Variables aléatoires et distributions de probabilité (1ière partie

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Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
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Variables aléatoires et distributions de
probabilité (1ière partie)
&
Variables aléatoires, lois et simulations
en R (2ième partie)
2 Variable aléatoire, c’est quoi?
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
• Variable aléatoire: est un nombre dépendant du résultat d’une
expérience aléatoire.
• Notation: X = variable aléatoire
• Deux types: discrète, continue
3 Variable aléatoire discrète
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
• Variable aléatoire discrète: une variable aléatoire est discrète si elle
ne prend qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs
• Exemples?
• Notation: X = le nombre de résultats positifs, observations, etc.
Après http://w3.mi.parisdescartes.fr/smel/cours/mp/node12.html

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4 Variable aléatoire de Bernoulli
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
• L'expérience la plus simple: seulement deux résultats possibles
(variable aléatoire de Bernoulli X)
• Expérience d'essais indépendants: deux résultats possibles pour
chaque essai (essai de Bernoulli) avec X ~ Bernoulli(p)
• De nombreux essais de Bernoulli: variable aléatoire binomiale avec
X ~ Bin(n, p)
• n = 1: variable aléatoire de Bernoulli = variable aléatoire binomiale
€
Bernoulli
€
Binomial
5 Variable aléatoire binomiale
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
• avec n = nombre d'essais, X = résultats positifs (X ≤ n)
• avex n! = n factorielle
• avec pX = probabilité d'obtenir X succès indépendants
• avec (1 – p)(n - X) = probabilité d'obtenir (n – X) échecs avec
probabilité (1 – p)
€
P(X)=n!
X!(n−X)! pX(1 −p)n−X
€
n!
X!(n−X)!
€
n
X
"
#
$
%
&
'
• = = coefficient binomial
• Pourquoi y at-il un X!?
• Dans une série de n essais indépendants, chacun ayant
seulement deux issues possibles (appelé "succès" et "échec"),
avec la probabilité p succès et la probabilité q=1-p d'échec, la
probabilité de succès en n essais est
Après http://www.bf.refer.org/peche/chap2/chap24.html
6 Fonction de distribution de probabilité
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
• Fonction de distribution de probabilité: fonction qui fournit la
probabilité de chaque résultat possible en Ω ! obtenue pour
chaque X avec P (X).
• Histogramme: en général, un
graphique de résumer le nombre
d'essais résultant en un résultat
particulier (TP1)
http://en.wikipedia.org/

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7 Distribution de probabilité
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
• Distribution de probabilité: assigne des probabilités pour toutes
les valeurs possibles d'une variable aléatoire calculé avec P(X)
! Exigences: toutes les probabilités doit être comprise entre 0
et 1 inclus; la somme des probabilités des résultats doit être 1.
http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/binom.htm
Densité de probabilité Distribution cumulative
8 Variable aléatoire de Poisson
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
• Utilisé lorsque le cas le plus fréquent est égal à 0!
• Le nombre d'occurrences d'un événement enregistré dans une zone
fixe de l'échantillon ou au cours d'un intervalle de temps fixe (variable
aléatoire de Poisson X)
• X ~ Poisson(λ) avec λ = “rate parameter” (valeur moyenne d'occurrence)
• avec X = observations
• avec e = base du logarithme
naturel (≈ 2.71828)
P(X)=
λ
x
x!
e−
λ
http://www.dichotomistic.com/hierarchies_thermodynamics.html
(λ)
9 Espérance E(X): discrète
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
€
E(X)=a1p1=a1p1+a2p2+...+anpn
i=1
n
∑
• … aucune idée de la variation
• avec ai = valeurs d'une variable aléatoire discrète
• avec pi = probabilités de ai

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10 Variance : discrète
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
€
σ
2X
( )
€
σ
2X
( )
=E X −E X
( )
[ ]
2=piai−aipi
i=1
n
∑
%
&
'
(
)
*
2
i=1
n
∑
• … une mesure de base de la quantité de chaque valeur X se
distingue E(X).
• Pourquoi à la puissance de 2?
11 Résumé: distributions discrètes
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
http://www.stat.ufl.edu/~ssaha/4322/distributions.pdf
"
"
"
12 Variable aléatoire continue
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
• Variable aléatoire continue: une variable aléatoire est dite continue
si elle peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné (borné
ou non borné). En règle générale, toutes les variables qui résultent
d’une mesure sont de type continu.
• Défi 1: infinité de résultats possibles (au sein de précision de la
mesure!)
• Défi 2: probabilité d'une valeur particulière

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13 Variable aléatoire uniforme
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
f(x)=
1
a−b when a ≤ x ≤ b
0 when x < a or x > b
"
#
$
%
$
• avec a = limite inférieure
• avec b = limite supérieure
http://www.r-tutor.com/
14 PDF et CDF
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
• f(x) = fonction de distribution de probabilité
(PDF): PDF d'une variable aléatoire
continue est l'attribution de probabilités
qu'une variable aléatoire continue X se
produit dans un intervalle I [a, b]
• F(x) = fonction de distribution cumulative
(CDF): CDF d’une variable continue X
est F(x) = P(X < x)
!
• PDF is the derivative (i.e., rate of change)
of the CDF.
Non-negative
integrable
g
pdf
f
Normalize by integral of g
CDF
F
Integrate Differentiate
and one place that’s true is when it comes to defining expectations. Remember
that for discrete variables
E[X]⌘X
x
xp(x)
For a continuous variable, we just substitute f(x) for p(x) and an integral for a
sum:
E[X]⌘Z1
1
xf(x)dx
All of the rules which we learned for discrete expectations still hold for contin-
uous expectations.
Let’s see how this works for the uniform-over-[0,10] example.
E[X]=Z1
1
xf(x)dx =Z10
0
x1
10dx =1 10
1
2⇥x2⇤10
0=1
10
1
2(100 0) = 5
Notice that 5 is the mid-point of the interval [0,10]. Suppose we had a uniform
distribution over another interval, say (to be imaginative) [a, b]. What would the
expectation be? First, find the CDF F(x), from the same kind of reasoning we
used on the interval [0,10]: the probability of an interval is its length, divided by
the total length. Then, find the pdf, f(x)=dF/dx; finally, get the expectation,
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Cumulative probabilities provide, for each value x, the probability of a result less
than or equal to X
15 Variable aléatoire normale (Gaussian)
Oliver Sonnentag, PhD: GÉO1512 – Géographie Quantitative I Séance 4: 22 octobre 2012
• La distribution de probabilité la plus familière
• Constitue le fondement théorique de la régression linéaire et analyse
de la variance (ANOVA) ! séances 9 & 10
• Defined by two parameters (µ, σ):
! E(X) = µ ! central tendency
! σ2(X) = σ2 ! spread around the central tendency
• Variable aléatoire normale (“variable aléatoire de Gauss”): X ~ N(µ, σ)
• Standard normal distribution: µ = 0 et σ = 1
! Variable aléatoire normale standard (Z): E(Z) = 0, σ2 = 1