POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS I. L`algèbre [X]

CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
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POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
Dans tout le chapitre, K désigne un corps (commutatif).
I. L’algèbre K[X]
DÉF 1:
Soit (ai )i∈N une suite d’éléments de K .
Cette suite est dite à support fini si l’ensemble {i ∈ N ; ai 6= 0K } est fini (cela revient à dire que tous les termes
de la suite sont nuls à partir d’un certain rang).
DÉF 2:
On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans K toute suite d’éléments de K à support fini.
L’ensemble de ces polynômes se note K[X].
On peut alors définir sur K[X] les lois suivantes :
• Addition (l.c.i) : Si A = (ai ) et B = (bi ) sont des éléments de K[X], on définit le polynôme C = A + B = (ci )
par : ∀i ∈ N , ci = ai + bi .
• Multiplication externe : Si A = (ai ) est un éléments de K[X] et si λ ∈ K , on définit le polynôme
B = λ.A = (bi ) par : ∀i ∈ N , bi = λai .
• Multiplication interne : Si
XA = (ai ) et B = (b j ) sont des éléments de K[X], on définit le polynôme
ai b j .
C = AB = (cn ) par : ∀n ∈ N , cn =
i+ j=n
Théorème 1:
(K[X], +, ×, .) est une K -algèbre, commutative, intègre.
L’application θ de K dans K[X] qui à tout λ ∈ K associe le polynôme (λ, 0, ..., 0, ...) étant un morphisme injectif
de K -algèbres, on peut alors identifier le corps K et la sous-algèbre θ(K) de K[X]. Les polynômes de θ(K) sont
appelés les polynômes constants. On notera alors P = λ au lieu de P = (λ, 0, ..., 0, ...).
Le vecteur nul de l’espace vectoriel (K[X], +, .) est le polynôme constant égal à 0K (polynôme nul) ; l’élément
unité de l’anneau (K[X], +, ×) est le polynôme constant égal à 1K .
Si on note X le polynôme (0, 1, 0, ..., 0, ...) (X s’appelle l’indéterminée), on vérifie alors, en utilisant les lois
précédemment
définies, que tout polynôme P ∈ K[X], P = (ai ), peut s’écrire de façon unique sous la forme
X
P=
ai X i (somme finie).
i∈N
Remarque importante : X n’est PAS un élément de K , mais un POLYNÔME particulier.
DÉF 3:
Soit P =
X
ai X i un polynôme de K[X].
i∈N
Si P est non nul (c’est-à-dire si au moins un des ai est 6= 0), on appelle degré de P , noté deg P , le plus grand
entier n ∈ N tel que an 6= 0.
Si P est le polynôme nul, on pose par convention : deg(P) = −∞ .
DÉF 4:
Soit P =
X
ai X i un polynôme de K[X], non nul, de degré n.
i∈N
Le scalaire an (non nul) est appelé coefficient dominant de P ;
Le terme an X n est appelé terme dominant de P ;
Si an = 1, P est dit normalisé (ou unitaire).
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Prop 1:
Soient P, Q ∈ K[X].
1. deg(P + Q) ¶ max(deg(P), deg(Q))
2. si deg(P) 6= deg(Q), on a alors deg(P + Q) = max(deg(P), deg(Q)).
3. deg(PQ) = deg(P) + deg(Q).
Rem: Ces résultats sont valables si l’un des polynômes est nul, sous réserve des conventions habituelles :
(−∞) + (−∞) = −∞ ; ∀n ∈ N, (−∞) + n = n + (−∞) = −∞ ; ∀n ∈ N, (−∞) < n
Corollaire 1.1:
Les éléments inversibles de l’anneau K[X] sont les polynômes constants non nuls.
(soit : U (K[X]) = K∗ )
Démonstration:
Si P est un polynôme inversible, il existe un polynôme Q tel que PQ = 1 . On a donc deg(P) + deg(Q) = 0 , ce qui implique
deg(P) = deg(Q) = 0 donc P et Q sont des polynômes constants non nuls.
Corollaire 1.2:
L’anneau K[X] est intègre
(c’est-à-dire : si P, Q ∈ K[X], PQ = 0 ⇒ P = 0 ou Q = 0).
Démonstration:
En effet, PQ = 0 ⇒ deg(P) + deg(Q) = −∞ ⇒ deg(P) = −∞ ou deg(Q) = −∞ .
DÉF 5:
Soit P =
X
ai X i un polynôme de K[X].
i∈N
Si P est non nul, on appelle valuation de P , noté val(P), le plus petit indice i ∈ N tel que ai 6= 0 (c’est aussi
le plus grand entier i tel que X i divise P )
Si P est le polynôme nul, on pose par convention : val(P) = +∞ .
Prop 2:
Soient P, Q ∈ K[X].
1. val(P + Q) ¾ min(val(P), val(Q))
2. val(PQ) = val(P) + val(Q).
Rem: Ces résultats sont valables si l’un des polynômes est nul, sous réserve des conventions habituelles :
(+∞) + (+∞) = +∞ ; ∀n ∈ N, (+∞) + n = n + (+∞) = +∞ ; ∀n ∈ N, n < +∞
„ Dérivation :
DÉF 6:
Soit P =
+∞
X
ai X i un polynôme de K[X] (cette somme est finie, ce n’est pas une série !).
i=0
Son polynôme dérivé est le polynôme : P′ =
+∞
X
iai X i−1 =
+∞
X
(i + 1)ai+1 X i .
i=0
i=1
′
On peut alors définir par récurrence : P(0) = P , P(1) = P′ , . . . , P(n+1) = P(n) .
Propriétés:
1. ∀(P, Q) ∈ K[X]2 , ∀λ ∈ K, (λP + Q)′ = λP′ + Q′ (en d’autres termes, l’application D : P 7→ P′ est un
endomorphisme de K[X]).
2. Si P a pour terme dominant an X n , alors P(n) = n!an et P(n+1) = 0.
3. ∀(P, Q) ∈ K[X]2 , (PQ)′ = P′ Q + PQ′ .
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4. ∀(P, Q) ∈ K[X]2 , ∀n ∈ N, (PQ)(n) =
n  ‹
X
n
k=0
k
P(k) Q(n−k) (formule de Leibniz)
5. ∀(P, Q) ∈ K[X]2 , (P ◦ Q)′ = Q′ .(P′ ◦ Q)
Œ
‚+∞
+∞
X
X
i
i
ai Q .
ai X , P ◦ Q désigne le polynôme P
(rem : si P =
i=0
i=0
Démonstration:
1. Il suffit décrire P =
+∞
P
ai Xi et Q =
3.
ai Xi puis faire le calcul.
i=0
i=0
2. Calcul élémentaire.
+∞
P
– On le démontre d’abord lorsque P = Xk : Si Q =
(PQ)′ =
+∞
P
(i + k)bi Xi+k−1 = kXk−1
+∞
P
bi X i + X k
– Puis l’on écrit P =
+∞
P
bi Xi ∈ K[X] et si P = Xk alors PQ =
+∞
P
bi Xi+k d’où
i=0
i=0
i bi Xi−1 = P ′ Q + PQ ′ .
i=0
i=0
i=0
+∞
P
+∞
P
ak Xk et on utilise la linéarité de la dérivation.
k=0
4. Démonstration par récurrence sur n (classique, à savoir refaire) :
• La propriété est vraie pour n = 0 (immédiat) et pour n = 1 (résultat précédent).
• Si la propriété est vraie à l’ordre n alors
(PQ)(n+1) =
n  ‹
X
n
k=0
k
P (k) Q (n−k)
′
=
n  ‹
n  ‹
X
n (k+1) (n−k) X n (k) (n−k+1)
P
Q
+
P Q
k
k
k=0
k=0
n+1
‹
‹  ‹˜
n  ‹
n+1 
n+1 •
✟
X
X
✟
n
n (k) (n−k+1) X
n
n
=
P (k) Q (n−k+1) +
P Q
=
P (k) Q (n+1−k)
+
k−1
k
k
k−1
✟
k=1
✟
k=0
=
k=0
k=0
‹
n+1 
X
n + 1 (k) (n+1−k)
P Q
k
k=0
en utilisant la formule du triangle de Pascal et avec les conventions habituelles :
donc démontré la formule au rang n + 1 , ce qui achève la récurrence.
n
k
= 0 si k < 0 ou k > n . On a
5. On le démontre d’abord lorsque P = Xk (donc lorsque P ◦ Q = Q k ), par récurrence sur k , puis on utilise la linéarité.
II. Arithmétique dans K[X]
DÉF 7:
Soient A et B deux polynômes de K[X].
On dit que A divise B (ou que B est multiple de A ) s’il existe Q ∈ K[X] tel que B = AQ . On note : A|B.
On dit que A et B sont associés si A|B et B|A .
Propriétés:
1. Un polynôme constant non nul divise tout polynôme B.
2. Si A|B et B 6= 0, alors deg A ¶ deg B.
3. A divise B ⇐⇒ id(A) ⊃ id(B)
4. A et B sont associés si et seulement si il existe λ ∈ K , non nul, tel que : B = λA .
5. Tout polynôme non nul est associé à un polynôme normalisé (c’est-à-dire dont le coefficient dominant vaut 1)
et un seul.
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Démonstration:

‹
1
B .
λ
2. En effet, si l’on a B = AQ alors deg(B) = deg(A) + deg(Q) et puisque Q 6= 0 (sinon B serait nul), on a deg(Q) ¾ 0 d’où
l’inégalité cherchée.
1. C’est immédiat, puisque si λ ∈ K∗ on peut écrire B = λ ×
3.
– Supposons que A divise B ; si C ∈ id(B) , alors C est multiple de B par définition, donc est aussi multiple de A ,
donc C ∈ id(A) ce qui démontre l’inclusion cherchée.
– ¡8¿ Réciproquement, si id(A) ⊃ id(B) , puisque B appartient à id(B) , alors B appartient à id(A) c’est-à-dire est
multiple de A .
4.
– Il est clair que si B = λA avec λ non nul, alors A divise B et aussi B divise A puisque A =
1
λB.
– Réciproquement supposons que A et B sont associés. Cela signifie qu’il existe des polynômes P et Q tels que
A = BP et B = AQ . On a donc A = APQ .
– Si A = 0 alors B = 0 et le résultat est immédiat puisque B = λA pour tout λ .
– Sinon, l’anneau K[X] étant intègre, l’égalité précédente implique PQ = 1 . Ainsi P et Q sont des éléments
inversibles de l’anneau K[X] , ce sont donc des polynômes constants non nuls, d’où le résultat.
5. C’est une conséquence immédiate du résultat précédent : si an est le coefficient dominant d’un polynôme P non nul,
P est associé au polynôme normalisé a1 P .
n
Théorème 2: Division euclidienne
Soient A et B deux polynômes de K[X], B étant non nul.
Il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K[X] tels que :
A = BQ + R et deg R < deg B.
On dit que Q est le quotient et R le reste dans la division euclidienne de A par B.
Démonstration:
– Unicité : Supposons qu’il existe deux couples (Q1 , R1 ) et (Q2 , R2 ) de polynômes , tels que A = BQ1 + R1 = BQ2 + R2
avec deg R1 < deg B et deg R2 < deg B .
Alors B(Q1 − Q2 ) = R2 − R1 d’où (proposition 1)
deg B + deg(Q1 − Q2 ) = deg(R2 − R1 ) ¶ max(deg R1 , deg R2 ) < deg B
ce qui implique deg(Q1 − Q2 ) < 0 soit Q1 = Q2 et ensuite R1 = R2 .
– Existence :
– Si deg A < deg B , il suffit de prendre Q = 0 et R = A .
– Sinon, procédons par récurrence sur n = deg A . Supposons la propriété vraie pour tous les polynômes de degré
¶ n , et montrons-là pour A = an+1 Xn+1 + · · · + a0 , avec an+1 6= 0 .
a
Si B = bp X p + · · · + b0 avec bp 6= 0 , alors le polynôme A 1 = A − BQ1 avec Q1 = n+1 Xn+1−p est de degré ¶ n ,
bp
donc d’après l’hypothèse de récurrence il existe des polynômes Q2 et R2 avec deg R2 < p tels que A 1 = BQ2 + R2
d’où A = B(Q1 + Q2 ) + R2 et il suffit de prendre Q = Q1 + Q2 et R = R2 .
Théorème 3: important
L’anneau K[X] est principal.
En particulier, tout idéal de K[X], non réduit à {0} , est engendré par un polynôme normalisé et un seul.
Démonstration:
Rem : on notera l’analogie entre cette démonstration et celle de la principalité de Z ...
Soit I un idéal de K[X] . Il s’agit de démontrer que I est principal, i.e de la forme A.K[X] avec A ∈ K[X] .
– Si I = {0} , I = 0.K[X] et c’est fini.
– Sinon, considérons l’ensemble des degrés des polynômes non nuls de I . Cet ensemble est une partie non vide de N ,
donc possède un plus petit élément, c’est-à-dire qu’il existe dans I \{0} (au moins) un polynôme de degré minimum.
Notons A un tel polynôme .
– I étant un idéal, AQ ∈ I pour tout Q ∈ K[X] , soit A.K[X] ⊂ I .
– Réciproquement, soit P ∈ I . La division euclidienne de P par A ( A est non nul !) s’écrit P = AQ + R , avec
deg R < deg A . Or P et AQ (voir ci-dessus) sont éléments de I , donc R = P − AQ est aussi élément de I ( I idéal...).
Mézalor, puisque deg R < deg A ,le choix de A implique R = 0 .
Finalement, P = AQ d’où l’inclusion réciproque I ⊂ A.K[X] .
– Si maintenant I est engendré par deux polynômes A et B , on a I = Id(A) = Id(B) donc A divise B et B divise A
(d’après les propriétés vues ci-dessus). A et B sont donc associés. Tous les générateurs de I sont donc associés, et,
parmi eux, il en existe bien un et un seul qui soit normalisé.
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„ Polynômes premiers entre eux :
DÉF 8:
Deux polynômes A et B sont dits premiers entre eux si les seuls diviseurs communs à A et B sont les polynômes
constants.
Prop 3:
Soit (a, b) ∈ K2 .
Les polynômes X − a et X − b sont premiers entre eux si et seulement si a 6= b .
III. Fonction polynôme
DÉF 9:
Soit P =
+∞
X
ai X i un polynôme de K[X].
i=0
On appelle fonction polynôme associée à P l’application de K dans K qui à tout x ∈ K , associe l’élément :
+∞
X
e
ai x i
P(x)
=
i=0
(Rem : Cette dernière écriture a bien un sens, puisque la somme est en réalité finie et que K est un corps.)
e(x).
Par abus de notations, on notera souvent P(x) au lieu de P
Prop 4:
e , de K[X] dans A (K, K), est un morphisme de K -algèbres.
1. L’application P 7→ P
à
e.
e◦Q
2. ∀(P, Q) ∈ K[X]2 , P
◦Q=P
Démonstration:
La première propriété signifie que (avec des notations évidentes) :
á
e
e+Q
P
+Q =P
;
Ý=P
e
eQ
PQ
;
Ý
e
λP = λP
et les lois dans K[X] ont justement été définies de façon qu’il en soit ainsi !
Même justification pour la deuxième propriété.
;
e
1 = 1A (K,K)
Théorème 4: Formule de Taylor
Soit P un polynôme de K[X], de degré ¶ n, et soit a un élément de K . Alors :
n
X
e(k) (a)
P
(X − a)k
P=
k!
k=0
Démonstration:
La formule est évidente si P = 0 .
Sinon, soit n = deg P . Les polynômes (1, X − a, . . . , (X − a)n ) forment une base du K -espace vectoriel Kn [X] des polynômes
de degré ¶ n (famille de n + 1 polynômes de degrés distincts).
n
X
Il existe donc des scalaires (λ0 , . . . , λn ) tels que P =
λi (X − a)i .
i=0
En dérivant k fois cette égalité ( k ∈ [[0, n]] ) on obtient :
n
X
P (k) =
λi
i=k
i!
(X − a)i−k
(i − k)!
puis en évaluant cette expression en X = a , on obtient P (k) (a) = k!λk , puisque tous les termes de la somme pour i > k
s’annulent pour X = a .
„ Racine d’un polynôme :
DÉF 10:
e(a) = 0K .
Soit P ∈ K[X]. On appelle racine (ou zéro) de P tout élément a∈ K tel que P
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Théorème 5:
a est une racine de P si et seulement si le polynôme X − a divise P .
Démonstration:
En effet, la division euclidienne de P par X − a s’écrit ; P = (X − a)Q + R avec deg R < 1 i.e. R constant.
En évaluant cette égalité en a , on obtient R = R(a) = P(a) . Donc (X − a)|P ⇐⇒ R = 0 ⇐⇒ P(a) = 0 .
Corollaire 5.1:
Soit (ai )1¶i¶p une famille d’éléments distincts de K .
Alors, les ai sont tous des racines de P si et seulement si
p
Y
(X − ai ) divise P .
i=1
Démonstration:
Par récurrence sur p ...
Corollaire 5.2:
Si un polynôme de degré ¶ p admet au moins p + 1 racines distinctes dans K , c’est le polynôme nul.
Démonstration:
En effet, d’après le corollaire précédent, si un polynôme possède p + 1 racines distinctes, il est divisible par un polynôme
de degré p + 1 donc il est nul ou est de degré ¾ p + 1 .
Rem: Il en résulte que, si P et Q sont deux polynômes tels que les fonctions polynômes associées sont égales
e ), alors P = Q . On peut donc, dans les notations, confondre un polynôme P et sa fonction polynôme
e=Q
(P
associée e
P.
„ Ordre de multiplicité d’une racine :
DÉF 11:
1. Si a est une racine de P , on dit que a est racine d’ordre au moins k ( k ∈ N∗ ) si et seulement si (X − a)k
divise P .
2. On dit que a est une racine d’ordre k si et seulement si (X − a)k divise P et (X − a)k+1 ne divise pas P .
L’entier k s’appelle alors l’ordre de multiplicité de la racine a .
( Rem : On pourra convenir que a est d’ordre 0 si a n’est pas racine de P ...)
Théorème 6:
e(a) = P
e′ (a) = · · · = P
e(k−1) (a) = 0.
1. a est racine d’ordre au moins k de P ssi : P
e(a) = P
e′ (a) = · · · = e
2. a est racine d’ordre exactement k de P ssi : P
P(k−1) (a) = 0 et e
P(k) (a) 6= 0.
Démonstration:
La formule de Taylor peut s’écrire :
P = P(a) + (X − a)P ′ (a) + · · · +
(X − a)k−1 (k−1)
P
(a) + (X − a)k Q
(k − 1)!
où Q est un polynôme de degré deg P − k soit P = (X − a)k Q + R , avec R = P(a) + (X − a)P ′ (a) + · · · +
(X − a)k−1 (k−1)
P
(a) de
(k − 1)!
degré < k . Il s’agit donc de la division euclidienne de P par (X − a)k et on a :
(X − a)k divise P ⇐⇒ R = 0 ⇐⇒ P(a) = P ′ (a) = · · · = P (k−1) (a) = 0
(la deuxième équivalence découle du fait que P(a), P ′ (a), . . . , P (k−1) (a) sont les coordonnées de R dans la base
(1, X − a, . . . , (X − a)k−1 ) de Kk−1 [X] ).
Cela établit la première propriété. Ensuite, de la même façon, on a en plus (X − a)k+1 P ⇐⇒ P (k) (a) = 0 , ce qui établit la
deuxième propriété.
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Théorème 7:
Soit (ai )1¶i¶p une famille d’éléments distincts de K .
Alors, les ai sont tous des racines de P d’ordres respectifs au moins ki si et seulement si
(X − ai )ki divise
i=1
P.
p
Y
Démonstration:
Par récurrence sur p ...
Corollaire 7.1:
La somme des ordres de multiplicité des racines d’un polynôme non nul est inférieure ou égal à son degré.
DÉF 12:
On dit qu’un polynôme P non constant de K[X] est scindé dans K[X] s’il admet dans K des racines dont la
somme des ordres de multiplicité est égale à son degré. Cela équivaut à dire que P peut s’écrire sous la forme :
p
Y
(X − ai )ki , où λ ∈ K et où les ai ∈ K sont distincts.
P=λ
i=1
Il est également commode de l’écrire sous la forme :
n
Y
(X − x i )
P=λ
i=1
les x i étant les racines de P , chacune étant répétée autant de fois que son ordre de multiplicité.
Théorème 8: Relations coefficients-racines
Soit P ∈ K[X], scindé, et (x i )1¶i¶n ses racines, chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité.
n
n
X
Y
(X − x i ) =
ak X k (an = λ 6= 0).
Ainsi : P = λ
i=1
k=0
On a alors
 les relations :

σ1 =
x1 + x2 + · · · + xn



X



σ
=
xi x j

2



1¶i< j¶n


.....
X

x i1 x i2 . . . x ip
 σp =



1¶i
<i
<···<i
¶n
1
2
p



....




 σn =
x1 x2 . . . xn
=
=
=
=
an−1
−
an
an−2
an
(−1) p
an−p
(−1)n
an
a0
an
DÉF 13:
Les σi ci-dessus s’appellent les fonctions symétriques élémentaires des racines de P .
IV. Factorisation d’un polynôme
„ Polynômes irréductibles :
DÉF 14:
Un polynôme P ∈ K[X] est dit irréductible (dans K[X]) si :
(a) P non constant (soit : deg P ¾ 1).
(b) tout diviseur de P est soit constant, soit associé à P .
Exemples:
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1. Tout polynôme de degré 1 est irréductible.
2. X2 + 1 est irréductible dans R[X], mais pas dans C[X].
3. X3 − 2 est irréductible dans Q[X] mais pas dans R[X]
Théorème 9:
Tout polynôme P ∈ K[X], de degré ¾ 1, possède un diviseur irréductible.
Démonstration:
Soit D l’ensemble des polynômes de degré ¾ 1 qui divisent P . D est non vide (car P ∈ D ), donc il existe dans D un
polynôme de degré minimal. Soit A un tel polynôme . Alors A divise P et est irréductible car sinon, on aurait
A = BC, deg B ¾ 1, deg C ¾ 1
donc, puisque deg A = deg B + deg C , B et C seraient des éléments de D de degrés < deg A , ce qui est impossible.
Théorème 10:
Tout polynôme non nul P ∈ K[X] s’écrit de manière unique
Y (à l’ordre près des facteurs) sous la forme :
α
P=λ
Pi i
i∈I
avec : λ ∈ K∗ , Pi polynômes irréductibles normalisés premiers entre eux deux à deux, αi entiers naturels
tous nuls sauf un nombre fini.
Démonstration:
L’existence se démontre facilement par récurrence sur deg P à l’aide du théorème précédent.
L’unicité est un peu plus difficile, et sera admise...
Corollaire 10.1:
Deux polynômes de K[X] sont premiers entre eux si et seulement si ils n’ont pas de facteur irréductible commun
dans leurs décompositions.
„ Étude de C[X] :
Théorème 11: de d’Alembert-Gauss
Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine dans C .
(on dit que C est un corps algébriquement clos).
Corollaire 11.1:
Les seuls polynômes irréductibles de C[X] sont ceux de degré 1.
Démonstration:
En effet, si P ∈ C[X] est de degré supérieur ou égal à 2 , il admet une racine a ∈ C , donc est divisible par X − a est de peut
pas être irréductible.
Réciproquement, on sait que les polynômes de degré 1 sont irréductibles.
Corollaire 11.2:
Tout polynôme P non constant de C[X] s’écrit de manière unique (à l’ordre près des facteurs) sous la forme :
r
Y
(X − ai )αi
P=λ
où :
λ ∈ C∗
les ai sont des complexes distincts
les αi sont des entiers naturels non nuls.
i=1
(Ainsi, tout polynôme de C[X] est scindé)
Démonstration:
Il s’agit tout simplement de l’écriture d’un polynôme de C[X] sous forme de produit de polynômes irréductibles.
Corollaire 11.3:
Pour que deux polynômes P et Q de C[X] soient premiers entre eux, il faut et il suffit qu’ils n’aient pas de
racine commune.
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PSI* 13-14
CHAPITRE VIII – POLYNÔMES - RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
Démonstration:
– Si deux polynômes sont premiers entre eux, ils ne peuvent avoir de racine commune car, si a était une telle racine,
ils seraient tous deux divisible par X − a .
(Rem : cette implication est valable quel que soit le corps de base)
– Si deux polynômes P et Q de C[X] ne sont pas premiers entre eux, ils admette un diviseur commun non constant,
notons-le D . Alors D admet une racine dans C , et cette racine sera aussi racine de P et de Q
Corollaire 11.4:
Soient P et Q deux polynômes de C[X].
Pour que P divise Q , il faut et il suffit que toute racine de P soit aussi racine de Q , avec un ordre de multiplicité
supérieur.
Démonstration:
– Si la condition de l’énoncé est vérifiée, et si P = λ
r
Q
(X − ai )αi , alors Q =
i=1
i , donc P divise Q .
r
Q
„ Étude de R
(X − ai )βi Q1 avec βi ¾ αi pour tout
i=1
– Réciproquement, si P|Q , alors pour toute racine ai de P d’ordre αi , (X − ai )αi divise P donc divise Q et ai est
racine de Q avec un ordre de multiplicité ¾ αi .
Théorème 12:
Les polynômes irréductibles de R[X] sont :
• les polynômes de degré 1.
• les polynômes de degré 2 sans racine réelle (donc à discriminant < 0).
Démonstration:
– Les polynômes de degré 1 sont irréductibles, on l’a déjà vu.
– Soit P ∈ R[X] un polynôme de degré 2 . Il est irréductible si et seulement si il n’est pas divisible par un polynôme de
degré 1 , c’est-à-dire si et seulement si il n’a pas de racine réelle, ce qui est équivalent à dire que son discriminant est
strictement négatif.
– Soit P ∈ R[X] , de degré supérieur ou égal à 3 .
– Si P possède une racine réelle a , il est divisible par X − a et ne peut être irréductible.
– Sinon, il possède au moins une racine complexe non réelle z , et puisque P(z) = P(z) puisque les coefficients de
P sont réels, z est aussi racine de P .
Ainsi P est divisible par (X − z)(X − z) , qui est un polynôme de R[X] , donc n’est pas irréductible dans R[X] .
Corollaire 12.1:
Tout polynôme P non nul de R[X] s’écrit de manière
(à l’ordre près des facteurs) sous la forme :
Y unique Y
β
αi
Pj j
P=λ
(X − ai )
j∈J
i∈I
où :
λ ∈ R∗
les ai sont des réels distincts
les αi sont des entiers naturels
les Pj sont des trinômes de discriminant < 0 premiers entre eux deux à deux
les β j sont des entiers naturels.
Démonstration:
Il s’agit tout simplement de l’écriture d’un polynôme de C[X] sous forme de produit de polynômes irréductibles.
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