CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS PSI* 13-14 POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS Dans tout le chapitre, K désigne un corps (commutatif). I. L’algèbre K[X] DÉF 1: Soit (ai )i∈N une suite d’éléments de K . Cette suite est dite à support fini si l’ensemble {i ∈ N ; ai 6= 0K } est fini (cela revient à dire que tous les termes de la suite sont nuls à partir d’un certain rang). DÉF 2: On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans K toute suite d’éléments de K à support fini. L’ensemble de ces polynômes se note K[X]. On peut alors définir sur K[X] les lois suivantes : • Addition (l.c.i) : Si A = (ai ) et B = (bi ) sont des éléments de K[X], on définit le polynôme C = A + B = (ci ) par : ∀i ∈ N , ci = ai + bi . • Multiplication externe : Si A = (ai ) est un éléments de K[X] et si λ ∈ K , on définit le polynôme B = λ.A = (bi ) par : ∀i ∈ N , bi = λai . • Multiplication interne : Si XA = (ai ) et B = (b j ) sont des éléments de K[X], on définit le polynôme ai b j . C = AB = (cn ) par : ∀n ∈ N , cn = i+ j=n Théorème 1: (K[X], +, ×, .) est une K -algèbre, commutative, intègre. L’application θ de K dans K[X] qui à tout λ ∈ K associe le polynôme (λ, 0, ..., 0, ...) étant un morphisme injectif de K -algèbres, on peut alors identifier le corps K et la sous-algèbre θ(K) de K[X]. Les polynômes de θ(K) sont appelés les polynômes constants. On notera alors P = λ au lieu de P = (λ, 0, ..., 0, ...). Le vecteur nul de l’espace vectoriel (K[X], +, .) est le polynôme constant égal à 0K (polynôme nul) ; l’élément unité de l’anneau (K[X], +, ×) est le polynôme constant égal à 1K . Si on note X le polynôme (0, 1, 0, ..., 0, ...) (X s’appelle l’indéterminée), on vérifie alors, en utilisant les lois précédemment définies, que tout polynôme P ∈ K[X], P = (ai ), peut s’écrire de façon unique sous la forme X P= ai X i (somme finie). i∈N Remarque importante : X n’est PAS un élément de K , mais un POLYNÔME particulier. DÉF 3: Soit P = X ai X i un polynôme de K[X]. i∈N Si P est non nul (c’est-à-dire si au moins un des ai est 6= 0), on appelle degré de P , noté deg P , le plus grand entier n ∈ N tel que an 6= 0. Si P est le polynôme nul, on pose par convention : deg(P) = −∞ . DÉF 4: Soit P = X ai X i un polynôme de K[X], non nul, de degré n. i∈N Le scalaire an (non nul) est appelé coefficient dominant de P ; Le terme an X n est appelé terme dominant de P ; Si an = 1, P est dit normalisé (ou unitaire). Cours PSI* – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 1/9 3 novembre 2013 CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS PSI* 13-14 Prop 1: Soient P, Q ∈ K[X]. 1. deg(P + Q) ¶ max(deg(P), deg(Q)) 2. si deg(P) 6= deg(Q), on a alors deg(P + Q) = max(deg(P), deg(Q)). 3. deg(PQ) = deg(P) + deg(Q). Rem: Ces résultats sont valables si l’un des polynômes est nul, sous réserve des conventions habituelles : (−∞) + (−∞) = −∞ ; ∀n ∈ N, (−∞) + n = n + (−∞) = −∞ ; ∀n ∈ N, (−∞) < n Corollaire 1.1: Les éléments inversibles de l’anneau K[X] sont les polynômes constants non nuls. (soit : U (K[X]) = K∗ ) Démonstration: Si P est un polynôme inversible, il existe un polynôme Q tel que PQ = 1 . On a donc deg(P) + deg(Q) = 0 , ce qui implique deg(P) = deg(Q) = 0 donc P et Q sont des polynômes constants non nuls. Corollaire 1.2: L’anneau K[X] est intègre (c’est-à-dire : si P, Q ∈ K[X], PQ = 0 ⇒ P = 0 ou Q = 0). Démonstration: En effet, PQ = 0 ⇒ deg(P) + deg(Q) = −∞ ⇒ deg(P) = −∞ ou deg(Q) = −∞ . DÉF 5: Soit P = X ai X i un polynôme de K[X]. i∈N Si P est non nul, on appelle valuation de P , noté val(P), le plus petit indice i ∈ N tel que ai 6= 0 (c’est aussi le plus grand entier i tel que X i divise P ) Si P est le polynôme nul, on pose par convention : val(P) = +∞ . Prop 2: Soient P, Q ∈ K[X]. 1. val(P + Q) ¾ min(val(P), val(Q)) 2. val(PQ) = val(P) + val(Q). Rem: Ces résultats sont valables si l’un des polynômes est nul, sous réserve des conventions habituelles : (+∞) + (+∞) = +∞ ; ∀n ∈ N, (+∞) + n = n + (+∞) = +∞ ; ∀n ∈ N, n < +∞ Dérivation : DÉF 6: Soit P = +∞ X ai X i un polynôme de K[X] (cette somme est finie, ce n’est pas une série !). i=0 Son polynôme dérivé est le polynôme : P′ = +∞ X iai X i−1 = +∞ X (i + 1)ai+1 X i . i=0 i=1 ′ On peut alors définir par récurrence : P(0) = P , P(1) = P′ , . . . , P(n+1) = P(n) . Propriétés: 1. ∀(P, Q) ∈ K[X]2 , ∀λ ∈ K, (λP + Q)′ = λP′ + Q′ (en d’autres termes, l’application D : P 7→ P′ est un endomorphisme de K[X]). 2. Si P a pour terme dominant an X n , alors P(n) = n!an et P(n+1) = 0. 3. ∀(P, Q) ∈ K[X]2 , (PQ)′ = P′ Q + PQ′ . Cours PSI* – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 2/9 3 novembre 2013 PSI* 13-14 CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS 4. ∀(P, Q) ∈ K[X]2 , ∀n ∈ N, (PQ)(n) = n X n k=0 k P(k) Q(n−k) (formule de Leibniz) 5. ∀(P, Q) ∈ K[X]2 , (P ◦ Q)′ = Q′ .(P′ ◦ Q) +∞ +∞ X X i i ai Q . ai X , P ◦ Q désigne le polynôme P (rem : si P = i=0 i=0 Démonstration: 1. Il suffit décrire P = +∞ P ai Xi et Q = 3. ai Xi puis faire le calcul. i=0 i=0 2. Calcul élémentaire. +∞ P – On le démontre d’abord lorsque P = Xk : Si Q = (PQ)′ = +∞ P (i + k)bi Xi+k−1 = kXk−1 +∞ P bi X i + X k – Puis l’on écrit P = +∞ P bi Xi ∈ K[X] et si P = Xk alors PQ = +∞ P bi Xi+k d’où i=0 i=0 i bi Xi−1 = P ′ Q + PQ ′ . i=0 i=0 i=0 +∞ P +∞ P ak Xk et on utilise la linéarité de la dérivation. k=0 4. Démonstration par récurrence sur n (classique, à savoir refaire) : • La propriété est vraie pour n = 0 (immédiat) et pour n = 1 (résultat précédent). • Si la propriété est vraie à l’ordre n alors (PQ)(n+1) = n X n k=0 k P (k) Q (n−k) ′ = n n X n (k+1) (n−k) X n (k) (n−k+1) P Q + P Q k k k=0 k=0 n+1 n n+1 n+1 ✟ X X ✟ n n (k) (n−k+1) X n n = P (k) Q (n−k+1) + P Q = P (k) Q (n+1−k) + k−1 k k k−1 ✟ k=1 ✟ k=0 = k=0 k=0 n+1 X n + 1 (k) (n+1−k) P Q k k=0 en utilisant la formule du triangle de Pascal et avec les conventions habituelles : donc démontré la formule au rang n + 1 , ce qui achève la récurrence. n k = 0 si k < 0 ou k > n . On a 5. On le démontre d’abord lorsque P = Xk (donc lorsque P ◦ Q = Q k ), par récurrence sur k , puis on utilise la linéarité. II. Arithmétique dans K[X] DÉF 7: Soient A et B deux polynômes de K[X]. On dit que A divise B (ou que B est multiple de A ) s’il existe Q ∈ K[X] tel que B = AQ . On note : A|B. On dit que A et B sont associés si A|B et B|A . Propriétés: 1. Un polynôme constant non nul divise tout polynôme B. 2. Si A|B et B 6= 0, alors deg A ¶ deg B. 3. A divise B ⇐⇒ id(A) ⊃ id(B) 4. A et B sont associés si et seulement si il existe λ ∈ K , non nul, tel que : B = λA . 5. Tout polynôme non nul est associé à un polynôme normalisé (c’est-à-dire dont le coefficient dominant vaut 1) et un seul. Cours PSI* – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 3/9 3 novembre 2013 PSI* 13-14 CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS Démonstration: 1 B . λ 2. En effet, si l’on a B = AQ alors deg(B) = deg(A) + deg(Q) et puisque Q 6= 0 (sinon B serait nul), on a deg(Q) ¾ 0 d’où l’inégalité cherchée. 1. C’est immédiat, puisque si λ ∈ K∗ on peut écrire B = λ × 3. – Supposons que A divise B ; si C ∈ id(B) , alors C est multiple de B par définition, donc est aussi multiple de A , donc C ∈ id(A) ce qui démontre l’inclusion cherchée. – ¡8¿ Réciproquement, si id(A) ⊃ id(B) , puisque B appartient à id(B) , alors B appartient à id(A) c’est-à-dire est multiple de A . 4. – Il est clair que si B = λA avec λ non nul, alors A divise B et aussi B divise A puisque A = 1 λB. – Réciproquement supposons que A et B sont associés. Cela signifie qu’il existe des polynômes P et Q tels que A = BP et B = AQ . On a donc A = APQ . – Si A = 0 alors B = 0 et le résultat est immédiat puisque B = λA pour tout λ . – Sinon, l’anneau K[X] étant intègre, l’égalité précédente implique PQ = 1 . Ainsi P et Q sont des éléments inversibles de l’anneau K[X] , ce sont donc des polynômes constants non nuls, d’où le résultat. 5. C’est une conséquence immédiate du résultat précédent : si an est le coefficient dominant d’un polynôme P non nul, P est associé au polynôme normalisé a1 P . n Théorème 2: Division euclidienne Soient A et B deux polynômes de K[X], B étant non nul. Il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K[X] tels que : A = BQ + R et deg R < deg B. On dit que Q est le quotient et R le reste dans la division euclidienne de A par B. Démonstration: – Unicité : Supposons qu’il existe deux couples (Q1 , R1 ) et (Q2 , R2 ) de polynômes , tels que A = BQ1 + R1 = BQ2 + R2 avec deg R1 < deg B et deg R2 < deg B . Alors B(Q1 − Q2 ) = R2 − R1 d’où (proposition 1) deg B + deg(Q1 − Q2 ) = deg(R2 − R1 ) ¶ max(deg R1 , deg R2 ) < deg B ce qui implique deg(Q1 − Q2 ) < 0 soit Q1 = Q2 et ensuite R1 = R2 . – Existence : – Si deg A < deg B , il suffit de prendre Q = 0 et R = A . – Sinon, procédons par récurrence sur n = deg A . Supposons la propriété vraie pour tous les polynômes de degré ¶ n , et montrons-là pour A = an+1 Xn+1 + · · · + a0 , avec an+1 6= 0 . a Si B = bp X p + · · · + b0 avec bp 6= 0 , alors le polynôme A 1 = A − BQ1 avec Q1 = n+1 Xn+1−p est de degré ¶ n , bp donc d’après l’hypothèse de récurrence il existe des polynômes Q2 et R2 avec deg R2 < p tels que A 1 = BQ2 + R2 d’où A = B(Q1 + Q2 ) + R2 et il suffit de prendre Q = Q1 + Q2 et R = R2 . Théorème 3: important L’anneau K[X] est principal. En particulier, tout idéal de K[X], non réduit à {0} , est engendré par un polynôme normalisé et un seul. Démonstration: Rem : on notera l’analogie entre cette démonstration et celle de la principalité de Z ... Soit I un idéal de K[X] . Il s’agit de démontrer que I est principal, i.e de la forme A.K[X] avec A ∈ K[X] . – Si I = {0} , I = 0.K[X] et c’est fini. – Sinon, considérons l’ensemble des degrés des polynômes non nuls de I . Cet ensemble est une partie non vide de N , donc possède un plus petit élément, c’est-à-dire qu’il existe dans I \{0} (au moins) un polynôme de degré minimum. Notons A un tel polynôme . – I étant un idéal, AQ ∈ I pour tout Q ∈ K[X] , soit A.K[X] ⊂ I . – Réciproquement, soit P ∈ I . La division euclidienne de P par A ( A est non nul !) s’écrit P = AQ + R , avec deg R < deg A . Or P et AQ (voir ci-dessus) sont éléments de I , donc R = P − AQ est aussi élément de I ( I idéal...). Mézalor, puisque deg R < deg A ,le choix de A implique R = 0 . Finalement, P = AQ d’où l’inclusion réciproque I ⊂ A.K[X] . – Si maintenant I est engendré par deux polynômes A et B , on a I = Id(A) = Id(B) donc A divise B et B divise A (d’après les propriétés vues ci-dessus). A et B sont donc associés. Tous les générateurs de I sont donc associés, et, parmi eux, il en existe bien un et un seul qui soit normalisé. Cours PSI* – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 4/9 3 novembre 2013 CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS PSI* 13-14 Polynômes premiers entre eux : DÉF 8: Deux polynômes A et B sont dits premiers entre eux si les seuls diviseurs communs à A et B sont les polynômes constants. Prop 3: Soit (a, b) ∈ K2 . Les polynômes X − a et X − b sont premiers entre eux si et seulement si a 6= b . III. Fonction polynôme DÉF 9: Soit P = +∞ X ai X i un polynôme de K[X]. i=0 On appelle fonction polynôme associée à P l’application de K dans K qui à tout x ∈ K , associe l’élément : +∞ X e ai x i P(x) = i=0 (Rem : Cette dernière écriture a bien un sens, puisque la somme est en réalité finie et que K est un corps.) e(x). Par abus de notations, on notera souvent P(x) au lieu de P Prop 4: e , de K[X] dans A (K, K), est un morphisme de K -algèbres. 1. L’application P 7→ P à e. e◦Q 2. ∀(P, Q) ∈ K[X]2 , P ◦Q=P Démonstration: La première propriété signifie que (avec des notations évidentes) : á e e+Q P +Q =P ; Ý=P e eQ PQ ; Ý e λP = λP et les lois dans K[X] ont justement été définies de façon qu’il en soit ainsi ! Même justification pour la deuxième propriété. ; e 1 = 1A (K,K) Théorème 4: Formule de Taylor Soit P un polynôme de K[X], de degré ¶ n, et soit a un élément de K . Alors : n X e(k) (a) P (X − a)k P= k! k=0 Démonstration: La formule est évidente si P = 0 . Sinon, soit n = deg P . Les polynômes (1, X − a, . . . , (X − a)n ) forment une base du K -espace vectoriel Kn [X] des polynômes de degré ¶ n (famille de n + 1 polynômes de degrés distincts). n X Il existe donc des scalaires (λ0 , . . . , λn ) tels que P = λi (X − a)i . i=0 En dérivant k fois cette égalité ( k ∈ [[0, n]] ) on obtient : n X P (k) = λi i=k i! (X − a)i−k (i − k)! puis en évaluant cette expression en X = a , on obtient P (k) (a) = k!λk , puisque tous les termes de la somme pour i > k s’annulent pour X = a . Racine d’un polynôme : DÉF 10: e(a) = 0K . Soit P ∈ K[X]. On appelle racine (ou zéro) de P tout élément a∈ K tel que P Cours PSI* – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 5/9 3 novembre 2013 PSI* 13-14 CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS Théorème 5: a est une racine de P si et seulement si le polynôme X − a divise P . Démonstration: En effet, la division euclidienne de P par X − a s’écrit ; P = (X − a)Q + R avec deg R < 1 i.e. R constant. En évaluant cette égalité en a , on obtient R = R(a) = P(a) . Donc (X − a)|P ⇐⇒ R = 0 ⇐⇒ P(a) = 0 . Corollaire 5.1: Soit (ai )1¶i¶p une famille d’éléments distincts de K . Alors, les ai sont tous des racines de P si et seulement si p Y (X − ai ) divise P . i=1 Démonstration: Par récurrence sur p ... Corollaire 5.2: Si un polynôme de degré ¶ p admet au moins p + 1 racines distinctes dans K , c’est le polynôme nul. Démonstration: En effet, d’après le corollaire précédent, si un polynôme possède p + 1 racines distinctes, il est divisible par un polynôme de degré p + 1 donc il est nul ou est de degré ¾ p + 1 . Rem: Il en résulte que, si P et Q sont deux polynômes tels que les fonctions polynômes associées sont égales e ), alors P = Q . On peut donc, dans les notations, confondre un polynôme P et sa fonction polynôme e=Q (P associée e P. Ordre de multiplicité d’une racine : DÉF 11: 1. Si a est une racine de P , on dit que a est racine d’ordre au moins k ( k ∈ N∗ ) si et seulement si (X − a)k divise P . 2. On dit que a est une racine d’ordre k si et seulement si (X − a)k divise P et (X − a)k+1 ne divise pas P . L’entier k s’appelle alors l’ordre de multiplicité de la racine a . ( Rem : On pourra convenir que a est d’ordre 0 si a n’est pas racine de P ...) Théorème 6: e(a) = P e′ (a) = · · · = P e(k−1) (a) = 0. 1. a est racine d’ordre au moins k de P ssi : P e(a) = P e′ (a) = · · · = e 2. a est racine d’ordre exactement k de P ssi : P P(k−1) (a) = 0 et e P(k) (a) 6= 0. Démonstration: La formule de Taylor peut s’écrire : P = P(a) + (X − a)P ′ (a) + · · · + (X − a)k−1 (k−1) P (a) + (X − a)k Q (k − 1)! où Q est un polynôme de degré deg P − k soit P = (X − a)k Q + R , avec R = P(a) + (X − a)P ′ (a) + · · · + (X − a)k−1 (k−1) P (a) de (k − 1)! degré < k . Il s’agit donc de la division euclidienne de P par (X − a)k et on a : (X − a)k divise P ⇐⇒ R = 0 ⇐⇒ P(a) = P ′ (a) = · · · = P (k−1) (a) = 0 (la deuxième équivalence découle du fait que P(a), P ′ (a), . . . , P (k−1) (a) sont les coordonnées de R dans la base (1, X − a, . . . , (X − a)k−1 ) de Kk−1 [X] ). Cela établit la première propriété. Ensuite, de la même façon, on a en plus (X − a)k+1 P ⇐⇒ P (k) (a) = 0 , ce qui établit la deuxième propriété. Cours PSI* – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 6/9 3 novembre 2013 PSI* 13-14 CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS Théorème 7: Soit (ai )1¶i¶p une famille d’éléments distincts de K . Alors, les ai sont tous des racines de P d’ordres respectifs au moins ki si et seulement si (X − ai )ki divise i=1 P. p Y Démonstration: Par récurrence sur p ... Corollaire 7.1: La somme des ordres de multiplicité des racines d’un polynôme non nul est inférieure ou égal à son degré. DÉF 12: On dit qu’un polynôme P non constant de K[X] est scindé dans K[X] s’il admet dans K des racines dont la somme des ordres de multiplicité est égale à son degré. Cela équivaut à dire que P peut s’écrire sous la forme : p Y (X − ai )ki , où λ ∈ K et où les ai ∈ K sont distincts. P=λ i=1 Il est également commode de l’écrire sous la forme : n Y (X − x i ) P=λ i=1 les x i étant les racines de P , chacune étant répétée autant de fois que son ordre de multiplicité. Théorème 8: Relations coefficients-racines Soit P ∈ K[X], scindé, et (x i )1¶i¶n ses racines, chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité. n n X Y (X − x i ) = ak X k (an = λ 6= 0). Ainsi : P = λ i=1 k=0 On a alors les relations : σ1 = x1 + x2 + · · · + xn X σ = xi x j 2 1¶i< j¶n ..... X x i1 x i2 . . . x ip σp = 1¶i <i <···<i ¶n 1 2 p .... σn = x1 x2 . . . xn = = = = an−1 − an an−2 an (−1) p an−p (−1)n an a0 an DÉF 13: Les σi ci-dessus s’appellent les fonctions symétriques élémentaires des racines de P . IV. Factorisation d’un polynôme Polynômes irréductibles : DÉF 14: Un polynôme P ∈ K[X] est dit irréductible (dans K[X]) si : (a) P non constant (soit : deg P ¾ 1). (b) tout diviseur de P est soit constant, soit associé à P . Exemples: Cours PSI* – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 7/9 3 novembre 2013 PSI* 13-14 CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS 1. Tout polynôme de degré 1 est irréductible. 2. X2 + 1 est irréductible dans R[X], mais pas dans C[X]. 3. X3 − 2 est irréductible dans Q[X] mais pas dans R[X] Théorème 9: Tout polynôme P ∈ K[X], de degré ¾ 1, possède un diviseur irréductible. Démonstration: Soit D l’ensemble des polynômes de degré ¾ 1 qui divisent P . D est non vide (car P ∈ D ), donc il existe dans D un polynôme de degré minimal. Soit A un tel polynôme . Alors A divise P et est irréductible car sinon, on aurait A = BC, deg B ¾ 1, deg C ¾ 1 donc, puisque deg A = deg B + deg C , B et C seraient des éléments de D de degrés < deg A , ce qui est impossible. Théorème 10: Tout polynôme non nul P ∈ K[X] s’écrit de manière unique Y (à l’ordre près des facteurs) sous la forme : α P=λ Pi i i∈I avec : λ ∈ K∗ , Pi polynômes irréductibles normalisés premiers entre eux deux à deux, αi entiers naturels tous nuls sauf un nombre fini. Démonstration: L’existence se démontre facilement par récurrence sur deg P à l’aide du théorème précédent. L’unicité est un peu plus difficile, et sera admise... Corollaire 10.1: Deux polynômes de K[X] sont premiers entre eux si et seulement si ils n’ont pas de facteur irréductible commun dans leurs décompositions. Étude de C[X] : Théorème 11: de d’Alembert-Gauss Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine dans C . (on dit que C est un corps algébriquement clos). Corollaire 11.1: Les seuls polynômes irréductibles de C[X] sont ceux de degré 1. Démonstration: En effet, si P ∈ C[X] est de degré supérieur ou égal à 2 , il admet une racine a ∈ C , donc est divisible par X − a est de peut pas être irréductible. Réciproquement, on sait que les polynômes de degré 1 sont irréductibles. Corollaire 11.2: Tout polynôme P non constant de C[X] s’écrit de manière unique (à l’ordre près des facteurs) sous la forme : r Y (X − ai )αi P=λ où : λ ∈ C∗ les ai sont des complexes distincts les αi sont des entiers naturels non nuls. i=1 (Ainsi, tout polynôme de C[X] est scindé) Démonstration: Il s’agit tout simplement de l’écriture d’un polynôme de C[X] sous forme de produit de polynômes irréductibles. Corollaire 11.3: Pour que deux polynômes P et Q de C[X] soient premiers entre eux, il faut et il suffit qu’ils n’aient pas de racine commune. Cours PSI* – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 8/9 3 novembre 2013 PSI* 13-14 CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS Démonstration: – Si deux polynômes sont premiers entre eux, ils ne peuvent avoir de racine commune car, si a était une telle racine, ils seraient tous deux divisible par X − a . (Rem : cette implication est valable quel que soit le corps de base) – Si deux polynômes P et Q de C[X] ne sont pas premiers entre eux, ils admette un diviseur commun non constant, notons-le D . Alors D admet une racine dans C , et cette racine sera aussi racine de P et de Q Corollaire 11.4: Soient P et Q deux polynômes de C[X]. Pour que P divise Q , il faut et il suffit que toute racine de P soit aussi racine de Q , avec un ordre de multiplicité supérieur. Démonstration: – Si la condition de l’énoncé est vérifiée, et si P = λ r Q (X − ai )αi , alors Q = i=1 i , donc P divise Q . r Q Étude de R (X − ai )βi Q1 avec βi ¾ αi pour tout i=1 – Réciproquement, si P|Q , alors pour toute racine ai de P d’ordre αi , (X − ai )αi divise P donc divise Q et ai est racine de Q avec un ordre de multiplicité ¾ αi . Théorème 12: Les polynômes irréductibles de R[X] sont : • les polynômes de degré 1. • les polynômes de degré 2 sans racine réelle (donc à discriminant < 0). Démonstration: – Les polynômes de degré 1 sont irréductibles, on l’a déjà vu. – Soit P ∈ R[X] un polynôme de degré 2 . Il est irréductible si et seulement si il n’est pas divisible par un polynôme de degré 1 , c’est-à-dire si et seulement si il n’a pas de racine réelle, ce qui est équivalent à dire que son discriminant est strictement négatif. – Soit P ∈ R[X] , de degré supérieur ou égal à 3 . – Si P possède une racine réelle a , il est divisible par X − a et ne peut être irréductible. – Sinon, il possède au moins une racine complexe non réelle z , et puisque P(z) = P(z) puisque les coefficients de P sont réels, z est aussi racine de P . Ainsi P est divisible par (X − z)(X − z) , qui est un polynôme de R[X] , donc n’est pas irréductible dans R[X] . Corollaire 12.1: Tout polynôme P non nul de R[X] s’écrit de manière (à l’ordre près des facteurs) sous la forme : Y unique Y β αi Pj j P=λ (X − ai ) j∈J i∈I où : λ ∈ R∗ les ai sont des réels distincts les αi sont des entiers naturels les Pj sont des trinômes de discriminant < 0 premiers entre eux deux à deux les β j sont des entiers naturels. Démonstration: Il s’agit tout simplement de l’écriture d’un polynôme de C[X] sous forme de produit de polynômes irréductibles. ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Cours PSI* – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 9/9 3 novembre 2013