POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS I. L`algèbre [X]

CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS PSI* 13-14
POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
Dans tout le chapitre, Kdésigne un corps (commutatif).
I. L’algèbre K[X]
DÉF 1:
Soit (ai)i∈Nune suite d’éléments de K.
Cette suite est dite à support fini si l’ensemble {i∈N;ai6=0K}est fini (cela revient à dire que tous les termes
de la suite sont nuls à partir d’un certain rang).
DÉF 2:
On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans Ktoute suite d’éléments de Kà support fini.
L’ensemble de ces polynômes se note K[X].
On peut alors définir sur K[X]les lois suivantes :
•Addition (l.c.i) : Si A = (ai)et B = (bi)sont des éléments de K[X], on définit le polynôme C =A+B= (ci)
par : ∀i∈N,ci=ai+bi.
•Multiplication externe : Si A = (ai)est un éléments de K[X]et si λ∈K, on définit le polynôme
B=λ.A = (bi)par : ∀i∈N,bi=λai.
•Multiplication interne : Si A = (ai)et B = (bj)sont des éléments de K[X], on définit le polynôme
C=AB = (cn)par : ∀n∈N,cn=X
i+j=n
aibj.
Théorème 1:
(K[X],+,×,.)est une K-algèbre, commutative, intègre.
L’application θde Kdans K[X]qui à tout λ∈Kassocie le polynôme (λ, 0,...,0,...)étant un morphisme injectif
de K-algèbres, on peut alors identifier le corps Ket la sous-algèbre θ(K)de K[X]. Les polynômes de θ(K)sont
appelés les polynômes constants. On notera alors P =λau lieu de P = (λ,0, ..., 0,...).
Le vecteur nul de l’espace vectoriel (K[X],+,.)est le polynôme constant égal à 0K(polynôme nul) ; l’élément
unité de l’anneau (K[X],+,×)est le polynôme constant égal à 1K.
Si on note X le polynôme (0,1,0,..., 0, ...)(X s’appelle l’indéterminée), on vérifie alors, en utilisant les lois
précédemment définies, que tout polynôme P ∈K[X], P = (ai), peut s’écrire de façon unique sous la forme
P=X
i∈N
aiXi(somme finie).
Remarque importante : Xn’est PAS un élément de K, mais un POLYNÔME particulier.
DÉF 3:
Soit P =X
i∈N
aiXiun polynôme de K[X].
Si P est non nul (c’est-à-dire si au moins un des aiest 6=0), on appelle degré de P , noté deg P, le plus grand
entier n∈Ntel que an6=0.
Si P est le polynôme nul, on pose par convention : deg(P) = −∞ .
DÉF 4:
Soit P =X
i∈N
aiXiun polynôme de K[X], non nul, de degré n.
Le scalaire an(non nul) est appelé coefficient dominant de P ;
Le terme anXnest appelé terme dominant de P ;
Si an=1, P est dit normalisé (ou unitaire).
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Prop 1:
Soient P, Q ∈K[X].
1. deg(P+Q)¶max(deg(P),deg(Q))
2. si deg(P)6=deg(Q), on a alors deg(P+Q) = max(deg(P),deg(Q)).
3. deg(PQ) = deg(P) + deg(Q).
Rem: Ces résultats sont valables si l’un des polynômes est nul, sous réserve des conventions habituelles :
(−∞) + (−∞) = −∞ ;∀n∈N, (−∞) + n=n+ (−∞) = −∞ ;∀n∈N,(−∞)<n
Corollaire 1.1:
Les éléments inversibles de l’anneau K[X]sont les polynômes constants non nuls.
(soit : U(K[X]) = K∗)
Démonstration:
Si Pest un polynˆome inversible, il existe un polyn ˆome Qtel que PQ =1. On a donc deg(P) + deg(Q) = 0, ce qui implique
deg(P) = deg(Q) = 0donc Pet Qsont des polynˆomes constants non nuls.
Corollaire 1.2:
L’anneau K[X]est intègre
(c’est-à-dire : si P, Q ∈K[X], PQ =0⇒P=0 ou Q =0).
Démonstration:
En effet, PQ =0⇒deg(P) + deg(Q) = −∞ ⇒ deg(P) = −∞ ou deg(Q) = −∞ .
DÉF 5:
Soit P =X
i∈N
aiXiun polynôme de K[X].
Si P est non nul, on appelle valuation de P, noté val(P), le plus petit indice i∈Ntel que ai6=0 (c’est aussi
le plus grand entier itel que Xidivise P)
Si P est le polynôme nul, on pose par convention : val(P) = +∞.
Prop 2:
Soient P, Q ∈K[X].
1. val(P+Q)¾min(val(P),val(Q))
2. val(PQ) = val(P) + val(Q).
Rem: Ces résultats sont valables si l’un des polynômes est nul, sous réserve des conventions habituelles :
(+∞) + (+∞) = +∞;∀n∈N, (+∞) + n=n+ (+∞) = +∞;∀n∈N,n<+∞
Dérivation :
DÉF 6:
Soit P =
+∞
X
i=0
aiXiun polynôme de K[X](cette somme est finie, ce n’est pas une série !).
Son polynôme dérivé est le polynôme : P′=
+∞
X
i=1
iaiXi−1=
+∞
X
i=0
(i+1)ai+1Xi.
On peut alors définir par récurrence : P(0)=P , P(1)=P′, . .. , P(n+1)=P(n)′.
Propriétés:
1. ∀(P, Q)∈K[X]2,∀λ∈K,(λP+Q)′=λP′+Q′(en d’autres termes, l’application D : P 7→ P′est un
endomorphisme de K[X]).
2. Si P a pour terme dominant anXn, alors P(n)=n!anet P(n+1)=0.
3. ∀(P, Q)∈K[X]2,(PQ)′=P′Q+PQ′.
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4. ∀(P, Q)∈K[X]2,∀n∈N,(PQ)(n)=
n
X
k=0n
kP(k)Q(n−k)(formule de Leibniz)
5. ∀(P, Q)∈K[X]2,(P◦Q)′=Q′.(P′◦Q)
(rem : si P =
+∞
X
i=0
aiXi, P ◦Q désigne le polynôme P +∞
X
i=0
aiQi.
Démonstration:
1. Il suffit d´ecrire P=
+∞
P
i=0
aiXiet Q=
+∞
P
i=0
aiXipuis faire le calcul.
2. Calcul ´el´ementaire.
3. – On le d´emontre d’abord lorsque P=Xk: Si Q=
+∞
P
i=0
biXi∈K[X]et si P=Xkalors PQ =
+∞
P
i=0
biXi+kd’o `u
(PQ)′=
+∞
P
i=0
(i+k)biXi+k−1=kXk−1+∞
P
i=0
biXi+Xk+∞
P
i=0
ibiXi−1=P′Q+PQ′.
– Puis l’on ´ecrit P=
+∞
P
k=0
akXket on utilise la lin´earit´e de la d´erivation.
4. D´emonstration par r´ecurrence sur n(classique, `a savoir refaire) :
•La propri´et´e est vraie pour n=0(imm´ediat) et pour n=1(r´esultat pr´ec´edent).
•Si la propri´et´e est vraie `a l’ordre nalors
(PQ)(n+1)=
n
X
k=0n
kP(k)Q(n−k)′=
n
X
k=0n
kP(k+1)Q(n−k)+
n
X
k=0n
kP(k)Q(n−k+1)
=
n+1
X
✟
✟
k=1
k=0n
k−1P(k)Q(n−k+1)+
n+1
✟
✟
n
X
k=0n
kP(k)Q(n−k+1)=
n+1
X
k=0 n
k−1+n
kP(k)Q(n+1−k)
=
n+1
X
k=0n+1
kP(k)Q(n+1−k)
en utilisant la formule du triangle de Pascal et avec les conventions habituelles : n
k=0si k<0ou k>n. On a
donc d´emontr´e la formule au rang n+1, ce qui ach`eve la r´ecurrence.
5. On le d´emontre d’abord lorsque P=Xk(donc lorsque P◦Q=Qk), par r´ecurrence sur k, puis on utilise la lin´earit´e.
II. Arithmétique dans K[X]
DÉF 7:
Soient A et B deux polynômes de K[X].
On dit que A divise B (ou que B est multiple de A) s’il existe Q ∈K[X]tel que B =AQ. On note : A|B.
On dit que A et B sont associés si A|B et B|A.
Propriétés:
1. Un polynôme constant non nul divise tout polynôme B.
2. Si A|B et B 6=0, alors deg A ¶degB.
3. A divise B ⇐⇒ id(A)⊃id(B)
4. A et B sont associés si et seulement si il existe λ∈K, non nul, tel que : B =λA.
5. Tout polynôme non nul est associé à un polynôme normalisé (c’est-à-dire dont le coefficient dominant vaut 1)
et un seul.
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Démonstration:
1. C’est imm´ediat, puisque si λ∈K∗on peut ´ecrire B=λ×1
λB.
2. En effet, si l’on a B=AQ alors deg(B) = deg(A) + deg(Q)et puisque Q6=0(sinon Bserait nul), on a deg(Q)¾0d’o `u
l’in´egalit´e cherch´ee.
3. – Supposons que Adivise B; si C∈id(B), alors Cest multiple de Bpar d´efinition, donc est aussi multiple de A,
donc C∈id(A)ce qui d´emontre l’inclusion cherch´ee.
– ¡8¿ R´eciproquement, si id(A)⊃id(B), puisque Bappartient `a id(B), alors Bappartient `a id(A)c’est-`a-dire est
multiple de A.
4. – Il est clair que si B=λAavec λnon nul, alors Adivise Bet aussi Bdivise Apuisque A=1
λB.
– R´eciproquement supposons que Aet Bsont associ´es. Cela signifie qu’il existe des polynˆomes Pet Qtels que
A=BP et B=AQ . On a donc A=APQ .
– Si A=0alors B=0et le r´esultat est imm´ediat puisque B=λApour tout λ.
– Sinon, l’anneau K[X]´etant int`egre, l’´egalit´e pr´ec´edente implique PQ =1. Ainsi Pet Qsont des ´el´ements
inversibles de l’anneau K[X], ce sont donc des polyn ˆomes constants non nuls, d’o `u le r´esultat.
5. C’est une cons´equence imm´ediate du r´esultat pr´ec´edent : si anest le coefficient dominant d’un polynˆome Pnon nul,
Pest associ´e au polyn ˆome normalis´e 1
anP.
Théorème 2: Division euclidienne
Soient A et B deux polynômes de K[X], B étant non nul.
Il existe un unique couple (Q, R)de polynômes de K[X]tels que :
A=BQ +R et degR <deg B.
On dit que Q est le quotient et R le reste dans la division euclidienne de A par B.
Démonstration:
–Unicit´e : Supposons qu’il existe deux couples (Q1, R1)et (Q2, R2)de polynˆomes , tels que A=BQ1+R1=BQ2+R2
avec deg R1<deg B et deg R2<deg B .
Alors B(Q1−Q2) = R2−R1d’o `u (proposition 1)
degB +deg(Q1−Q2) = deg(R2−R1)¶max(deg R1, deg R2)<degB
ce qui implique deg(Q1−Q2)<0soit Q1=Q2et ensuite R1=R2.
–Existence :
– Si deg A <degB , il suffit de prendre Q=0et R=A.
– Sinon, proc´edons par r´ecurrence sur n=deg A . Supposons la propri´et´e vraie pour tous les polynˆomes de degr´e
¶n, et montrons-l`a pour A=an+1Xn+1+···+a0, avec an+16=0.
Si B=bpXp+···+b0avec bp6=0, alors le polynˆome A1=A−BQ1avec Q1=an+1
bp
Xn+1−pest de degr´e ¶n,
donc d’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence il existe des polynˆomes Q2et R2avec deg R2<ptels que A1=BQ2+R2
d’o `u A=B(Q1+Q2) + R2et il suffit de prendre Q=Q1+Q2et R=R2.
Théorème 3: important
L’anneau K[X]est principal.
En particulier, tout idéal de K[X], non réduit à {0}, est engendré par un polynôme normalisé et un seul.
Démonstration:
Rem : on notera l’analogie entre cette d´emonstration et celle de la principalit´e de Z...
Soit Iun id´eal de K[X]. Il s’agit de d´emontrer que Iest principal, i.e de la forme A.K[X]avec A∈K[X].
– Si I={0},I=0.K[X]et c’est fini.
– Sinon, consid´erons l’ensemble des degr´es des polynˆomes non nuls de I. Cet ensemble est une partie non vide de N,
donc poss`ede un plus petit ´el´ement, c’est-`a-dire qu’il existe dans I\{0}(au moins) un polynˆome de degr´e minimum.
Notons Aun tel polynˆome .
–I´etant un id´eal, AQ ∈Ipour tout Q∈K[X], soit A.K[X]⊂I.
– R´eciproquement, soit P∈I. La division euclidienne de Ppar A(Aest non nul !) s’´ecrit P=AQ +R, avec
degR <deg A . Or Pet AQ (voir ci-dessus) sont ´el´ements de I, donc R=P−AQ est aussi ´el´ement de I(Iid´eal...).
M´ezalor, puisque deg R <deg A,le choix de Aimplique R=0.
Finalement, P=AQ d’o `u l’inclusion r´eciproque I⊂A.K[X].
– Si maintenant Iest engendr´e par deux polyn ˆomes Aet B, on a I=Id(A) = Id(B)donc Adivise Bet Bdivise A
(d’apr`es les propri´et´es vues ci-dessus). Aet Bsont donc associ´es. Tous les g´en´erateurs de Isont donc associ´es, et,
parmi eux, il en existe bien un et un seul qui soit normalis´e.
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Polynômes premiers entre eux :
DÉF 8:
Deux polynômes A et B sont dits premiers entre eux si les seuls diviseurs communs à A et B sont les polynômes
constants.
Prop 3:
Soit (a,b)∈K2.
Les polynômes X −aet X −bsont premiers entre eux si et seulement si a6=b.
III. Fonction polynôme
DÉF 9:
Soit P =
+∞
X
i=0
aiXiun polynôme de K[X].
On appelle fonction polynôme associée à P l’application de Kdans Kqui à tout x∈K, associe l’élément :
e
P(x) =
+∞
X
i=0
aixi
(Rem : Cette dernière écriture a bien un sens, puisque la somme est en réalité finie et que Kest un corps.)
Par abus de notations, on notera souvent P(x)au lieu de e P(x).
Prop 4:
1. L’application P 7→ e P, de K[X]dans A(K,K), est un morphisme de K-algèbres.
2. ∀(P, Q)∈K[X]2,à P◦Q=e P◦e Q.
Démonstration:
La premi`ere propri´et´e signifie que (avec des notations ´evidentes) :
á
P+Q=e P+e Q ; Ý PQ =e Pe Q ; Ý λP=λe P ; e 1=1A(K,K)
et les lois dans K[X]ont justement ´et´e d´efinies de fac¸on qu’il en soit ainsi !
Mˆeme justification pour la deuxi`eme propri´et´e.
Théorème 4: Formule de Taylor
Soit P un polynôme de K[X], de degré ¶n, et soit aun élément de K. Alors :
P=
n
X
k=0e
P(k)(a)
k!(X−a)k
Démonstration:
La formule est ´evidente si P=0.
Sinon, soit n=deg P . Les polynˆomes (1, X −a,...,(X−a)n)forment une base du K-espace vectoriel Kn[X]des polyn ˆomes
de degr´e ¶n(famille de n+1polynˆomes de degr´es distincts).
Il existe donc des scalaires (λ0,...,λn)tels que P=
n
X
i=0
λi(X−a)i.
En d´erivant kfois cette ´egalit´e ( k∈[[0, n]] ) on obtient :
P(k)=
n
X
i=k
λi
i!
(i−k)!(X−a)i−k
puis en ´evaluant cette expression en X=a, on obtient P(k)(a) = k!λk, puisque tous les termes de la somme pour i>k
s’annulent pour X=a.
Racine d’un polynôme :
DÉF 10:
Soit P ∈K[X]. On appelle racine (ou zéro) de P tout élément a∈Ktel que e P(a) = 0K.
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