = – x – 1 1 1 ⇔ 2y = x + 1 ⇔ x = x + . 2 2 Ensuite : 2x + 3y = 12 ⇔ 3y = – 2x + 12 ⇔ y = – 2 x+4 . 3 On construit les droites D1 et D2 dont ce sont les équations réduites (figure ci-contre). On lit les coordonnées de leur point d’intersection. On trouve environ ( 3 ; 2 ) . On ne demandait pas de vérifier. Faisons-le quand même ici : D’une part, 3 – 2 × 2 = 3 – 4 = – 1. D’autre part, 2 × 3 + 3 × 2 = 6 + 6 = 12 . Le couple solution unique est donc bien exactement ( x ; y ) = ( 3 ; 2 ) . EXERCICE 3 Dans un repère orthonormé, déterminer par le calcul l’équation réduite : a) de la droite D5 de coefficient directeur 2 et passant par le point A ( 1 : 3 ). b) de la droite D6 passant par les points A ( 1 ; 3 ) et B ( – 2 ; – 1 ) . a) D5 a pour coefficient directeur 2. Donc son équation s’écrit y = 2x + p. Comme D5 passe par le point A ( 1 ; 3 ) , les coordonnées de A vérifient l’équation de la droite. Donc, 2 × 1 + p = 3 , donc p = 3 – 2 = 1. Donc l’équation de D5 est y = 2x + 1. b) D6 a une équation de la forme y = mx + p . Comme A ( 1 ; 3 ) et B ( – 2 ; – 1 ) appartiennent à D6 , y –yB 3–(–1) 4 alors m = A = = . x A – xB 1–(–2) 3 Donc l’équation de D6 s’écrit y = 4 x+p. 3 Comme A ( 1 ; 3 ) ∈ D6 , alors ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite. 4 9 4 5 4 × 1 + p = 3 . Donc p = 3 – = – = . Donc 3 3 3 3 3 L’équation de D6 est donc y = 4 5 x+ 3 3 . EXERCICE 4 Résoudre algébriquement et en utilisant obligatoirement la méthode la plus appropriée les systèmes suivants : 3x + 7y = 5 a) x – 2y = 3 3x – 2y = 1 b) 2x – 5y = – 1 . On ne demande pas de vérifier. 3x + 7y = 5 x – 2y = 3 x = 2y + 3 6y + 9 + 7y = 5 ⇔ ⇔ 3 ( 2y + 3 ) + 7y = 5 x = 2y + 3 4 x = 2 × ( – ) + 3 = – 8 + 39 = 31 y=– 4 13 13 13 13 13 ⇔ ⇔ 4 x = 2y + 3 y = – 13 31 4 Donc ce système a un couple unique solution : ( x ; y ) = ( ;– ). 13 13 13y = 5 – 9 = – 4 ⇔ x = 2y + 3 a) b) 3x – 2y = 1 / × 5 2x – 5y = – 1 / × ( – 2 ) x = 7 11 ⇔ 21 – 2y = 1 – 11 ⇔ 15x – 10y = 5 - 4x + 10y = 2 x = 7 11 ⇔ 10 – 2y = – 11 ⇔ 11x = 7 ⇔ 3x – 2y = 1 x = 7 11 10 2y = 11 Donc ce système a un couple unique solution : ( x ; y ) = ( ⇔ 7 5 ; ). 11 11 ⇔ x = 7 11 7 3 × 11 – 2y = 1 x = 7 11 10 1 10 5 y = 11 × 2 = 22 = 11 EXERCICE 5 a) Un fleuriste vend des roses à 0,80 € l’une ainsi que des tulipes à 0,60 € l’une. Il a vendu 45 roses de plus que de tulipes. La recette a été de 211 €. Combien de fleurs de chaque sorte a-t-il vendues ? b) Un torréfacteur met en vente deux sortes de café : l’Arabica et le Robusta. Un mélange est composé de 60 % d'Arabica et de 40 % de Robusta et coûte 3,69 € le kilogramme. Un lot composé de 2 kg d’Arabica et de 3 kg de Robusta coûte 17,05 €. Quel est le prix d’un kilogramme d'Arabica et d’un kilogramme de Robusta ? a) Soient x le nombre de roses vendues et y le nombre de tulipes vendues. x = y + 45 0,80 x + 0,60 y = 211 On a donc x = y + 45 0,80 ( y + 45 ) + 0,60 y = 211 ⇔ . Résolvons ce système par substitution. x = y + 45 x = y + 45 ⇔ ⇔ 1,40 y = 211 – 36 = 175 0,80y + 36 + 0,60y = 211 y = 175 = 125 1,40 x = 125 + 45 = 170 . Vérifions : 170 = 125 + 45 et 0,80 × 170 + 0,60 × 125 = 136 + 75 = 211 . Donc le fleuriste a vendu 170 roses et 125 tulipes. b) Soient x le prix d’un kg d’Arabica et y le prix d’un kg de Robusta. 60 x + 40 y = 3,69 100 On a alors 100 2x + 3y = 17,05 . Résolvons ce système par combinaisons. 0,60 x + 0,40 y = 3,69 / × 3 2x + 3y = 17,05 / × ( – 0,4) ⇔ 1,8 x + 1,2 y = 11,07 – 0,8 x – 1,2 y = – 6,82 x = 4,25 ⇔ 2 × 4,25 + 3y = 17,05 ⇔ x = 4,25 3y = 17,05 – 8,50 = 8,55 x = 4,25 ⇔ 2x + 3y = 17,05 x = 4,25 x = 4,25 ⇔ y = 8,55 ⇔ y = 2,85 3 60 40 × 4,25 + × 2,85 = 2,55 + 1,14 = 3,69 100 100 Et 2 × 4,25 + 3 × 2,85 = 8,50 + 8,55 = 17,05 . Vérifions : Donc le prix d’un kg de café Arabica était 4,25 € et celui d’un kg de café Robusta 2,85 € .