Table des matières 1 Modèles statistiques

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE
U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 – 2015
L2 Économie Cours de B. Desgraupes
Méthodes Statistiques
Séance 02: Échantillonnage
Table des matières
1 Modèles statistiques 1
2 Caractéristiques d’un échantillon 2
2.1 Estimateurs .............................. 2
2.2 La moyenne empirique ........................ 4
2.3 La fréquence empirique ....................... 5
2.4 La variance empirique ........................ 5
3 Comportement asymptotique 7
3.1 Comportement de ¯ Xn........................ 8
3.2 Comportement de S2
n......................... 12
4 Échantillons issus d’une variable normale 12
1 Modèles statistiques
On considère dans cette séance un échantillon de taille nextrait d’une popula-
tion de taille Net on s’intéresse à un caractère Xassocié aux éléments de la
population (les “individus statistiques”).
L’échantillon d’individus résulte d’un tirage avec remise dans la population.
À cet échantillon correspond un échantillon de valeurs prises par la caractère
X.
Le caractère Xest considéré comme une variable aléatoire et l’échantillon de
valeurs est consitué de nréalisations de cette variable. C’est sur cet échantillon
que se font les calculs.
On représente cette situation au moyen d’un modèle statistique qui comporte
en particulier une famille de lois de probabilité parmi lesquelles se trouve la loi
suivie par la variable X.
Ces lois de probabilité dépendent en général d’un ou plusieurs paramètres
notés θ. Dans ce cas, on dit qu’on a un modèle statistique paramétrique.
Par exemple :
•pour une loi normale, les paramètres sont la moyenne met l’écart-type σ
;
1

•pour une loi de Bernoulli ou une loi binomiale, c’est la probablilité p.
Un des problèmes les plus courants en statistique consiste à trouver la valeur
du ou des paramètres pour la population. Mais comme on ne peut pas en
général avoir l’information nécessaire, on doit ce contenter des valeurs fournies
par l’échantillon.
À partir de l’échantillon de valeurs, on essaie de résoudre divers types de
problèmes :
1. les problèmes de test : choix entre deux éventualités dont une seule est
vraie.
2. les problèmes d’estimation ponctuelle : choisir une valeur du paramètre θ.
À partir des données de l’échantillon, il faut définir une fonction (appelée
aussi une statistique) dont la valeur estime θ.
3. les problèmes d’estimation ensembliste : déterminer un sous-ensemble de
l’ensemble des paramètres représentant un ensemble d’éventualités. Cela
conduit à la détermination d’intervalles de confiance.
L’expérience aléatoire consiste en nexpériences élémentaires identiques et
indépendantes.
On considère que chaque Xiest une variable aléatoire et on suppose qu’elles
sont indépendantes entre elles. D’autre part, elles sont identiquement distribuées
(puisque distribuées comme Xelle-même).
En abrégé, on dit que les Xisont i.i.d. qui est l’abréviation de indépendantes
et identiquement distribuées.
On a donc :
E(Xi) = met Var(Xi) = σ2∀i= 1, . . . , n
2 Caractéristiques d’un échantillon
2.1 Estimateurs
On notera (X1, . . . , Xn)l’échantillon de valeurs. Les statistiques calculées à
partir de cet échantillon dépendent évidemment de l’échantillon qui a été tiré.
On dit qu’il s’agit de quantités empiriques puisqu’elles résultent de l’expérience
(tirage, observation, mesure, etc.).
On va voir en particulier les quantités empiriques les plus couramment util-
isées :
1. la moyenne empirique ;
2. la variance empirique ;
3. la fréquence empirique.
2

Si on avait tiré un autre échantillon, la statistique empirique aurait certaine-
ment une autre valeur. Il s’agit donc d’une valeur aléatoire et on s’intéressera à
son espérance et à sa variance.
Exemple
Comment estimer la taille moyenne d’un étudiant de l’université Paris-Ouest
?
On peut procéder en prenant 10 étudiants au hasard et en mesurant la taille
moyenne parmi ces dix étudiants. Notre estimateur serait ici la moyenne de
l’échantillon.
Deux questions viennent à l’esprit :
1. la taille de l’échantillon est-elle importante ?
Intuitivement, on sent bien que plus l’échantillon sera grand et meilleure
sera l’estimation.
2. le nombre d’échantillons tirés est-il important ?
Intuitivement encore, on se dit que si on arrive à accumuler beaucoup
de valeurs de la statistique qui sert d’estimateur (en tirant beaucoup
d’échantillons), à la fin, en moyenne, on aura une “bonne” estimation de
la vraie valeur du paramètre qui nous intéresse.
On verra plus loin, à travers les propriétés asymptotiques, dans quelle mesure
la théorie vient confirmer ces intuitions.
On peut construire beaucoup d’estimateurs différents pour estimer un paramètre
donné. Certains seront considérés comme meilleurs que d’autres selon différents
critères.
Une bonne manière de quantifier cette propriété est de calculer l’espérance
de l’estimateur (c’est-à-dire sa valeur moyenne compte-tenu de sa distribution
probabiliste) et de voir si elle fournit la vraie valeur.
Si on appelle Tl’estimateur et θle paramètre, on se demande si :
E(T)? =θ
Ce n’est pas nécessairement le cas.
Définition 2.1. On dit que l’estimateur Test sans biais lorsque E(T) = θ.
La quantité b(θ) = E(T)−θs’appelle le biais de l’estimateur. Si b(θ)6= 0,
on dit que l’estimateur est biaisé.
Un estimateur est donc sans biais lorsque son espérance est égale à ce qu’il
estime.
3

2.2 La moyenne empirique
Définition 2.2. La moyenne empirique de l’échantillon est
¯
Xn=1
n
n
X
i=1
Xi
Cette moyenne empirique est utilisée comme estimateur de la moyenne véri-
table de la population.
•Espérance de ¯ Xn
E¯ Xn=E 1
n
n
X
i=1
Xi!
=1
n
n
X
i=1
EXi
=1
n
n
X
i=1
m
=1
n×n m
=m
L’espérance de la moyenne empirique est la moyenne véritable dans la pop-
ulation. On peut aussi dire que ¯ Xnest un estimateur sans biais de m.
•Variance de ¯ Xn
Les variables étant indépendantes, on sait que la variance de la somme est
égale à la somme des variances. On écrit :
Var¯ Xn= Var 1
n
n
X
i=1
Xi!
=1
n2
n
X
i=1
VarXi
=1
n2
n
X
i=1
σ2
=1
n2×n σ2
=σ2
n
Autrement dit, plus la taille de l’échantillon est grande plus la variance de
l’estimateur ¯ Xnest faible.
4

Si on prend la racine carrée, on voit que l’écart-type de la moyenne empirique
est égal à σ
√n: pour diviser l’écart-type par 2, il faut multiplier la taille de
l’échantillon par 4.
2.3 La fréquence empirique
Dans le cas particulier d’une expérience de Bernoulli, c’est-à-dire d’une variable
aléatoire Xqui peut prendre seulement les valeurs 0 ou 1, la moyenne empirique
est appelée fréquence empirique. On la note Fnplutôt que ¯ Xn.
Puisque les valeurs de l’échantillon prennent la valeur 0 ou 1, leur somme
est le nombre de fois où la valeur est 1. En divisant par n, on obtient donc la
proportion des variables qui prennent la valeur 1.
Supposons que X∼ B(p). On prend la fréquence empirique comme estima-
teur du paramètre p.
Rappel
L’espérance d’une loi de Bernoulli B(p)est égale à pet la variance à p(1 −p).
On déduit donc des calculs sur la moyenne empirique que :
EFn=p
VarFn=p(1 −p)
n
On peut donc dire que Fnest un estimateur sans biais de la proportion p
dans la population.
2.4 La variance empirique
Définition 2.3. On appelle variance empirique d’une échantillon (X1, . . . , Xn)
la quantité
S2
n=1
n
n
X
i=1
(Xi−¯ X)2
C’est la somme des carrés des écarts à la moyenne empirique (qu’on note ici
simplement ¯ Xau lieu de ¯ Xn).
La variance est une quantité au carré. Cela signifie que si les valeurs Xi
sont, par exemple, mesurées en mètres, alors la variance est en mètres carrés.
La racine Sns’appelle l’écart-type empirique. Il est mesuré dans la même
unité que les Xi.
Lorsque la variance σ2de la population est inconnue, on peut utiliser S2
n
comme estimateur mais on va voir que c’est un estimateur biaisé.
Il existe une autre formule (dite formule développée) pour calculer la variance
d’un échantillon :
Var(x) = 1
n
n
X
i=1
X2
i−¯
X2
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