Chapitre 12 - Probabilités sur un univers dénombrable - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Dénition 3 (Espace probabilisé dénombrable). Chapitre 12 Probabilités sur un univers dénombrable 1. 1.1. Un espace probabilisé dénombrable est un couple (Ω, P ) où Ω est un univers dénombrable et P une probabilité sur Ω. Proposition 1 Espace probabilisé dénombrable Soit P : Ω → [0, 1] une probabilité sur l'univers Ω. Alors (i) P (∅) = 0, (ii) Si A1 , . . . , An sont des évènements deux à deux incompatibles, alors Ensemble dénombrable Dénition 1 (Ensemble dénombrable). Un ensemble Ω est dit dénombrable s'il existe une suite (ωn )n∈N d'éléments de Ω telle que Ω = {ωn | n ∈ N}. P Exemple 1 ! Ai i=1 a) Les ensembles nis sont dénombrables. b) Les ensembles N, Z et Q sont dénombrables. c) L'ensemble R n'est pas dénombrable. 1.2. n [ Jusqu'à la n du chapitre, on xe un univers Ω dénombrable modélisant une expérience aléatoire. Nous allons étendre les dénitions et les résultats vus dans le cas où Ω est ni. Ω On appelle probabilité sur Ω toute application P : P(Ω) → [0, 1] vériant (i) P (Ω) = 1, (ii) Pour toute suite (An )n∈N d'événements deux à deux incompatibles P n∈N An = +∞ X P (Ai ), i=1 Illustration 1 Dénition 2 (Probabilité). ! n X (iii) ∀A ∈ P(Ω), P (Ā) = 1 − P (A), (iv) ∀(A, B) ∈ P(Ω)2 , A ⊂ B ⇒ P (A) 6 P (B) et P (B \ A) = P (B) − P (A), (v) ∀(A, B) ∈ P(Ω)2 , P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). Probabilité sur un univers dénombrable [ = A A∩B B Le point (v) Proposition 2 P (An ). Si p : Ω → [0, 1] est une application vériant n=0 X p(ω) = 1, alors il existe une ω∈Ω et une seule probabilité P : P(Ω) → [0, 1] vériant Remarque 1 Dans le cas où Ω est ni, on retrouve la dénition d'une probabilité déjà vue. 1/8 ∀ω ∈ Ω, P ({ω}) = p(ω). Chapitre 12 - Probabilités sur un univers dénombrable - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Remarque 2 Autrement dit, pour dénir une probabilité P sur un univers dénombrable Ω, il sut de dénir P sur chaque singleton de Ω de sorte que la somme donne 1. La formule générale pour P est alors simplement donnée par ∀A ∈ P(Ω), P (A) = X Proposition 3 Soit B un évènement de probabilité non nulle. L'application PB : P(Ω) → [0, 1] est une probabilité. Remarque 3 En particulier, on peut utiliser les résultats de la proposition 1 avec PB . P ({ω}). ω∈A Théorème 1 (Formule des probabilités composées). Si A1 , . . . , Am sont des événements tels que P (A1 ∩ · · · ∩ Am ) 6= 0, alors Exemple 2 Si Ω = N, il existe une unique probabilité sur Ω vériant ∀k ∈ Ω, P ({k}) = 1 2k+1 P m \ ! Ai = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A2 ∩ A1 ) · · · P (Am |Am−1 ∩ · · · ∩ A1 ). i=1 . Dénition 5 (Système complet d'évènements). 2. 2.1. On dit qu'une famille dénombrable d'événements (Ai )i∈I est un système complet d'événements si (i) les événements (Ai )i∈I sont deux à deux incompatibles, [ (ii) les événements (Ai )i∈I recouvrent Ω, i.e. Ω = Ai . Conditionnement et indépendance Conditionnement Dénition 4 (Probabilité conditionnelle). Soient A et B deux évènements avec P (B) > 0. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B le nombre réel P (A | B) = PB (A) = i∈I Illustration 2 P (A ∩ B) . P (B) Ω Exemple 3 On jette un dé équilibré. On désigne par A l'évènement le chire du dé est 6 et par B l'évènement le chire du dé est pair. On a P (A | B) = P (A ∩ B) 1/6 1 = = . P (B) 1/2 3 Le résultat est intuitif : si on sait que le dé ache une chire pair, on a une chance sur trois que le chire soit six. 2/8 A1 A3 A4 A2 Un système complet d'évènements Chapitre 12 - Probabilités sur un univers dénombrable - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Dénition 6 (Système quasi-complet d'évènements). 2.2. Indépendance On dit qu'une famille dénombrable d'événements (Ai )i∈I est un système quasiDénition 7 (Évènements indépendants). complet d'événements si Deux évènements A et B sont dits indépendants si P (A ∩ B) = P (A)P (B). (i) les événements (Ai )i∈I sont deux à deux incompatibles, X (ii) on a P (Ai ) = 1. Remarque 5 i∈I Remarque 4 Si P (B) > 0, l'indépendance de A et B équivaut à P (A | B) = P (A). Autrement dit, avoir des informations sur la réalisation de B , ne renseigne pas la réalisation de A. Théorème 2 (Formule des probabilités totales). Dénition 8 (Évènements mutuellement indépendants). Un système complet d'évènements est un système quasi-complet d'évènements. La réciproque est fausse. Soit B un événement. Si (An )n∈N est unPsystème quasi-complet d'évènements de probabilités non nulles, alors la série P (B ∩ An ) converge et Des évènements A1 , . . . , An sont dits mutuellement indépendants si ! P (B) = +∞ X P (B ∩ An ) = n=0 +∞ X P (B | An )P (An ). P i∈I Ai = Y P (Ai ). i∈I n=0 Illustration 3 (Illustration : La formule des probabilités totales). A3 Ω ∀I ⊂ J1, nK, \ A1 B ∩ A1 B ∩ A3 A2 B ∩ A2 A4 Si n évènements sont mutuellement indépendant, alors ils sont indépendants deux à deux. B ∩ A4 B La formule des probabilités totales Théorème 3 (Formule de Bayes). Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles, alors P (A | B) = Remarque 6 Attention : La réciproque est fausse comme le montre l'exemple suivant. Exemple 4 On considère Ω = {1, 2, 3, 4} muni de la probabilité uniforme et on note A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {1, 4}. On vérie facilement que ces évènements sont indépendants deux à deux, mais ils ne sont pas mutuellement indépendants car P (B | A)P (A) . P (B) P (A ∩ B ∩ C) = 3/8 1 1 6= = P (A)P (B)P (C). 4 8 Chapitre 12 - Probabilités sur un univers dénombrable - Cours 3. 3.1. Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Proposition 5 Variable aléatoire discrètes La loi PX est entièrement déterminé par les nombres P (X = x) pour x ∈ X(Ω). Variable aléatoire réelle Remarque 8 Dénition 9 (Variable aléatoire réelle). Ainsi pour donner la loi d'une variable aléatoire réelle, il sut de donner les nombres P (X = x) pour x ∈ X(Ω). Une variable aléatoire réelle est une application X : Ω → R. Jusqu'à la n du chapitre, on xe une variable aléatoire réelle X sur Ω. Notation : Si U 3.3. ⊂ R, on note l'évènement (X ∈ U ) = X −1 Dénition 12 (Fonction de répartition d'une variable aléatoire). L'application FX : R → R donnée par FX (x) = P (X 6 x) est appelée la fonction de répartition de la variable aléatoire X . (U ) = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ U } En particulier, si x ∈ R, on a Proposition 6 (X = x) = {ω ∈ Ω | X(ω) = x}, La fonction FX (i) est croissante, (ii) est continue à droite en tout point de R, (iii) admet des limite en ±∞ qui sont (X 6 x) = {ω ∈ Ω | X(ω) 6 x} Dénition 10 (Image d'une variable aléatoire par une fonction). Soit f : R → R une application. On dénit la variable aléatoire f (X) comme la composée f ◦ X . Autrement dit, ∀ω ∈ Ω, 3.2. Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle lim FX (x) = 0, f (X)(ω) = f (X(ω)). x→−∞ lim FX (x) = 1. x→+∞ Illustration 4 Loi d'une variable aléatoire réelle Proposition 4 L'application PX : P(X(Ω)) → [0, 1], donnée par PX (U ) = P (X ∈ U ) est une probabilité sur X(Ω). Si X ,→ B(5, 1/2), alors la fonction de répartition de X est représenté par le graphique suivant. Remarque 7 L'ensemble X(Ω) représente l'ensemble des valeurs que peut prendre X . Par exemple, si X suit la loi binomiale de paramètre (n, p), alors X(Ω) = J0, nK. Dénition 11 (Loi d'une variable aléatoire). y 1 • 4/8 • 4 5 • • • 0 L'application PX est appelée la loi de la variable aléatoire X . • 1 x 2 3 Chapitre 12 - Probabilités sur un univers dénombrable - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Proposition 7 Exemple 6 La loi PX est entièrement déterminée par la fonction FX . Si X est une variable aléatoire dont la loi est donnée par Remarque 9 X(Ω) = N De manière générale, on a la relation pour tout x ∈ R t→x− Dans les cas où X prend ces valeurs dans N (i.e. X(Ω) = N), on a simplement 3.4. E(X) = P (X = k) = 1 , 2k+1 kP (X = k) = +∞ X k = 1. k+1 2 k=0 Proposition 8 (Linéarité de l'espérance). Espérance d'une variable aléatoire réelle Soient Y une variable aléatoire réelle sur Ω et a, b ∈ R. Si X et Y ont une espérance nie, alors il en est de même de aX + bY , et on a Dénition 13 (Espérance d'une variable aléatoire). On dit que X est d'espérance nie si la série ci-dessous converge absolument. Dans ce cas, l'espérance de X est X +∞ X k=0 P (X = n) = P (X 6 n) − P (X 6 n − 1) = FX (n) − FX (n − 1). E(X) = ∀k ∈ N, alors X est d'espérance nie, car la série ci-dessous converge absolument. De plus, P (X = x) = P (X 6 x) − P (X < x) = FX (x) − lim FX (t). ∀n ∈ N, et E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ). xP (X = x). Théorème 4 (Théorème du transfert). x∈X(Ω) Soit f : R → R une application. La variable aléatoire f (X) est d'espérance nie si et seulement si la série ci-dessous converge absolument. Dans ce cas, on a X Remarque 10 L'espérance correspond à la moyenne théorique des valeurs prises par X . E(f (X)) = Exemple 5 f (x)P (X = x). x∈X(Ω) Si X est une variable aléatoire dont la loi est donnée par X(Ω) = N∗ et ∀k ∈ N∗ , P (X = k) = 6 π2 k2 Exemple 7 , alors X n'est pas d'espérance nie, car la série ci-dessous n'est pas absolument convergente. +∞ X k=1 En reprenant l'exemple précédent, on trouve que X 2 est d'espérance nie, car la série ci-dessous converge absolument. De plus, +∞ X 6 kP (X = k) = π2k 2 E(X ) = +∞ X k=0 k=1 5/8 +∞ X k2 k P (X = k) = = 3. 2k+1 2 k=0 Chapitre 12 - Probabilités sur un univers dénombrable - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Dénition 14 (Variable aléatoire centrée). Attention : En général si X et Y 3.5. Théorème 6 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev). sont des variables aléatoires, on n'a pas la relation V(X + Y ) = V(X) + V(Y ). On dit que X est centrée si X est d'espérance nie et E(X) = 0. Variance et écart type d'une variable aléatoire réelle Soit ε > 0 un réel. Si X 2 est d'espérance nie, alors Dénition 15 (Variance d'une variable aléatoire). Si X 2 est d'espérance nie, on appelle variance de X le réel P (|X − E(X)| > ε) 6 V(X) = E (X − E(X))2 . Dénition 16 (Écart type d'une variable aléatoire). V(X) ε2 Dénition 17 (Variable aléatoire réduite). Si X 2 est d'espérance nie, on appelle écart type de X le réel σ(X) = On dit que X est réduite si X 2 est d'espérance nie et V(X) = 1. p V(X). Remarque 11 3.6. Lois usuelles L'écart type est aussi appelée l'écart quadratique moyen à la moyenne. Il permet 3.6.1. Loi géométrique d'évaluer la dispersion de X autour de sa moyenne E(X). Dénition 18 (Loi géométrique). Soit p ∈]0, 1[. On dit que X suit la loi géométrique de paramètre p (notée Proposition 9 2 X ,→ G (p)) si Si X est d'espérance nie, alors X est d'espérance nie. X(Ω) = N∗ Théorème 5 (Théorème de Koenig-Huyghens). et ∀k ∈ N∗ , P (X = k) = p(1 − p)k−1 . Si X 2 est d'espérance nie, on a V(X) = E(X 2 ) − E(X)2 . Remarque 12 Exemple 8 Si X désigne le rang du premier succès dans une succession indépendante d'épreuve de Bernoulli de paramètre p, alors X suit une loi géométrique de paramètre p. En reprenant l'exemple précédent, on trouve V(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = 3 − 12 = 2. Proposition 10 Soient a, b ∈ R. Si et on a Proposition 11 X2 est d'espérance nie, alors il en est de même de (aX+b)2 , Si X ,→ G (p) avec p ∈]0, 1[, alors X 2 a une espérance nie et on a E(X) = V(aX + b) = a2 V(X). 6/8 1 p et V(X) = 1−p . p2 Chapitre 12 - Probabilités sur un univers dénombrable - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr 3.6.2. Loi de Poisson Dénition 19 (Loi de Poisson). Soit λ ∈ R∗+ . On dit que X suit la loi de Poisson de paramètre λ (notée X ,→ P(λ)) si et X(Ω) = N ∀k ∈ N, P (X = k) = λk −λ e . k! Exemple 9 La loi de Poisson peut être utiliser pour modéliser de nombreuses situations : a) compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné, b) modéliser le risque de défaut d'un crédit, c) etc... Proposition 12 Si X ,→ P(Λ) avec λ ∈ R, alors X 2 a une espérance nie et on a E(X) = λ et V(X) = λ. Théorème 7 (Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson). Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires. Si pour tout n ∈ N, Xn suit une loi binomiale de paramètre (n, pn ) et si lim npn = λ, alors n→+∞ ∀k ∈ N, lim P (Xn = k) = n→+∞ λk −λ e . k! 7/8 Chapitre 12 - Probabilités sur un univers dénombrable - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr 3.6.3. Résumé des lois usuelles Nom Paramètres Notation Valeurs Loi Espérance Variance Bernoulli p ∈ [0, 1] B(p) {0, 1} p p(1 − p) J0, nK P (X = 0) = 1 − p, P (X = 1) = p n k P (X = k) = p (1 − p)n−k k Binomiale n ∈ N∗ , p ∈ [0, 1] B(n, p) np np(1 − p) Géométrique p ∈]0, 1[ G (p) N∗ P (X = k) = p(1 − p)k−1 1 p 1−p p2 Poisson λ ∈ R∗+ P(λ) N λ λ P (X = k) = 8/8 λk −λ e k!